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2.3.1与3 直线与平面垂直的判定及性质


2.3.1 直线与平面垂直的判定

知识探究(一):直线与平面垂直的概念 思考1:竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什 么感觉?你还能列举一些类似的实例吗?

旗杆与底面是垂直的

生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

大桥的桥柱与水面垂直

军人与地面垂直<

br />
思考2:将一本书打开直立在桌面上,观察书脊 (想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么状 态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系 如何?

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

思考3:在图形上、符号上怎样表示直线与平 面垂直?

l

α

l ??

知识探究(二):直线与平面垂直的判定

思考1:对于一条直线和一个平面,如果根据定义 来判断它们是否垂直,需要解决什么问题?如何操 作?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办法来判定 直线与平面垂直. 如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保证l⊥α 吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保证l⊥α 吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折 起,把翻折后的纸片竖起放置在桌面上,使BD、 DC与桌面接触,观察折痕AD与桌面的位置关系.

A

A

B

D

C

B C

D

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后直线AD与桌 面所在的平面垂直? A B B D C A D C

?

思考4:由上可知当折痕AD垂直平面α 内的两条 相交直线时,折痕AD与平面α垂直.由此我们是否 能得出直线与平面垂直的判定方法?

二、直线与平面垂直判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线不在多,相交就灵

作用: 判定直线与平面垂直.

记忆:线线垂直,则线面垂直

思考6:如果一条直线垂直于一个平面内的无数 条直线,那么这条直线与这个平面垂直吗?

理论迁移

例1 已知 a // b, a ? ? .求证: b ? ?.
a
b

α

c

d

如果在两条平行线中,有一条垂直于平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面(也可以 作为直线与平面平行的判定)。

观察下面四个图,有什么结论? l l l P
?

?
l

?P
(1)

?
(2)

?

?
(3)

P

?

?P
(4)

(1)、(2):

过空间一点P作

? 的垂线只有一条;

(3)、(4):

过空间一点P作直线l的垂面只有一个;

知识探究(三):直线和平面所成的角
思考1:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也 可能不垂直,如果一条直线和一个平面相交但不 垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平 面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜 线有多少条? l

斜线 斜足
α
P

思考2:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结 垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的 射影.那么斜线l在平面α内的射影有几条?
P l α A B

思考3:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的 角.在实际应用或解题中,怎样去求这个角?
P
斜足

斜线

A

O

? ? ? ? 范围: 0 , 90 ? ?

?
射影

理论迁移:
(课本例2).如图所示, 在正方体ABCD ? A1B1C1D1中, 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1

C1

A1
D

B1

O
C

A

B

知识探究(五) 直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1, BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如 何?它们彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C
B

D1 A1
D

A

思考2:一个平面的垂线有多少条?这些直线彼此 之间具有什么位置关系? a α b O

c

思考3:如果直线a,b都垂直于平面α ,由观察可 知a//b,从理论上如何证明这个结论?

a

b

b' b'

O 证明: 假设b∩α=O, α c b′是经过点O与直线a平行的直线, b与b′确定平面β β 设α∩β =c,则O∈ c ∵ a⊥α, b⊥α ∴ a⊥c, b⊥c 又∵ b′∥ a ∴b′⊥c. 这样在平面β内,经过直线c上同一点O就有 两条直线b, b′与c垂直,显然不可能。 所以假设不成立 b//a

思考5:根据上述分析,得到一个什么结论? 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

上述定理通常叫做直线与平面垂直的性质定理. 用符号语言可表述为:

a ? ? , b ? ? ? a // b

知识小结
1.直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 3.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直于平面内任意一条直线
? ? ? ? 范围: 0 , 90 ? ?

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题


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