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【2012黄冈中学三模】湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试(数学文解析版)


湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试
数学(文科)

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
?x 1.已知集合 A ? ? y | y ? 2 , x ? 0 ? , B ? ? x | y ? x 2 ? ,则 A ? B ? (

? ?

1

? ?

) D. ? 0, ? ? ?

A. ?1, ? ? ?

B. ? 1, ? ? ?

C.

? 0, ? ? ?


? ? ? ? ? 2.已知向量 a ? ( 2, ? 1) , a ? b ? 1 0 , a ? b ?

? 5 ,则 b ? (

A.20 3.如果复数 A.0
2 ? bi 1? i

B. 40

C. 2 1 0

D. 2 5 )

( b ? R , i为 虚 数 单 位 ) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于(

B.1

C.2

D.3 ) D. a ? 5

2 4.命题“ ? x ? [1, 2 ], x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( .......

A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 5.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( ) A . 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B . 梯形的直观图可能是平行四边形 C . 矩形的直观图可能是梯形 D . 正方形的直观图可能是平行四边形 6.先将函数 f ( x ) ? sin x cos x 的图像向左平移 横坐标压缩为原来的 一个增区间可能是( A. ( ? ? , 0 ) B. ( 0 ,
?
2
1 2

? 4

个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变,

,得到函数 g ( x ) 的图像.则 g ( x ) 的 )
)

开始
n ? 1, S ? 1

C. (

?
2

,? )

D. (

? ?
, 4 2

)
n ? n ?1

7.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A. 3 B. ? 2 C. 4 D. 8

S ? S ? ? ? 1? n
n

n ? 5



否 输出 S

结束

-1-

8.已知 a ? b , 函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b ) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x ) ? lo g a ? x ? b ? 的图象可能为( )

9.直线 4 k x ? 4 y ? k ? 0 ( k ? R )与抛物线 y 2 ? x 交于 A 、 B 两点,若 | A B |? 4 ,则弦 AB 的中点到直线 x ? A.
7 4

1 2

? 0 的距离等于(

) C.
9 4

B. 2

D. 4
3 2

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? (0 , ) 时,
3 f ( x ) ? sin ? x , f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , 6 ? 上的零点个数是( 2



A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11.如图是 2012 年某高校自主招生面试环节中,7 位评委对某考生打 出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的 平均数为____,方差为____.

12. 双 曲 线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的 一 条 渐 近 线 方 程 为

y ?

2 2

x ,则它的离心率 e ? ____.

13.2012 年黄冈中学春季球类运动会的篮球决赛需要两名学生裁判, 经过两轮筛选后有来自高 二的 3 名同学和高三的 3 名同学入围。从这 6 名同学中抽取 2 人为最终人选,至少有一名高 二的同学的概率是____. 14.已知实数 x , y 满足 ?
? y2 ? x ? 0 ? x? y ? 2

,则 2 x ? y 的最小值为____,最大值为____.

-2-

15.已知如下等式:
3?4 ? 1 7
2

?3

2

?4

2

?,
3

3 ? 3? 4 ? 4 ?
2

1

?3 7
2

?4

3

?


4

3 ? 3 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ?
3 2 3

1

?3 7
3

?4

4

?
1 7



3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ?
4 3 2 2 4

?3

5

?4

5

?



??

则由上述等式可归纳得到: 3 n ? 3 n ?1 ? 4 ? 3 n ? 2 ? 4 2 ? ? ? ? ? 1 ? 4 n ? ____( n ?
n

N

*

).

16.若直线 y ? kx ? 1 和圆 O : x ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点(其中 O 为坐标原点) ,且
2 2

? A O B ? 60 ,则实数 k 的值为____.

?

17.有 10 台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.现有两种工作方案:第一种方 案,同时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后逐台投入,每一台 投入后都连续工作至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案时, 第一台投入工作的时间恰好为最后一台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时第一台 收割机投入工作的时间为 小时. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 已知 ? A B C 的角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,设向量 m ? ( a , b ) ,
? ?? n ? (sin B , sin A ) , p ? ( b ? 2, a ? 2 ) . ?? ? (Ⅰ)若 m // n ,求证: ? A B C 为等腰三角形;

??

(Ⅱ)若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ? C ?

??

??

?
3

,求 ? A B C 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 1 ?
2
n ?1

an
n

an ? 2

( n ? N ? ).

? 2n ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)设 b n ?
1 n?2
n ?1

a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .

-3-

20.(本小题满分 13)
D1 C1 B1 E

如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, E 、
F 分别为 D D 1 、 D B 的中点.

A1

(Ⅰ)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (Ⅱ)求证: E F ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? E F B1 的体积. 21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

D F A B

C

?

y b
3 2

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e .

(Ⅰ)若 e ?

,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点,若 A F2 ? B F 2 ? 0 ,且 取值范围. 22.(本小题满分 14 分)
2 x 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) e .

???? ???? ? ?

2 2

?e?

3 2

,求 k 的

(Ⅰ)如果 f ( x ) 定义在区间 [ ? 2 , t ]( t ? ? 2 ) 上,那么 ①当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; ②设 m ? f ( ? 2 ), n ? f ( t ) .试证明: m ? n ;
x (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 2 ) e ,当 x ? 1 时,试判断方程 g ( x ) ? x 根的个数.

-4-

数学(文)三模试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ? y | y ? 2 A. ?1, ? ? ?
?x

1 ? ? , x ? 0 ? , B ? ? x | y ? x 2 ? ,则 A ? B ? ( ? ?

) D. ? 0, ? ? ?

B. ? 1, ? ? ?

C.

? 0, ? ? ?

【答案】B,解:集合 A ? ? 1, ? ? ? , B ? ? 0, ? ? ? ,故答案为 B. 2.已知向量 a ? ( 2, ? 1) , a ? b ? 1 0 , a ? b ? A.20 B. 40
? ? 2 (a ? b ) ?

?

? ?

?

?

? 5 ,则 b ? (

) D. 2 5
? 5 ,解得 b ? 2 5 .

? ? 【答案】D,解: a ? b ?

C. 2 1 0 ?2 ? ? ?2 a ? 2a ? b ? b ?

3.如果复数 A.0

2 ? bi 1? i

( b ? R , i为 虚 数 单 位 ) 的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于(



B.1
2 ? bi 1? i ? ( 2 ? b i )(1 ? i ) 2 ?

C.2
2 ? b ? ( 2 ? b )i 2

D.3 ,则 2 ? b ? 2 ? b ,故选 A. ) D. a ? 5

【答案】A,解:

2 4.命题“ ? x ? [1, 2 ], x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是(

A. a ? 4

B. a ? 4
2

C. a ? 5

【答案】C,解:若命题为真,则 a ? x ,故 a ? 4 ,故答案为 C. 5.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( ) A . 互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线 B . 梯形的直观图可能是平行四边形 C . 矩形的直观图可能是梯形 D . 正方形的直观图可能是平行四边形 【答案】D,解:由斜二测画法的规则可知答案为 D. 6.先将函数 f ( x ) ? sin x cos x 的图像向左平移 坐标压缩为原来的 个增区间可能是( A. ( ? ? , 0 ) B. ( 0 ,
1 2 [ k? 2 ?
1 2

? 4

个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横

,得到函数 g ( x ) 的图像.则 g ( x ) 的一 ) ?
2

开始
n ? 1, S ? 1

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ?
, 4 2

)
n ? n ?1

解 : g (x) ?
?
4 , k? 2

c o4 xs

, 它 的 递 增 区 间 为


]( k ? Z )

.故D真.

S ? S ? ? ? 1? n
n

n ? 5

否 输出 S

-5-

结束

7.运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A. 3 B. ? 2 C. 4 D. 8 【答案】-2,解: S ? 1 ? ( ? 1) ? 2 ? ( ? 3) ? 4 ? ( ? 5) ? ? 2 . 8.已知 a ? b , 函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b ) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x ) ? lo g a ? x ? b ? 的图象可能为( )

【答案】B,解:根据 f ( x ) 的图像知 0 ? b ? 1 , a ? 1 ,则 g ( x ) 单调递增,且由 h ( x ) ? lo g a x 向左平移了 b 的单位,故选 B. 9.直线 4 k x ? 4 y ? k ? 0 ( k ? R )与抛物线 y 2 ? x 交于 A 、 B 两点,若 | A B |? 4 ,则弦 AB 的中点到直线 x ? A.
7 4

1 2

? 0 的距离等于(

) C.
1
9 4

B. 2

D. 4

【答案】C,解:直线 4 k x ? 4 y ? k ? 0 过定点 F ( , 0 ) 恰好为抛物线 y 2 ? x 的焦点,根据抛
4

物线的定义知, A B 的中点到准线 x ? ? 弦 的距离为 2 ?
1 4 ? 9 4

1 4

的距离 d ?

1 2

AB ? 2 , 故到直线 x ?

1 2

?0

.
3 2

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x ? (0 , ) 时,
3 f ( x ) ? sin ? x , f ( ) ? 0 ,则函数 f ( x ) 在区间 ? 0 , 6 ? 上的零点个数是( 2



A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

-6-

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.如图是 2012 年某高校自主招生面试环节中,7 位评委对某考生 打出的分数茎叶统计图.去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数 据的平均数为____,和方差为____.

【答案】85,1.6 解:平均数为 (8 4 ? 8 4 ? 8 6 ? 8 4 ? 8 7 ) ? 8 5 ,
5

1

方差为

1

? (8 4 ? 8 5) 2 ? (8 4 ? 8 5) 2 ? (8 6 ? 8 5) 2 ? (8 4 ? 8 5) 2 ? (8 7 ? 8 5) 2 ? ? 1 .6 ? 5?

-7-

-8-

12. 双曲线
e ? ____.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线方程为 y ?

2 2

x ,则它的离心率

【答案】

6 2

,解:依题意知

b a

?

2 2

,所以 e ?

c a

?

a ?b
2

2

a

2

?

6 2

.

13.2012 年黄冈中学春季球类运动会的篮球决赛需要两名学生裁判, 经过两轮筛选后有来自高 二的 3 名同学和高三的 3 名同学入围。从这 6 名同学中抽取 2 人为最终人选,至少有一名高 二的同学的概率是____. 【答案】
4 5

,解:从 6 个人中抽取 2 人得到的基本事件总数为 15,而含 1 名高二的同学的情
12 15 ? 4 5

况有 9 种,含 2 名高二同学的情况有 3 种情况,故所求的概率 p ?

.

? y2 ? x ? 0 14.已知实数 x , y 满足 ? ,则 2 x ? y 的最小值为____,最大值为____. ? x? y ? 2

【答案】 ?

1 8

, 6 ,解:作出可行域,联立 y ? x ? 0 和 x ? y ? 2 解得两交点分别为 A (1,1) ,
2

B (4, ? 2) ,平移直线 2 x ? y ? 0 ,当经过 B (4, ? 2) 时,有 ( 2 x ? y ) m ax ? 6 ;当平移至与
2 抛物线 y ? x ? 0 相切时,有 ( 2 x ? y ) m in ? ?

1 8

。故最小值、最大值分别为.

15.已知如下等式:

3?4 ?

1

?3 7

2

?4

2

?,

3 ? 3? 4 ? 4 ?
2 2

1

?3 7

3

?4

3

?



3 ? 3 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ?
3 2 2 3

1

?3 7

4

?4

4

?



3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3? 4 ? 4 ?
4 3 2 2 3 4

1 7

?3

5

?4

5

?



??

-9-

则由上述等式可归纳得到 3 n ? 3 n ?1 ? 4 ? 3 n ? 2 ? 4 2 ? ? ? ? ? 1 ? 4 n ? ____( n ?
n

N

*

).

【解析】由归纳推理,可得原式= [ 3
7
2

1

n ?1

? (?4)

n ?1

]( n ? N )
*



16.若直线 y ? kx ? 1 和圆 O : x ? y ? 1 相交于 A 、 B 两点(其中 O 为坐标原点) ,且
2

? A O B ? 60 ,则实数 k 的值为____.
3 3

?

【答案】 k ? ?

, 解 : 圆 心 O 到 直 线 y ? k x? 1 的 距 离 d ? 1 ? s i n 6 0 ?

?

3 2

,则

1 1? k
2

?

3 2

,解得 k ? ?

3 3

.

17.有 10 台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.现有两种工作方案:第一种方 案,同时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后逐台投入,每一台 投入后都连续工作至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案时, 第一台投入工作的时间恰好为最后一台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时第一台 收割机投入工作的时间为 小时. 【答案】40 解:设相同时间间隔为 t 1 小时,第 10 台投入工作至收割完成为 t 2 小时,则第
1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 台投入工作的时间依次为 9 t 1 ? t 2 ,8 t 1 ? t 2 , ? , t 1 ? t 2 小时.因采用第一种方案

总 共 用 24 小 时 完 成 , 所 以 , 每 台 收 割 机 每 小 时 完 成 收 割 任 务 的
9 t1 ? t 2 ? 5 t 2 , 1 240

1 240

.依题意有

[( 9 t 1 ? t 2 ) ? ( 8 t 1 ? t 2 ) ? ? ? t 2 ] ? 1 , 解得 t 2 ? 8 . 故共需 5 t 2 ? 40 (小时) .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 12 分) 已知 ? A B C 的角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,设向量 m ? ( a , b ) ,
? ?? n ? (sin B , sin A ) , p ? ( b ? 2, a ? 2 ) . ?? ? (1)若 m // n ,求证: ? A B C 为等腰三角形;

??

(2) 若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 , ? C ?
u v v

??

??

?
3

,求 ? A B C 的面积 .

【解析】 (1) Q m // n ,? a sin A ? b sin B , ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b ????5 分 2R 2R ? ? A B C 为等腰三角形 ?????????????????6 分 u u v v (2)由题意可知 m // p ? 0, 即 a ( b ? 2 ) ? b ( a ? 2 ) ? 0 ,? a ? b ? a b ??8 分 由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? ( a ? b ) ? 3 ab
2 2 2

即a ?

a

? b?

b

即 (ab ) ? 3ab ? 4 ? 0
2

? ab ? 4( 舍 去 ab ? ? 1) ??????????10 分

- 10 -

?S ?

1 2

a b sin C ?

1 2

? 4 ? sin

?
3

?

3 ???????????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? 1 ?
2
n ?1

an
n

an ? 2

( n ? N ? ).

? 2n ? (Ⅰ)证明:数列 ? ? 是等差数列; ? an ?

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)设 b n ?
1 n?2
n ?1

a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .
a n ?1 2
n ?1

【解析】 (Ⅰ)由已知可得

?

an an ? 2
n

,即

2

n ?1

?

2

n

? 1 ,即

2

n ?1

?

2

n

?1

a n ?1

an

a n ?1

an

∴ 数列 ?
2
n

? 2n ? ? 是公差为 1 的等差数列 ? an ?
2 a1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ,∴ a n ?
2
n

????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

an

n ?1

?????????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 b n ?

1 2 n ( n ? 1)
1 (? 2

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n ?1

? Sn ?

1 ? 1 ( 1? ) ? ? 2? 2

n 1 1 1? ?) ?)? ? ? ( . ? 3 n n? ? 1 2 (n ? 1 )

????????12 分

20.(本小题满分 13) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中,
E 、 F 分别为 D D 1 、 D B 的中点.
A1

D1 B1 E

C1

(Ⅰ)求证: E F //平面 A B C 1 D 1 ; (Ⅱ)求证: E F ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? E F B1 的体积.
A

D F B

C

【解析】证明: (Ⅰ)连结 B D1 ,在 ? DD 1 B 中, E 、 F 分别为 D 1 D , D B 的中点,则
? ? D 1 B ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? E F // 平 面 A B C 1 D 1 E F ? 平 面 A B C 1 D1 ? ? E F // D 1 B
D1 A1 E B1 C1

(Ⅱ)
D F A B C

- 11 -

? ? B1 C ? B C 1 ? ? ? A B , B1 C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ? A B ? B C1 ? B ?
B1C ? B D 1 ? B1 C ? 平 面 A B C 1 D 1 ? ?? ? ? E F ? B1 C E F // B D 1 ? B D1 ? 平 面 A B C 1 D1 ?

B1 C ? A B

(Ⅲ)? C F ? 平 面 B D D1 B1
? C F ? 平 面 E F B1
? EF ? 1 2 B D1 ?
2


3 , B1 F ?
2

C F ? B F?
2 2

2
( 2) ? 2
2 2

B F ? B B1 ?
2

?

6

B1 E ?

B1 D 1 ? D 1 E

?

1 ? (2 2 ) ? 3
2

∴ E F 2 ? B1 F 2 ? B1 E 2 即 ? E F B1 ? 9 0 ?
? V C ? E F B1 ?

1 3

C F ? S ? EFB = 1

1 3

?

1 2

? E F ? B1 F ? C F =

1 3

?

1 2

?

3?

6?

2 ?1

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e .

(Ⅰ)若 e ?

3 2

,求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点,若 A F2 ? B F 2 ? 0 ,且 取值范围. 【解析】

???? ???? ? ?

2 2

?e?

3 2

,求 k 的

- 12 -

22.(本小题满分 14 分)
2 x 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) e .

(Ⅰ)如果 f ( x ) 定义在区间 [ ? 2 , t ]( t ? ? 2 ) 上,那么 ①当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的单调区间; ②设 m ? f ( ? 2 ), n ? f ( t ) .试证明: m ? n ;
x (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? 2 ) e ,当 x ? 1 时,试判断方程 g ( x ) ? x 根的个数.

- 13 -

- 14 -


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湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟数学文解析版试题

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湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试试题(数学理)

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