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高二上学期数学练习题(11)(抛物线的简单几何性质)


高二上学期数学练习题 (11) (抛物线的简单几何性质)
班级 一.选择填空题 1. 经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是 A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 ( ). 姓名 学号

D.2x+3y-1=0 ( ).

2. 过点(1,0)作斜率为

-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 A.2 13 B.2 15 C.2 17 D.2 19

3. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 ( D.x=-2 ) ).

4. 已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=( 1 A. 3 B. 2 3 2 C. 3 2 2 D. 3

5. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向准线 l 作垂线,垂足分别为 M1,N1,则∠M1FN1 等于 A.45° B.60° C.90° ( ). D.120° )

6. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=10,则弦 AB 的长度为( A.16 B.14 C.12 D.10

7. 设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与点 F 的距离为 4,则 k 等于( A.4 B.4 或-4 C.-2 D.-2 或 2

)

→ 8. 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, A 是抛物线上的一点, FA与 x 轴正向的夹角为 60° , 则|OA| 为( 21 A. p 4 ) B. 21 p 2 C. 13 p 6 13 D. p 36

x2 y2 9. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2,且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合,则该 a b 双曲线的离心率等于( A. 2 ) B. 3 C.2 D.2 3 )

10. 一个动圆圆心在 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则此动圆必过定点( A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) )

11. 抛物线 y=4x2 上的某点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点的坐标是( A.(0,0) B.(1,4) 1 C.( ,1) 2

D.以上都不对

x2 y2 12. 抛物线 y2=2x 的焦点为 F,其准线经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点,点 M 为这两条曲线的一个交 a b
-1-

点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为( A. 10 2 B.2

) C. 5 D. 5 2

13.已知 A、B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 为坐标原点,如果|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦 点 F,则直线 AB 的方程是( A.x-p=0 二.填空题 14. 抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛物线方程为________. → → 15. 已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A 是抛物线上一点, 若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标是________. 16. 边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线方程是________. 17. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点, 若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________ . . ) C.2x-5p=0 D.2x-3p=0

B.4x-3p=0

→ → 18. 已知点 A(2,0)、 B(4,0), 动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动, 则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是 19. 已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是__________________. 20.抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=__________________. 三.解答题 21. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4; (2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴.

-2-

22. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15,求抛物线的方程.

23. 已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A、B 两点都在抛物线上,且∠AOB=90°. (1)证明直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值.

-3-

24. 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.

-4-

高二上学期数学练习题(11) (抛物线的简单几何性质参考答案)
班级 一.选择填空题 1. 经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y+5=0 的直线 l 的方程是 A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 ( ). 姓名 学号 (5-10 页)

D.2x+3y-1=0

1 解析 设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y2=2x 的焦点 F( ,0), 2 1 3 所以 3× -2×0+c=0,所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A.答案 A 2 2 2. 过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点,则弦 AB 的长为 A.2 13 B.2 15 C.2 17 D.2 19 ( ).

解析 不妨设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 x1>x2.由直线 AB 斜率为-2, 且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y=-2(x-1),代入抛物线方程 y2=8x 得 4(x-1)2=8x, 整理得 x2-4x+1=0,解得 x1=2+ 3,x2=2- 3,代入直线 AB 方程得 y1=-2-2 3, y2=2 3-2.故 A(2+ 3,-2-2 3),B(2- 3,2 3-2). |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2=2 15.答案 B
-5-

3. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,

若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 B.x=-1 C.x=2

( D.x=-2

).

p p 解析 抛物线的焦点为 F( ,0),所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,即 x=y 2 2 p p + ,代入 y2=2px 得 y2=2p(y+ )=2py+p2,即 y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得 2 2 y1+y2 =p=2(y1,y2 分别为点 A,B 的纵坐标),所以抛物线方程为 y2=4x,准线方程为 x=-1.答案 B 2 4. 已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=( 1 A. 3 B. 2 3 2 C. 3 2 2 D. 3 )

? ?y=k(x+2), 2 2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由? 得 k x +(4k2-8)x+4k2=0, 2 ? ?y =8x,
p p ∴x1x2=4……① ,∵|FA|=x1+ =x1+2,|FB|=x2+ =x2+2,且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.……② 2 2 2 2 由①②得 x2=1,∴B(1,2 2),代入 y=k(x+2),得 k= .故选 D. 答案 D 3 5. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M,N 两点,自 M,N 向准线 l 作垂线,垂足分别为 M1,N1,则∠M1FN1 等于 A.45° B.60° C.90° ( ). D.120°

解析 如图,由抛物线的定义,得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|. ∴∠MFM1=∠MM1F,∠NFN1=∠NN1F,设准线 l 与 x 轴的交点为 F1, ∵MM1∥FF1∥NN1,∴∠MM1F=∠M1FF1,∠NN1F=∠N1FF1. 而∠MFM1+∠M1FF1+∠NFN1+∠N1FF1=180°, ∴2∠M1FF1+2∠N1FF1=180°,即∠M1FN1=90°,答案 C )

6. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若 x1+x2=10,则弦 AB 的长度为( A.16 [答案] C B.14 C.12 D.10

[解析] 设抛物线的焦点为 F,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=10+2=12. )

7. 设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,又抛物线上的点 P(k,-2)与点 F 的距离为 4,则 k 等于( A.4 [答案] B B.4 或-4 C.-2 D.-2 或 2

[解析] 由题设条件可设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),又点 P 在抛物线上,则 k2=4p,

p ∵|PF|=4∴ +2=4,即 p=4,∴k=± 4. 2 → 8. 设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, A 是抛物线上的一点, FA与 x 轴正向的夹角为 60° , 则|OA|
-6-

为( 21 A. p 4

) B. 21 p 2 C. 13 p 6 13 D. p 36 3 ? ?x1=2p ,得? ? ?y1= 3p

[答案] B

2 ? ?y =2px p [解析] 设 A(x1,y1),直线 FA 的方程为 y= 3(x- ),由? p 2 ? ?y= 3?x-2?

.

∴|OA|=

2 x2 1+y1=

9 2 21 p +3p2= p. 4 2

x2 y2 9. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2,且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合,则该 a b 双曲线的离心率等于( A. 2 ) B. 3 C.2 D.2 3

[答案] B[解析] ∵抛物线 y2=4 3x 的焦点( 3,0)为双曲线的右焦点,∴c= 3, b 又 = 2,结合 a2+b2=c2,得 e= 3,故选 B. a 10. 一个动圆圆心在 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则此动圆必过定点( A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-2) )

[答案] B[解析] 由题意得,抛物线的焦点坐标为 F(2,0),准线方程为 x=-2,因为动圆与 x=-2 相切, 圆心在抛物线上,所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离,即动圆必过抛物线的焦点 F(2,0). 11. 抛物线 y=4x2 上的某点到直线 y=4x-5 的距离最短,则该点的坐标是( A.(0,0) B.(1,4) 1 C.( ,1) 2 )

D.以上都不对

[答案] C[解析] 设直线 y=4x+b 与抛物线 y=4x2 相切,

? ?y=4x+b 由? ,得 4x2-4x-b=0,Δ=16+16b=0,∴b=-1. 2 ? ?y=4x
1 ∴方程 4x2-4x+1=0 的两根为 x1=x2= . 2 1 将 x= 代入 y=4x2 得 y=1,故选 C. 2

x2 y2 12. 抛物线 y2=2x 的焦点为 F,其准线经过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点,点 M 为这两条曲线的一个交 a b 点,且|MF|=2,则双曲线的离心率为( A. 10 2 B.2 ) C. 5 D. 5 2

1 1 1 [答案] A[解析] F( ,0),l:x=- ,由题意知 a= . 2 2 2 9 4 3 1 3 由抛物线的定义知,xM-(- )=2,∴xM= ,∴y2 M=3,∵点(xM,yM)在双曲线上,∴ - 2=1, 2 2 1 b 4
-7-

3 5 c2 5 5 10 ∴b2= ,∴c2=a2+b2= ,∴e2= 2= ×4= ,∴e= . 8 8 a 8 2 2 13.已知 A、B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 为坐标原点,如果|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦 点 F,则直线 AB 的方程是( A.x-p=0 ) C.2x-5p=0 D.2x-3p=0

B.4x-3p=0

[答案] C[解析] 如图所示: ∵F 为垂心,F 为焦点,OA=OB,∴OF 垂直平分 AB. ∴AB 为垂直于 x 轴的直线设 A 为(2pt2,2pt)(t>0),B 为(2pt2,-2pt), ∵F 为垂心,∴OB⊥AF,∴kOB· kAF=-1,即 -?2pt?2 5 =-1,解得 t2= p 4 ?2pt2- ?· 2pt2 2

5 ∴AB 的方程为 x=2pt2= p,∴选 C. 2 二.填空题 14. 抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛物线方程为________. 解析 ∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍.∴所求抛物线方程为 x2=± 16y.答案 x2=± 16y

→ → 15. 已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A 是抛物线上一点, 若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标是________.
2 y02 y02 → y0 → 解析 ∵抛物线的焦点为 F(1,0),设 A( ,y0),则OA=( ,y0),AF=(1- ,-y0), 4 4 4

→ → 由OA·AF=-4,得 y0=± 2,∴点 A 的坐标是(1,2)或(1,-2).答案

(1,2)或(1,-2)

16. 边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线方程是________. 解析 该等边三角形的高为 3 3 1? ? 3 1? ? .因而 A 点坐标为?± , ?或?± ,- ?.可设抛物线方程为 2 2 2 2 2? ? ? ? 3 3 3 2 2 .因而所求抛物线方程为 y =± x,答案 y =± x 12 6 6

y2=2px(p≠0).A 在抛物线上,因而 p=±

17. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点, 若 AB 的中点为(2,2),则直线 l 的方程为________. 解析 抛物线的方程为 y2=4x,设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y12=4x1, y1-y2 ? 4 则有 x1≠x2,? 两式相减得,y12-y22=4(x1-x2),∴ = =1, 2 x1-x2 y1+y2 ? ?y2 =4x2.
∴直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x.答案 y=x .

→ → 18. 已知点 A(2,0)、 B(4,0), 动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动, 则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是 [答案] (0,0)[解析] 设 P?
2 2 ?-y2 ? → ? y ? → ? y ? ,y?,则AP=?- 4 -2,y?,BP=?- 4 -4,y?, ? 4 ?

-8-

2 2 4 → → ? y ?-y -4?+y2= y +5y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). AP· BP=?- 4 -2? ?? 4 ? 16 2

19. 已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直线的倾斜角是__________________. [答案] π 3π 2p 6 1 或 [解析] 设直线的倾斜角为 θ,由题意得 12= 2 = 2 ,∴sin2θ= , 4 4 sin θ sin θ 2

2 π 3π ∴sinθ=± ,∵θ∈[0,π),∴θ= 或 . 2 4 4 20.抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3, 那么|PF|=__________________. [答案] 8[解析] 如图,kAF=- 3, ∴∠AFO=60° ,∵|BF|=4,∴|AB|=4 3,即 P 点的纵坐标为 4 3, ∴(4 3)2=8x,∴x=6,∴|PA|=8=|PF|. 三.解答题 21. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为 4; (2)顶点是双曲线 16x2-9y2=144 的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴. p p 解:(1)由抛物线的标准方程对应的图形可知:顶点到准线的距离为 ,∴ =4,∴p=8. 2 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y2=± 16x 或 x2=± 16y. x2 y2 (2)已知双曲线方程 16x2-9y2=144 可化为标准形式为 - =1,其中心为原点,左顶点为(-3,0), 9 16 ∴依题意抛物线顶点在原点,准线为 x=-3.∴所求抛物线的焦点在 x 轴正半轴, p ∴可设所求抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由抛物线的准线方程可知 =3, 2 ∴p=6,∴所求抛物线的标准方程为 y2=12x.

高二上学期数学练习题(11) (抛物线的简单几何性质参考答案)
班级 姓名 学号 (5—10 页) 22. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15,求抛物线的方程. 解:依题意可设所求抛物线的方程为 y2=2 m x 则由方程组 ?

? m ? 0? ,

? y 2 ? 2mx ? y ? 2x ?1

消去 y 并整理可得:

4x2-(2 m -4)x+1=0……(*),设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 , x2 是方程(*)的两个根,
-9-

∴x1+x2 =

2 m?2 1 ? 2 m ? 4 ,x1x2= , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ?1 ? 0 ,即: m(m ? 4) ? 0 , 4 2

∴ m ? 0,或 m ? 4 , |AB|= 1+k2|x1-x2|= 1 ? 2 ?
2
2

? x1 ? x2 ? =

5 (x1+x2)2-4x1x2

= 5? ?

1 ?m?2? ? ? 4 ? = 15. 4 ? 2 ?



m2 ? m ? 3 ,方程两边平方去根号并整理可得 m2 ? 4m ? 12 ? 0 , 4

解之得: m ? ?2, 或 m ? 6 .∴所求抛物线的方程为 y2=-4x 或 y2=12x. 23. 已知△AOB 的一个顶点为抛物线 y2=2x 的顶点 O,A、B 两点都在抛物线上,且∠AOB=90°. (1)证明直线 AB 必过一定点; (2)求△AOB 面积的最小值. 1 (1)证明:依题意可设 OA 所在直线的方程为 y=kx(k≠0),则直线 OB 的方程为 y=- x, k
? ? ?y=kx, ?x=0, 由解方程组? 2 可得? 或 ?y =2x, ?y=0, ? ?

?x=k , ? 2 ?y=k,
2

2

2 2 ∴A 点的坐标为( 2, ). k k 1 ? ?y=-kx, 同样解方程组? 可得 B 点的坐标为(2k2,-2k). 2 ? ?y =2x, ∴AB 所在直线两点式方程为

y ? 2k x ? 2k 2 ? , 2 2 2 ? 2k ? 2k k k2

去分母化简并整理,得 ?

?1 ? ? k ? y ? (2 ? x) ? 0 ?k ?

不论实数 k 取任何不等于 0 的实数,当 x=2,且 y=0 时,上式恒成立, ∴直线恒过定点 P(2,0). (2)解:由(1)可知 AB 所在直线过定点 P(2,0),∴可设 AB 所在直线的方程为 x=my+2.
? ?x=my+2, 由方程组? 2 消去 x 并整理得 y2-2my-4=0……(*), ?y =2x, ?

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是方程(*)的两个根,

- 10 -

∴y1+y2=2m,y1y2=-4<0,由图知 y1 ? 0, y2 ? 0 ∴|y1-y2|= (y1-y2)2= (y1+y2)2-4y1y2= (2m)2+16=2 m2+4. 1 ∴S△AOB= ×|OP|×(|y1|+|y2|) 2 1 1 = |OP|·|y1-y2|= ×2×2 m2+4=2 m2+4. 2 2 ∴当 m=0 时,△AOB 的面积取得最小值为 4. 24. 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值.
2 ? ?y =-x 解:(1)如图所示,由方程组? , y = k ? x + 1 ? ? ?

消去 x 并整理可得,ky2+y-k=0……(*) 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 y1 , y2 是方程(*)的两个根, 1 ∴由根与系数的关系可得 y1· y2=-1<0,y1+y2=- ,由图知 y1 ? 0, y2 ? 0 k ∵A,B 在抛物线 y2=-x 上,
2 2 2 ∴y2 y2=x1x2. 1=-x1,y2=-x2,∴y1·

y1 y2 y1y2 1 ∵kOA· kOB= · = = =-1,∴OA⊥OB. x1 x2 x1x2 y1y2 (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). 1 1 1 ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN= |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON|· |y1-y2|, 2 2 2 1 1 ∴S△OAB= · 1· ?y1+y2?2-4y1y2= 2 2 ∵S△OAB= 10,∴ 10= 1 2 1
2

1 ?- ?2+4. k

1 +4,解之得 k=± . k 6

- 11 -


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