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2003年全国高中数学联赛模拟试卷2


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2 0 0 3年 8月 上 

中 学 生 数 学 

2 1  

2 0 0 3年全 国高 中数学联 赛 模拟 试卷 
湖 南 省 长沙 第 一 中学 ( 4 1 0 0 0 5 )   磨 立 华 
( A)1 5  (

B)1 0  ( c )5  ( D )÷  

数 学 奥 林 匹克 在 长 沙 一 中 
长 沙 一 中始创 于 1 9 1 2年 , 是 湖 南 省 教 育 厅 直 属 的 

唯 一 一 所 省重 点 中 学 , 是 一 所 在 国 内 外 都 享 有 盛 誉 的  名校. 该校 素 以 名 师 云 集 、 治学严 谨 、 人 才辈 出而著称 ,   毛泽 东、 朱镕 基 、 周谷 城 、 周 立 波 等 蜚 声 中 外 的政 治 家 、  
思想 家、 文学家和 1 3位 两 院 院 士 均 先 后 在 此 就 读 .  

这个 圆柱体积 最大时 , 它的高等 于(  
( A)   ( B)   ( c)

2 .在 母 线 长 为 2的等 边 圆 锥 内作 一 内 接 圆 柱 , 当   ) .  

譬( D )   3  
) .  

3 .复 数 Z   , Z  满 足 l   Z   +Z   l 一2 ,   l Z  ?Z   l 一3 .   设 z一   , 则c o s ( a r g Z) 的最 大值为 (  

1 9 8 6年 , 长 沙 一 中 经 省 教 育 厅 批 准 开 始 办 清 华 实 
验班 , 1 9 9 3年 承 办省 理 科 实 验 班 , 每年 面向 全省招 生 ,  

( A)一 了 1   ( B)了 1   ( c)一   1   ( D )1   4 .   设  z > 0 , 则 函 数  f (z ) 一 

对 湖 南 省 的 优 秀理 科 苗 子 集 中培 养 . 学 校 本 着 探 索 高  层次人 才培养的途径 和模 式, 在 全 面 发 展 学 生 的 综 合 
素质 的同时 , 突出培 养 学 生的 个 性特 长 , 树 立 质 量 意 
识、 创新意识 、 夺牌 意 识 , 取 得 了显 著 的 成 绩 . 先 后 在  国际 中 学 生 奥 林 匹 克 五 科 竞 赛 中 获 金 牌 l 5枚 、 银牌 8   枚、 铜 牌 2枚 。 奖牌 总 教 居 全 国前 列 . 其 中对 数 学 奥 林  匹克 而 言 , 自1 9 9 7年 以 来 , 已有 2 3人 次入 选 冬 令 营 ,  
1 0人 入 选 国 家 集 训 队 , 3人 入 选 中 国 国 家 队 , 荣 获 
l M 0 金 牌 3枚 .  

[   ] [ —=  T   ] +[   ] +[ ?   - 1 订 ] +   1   的值 域 是 ( [ z ] 表示 不 。   超 
过  的 最 大 整 数 ) (   ) .  

( A ) [ 1 , 导 )   ( B ) [ _ 暑 - ,  )  
( c ) [ ÷, ÷)   ( D )以上均不正确 
5 .在 黑 板 上 写 出 2 0 0 3个 形 如 口   z   + z+f 。 一0  

2 0 0 3年 元 月第 1 8届 全 国 中学 生 教 学 冬 令 营在 长 
沙 一 中隆 重 举 行 , 这 是 第 二 次 由 中 学 承 办 这 一 国 内 最  高级别的数 学竞赛 . 学 校 以 严 密 的 组 织 工 作 和 优 质 的  服 务赢得 了与会专 家和营 员、 来宾的一致 好评.  

( i 一1 , 2 , …, 2 0 0 3 ) 的方 程 , 甲、 乙两 人 轮流 做游 戏 , 每 


步 允 许 用 一 个 不 等 于 0的 数 代 替 上 述 2 0 0 3个 方 程 

中的某一个 a …b 或 f   ( i 一1 , 2 , …, 2 0 0 3 ) , 3 X   2 0 0 3步  之后得到 2 0 0 3个 一 元 二 次 方 程 .甲 总 是 力 求 使 尽 可  能多的方 程 无 实 根 , 而 乙 总是 要 阻 止 甲达 到 他 的 目   的. 如 果 甲先 填 数 , 那 么 甲 最 多 能 得 到 k个 方 程 无 实  根 且 与 乙如 何 做 无 关 , 则七 一(   ) .  
( A )1 OO1   ( B) 1 002   ( C)2 002   ( D)2 00 3  

作 者 简 介 
唐立 华. 1 9 6 5年 l O月生 . 湖 南 炎陵县 人 . 现 为 长 

沙 一 中 高级 教 师 , 湖 南省 特级 教 师 . 中 国数 学奥 林 匹  

克高级教练 , 教 学教 研 业 绩 突 出 . 曾 荣 获“ 第 五 届 苏 步 

青数 学教 育奖” 一等 奖 、 “ 中国科协 国际学 科竞 赛 突 出  
贡献 莫” 、 “ 湖南 省神 箭 英 才导 师 奖” 、 “ 湖 南 省 优 秀教  

6 . 已知 条 件 M : z为有 理 数 ; 条 件 N: 无 穷 数 列 

师” 等 多项 表 彰 和 奖 励 , 他 指 导 的 学 生 中 已有 l O人 l 1   次入 选 全 国 中 学 生 冬 令 营 , 5人 入 选 国 家 集 训 队 , 2人   入选 国家队 . 其 中刘 志 鹏 获 2 0 0 0年 第 4 1届 国 际 数 学 
奥 林 匹 克金 牌 . 向振 获 2 0 0 3年 第 4 4届 国 际 数 学 奥 林 

z, z +1 , z+2 , …, z+ , …(  ∈ Z  ) 中 存 在 3个 不 同 
的项 , 它们 组成等 比数列 , 则 M 是 N 的(   ) .   ( A)充 分 非 必 要 条 件  ( B)必 要 非 充 分 条 件  ( c )充 分 且 必 要 条 件  ( D)非 充 分 非 必 要 条 件  二、 填 空题( 每 小 题 9分 , 共 5 4分 )   7 .递 增 数 列 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , … 是 包 含 所 有 既 非 平 方  数, 又非立方 数的正整数 数列 , 则它 的第 5 0 0项 为 a   。 。  


匹克 金 牌 . 在 国 内、 外教 学期 刊 发表 论 文 6 O余 篇 , 出  
版 竞 赛 专 著 多部 , 其 中 5篇 论 文 被 《 美 国数 学 评 论 》 摘 
评. 1篇 上 S CI .  

第 一 试 


,  
— — — —

8 .函数 , ( z ) 一 ̄ / 8 z —z 。 一 ̄ / 1 4 x -z   一4 8( z∈  
R) 的 最 大 值 为  .  



选 择题 ( 每 小 题 6分 , 共 3 6分 )  

1 .两 圆 外 切 于 点 M ( 3 , 4 ) , 其 中半 径 为 R ,的  00, 与 z轴 相 切 , 半径为 R z的 0  0 2与 Y轴 相 切 , 当 
R, 一1 0时 . R 2为 (   ) .  

9 . s i n   蠢 + s i n   斋 + s i n  + s  

——.  

1 O .设 a , b为 任 意 实 数 , 方 程  十口 I  I +6 —0在 

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中 学 生 数 学 

2 0 0 3年 8月 上 

复 数 集 C上 的 解 集 为 A , 如果 l   A   l — , 那么 由   的 所