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2015-2016学年广东省韶关市高二下学期期末检测数学(理)试卷


2015-2016 学年第二学期末检测 高二数学(理科)试题
说明: 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(解答题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔 写在答卷上。 2.第 I 卷每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1) 设集合 M ? ??1,1 ? , N ? ? x x( x ? ) ? 0? ,则下列结论正确的是( )

? ?

1 2

? ?

(A) N ? M
2 ?

(B) N ? M ? ?
2 ?

(C) M ? N

(D) M ? N ? R 开始

(2) 化简 sin 75 ? cos 75 的值为( ) S=0 (A)

3 2

(B) 1

(C) ?

2 2

(D)

2 2

i=3 S=S+i i=i+1 否

(3) 如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为( (A) 32 (B) 42 (C) 52

) (D) 63

(4) 设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? ,

m ? ? ,则下列命题中正确的是(
(A) 若 l ? ? ,则 ? ? ? (C) 若 l //? ,则 ? //?



i>10 是 输出 S 结束

(B) 若 ? ? ? ,则 l ? m (D) 若 ? //? ,则 l //m

(5)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元)
^

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程 y ? bx ? a 中的 b ? 9.4 ,据此模型预计广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A. 63 .6 万元 B. 65 .5 万元 C. 67 .7 万元 D. 72 .0 万元 )

(6)已知 a ? 5, b ? (1, 2) ,且 a ? b ,则 a 的坐标为(

?

?

(A) (?2,?1) 或 (2,1)

(B) (?6,3)

(C) (1,2)

(D) (2,?1) 或 (?2,1)

(7) 某几何体的三视图如图所示,则它的体积等于( ) (A) 12? (B) 45? (C) 57? (D) 81?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (8) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y ? 1 的 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
最大值为( ) (A) 3 (B) ? 1
2x

(C) 1

(D) 2

(9) 设 f ( x) ? e , 若函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称, 则 g ( x) ? ( ) (B)

(A) 2 ln x

1 ln x 2

(C) ln(2 x)

(D) ln( x )

1 2

(10) 已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , b ? 2 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为(
(A)

) (D)

1 ? 3

(B)

1 ? 6

(C)

5? 6

1 5? ?或 6 6

(11)设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0)的右焦点为 F ,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两 a 2 b2
) (D)

渐 近 线 于 A, B 两 点 , 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P , 设 O 为 坐 标 原 点 , 若

??? ? ??? ? ??? ? 3 OP ? ?OA ? ?OB , ? ? ? ? ,则双曲线的离心率为( 16
(A)

2 3 3

(B)

3 5 5

(C)

3 2 2

9 8

2 (12) 已知函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 满足 2 f ( x ) ? xf ? ( x) ? x ( x? R),则对 ?x ? R 都有


2


2

(A) x f ( x) ? 0 (B) x f ( x) ? 0

(C) x [ f ( x) ?1] ? 0
2

(D) x [ f ( x) ?1] ? 0
2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) . (13)复数 z 满足 z (1 ? i) ? ?1 ? i ,则 z ? _____________. (14) 二项式 ( x ?

1 8 ) 的展开式 x 6 的系数为 x
3

(15) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? b 是奇函数,且 f ? x ? 图象在点 1, f ?1? 的处的切线过点

?

?

? 2, 6 ? ,则

a?b ?
2

.
2

(16) 已知圆 C1: ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1,圆 C2: ( x ? 6)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上

的动点, P 为直线 x ? y ? 2 ? 0 上的动点,则 PM ? PN 的最大值为

.

三.解答题(本大题共 6 题,满分 70 分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . (17)(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅰ)求函数的单调增区间; (Ⅱ)若 f (? ) ?

?
3

) ? 3 cos( 2 x ?

?
3

).

6 ? , ? ? (0, ) ,求 cos? 的值. 5 4

(18)(本小题满分 12 分)

2 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a2 ? a1 ? 6 , 9a3 ? a2 a6 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an ,数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn , 求证 Tn ? 2 bn

(19)(本小题满分 12 分) 某厂为了解甲、 乙两条生产线生产的产品的质量, 从两条生产线生产的产品中随机抽取 各 10 件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:

甲 9 39658 1513 0 1 2



8676925 214

规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (1)根据样本数据,计算甲、乙两条生产线产品质量的均值与方差,并说明哪条生产 线的产品的质量相对稳定; (2)从乙厂抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数 ? 的 分布列及其数学期望 E (? ) ;

(20)(本小题满分 12 分) 如下图,在长方体 ABCD ? A1B 1C1D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. (Ⅰ)求证: C1 D ∥平面 AB1E ; (Ⅱ)求证: BC1 ? B1E ; (Ⅲ) 若 AB ? 2 ,求二面角 E ? AB1 ? B 的正切值

A1 B1 C1

D1

A E B
(21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 ? :

D C

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点与短轴两端点构成一个面积为 2 的等腰直 a 2 b2

角三角形, O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)设点 A 在椭圆 ? 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB ,求证: 值; (Ⅲ)设点 C 在椭圆 ? 上运动, OC ? OD ,且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d ? 0 ? d ? 2? , 求动点 D 的轨迹方程.

1 1 ? 为定 2 OA OB 2

(22) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) .
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间. (Ⅱ)若 F ( x) ? f ( x) ? ln 2 有两个极值点 x1 、 x2 且 x1 ? x2 ,求证 F ( x2 ) ?

1 . 4

2015-2016 学年第二学期末检测试高二数学(理科) 参考解答和评分标准
说明: 1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分 标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正 确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:CACAB DCDBB AA 1.解析: N ? ? x x( x ? ) ? 0? ? ? x | x ? 0, 或x ?

? ?

1 2

? ?

? ?

1? ? ,所以 M ? N ,答案:C 2? 3 ,答案:A 2

? ? 2.解析: sin 75 ? cos 75 ? ? cos 2 ? 75 ? cos30 ?
2 ? 2 ?

3. 解析:运行算法,第一次 S ? 3, i ? 4 , i ? 10 ;第二次 S ? 3 ? 4, i ? 5 , i ? 10 ;第三次

S ? 3 ? 4 ? 5, i ? 6 , i ? 10 ;第四次 S ? 3 ? 4 ? 5 ? 6, i ? 7 , i ? 10 ; 第五次 S ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7, i ? 8 , i ? 10 ;第六次 S ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, i ? 9 , i ? 10 ; 10 , ; 1 S ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 i ? 7 ,8 i ?9 第 七 次 第 0八 次 S ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10, i ? 11 , i ? 10 ;停止,此时输出 S ? 52 ,应选 C
4.. 解析:由面面垂直的判定定理可知选项 A 正确。答案:A 5. 解析:由表中数据可得, x ? 3.5, y ? 42 ,而回归方程经过样本中心 ( x, y ) ,代入回归方 程, a ? 9.1 ,从而当 x ? 6 时, y ? 6*9.4 ? 9.1 ? 65.5 万元. 答案:B 6. 解析: a ? ( x, y) ? (1,2) ? x ? 2 y ? 0 又 a ? 得?

x 2 ? y 2 ? 5,

?x ? 2 ? x ? ?2 或? ,故 a ? (2,?1) 或 a ? (?2,1) ,答案:D y ? ? 1 y ? 1 ? ?
1 3

7. 解析: 由三视图可知该几何体为一个圆柱与一个等底的圆锥组合而成, 底面半径为 r ? 3 ,
2 2 圆锥的高为 h ? 52 ? 32 ? 4 ,从而它的体积为 V ? 3 ? ? 5 ? ? 3 ? ? 4 ? 57? ,答案:C

8. 解析:作图如右,当直线 z ? 2 x ? y ? 1 的图像经 过点 (1,1) 时, z max ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 答案:D
2

9. 解析:因为函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x ) 的图象关
2

1

2 1

于直张 y ? x 对称,所以函数 g ( x) 与 f ( x ) 互为反函数,又已知指数函数 f ( x) ? (e2 ) x 的反 函 数 为 对 数 函 数 y ? loge2 x , 由 换 底 公 式 可 得 y ? log e2 x ?

ln x ln x ? ,从而 ln e 2 2

1 g ( x) ? ln x ,答案:B 2 ? 1 1 ? 10. 解析: 2 ? 2( sin B ? cos B) ? 2 sin( B ? ) ,从而 sin( B ? ) ? 1 ,因为 4 4 2 2 ? a b 1 0 ? B ? ? ,所以 B ? ,由正弦定理得 ? ,解得 sin A ? ,又 a ? b ,所以 4 sin A sin B 2
A ? B ,故 A ?

?

6

.

答案 B

11. 解析:由于 P,A,B 三点共线且 OP ? ? OA ? ? OB ,则 1 ? ? ? ? ,又 ? ? ? ?

???

???

???

3 16

,所

? 3 ?= ? ??? 3 ??? 1 ??? bc ? bc bc bc ? 4 (c , ),B (c , ) (c , ) (c , ) 以? , 易得 A 由 OP ? OA ? OB 得 P , 将点 P 代 a a 4 4 2a 2a ??= 1 ? ? 4
入双曲线方程中得答案为

2 3 3
2

. 答案 A
2

12. 解析:构造函数 F ( x) ? x f ( x) ,则 F '( x) ? 2xf ( x) ? x f '( x) ? x(2 f ( x) ? xf '( x)) , 当 x ? 0 时, F '( x) ? x ? 0 , F ( x) 递增;当 x ? 0 时, F '( x) ? x ? 0 , F ( x) 递减,所以
3 3

F ( x) ? x2 f ( x) 在 x ? 0 时取最小值,从而 F ( x) ? x2 f ( x) ? F (0) ? 0 ,故选 A.
二、填空题: 题号 答案 13. 解析: z ? 13 14 15 16

1

?8

1

5?2

?1 ? i ?1 ? i 2 ?1 ? i ,则 z ? ? ? ?1 1? i 1? i 1? i 2
r 8? r

14. 解 析 : Tr ?1 ? C8 x
1 (?1)1 C8 ? ?8

1 (? ) r ? (?1) r C8r x 8? 2 r , 8 ? 2r ? 6 ? r ? 1 , 故 x 6 的 系 数 为 x

3 3 15. 解析:由函数 f ? x ? ? ax ? x ? b 是奇函数,得 f (0) ? 0 ,从而 b ? 0 , f ? x ? ? ax ? x

的导数 f ' ? x ? ? 3ax ?1 ,在 1 , f? 1 ? 处的切线方程为 y ? (a ? 1) ? (3a ? 1)( x ?1) ,由已知
2

?

?

切线过点 ? 2, 6 ? ,代入可得 a ? 1 ,故 a ? b ? 1 16. 解析:根据圆的对称性可将 PM ? PN 的最大值转化为 PC1 ? PC2 的最大值问题, 由于点 C1 (1 -1) ,则 PC1 ? PC2 = PC1? ? PC2 ,连 , 3) 关于 x ? y ? 2 ? 0 的对称点 C1?(5,

?C2 与直线 x ? y ? 2 ? 0 交于点 P ? 接 C1 0 ,此时 PC1 ? PC2 取得最大值为 C1C2 = 5 ,
所以 PM ? PN
max

? 5?2.

三、解答题 17 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? 3 cos( 2 x ?

?
3

) ? 2 sin( 2 x ?

) ? 2 sin 2 x 3 3 ????3 分

?

?

?

因函数 y ? sin x 的单调增区间为 [? 故由 ? 得?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], k ? Z

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
2

? 2 k? , k ? Z

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z , ???? 4 分

? k? ] , k ? Z , ????5 分 4 4 6 3 (Ⅱ)解 1: f (? ) ? 2 sin 2? ? ? sin 2? ? , ???? 7 分 5 5 ? 4 2 又 ? ? (0, ) ,故 cos 2? ? ? 2 cos ? ? 1 ????9 分 4 5
函数的单调增区间: [ ?

?

? k? ,

?

? cos? ?

3 10 , ????10 分 10
6 3 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , ????7 分 5 5

解 2: f (? ) ? 2 sin 2? ?

2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 L L L L 8 分

消去 sin ? ,得 cos ? ? cos ? ?
4 2

9 1 9 ? 0 ,解得 cos 2 ? ? 或 cos 2 ? ? , 100 10 10

从而 cos ? ? ?

10 3 10 , 或 cos ? ? ? , ????9 分 10 10

因为 ? ? (0,

?
4

) ,所以 cos ? ?

3 10 ????10 分 10
……1 分

18. 解: (1)设 a n 公比为 q ,因为{ a n }的各项均为正数,则 q ? 0

?a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6 ? 2 2 4 5 ?9a3 ? a2 a6 ? 9a1 q ? a1q ? a1q
解得: ?

……3 分

?a1 ? 3 ,………5 分 ?q ? 3
n(n ? 1) 2
………8 分

?an ? a1q n?1 ? 3n ………6 分
(2) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

?

1 2 1 1 ………10 分 ? ? 2( ? ), bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? 2( ? ) ? 2(1 ? ) ? 2 ………12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1

2 19. 解: (1) 设甲、 乙两个车间产品某种元素含量的均值分别为 X 甲 、X 乙 , 方差分别为 s甲 、
2 , s乙

9+13+19+16+15+18+21+25+21+23 =18 , 10 18+16+17+16+19+12+15+22+21+24 =18 , ……… ………2 分 X乙 = 10

X甲 =

2 sn ?

(?9)2 ? (?5) 2 ? 12 ? (?2)2 ? (?3) 2 ? 02 ? 32 ? 7 2 ? 32 ? 52 ? 21.2 , 10 02 ? (?2)2 ? (?1)2 ? (?2)2 ? 12 ? (?6)2 ? (?3)2 ? 42 ? 32 ? 62 ? 11.6 10

2 ? s乙

2 2 由于 s甲 ,所以乙生产线的产品的质量相对稳定; ……… ……5 分 ? s乙

(2)由样本数据可知,乙厂 10 件产品中有 5 件是优等品,故 ? 的取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ?

0 3 1 2 C5 C5 1 C5 C5 5 , ? P ( ? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12 1 3 0 C52C5 C5 C5 5 1 , ? P ( ? ? 0) ? ? 3 3 C10 12 C10 12

P(? ? 0) ?

………………9 分

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

故 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 20.

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 12 12 12 12 2

………12 分

(Ⅰ)证明:由长方体性质可知, B1C1 ∥ BC , BC ∥ AD ,且三者都相等 所以,四边形 B1C1DA 是平行四边形, C1D ∥ D1 A 因为, C1D ? 平面 AB1E , AB1 ? 平面 AB1E 所以, C1 D ∥平面 AB1E ………3 分

(Ⅱ)连结 B 1C ,由长方体性质可知, CD ? 平面 BC1

A1 B1 A E C1

D1

BC1 ? 平面 BC1 , 所以, CD ? BC1
又 AA1 ? AD , 所以, 四边形 BCC1B1 是正方形,BC1 ? B1C

B1C ? CD ? D ,所以, BC1 ? 平面 B1CE B1E ? 平面 B1CE ,所以 BC1 ? B1E .
(Ⅲ)设 F 是线段 AB 中点,连结 EF ………7 分

D C

B

EF ? 平面 AA1B1B 因为, EF ∥ AD , AD ? 平面 AA 1B 1B ,所以, EF ? AB1 , 作 FG ? AB1 , EF ? FG ? F ,
所以, AB1 ? 平 面 EFG , AB1 ? EG ………9 分

A1 B1 G F E C A C1

D1

?EGF 是二面角 E ? AB1 ? B 的平面角
直 角 三 角 形 FGA 中 , AF ?

D

B 1 2 , sin ?AFG ? , 2 3

FG ? AF ? sin ?FAG ?

2 1 6 ? ? 2 6 3
EF 1 ? ? 6 FG 6 6
………11 分

直角三角形 EFG 中, tan ?EGF ?

所以,二面角 E ? AB1 ? B 的正切值 6

………12 分

另解:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x, y, z 轴建立空间坐标系。………8 分
z

则 A(0, 0, 0) , B( 2,0,0) , C ( 2,1,0) , B1 ( 2,0,1)

E(

??? ? ??? ? ??? ? 2 2 ,1, 0) ,1, 0) BC ? (0,1,0) , AB1 ? ( 2,0,1) , AE ? ( 2 2

A1 C1 A

D1

设平面 AB1E 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由 n ? AB1 , n ? AE

?

B1

?

??? ?

?

??? ?

, n ? AB1 ? 0

? ??? ?

? ??? ? n ? AE ? 0
B

y D E C

? ?x ? 2 y ? 0 得:? ? ? 2x ? z ? 0

令 y ? 1 ,可得 x ? ? 2, z ? 2
x

? n ? (? 2,1, 2) ………9 分
? ??? ? ? ??? ? n ? BC (? 2,1, 2) ? (0,1, 0) 1 设向量 n 与 BC 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? ??? ……11 分 ? ? ? 7 7 n ? BC

tan ? ? 6
所以,二面角 E ? AB1 ? B 的正切值为 6 . 21. 解: (1)由条件可得 b ? c ? ………12 分

2 ,a ? 2,

…………………………2 分

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………3 分 椭圆 ? 的方程为 4 2
(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) …4 分 x0

?

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .…7 分 ? = ? = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4 y0 4( x0 ? y0 ) OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0


(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得: 联立①②可得 x0 ?
2

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2



4 y2 4 x2 2 , y ? 0 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2



…………………………9 分

2 2 2 2 2 由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC ? OD =(OC +OD ) ? d

可得

1 1 1 ? ? , 2 2 d OC OD 2

………………………………………………………10 分

将③代入得:

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

?

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

?

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 )
1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .…………………………12 分 2 d 2 d 4
……………1 分

化简得 D 点轨迹方程为: (

22. 解: (Ⅰ)? f ( x) 的定义城 (?1, ??) 又 f ?( x) ? 2 x ?

a 2 x2 ? 2 x ? a ? x ?1 x ?1

……………2 分

1? 当 ? ? 4 ? 8a ? 0 时,即 a ?

1 2 时, 2 x ? 2 x ? a ? 0 , ? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 2
……………3 分

(?1, ??) 递增.
2? . 当 ? ? 4 ? 8a ? 0 , 即 a ?

1 2 时 , 令 f ?( x) ? 0 得 2 x ? 2 x ? a ? 0 , 解 之 2
……………4 分

x1 ?

?1 ? 1 ? 2a ?1 ? 1 ? 2a , x2 ? , 2 2

①当 x1 ?

?1 ? 1 ? 2a ? ?1 时, 1 ? 2a ? 1,1 ? 2a ? 1 ,即 a ? 0 时,x2 ? (?1, ??) , 2

所以在 (?1, x2 ) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减,( x2 , ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) x1 ? (?1, ??) , 递增. ②当 x1 ?

1 ?1 ? 1 ? 2a 即 0 ? a ? 时, 所以在 (?1, x1 ) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递 ? ?1 时, 2 2

增, ( x1 , x2 ) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减,在 ( x2 , ??) 上, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( x2 , ??) 递 增. 综上: ……………5 分

1? 当 a ?

1 时, f ( x ) 的单调增区间为 (?1, ??) ,无减区间. 2 1 2? 当 0 ? a ? 时, f ( x) 单调增区间为 (?1, x1 ) 和 ( x2 , ??) ,减区间为 ( x1 , x2 ) . 2

3? 当 a ? 0 时, f ( x) 的调减区间为 (?1, x2 ) ,增区间为 ( x2 , ??) . ……………6 分

(Ⅱ) F ?( x) ? f ?( x) ?

2 x2 ? 2 x ? a x ?1
1 ?1 ? 1 ? 2a ,且 x2 ? ,………7 分 2 2

若 F ( x) 有两个极值点,由(Ⅰ)知 0 ? a ?

??

1 2 ? x2 ? 0 , a ? ?(2x2 ? 2x2 ) 2

……………8 分 ……………9 分

2 2 ? F ( x2 ) ? x2 ? (2x2 ? 2x2 )ln( x2 ?1) ? ln 2

设 ? ( x) ? x ? (2 x ? 2 x) ln( x ? 1) ? ln 2( ?
2 2

1 ? x ? 0) ……………10 分 2

? ?( x) ? 2 x ? 2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 x
? ?2 ( 2 x? 1) x ln ?(
??

1)

1 1 ? x ? 0 ,? ? x ? 1 ? 1 ,? ln( x ? 1) ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 2 2 1 ?? ?( x) ? 0 ,?? ( x) 在 (? , 0) 递增 ……………11 分 2 1 1 1 1 1 1 ?? ( x) ? ? (? ) ? (? ) 2 ? [2(? ) 2 ? 2(? )]ln(? ? 1) ? ln 2 ? . 2 2 2 2 2 4 1 ? F ( x2 ) ? ? ( x2 ) ? ……………12 分 4


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