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2003年全国高中数学联赛模拟试卷2


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2 0 0 3年 8月 上 

中 学 生 数 学 

2 1  

2 0 0 3年全 国高 中数学联 赛 模拟 试卷 
湖 南 省 长沙 第 一 中学 ( 4 1 0 0 0 5 )   磨 立 华 
( A)1 5  (

B)1 0  ( c )5  ( D )÷  

数 学 奥 林 匹克 在 长 沙 一 中 
长 沙 一 中始创 于 1 9 1 2年 , 是 湖 南 省 教 育 厅 直 属 的 

唯 一 一 所 省重 点 中 学 , 是 一 所 在 国 内 外 都 享 有 盛 誉 的  名校. 该校 素 以 名 师 云 集 、 治学严 谨 、 人 才辈 出而著称 ,   毛泽 东、 朱镕 基 、 周谷 城 、 周 立 波 等 蜚 声 中 外 的政 治 家 、  
思想 家、 文学家和 1 3位 两 院 院 士 均 先 后 在 此 就 读 .  

这个 圆柱体积 最大时 , 它的高等 于(  
( A)   ( B)   ( c)

2 .在 母 线 长 为 2的等 边 圆 锥 内作 一 内 接 圆 柱 , 当   ) .  

譬( D )   3  
) .  

3 .复 数 Z   , Z  满 足 l   Z   +Z   l 一2 ,   l Z  ?Z   l 一3 .   设 z一   , 则c o s ( a r g Z) 的最 大值为 (  

1 9 8 6年 , 长 沙 一 中 经 省 教 育 厅 批 准 开 始 办 清 华 实 
验班 , 1 9 9 3年 承 办省 理 科 实 验 班 , 每年 面向 全省招 生 ,  

( A)一 了 1   ( B)了 1   ( c)一   1   ( D )1   4 .   设  z > 0 , 则 函 数  f (z ) 一 

对 湖 南 省 的 优 秀理 科 苗 子 集 中培 养 . 学 校 本 着 探 索 高  层次人 才培养的途径 和模 式, 在 全 面 发 展 学 生 的 综 合 
素质 的同时 , 突出培 养 学 生的 个 性特 长 , 树 立 质 量 意 
识、 创新意识 、 夺牌 意 识 , 取 得 了显 著 的 成 绩 . 先 后 在  国际 中 学 生 奥 林 匹 克 五 科 竞 赛 中 获 金 牌 l 5枚 、 银牌 8   枚、 铜 牌 2枚 。 奖牌 总 教 居 全 国前 列 . 其 中对 数 学 奥 林  匹克 而 言 , 自1 9 9 7年 以 来 , 已有 2 3人 次入 选 冬 令 营 ,  
1 0人 入 选 国 家 集 训 队 , 3人 入 选 中 国 国 家 队 , 荣 获 
l M 0 金 牌 3枚 .  

[   ] [ —=  T   ] +[   ] +[ ?   - 1 订 ] +   1   的值 域 是 ( [ z ] 表示 不 。   超 
过  的 最 大 整 数 ) (   ) .  

( A ) [ 1 , 导 )   ( B ) [ _ 暑 - ,  )  
( c ) [ ÷, ÷)   ( D )以上均不正确 
5 .在 黑 板 上 写 出 2 0 0 3个 形 如 口   z   + z+f 。 一0  

2 0 0 3年 元 月第 1 8届 全 国 中学 生 教 学 冬 令 营在 长 
沙 一 中隆 重 举 行 , 这 是 第 二 次 由 中 学 承 办 这 一 国 内 最  高级别的数 学竞赛 . 学 校 以 严 密 的 组 织 工 作 和 优 质 的  服 务赢得 了与会专 家和营 员、 来宾的一致 好评.  

( i 一1 , 2 , …, 2 0 0 3 ) 的方 程 , 甲、 乙两 人 轮流 做游 戏 , 每 


步 允 许 用 一 个 不 等 于 0的 数 代 替 上 述 2 0 0 3个 方 程 

中的某一个 a …b 或 f   ( i 一1 , 2 , …, 2 0 0 3 ) , 3 X   2 0 0 3步  之后得到 2 0 0 3个 一 元 二 次 方 程 .甲 总 是 力 求 使 尽 可  能多的方 程 无 实 根 , 而 乙 总是 要 阻 止 甲达 到 他 的 目   的. 如 果 甲先 填 数 , 那 么 甲 最 多 能 得 到 k个 方 程 无 实  根 且 与 乙如 何 做 无 关 , 则七 一(   ) .  
( A )1 OO1   ( B) 1 002   ( C)2 002   ( D)2 00 3  

作 者 简 介 
唐立 华. 1 9 6 5年 l O月生 . 湖 南 炎陵县 人 . 现 为 长 

沙 一 中 高级 教 师 , 湖 南省 特级 教 师 . 中 国数 学奥 林 匹  

克高级教练 , 教 学教 研 业 绩 突 出 . 曾 荣 获“ 第 五 届 苏 步 

青数 学教 育奖” 一等 奖 、 “ 中国科协 国际学 科竞 赛 突 出  
贡献 莫” 、 “ 湖南 省神 箭 英 才导 师 奖” 、 “ 湖 南 省 优 秀教  

6 . 已知 条 件 M : z为有 理 数 ; 条 件 N: 无 穷 数 列 

师” 等 多项 表 彰 和 奖 励 , 他 指 导 的 学 生 中 已有 l O人 l 1   次入 选 全 国 中 学 生 冬 令 营 , 5人 入 选 国 家 集 训 队 , 2人   入选 国家队 . 其 中刘 志 鹏 获 2 0 0 0年 第 4 1届 国 际 数 学 
奥 林 匹 克金 牌 . 向振 获 2 0 0 3年 第 4 4届 国 际 数 学 奥 林 

z, z +1 , z+2 , …, z+ , …(  ∈ Z  ) 中 存 在 3个 不 同 
的项 , 它们 组成等 比数列 , 则 M 是 N 的(   ) .   ( A)充 分 非 必 要 条 件  ( B)必 要 非 充 分 条 件  ( c )充 分 且 必 要 条 件  ( D)非 充 分 非 必 要 条 件  二、 填 空题( 每 小 题 9分 , 共 5 4分 )   7 .递 增 数 列 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , … 是 包 含 所 有 既 非 平 方  数, 又非立方 数的正整数 数列 , 则它 的第 5 0 0项 为 a   。 。  


匹克 金 牌 . 在 国 内、 外教 学期 刊 发表 论 文 6 O余 篇 , 出  
版 竞 赛 专 著 多部 , 其 中 5篇 论 文 被 《 美 国数 学 评 论 》 摘 
评. 1篇 上 S CI .  

第 一 试 


,  
— — — —

8 .函数 , ( z ) 一 ̄ / 8 z —z 。 一 ̄ / 1 4 x -z   一4 8( z∈  
R) 的 最 大 值 为  .  



选 择题 ( 每 小 题 6分 , 共 3 6分 )  

1 .两 圆 外 切 于 点 M ( 3 , 4 ) , 其 中半 径 为 R ,的  00, 与 z轴 相 切 , 半径为 R z的 0  0 2与 Y轴 相 切 , 当 
R, 一1 0时 . R 2为 (   ) .  

9 . s i n   蠢 + s i n   斋 + s i n  + s  

——.  

1 O .设 a , b为 任 意 实 数 , 方 程  十口 I  I +6 —0在 

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2 2  

中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 8月 上 

复 数 集 C上 的 解 集 为 A , 如果 l   A   l — , 那么 由   的 所 



有 可 能 的 取 值 构 成 的 数 集 B一

. 
— —

R   , 所 以   l s i   l —   I R 1 - 4   I , 同 理 I ∞   I — I   R z R - 2 3   I .  
号 或 1 5 , { D R   一 1 5 时 两 圆 为 内 切 , 故 R   一 了 5 .  
2 .( C) .考 察 轴 截 面 
 

1 1 .已 知 四 棱 锥 S— ABC D 的 底 面 为 平 行 四 边 

由三 角恒 等式 s i n 2 0 +c o s Z O :1 解得: 当R 1 —1 0时 , R z  


形, 面S A C上 面 S B D. 若△S B C, △S CD, △S DA 的 面 
积分别为 5 , 6 , 7 , 则△S AB 的 面 积 等 于  .   1 2 .设 集 合 M 一 { 一4 , 一3 , 一2 , 一1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ,  

从 M 中 任 取 3个 不 同 的 元 素 a , b , c 作 为直线 l : a J 7 +  +C 一0的 系 数 , 那么 所 有这 样 的直 线 中 , 倾 斜 角 为  锐 角 的 不 同 直 线 的 总 数 是  .  
三、 解 答题( 每小题 2 O分 , 共 6 O分 )  

V AB, 如图 , 设 圆 柱 的 高 00  




则V O  一√ 3 一  , 圆柱的 
R   一 O  C — 

c   7   \  

底 面 半 径
/ 3   - x  ̄




从 而 圆 柱 的 体 积 v一 

/ / 7 }  

1 3 . 设 , (   ,   ) 一   {  
线, 它们倾 斜角分别 为 a   , a  

(   ≠ o ) , 对 任 意  
?

√3  

的 实 数  与 0 , 试求 f ( x ,   ) 的 最 大 值 与最 小 值 .  
1 4 .已 知 l 1 , l 2 , l 3是 抛 物 线 Y   一4 a x 的 三 条 切 

} 。  一 号(  一   )   。   一 詈(  一   )   ? ( 2   ) ≤ 詈  


. 试 求 由这 三 条 切 线 所 


竽) 3 _   . 等 号 成 立 当 且 仅 当   一   一 2   ,  
3 .( A) . 由复 数 除 法 的几 何 意 义 及 余 弦 定 理 得 

构 成 的 三 角 形 的 外 接 圆 直径 d .  

1 5 .设 _ 厂 是 一个从实 数集 R 映 射 到 自身的 函数 ,   并 且 对 任 何  ∈R均 有 l _ 厂 (  ) l ≤1 , 以 及 

-  T.  

, (   +  ) + , (   ) 一 , (   + 言) + , (   + 专) ?  
求证: , (  ) 是周期 函数.  

c os c 一

 

一 

≥   一  


一 ÷ .  

加 试 题 
( 每题 5 O分 , 合计 1 5 O分 )  


从而 c 。 s ( a r g z) ≤一了 1 等 号 成立 当且仅 当 I Z, I  


  l Z 2   I 一   4 .( D) . 不 妨 设  ≥ 1 .   ( 1 )当  一 1 时 , , (  ) 一  1
, 



设 P 为 △AB C内任 一 点 , 顶 点 A, B, C与 P  

的连 线 分 别 交 边 B C, C A, A B 于 D, E, F. P   为 △ DE F   边界上 的任一点 , 过P   引 PD, PE, PF 的 平 行 线 分 别  B C, c A' AB交 于 
,  

F   . 证明; 三 个 比 值 
两个的和.  

,  

( 2 )当  > 1时 , 设r x 3 一 ,  —  + 口 , O ≤口 <1 . 则 

中 必 有 一 个 等 于 

[  ] 一 [   ,   ] 一 o , 从 而, (   ) 一 — T   口 1 - 寻 —  .   由 函 数  

二、 设  , Y , z∈R  , A, B, C 为 △ AB C 的三 个 内   角. 求证: x s i n A+y s i n B+z s i n C  

≤ 专 ( x y + y z + 2   √  

.  

.  

g (   ) 一   + { 当   ≥ l 时 是 增 函 数 和 o ≤ a < l 得   +  ≤   + a 口 +   — 1 1 _ l - 口   <   + l 1 t q - 。     1 - l   .  
所 以a   ≤_ 厂 (  ) <  , 其中a   卜 ; n   -1
,   一  

三、 G 国有 1 0 0个 城 市 , 某 些 城 市 之 间 有 道 路 相 

连. 在 其 中 任 何 4个 城 市 中 , 都至 少有 两 条道路 相连 .   现知 , 该 国没有经 过各个城 市恰 好 一次 的道 路. 证明:  

该 国存在两个 这样的城 市 , 使 得 其 余 任 何 城 市 都 至 少 
与这 两 个 城 市 之 一 有 道 路 相 连 .  

—  丁 密 - 1   — 一   1 + 十   而‘ . 易 动 知 刘 当 耆 咒  峒 ≥ 1 时 有 伺 口   > 一 > 口  
一a 3 , a 3 <n   4 < …<n   <…, b 1 >b z > … >  > … . 于 是 

答 案 或 提 示 
第 一 试 



当 x > l 时 , (   ) 的 值 域 为 [ n   ,   ) 一 [ _ 詈 _ , 寺 ) .  
5 .( B ) . 我们 考察 一般 情形 . 对  为 奇 数 , 先证 甲  
si

1 .( 。) . 设 连 心线 方程 为

3+  t co s g  

v一 4十 l  



(  为 参 

至 少 得 到  n +1 个方程无实根


事实 上, 甲 至 少 可 使 

数) . 则 o 的纵 坐 标 为 R, , o, 对 应 的参数 t   满足 l   t  l  


n +  1 个 方 程 中  的 系 数 6   一1

; 若 乙 在 甲 填 了 使  = l  

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中 学 生 数 学  若 n < O时 , A一 { 0, 士a } , , 2 —3 .  

2 3  

的方程中填数 n ( ≠O ) , 则 甲在 该 方 程 中 剩 下 的 那 个 位  置填 数  , 从 而 这 个 方 程 的 判 别 式 A= 1 —4 n?  


一 

( 2 )当 , 2 为偶 数 时 , 6 ≠0 .   取  一 一 1 , 6 = 一2 , 则 A一 { 士2 } , 故  一2 I  

3 <O , 无 实根. 上 述策 略 可使 甲至 少使 n -  ̄   - 1 d . 方 程 


取口 =一2 , 6 =1 , 则 A一 { 士1 , 士( √ 2 —1 ) i } .  
故  , 2 —4 ;   取 a =一5 , b - - 6 , 则 A一1 士2 , 士3 , 士i } . 故 , l 一6 .  

无实根.  

再 证 乙在 阻 止 甲 的 同 时 也 得 到  方程. 事实上 , 乙至 少 可 使 

个 有 实 根 的 

( 3 )再 证 , l 一0或 , 2 ≥ 8时 , 问题不成立 ( 从 略) .  

个 方程 中 z z的 系 数 n   个 方 程 有 

1 1 ., / g g . 由题设 条 件及 三面 角公 式 , 不难 证 明 :  

S } x s  ̄ B +s   D —S  ̄ . s a D +s   l 钮 c , 即有 s   B +6   一5   +  
一1 . 那么 , 不论 甲如何 做 , 乙 总 能 使 这 

7  , 解得 s   s A B 一2 5 +4 9 —3 6 =3 8 , 故S △ s A B =, / g g .  
1 2 .9 9 .要 z 的倾角 为 锐角 , 当 且 仅 当 a?6 <O .  
不妨设 n >0 , 则 6 <O .  

实根. 如 常数 项未 填 , 则 乙 再填 上 数 一1 ; 如 甲 在 常 数 

项上填 了数 c , 则 乙在 z前填 数 6 >2   j   c I 即 可. 此时 
△一6 } 一4 a 『 f J > 0总 成 立. 取 , 2 =2 0 0 3 , 即 得 甲 可 使 
1 0 0 2个 方 程 无 实 根 .  

( 1 )当 f ≠O时 , 有 4 ×4 ×6 =9 6条 直 线 , 其 中有 8   条重合 ( 如 2 z 一2 y +4 一O与 z — ± 2 =0 , 2 z 一4 y +4   一O与 z 一2  + 2 =O等 等 ) , 此 时共 有 9 6 —8 —8 8条 不 
同 的直 线 ;  

6 .( c) . 首先, 若 存 在 < j <志 , 使得 ( z +  ) (   +志 )  


(  +  )  , 可 求 得  — o或  =  
。  

Z- r   一   ,  

∈Q . 即 N 

( 2 )当 f =0时 , 若a 一一b , 有 1条 ;   若n ≠ 一b , 由 于 a有 4 种 取法 , 相 应 的 b有 3种 取  法, 但 2 z 一4 y =0 , 4 z 一2 y =0分 别 与 z 一2 y 一0 , 2 z —  =0重 合 , 这时有 1 2 —2 =1 0条不 同 的 直 线 .   综合 ( 1 ) , ( 2 ) 共有 8 8 +1 +1 0 —9 9 条.  
1 3 .令 U =c o s 0 ,  = s i n O , 则 U   +  = 1 , 且 
+2 +2 x?   + 2+ 2   ?M  

M. 其次 , 若  ∈Q, 当 z =0时 , 这 时显然有 N 成 立. 下 

设z ≠0时, 令z =÷ , 由于数列{ z +, 2 ) 是严格递增 
的, 故 不 妨 设 P, g >0 , ( P, q ) = 1为 整 数 , 我 们 来 考 察 
z , z +P , z +户 ( g +2 ) 这三项 , 则 

[  + 户 ( g +2 ) ] 一   + 户( g +2 ) 一   +2  户 +P   一( z+户 )   . 故 M  N, 从而 M 是 N 的充要条件 .  

7 .5 2 8 . 由容斥原理 , 设“   。 。 =z, 则 由 z一[ 侗

一 
i 

曹 ( 2 ×厂 )  一 2  ?   +(   +2 ) ( _ 厂 一1 ) 一O  

① 

[ 稠 +[ 泪 =5 0 0 , 估算得 z 一5 2 8 .  
8 .2  


将①视 为直角 坐标平 面 u Ov上 的 直 线 , 则 它 与 单 位 圆  U   +  = 1至 少 有 一 个公 共 点 , 从 而 

由 已知得 6 ≤ ≤8 , 且_ 厂 ( z ) 一 ̄ /  

、 / ,  = 
。 ’ 

= 、 / ,  

( , / - 2 一 

百 )=  
所 以  即 

2      ̄ l /   +1  
≤  一4 _ 厂 +1 ≤O .   ≤ 

≤ .  

易 知 f( z ) 在[ 6 , 8 ] 上 为减 函 数 , 从 而 

,  

/ …   /( 6 ) 一 2, / 3 .  
9 .   3


利 用 单 位 根 . 令z — c 。 s 蠢+   s i n 蠢, 则   , 从而s   蠢一  
一  ,  

解 之 得 2一   ≤ f≤ 2+   , 当 l   z   l 一  , “一 



z   一一1 , 且s i n 蠢一  


4  

,  一 

时 等 号 成立 - 故 

一2 +  ,  

同 理 可求 s i n   —Z  ̄   -I , s i n  

fm  = 2 一 

1 4 .设 抛 物 线 的 参 数 方程 为 :  

s i n   =  

. 代 入原式 并利 用 Z f ; =  , z  一 一 1 , 可 

I y一 ‘ ns ?  

一 :   ’(   为 参 数 )  

求 得 原式: 要.  
1 0 .B= { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 ) . 令 _ 厂 ( z ) =z   +n I zl +6 , 则  , 2 为 奇 数 时 当且 仅 当 _ 厂 ( O ) =0, 即6 —0 .  
( 1 )当 , 2 为奇数 时 , 方程化为 z   +n }   =0 .   若 a > 0时 , A= { 0 , +a i ) , , 2 —3 ;  

P   (   一1 , 2 , 3 ) 是抛 物线 上任 三 条抛 物线 l I , z 2 , z 。  

与抛 物 线 的 切 点 , 记 P   ( a s   , 2 a s , ) . 则 厶 的 斜 率 为 

t a T l 口   一— _, l 其方程为.  : x -¥ , Y +a s   一0 .  

( *)  

现假 定 T   一( 如, z s ) , T 2 , T 3是 这 些 切 线 的 三 个 交   点,   是 顶 点 T, 处 的三角形 的角度. 则 由 正 弦 定 理 及  倾斜角 的定义 , 有 

若a =0时 , A一 { 0 ) , , 2 =1 ;  

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中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 8月 上 

l   T ’ 1   1 ’ 2   l —d s i n 0 3 一d『 s i n ( a 2 一口 1 )   『

① 

一 

+  pt Ft

另一方 面 , 在 (*) 中对 i 一2 , 3和 一 3, 1 , 可 解 得 
1 ’ 1 ( a s 2 如, Ⅱ(   2 +的) ) , T 2 ( a s 3   5 I , a( s 3 + 1 ) ) 于 是 有 


P D 

PE   ’PF  

① 

设 P   E— , P   F一“ , 则 易 知 
S  ̄ i i P , C -  s一 +  s一 .  

J   T . T 2 『 一『 Ⅱ (   . -¥ 2 ) ( 1 +  ; )   I 『   利用 t a n 口   一1   有s i n a   一( 1 +s 2   ) 专,  


② 
又因

S A B p c  

BC .DPs i n Z PDC .  
D  P s i n   P  D  c.  

c o  , 一 ( 1 +s   2 )专.   由① , ②得


Sj v ' c= l Bc
?

d?『 ( s , 一 ) ( 1 +  f ) 一 专( 1 +  ; )专『   『 Ⅱ 『 ?『 (   . 一s   )?( 1 +s ; ) 专『 ,  
 ̄   l   a l   ③ 
一 

而P Df fP   D   , 故s i n ZP DC=s i n ZP   D  C. 从 而  面 p t Dt Sz  ̄ t , v ' c一  ? 亏 S A     B F C   - t -  U
PD   S △ B P ( ?   “+ 
一   一 一  

因 此  一 

S   A , V C S△  f   “十  ’— —  ② 
?

Sl n口I   Sl n 口2   Sl n口 3  

同理 : Pi 万 E'

7 . 1
 

? 

S z x  ̄c  

③ 

当a t , a z , a 。 中有一个为詈 时, ③仍成立. 故③为  
pt Ft

所求 的 d .  
1 5 .由 题 设 对 V   ∈R, 有 

S[ X A P   ' B
  一  

PF   S △ A P B   “ +  。   S  
一 ? 



SAA E B
^蹦 B 

④ 

注 意 到  S A B V C CF
_ 一  

Sa  a v c
_ 一  

厂 (   ) + 厂 (   + 百 1 十 了 1 ) 一 厂 (   + 吉 ) + 厂 (   + 丁 1 ) ,  


;  

旦 量一  

所 以  厂 (  +  ) 一厂 (  )  

S ̄s e c   BP  SAP A I I ‘  

代入③ , ④, 再 ② 即 得 

一f ( x +百 1十丁 1) 一厂 (  +  )  


pt D





PD  

呈 竺上  
PE

’ PF ‘  

一 厂 (   + 百 2 十 丁 1 ) 一 厂 (   + 詈 )  
一 … 一 f ( x + 詈+ —   ) 一 厂 (   + 詈) .  
于 是  厂 (   + 詈) 一 厂 (   )  
一厂 (  + 百 n十 丁 1) 一厂 (  +  )  


二、 记“ 一y s i n B+ z s i n C,  
t c ’ 一 xs i n A + ys i n B.  

—z s i n C+ s i n A.  

则  U   ≤( y s i n B+ z s i n C)   +( y c o s B- -  c O s C )  
一y   +  一 2 y z c o s ( B+ C) .  

所 以c 0 s ( B + c ) ≤  蕞 
同理 c 0 s ( c + A) ≤  c 0 s ( A+B) ≤ 

①  
②  ③ 

厂 (   + 詈 +  ) 一 厂 (   + — 争 )  
①  
∑ 
V 

一 … 一 厂 (   + 詈+ 等) 一 厂 (   + 了 m )  
厂 (  + 1 ) 一厂(  ) 一厂 (  + 2 ) -f ( x +1 )   故

。   ^ 一

三 式 相 加 得 
≥ ∑c o s ( A+ B) 一 一 Ec o s C> i一3
。 。 7 .  

其 中  ,  为正 整数. 在 ① 中令  一 7 ,  一6 , 得 
②  _ 厂 (  + )  
l  

故  ∑ 一 W2 ≤3 + ∑ 
xy . rY  

④ 

[ 厂 (  +  ) 一f ( x +k -1 ) ] +厂 (  )  
③ 

而 由柯 西 不 等 式 得 ;  
( “+ +  ) z≤ ( . ) ,  +  + . ) , ) (   +  + !  )  
yz   z   zY  

一 ( 厂 (  + 1 ) -f ( x) ) +厂(  )  

若厂 (  + 1 ) 一厂 (  ) ≠O , 则 当  一 +o 。 时, 『 _ 厂 (  + 
) 『 一 +o 。 , 与『 厂 (  ) 『 ≤ 1矛 盾 . 故厂 ( a T +1 ) 一厂 (  ) ; 
0, 即 厂(  + 1 ) 一_ 厂 (  ) ,  

≤( . ) ,   +  + . ) , ) ( 3 + ∑ 
Y 


)  

厂 (  ) 为周期 函数.  

( . ) ,   +  +   . ) , ) z .   ± 
.  

Y 

加 试 题 答 案 




xs i n A +. ) , s i n B+z s i n C 
≤  1(  



由对称 性, 不 

. ) , + . ) , 井  .   / x  ̄ + - -   y + z  

妨设 P   点 在/ X DE F 的  边 E F上 , 下 面证明 :  

三、 原题转 化为如 下的图论 问题 :  

图 G有 1 0 0个 顶 点 , 没 有 Ha mi l t o n路 , 任]   4点 

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2 0 0 3年 8月 上 

中 学 生 数 学 

2 5  

抽 象 画 数 哟 演 
北 京 市 密 云二 中( 1 0 1 5 0 0 )   弓 长 德广  
抽 象 函数 是 指 没 有 明 确 给 出 具 体 的 函数 的 解 析 表  达式 或 图 象 , 只 是 给 出一 些 函数 符 号 及 其 满 足 条件 的 函  数, 它 是 中 学 数 学 函 数 部 分 的难 点 . 在 近 几 年 的 高 考 试 
题 中经 常 出 现. 这类试题 既能 考查 函数的 概念和性 质 ,  

} n , ( z ) + 6 ,   专) 一 c z  

①  

【 n , ( ÷ ) + 6 , ( z ) 一 了 C  
解 得 f( x) 一   .  

②  

又 能考 查学 生 的思 维 能 力 , 所 以受 到 命 题 者 的青 睐.  
虽 然 抽 象 函数 具 有 一定 的 抽 象 性 , 构思 新颖 , 且 性  质隐 而不露 ; 其实 , 大 量 的 抽 象 函 数 是 以 中 学 阶段 所 学  的基 本 函数 为 背 景 的 . 因此 , 解决 抽 象 函数 问题 时 , 一  般采用 “ 从特 殊到一般 ” 、 “ 化抽 象为具体 ” 的策略 , 有 三 
种基本 方法 :  

例 2 设 函数 , ( z ) 的定 义域 为 正整 数集 , 且 ,( z  
+  ) 一, ( z ) +, (  ) +x y , 又 已知 , ( 1 ) 一1 , 求, (   ) .  
分析 因为 , ( 1 ) 一1 , 所 以 
,( 2 ) 一厂( 1 +1 ) =,( 1 ) + ,( 1 ) +1 ×1 —3 —1 + 2,  
厂 ( 3 ) : 厂 ( 2 +1 ) =厂 ( 1 ) +厂 ( 2 ) + 2× 1 —1 +2 + 3,  

( 1 )在 求 解 函 数 解 析 式 或 研 究 函 数 的 性 质 时 , 一  般用“ 代换” 的方法 , 将 z换 成 一 z或 将 z 换 成  等 ;   ( 2 )在 求 函 数 值 时 , 可用特殊 值( 0 、 1 、 一1 ) “ 代 
入 ”;  

由此猜想 , (  ) 一1 +2 +3 + …+ 一丛 
下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明.  

.  

( 1 )当  一 1时 , 等式显然 成立.  
( 2 )假 设  一k时 成 立 , 即 , ( 七 ) 一1 +2 +3 + … +七  
一 一

( 3 )研 究 抽 象 函 数 的 具 体 模 型 , 用 具 体 模 型 解 选  择题 、 填 空题 , 或 由具 体 模 型 对 综 合 问 题 的 解 答 提 供 思 
路和方 法.  
—  

k ( k + 1 )  

1 一求 霹 I ! I   寰 达 式  
例1   已知函数 , ( z ) 满足 a f ( x ) +b f ( ÷) 一C X ,  
其中 n 、 6 、 C 是 不 为零 的 常 数 , 且n ≠b , 求 ,( z ) .   分析 由函数条件 , 将 z换 成  得 到 方 程 组 

那么, 当  一k + 1时 , f( k +1 ) 一 ,( 1 ) + f( k ) +1  
Xk一 1 +  + =  .  

说 明  一 + 1时 成 立 .  

由( 1 ) 、 ( 2 ) 可知 , 等式对一 切正整数 都成立 .  
( 下转 2 6页 )  

组 成的子 图中至少有 两条 边. 证 明 可 选 出 G 的 两 

2 。 .若 m一 9 9 , 设 另 一 点 为 B, 则 B 与 A, , A  不 相  邻. 下 面 我 们 证 明 B 与 A。 , A   , …, A   中 任 一 点 不 相  邻. 反设 B 与 A  相 连 , 由对 称 性 不 妨 设 f ≤5 0 , 则 A,   与A  不 相 连 ( 否则 B Al A   … A, A  …A … 为路 ) , B   与A   不 相连. 对 四 点组 { B, A   , Al +   , A  ) 应 用 题 设  条件 , 得 A… 与 A, 和A  均 相 连 , 此 时 有 Ha mi l t o n路 
B A   … A】 A   + l A9 9 …A 什2 , 矛 盾 ! 故 B 与 A】 , A2 , …,  

个顶点 , 使 得 其 余 任 一 顶 点 都 至 少 与 这 两 个 顶 点 之 一 
有边相 连.   Ha mi | t o n路 知 m≤ 9 9 .   ( *)  

选出图 G 的最 长 路 A   A  … A   .由 图 G 没 有  1 。 .若 m≤ 9 8 , 则 存 在 两 点 B, Ce { A, , …, A  } , 由   最 长 性 知 点 B, c 不 与 Al , A  相 邻 , 但{ B, c, A。 , A  }   中有 两 条 边 , 所 以 只 能 B, c相邻 , A, , A  相 邻, 即 
A, Az …A   A  构成 一个 长 为 m 的圈. 设剩 下 的 1 0 0 一  

A   中任 一 点 均 不 相 连 . 于是 对 V   1 ≤  < < 惫 ≤9 9 , 由   于{ B, A, A   , A   ) 中至少 有两 条边 , 所以A   , Aj , A。中 
至少连 两条边. 这 样 把 A, , … , A   中 不 相 邻 的 两 点 配 

m个 点为 B  , …, B   , 则 由不 存 在 长 为  + 1的 路 可 知 
{ B   - . ' B   } 与{ A   , …, A  } 之 间 没有边 相 连. 这样 , 对 

成对 , 则这些对 子互不相 交 , 由于 9 9是 奇 数 , 所 以 存 在  A, , …, A   中某 一 点 不 属 于 任 何 对 子 , 不 妨 设 为 A。 , 则  A?与 A z , …, A 均 相 连 . 这 时 A, , B两点 满足要求 .  
综合 1 。 , 2 。 , 原 题得证.   口 

任 意的 1 ≤  <  ≤  与 1 ≤k <z ≤ , 考 察 四 点组 { A,  
A, ,   , B   } 知, A, A, 相邻 ,   , B  相 邻 . 由此 可知 , A,  


A  与 B   …B  分 别 构 成 完 全 图 k  和k  , 从 而 选 出 

A, , B ,即满 足 ( *) 的要求 .  


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