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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:综合测试5 第5章]


第五章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中,正确的是( A.复数的模总是正实数 B.复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应 C.如果与复数 z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定

会在第一 象限 D.相等的向量对应着相等的复数 [答案] D [解析] 复数的模大于等于 0,因此 A 不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向 量组成的集合一一对应,因此 B 不对;同理 C 也不正确,因此选 D. b 2.(2012· 陕西理,3)设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+ 为纯虚数” i 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 本题考查了复数的概念. 充分必要条件与分类讨论的思想.由 ab=0 知 a=0 且 b=0 或 a=0 且 b≠0 或 a≠0 且 b b b b=0,当 a=0 且 b≠0 时,复数 a+ 为纯虚数,否则 a+ 为实数,反之若 a+ 为纯虚数, i i i b 则 b≠0 且 a=0,则 ab=0,故“ab=0”是“a+ 为纯虚数”的必要不充分条件,要注意对 i 充分性和必要性的判断. 3.(2014· 广东理,2)已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( A.-3+4i C.3+4i [答案] D [解析] 设 z=x+yi,∴(3+4i)(x+yi)=3x+3yi+4xi-4y=25, B.-3-4i D.3-4i ) )

? ? ?3x-4y=25 ?x=3 ∴? ,? ,∴z=3-4i,选 D. ?4x+3y=0 ?y=-4 ? ?

注意复数的运算中 i2=-1. 1-i 4.复数 z= ,则 ω=z2+z4+z6+z8+z10 的值为( 1+i A.1 C.i [答案] B 1-i 2 [解析] z2=( ) =-1, 1+i ∴w=-1+1-1+1-1=-1. → 5.在复平面内,O 为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线 y=-x 的 → 对称点为点 B,则向量OB对应的复数为( A.-2-i C.1+2i [答案] B → [解析] 点 A(-1,2)关于直线 y=-x 的对称点为 B(-2,1), 所以OB对应的复数为-2+i, 故选 B. 6.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是 ( ) A.直角三角形 C.锐角三角形 [答案] A [解析] 1,2i,5+2i 对应的向量坐标为(1,0),(0,2),(5,2) 设 O 为坐标原点 → → → 即OA=(1,0),OB=(0,2),OC=(5,2) → → → AB=OB-OA=(-1,2). → → → BC=OC-OB=(5,0) → → → AC=OC-OA=(4,2) → → → 则|BC|2=|AB|2+|A C |2 ∴∠BAC=90° ,即由 A、B、C 所构成的三角形是直角三角形. 7.(2012· 新课标理,3)下面是关于复数 z= 2 的四个命题 -1+i B.等腰三角形 D.钝角三角形 ) B.-2+i D.-1+2i B.-1 D.-i )

p1:|z|=2,

p2:z2=2i,

p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 [答案] C [解析] 本题考查了复数的四则运算以及复数的模,共轭复数等. z= 2?-1-i? 2 = =-1-i,p1:|z|= 2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为-1 -1+i ?-1+i??-1-i? ) B.p1,p2 D.p3,p4

+i,p4:z 的虚部为-1.复数的四则运算以及复数的共轭复数,复数相等是复数的考查重点. 8.(2012· 广东佛山一中高三模拟,理 2)复数 z=cosθ+isinθ(θ∈(0,2π))在复平面上所对 应的点在第二象限,则 θ 的取值范围是( π A.(0, ) 2 3π C.(π ) 2 [答案] B
? ?cosθ<0, [解析] 由题意,得? ?sinθ>0, ?

) π B.( ,π) 2 3π D.( ,2π) 2

π 又∵0∈(0,2π),∴θ∈( ,π). 2 1 9.设复数 z 为虚数,条件甲:z+ 是实数,条件乙:|z|=1,则( z A.甲是乙的必要非充分条件 B.甲是乙的充分非必要条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 [答案] C [解析] 本题考查复数的运算和充要条件的判断.设 z=a+bi(b≠0 且 a,b∈R),则 z a b 1 1 1 b + =a+bi+ =?a+a2+b2?+?b-a2+b2?i.因为 z+ 为实数, 所以 b= 2 2.因为 b≠0, z z ? ? ? a+bi ? a +b 所以 a2+b2=1,所以|z|=1.而当|z|=1,a2+b2=1,条件甲显然成立. 10.若 A、B 是锐角△ABC 的两内角,则复数 z=(cosB-sinA)+(sinB-cosA)i 在复平面 内所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 )

[答案] B π [解析] ∵A、B 是锐角△ABC 的两内角,∴A+B> ① 2 π 由①得 A> -B 2 ∵A、B 为锐角△ABC 的内角 π π π ∴A∈(0, ),( -B)∈(0, ) 2 2 2 π 又在(0, ),正弦函数单调递增 2 π ∴sinA>sin( -B) 2 即 sinA>cosB ∴cosB-sinA<0 π 又由①可得 B> -A 2 π 同理可得 sinB>sin( -A) 2 即 sinB>cosA ∴sinB-cosA>0 即 z 对应的点在第二象限. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.(2014· 北京文,9)若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则 x=________. [答案] 2 [解析] (x+i)i=-1+xi=-1+2i,x=2. 1-i 12.(2014· 浙江文,11)已知 i 是虚数单位,计算 =________. ?1+i?2 [答案] [解析] -1-i 2 1-i 1-i ?1-i??-2i? -2i-2 -1-i = = = = . 4 4 2 ?1+i?2 2i

→ 13.已知复数 z1=2-i,z2=a+(1-a2)i,在复平面内的对应点分别为 P1、P2,P1P2对 应复数为-3+i,则 a=________. [答案] -1 [解析] 由条件可知 z2-z1=-3+i, 即(a-2)+(2-a2)i=-3+i,
? ?a-2=-3 ∴? ,∴a=-1. 2 ?2-a =1 ?

z1 14.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 为纯虚数,则实数 a 的值为________. z2 [答案] 8 3

? ?a=4b z1 [解析] 设 =bi(b∈R 且 b≠0), ∴z1=bi(z2), 即 a+2i=bi· (3-4i)=4b+3bi.∴? z2 ?2=3b ?

8 ?a= . 3 15. 在复数 z1 与 z2 在复平面上所对应的点关于 y 轴对称, 且 z1(3-i)=z2(1+3i), |z1|= 2, 则 z1=________. [答案] 1-i 或-1+i [解析] 设 z1=a+bi,则 z2=-a+bi, ∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|= 2,
??a+bi??3-i?=?-a+bi??1+3i? ? ∴? 2 , 2 ?a +b =2 ? ? ? ?a=1 ?a=-1 解得? 或? ∴z1=1-i 或 z1=-1+i. ?b=-1 ? ? ?b=1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.实数 k 为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯 虚数;(4)零? [解析] 令 z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i) =(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当 k2-5k-6=0 时,z∈R, ∴k=6 或 k=-1. (2)当 k2-5k-6≠0 时,z 是虚数,即 k≠6 且 k≠-1.
2 ? ?k -3k-4=0, ? (3)当 2 时,z 是纯虚数, ?k -5k-6≠0 ?

∴k=4.
?k2-3k-4=0, ? (4)当? 2 时,z=0,解得 k=-1. ?k -5k-6=0 ?

综上,当 k=6 或 k=-1 时,z 是实数;当 k≠6 且 k≠-1 时,z 是虚数; 当 k=4 时,z 是纯虚数; 当 k=-1 时,z 是零. 17.解方程 z2= z ,其中 z 为复数. [分析] 对于复数方程,一般思路是设 z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等解题;还可利

用共轭复数与模的运算. [解析] 解法一:设 z=x+yi(x,y∈R),则 x2-y2+2xyi=x-yi.
?x2-y2=x, ? 由复数相等,得? ?2xy=-y . ?

① ②

由②可得(2x+1)y=0, 1 ∴y=0 或 x=- .当 y=0 时,由①可得 x=0 或 x=1. 2 1 3 ∴z=1 或 z=0.当 x=- 时,y=± , 2 2 1 3 1 3 ∴Z=- ± i.综上,z=- ± i 或 z=0 或 z=1. 2 2 2 2 解法二:由 z2= z ①,两边取共轭得 z2 =z②,再将②代入①,得 z4 = z ,即 z4=z. ∴z(z3-1)=0. 1 3 ∴z=0 或 z 是 1 的三个立方根 1,- ± i. 2 2 18.设复数 z 满足|z|=2,求|z2-z+4|的最值. [解析] 由题意,|z|2=z·z =4,则 |z2-z+4|=|z2-z+z·z |=|z(z-1+ z )|=|z||z-1+ z |. 设 z=a+bi(-2≤a≤2,-2≤b≤2), 则|z2-z+4|=2|a+bi-1+a-bi|=2|2a-1|. 1 所以当 a= 时,|z2-z+4|min=0; 2 当 a=-2 时,|z2-z+4|max=10. [点评] 解题中没有直接将条件和所求表达式实数化,而是巧妙的运用了 z · z=| z |2= |z|2 及|z1z2|=|z1||z2|两条性质,这是解决此问题的一大亮点. 19.已知虚数 z 满足|2z+1-i|=|z+2-2i| (1)求|z|的值; 1 (2)若 mz+ ∈R,求实数 m 的值. z [解析] (1)设虚数 z=a+bi(a,b∈R 且 b≠0)代入|2z+1-i|=|z+2-2i|得 |2a+1+(2b-1)i|=|(a+2)+(b-2)i|, ∴(2a+1)2+(2b-1)2=(a+2)2+(b-2)2 整理得 a2+b2=2,即|z|=2. (2)由(1)知,z=a+bi 其中 a,b∈R,且 b≠0.

1 a2+b2=2,又知 m∈R,mz+ ∈R. z 1 1 ∴mz+ =m(a+bi)+ z a+bi a-bi 1 1 =ma+mbi+ 2 2=ma+mbi+ a- bi 2 2 a +b 1 1 =(ma+ a)+(mb- b)i 2 2 1 ∵(mz+ )∈R z 1 1 ∴mb- b=0 ∴m= . 2 2 20.已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|= 3,求|z1-z2|. [分析] 思路一:为了表示复数的模及进行复数的加减运算,可将 z1、z2 设出,然后解 答. 思路二:复数的加法、减法及模都有一定的几何意义,可用图形解答. [解析] 解法一:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R). 由已知,得 a2+b2=1,c2+d2=1, (a+c)2+(b+d)2=3. 又∵(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=2+2ac+2bd=3. ∴2ac+2bd=1. 又|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=2-1=1, ∴|z1-z2|=1. → → → → 解法二:在复平面内设 z1,z2 分别对应向量OZ1、OZ2,则对角线OZ对应 z1+z2,Z2Z1对 → → → 应 z1-z2,由已知|OZ1|=1,|OZ2|=1,|OZ|= 3. ∴∠OZ1Z=120° . ∴∠Z2OZ1=60° . → 在△OZ1Z2 中,|Z2Z1|=1,即|z1-z2|=1. 21.已知关于 x 的方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值; (2)若复数 z 满足| z -a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值. [解析] (1)因为 b 是方程 x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根, 所以 b2-(6+i)b+9+ai=0,即(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
2 ? ?b -6b+9=0, ? 故 解得 a=b=3. ?a=b, ?

(2)设 z=x+yi(x,y∈R),由| z -3-3i|=2|z|, 得|(x-3)-(y+3)i|=2|x+yi|, 即(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),即(x+1)2+(y-1)2=8. 所以复数 z 对应的点 Z 的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,2 2为半径的圆,如图所示,当点 Z 在 OO1 的连线上时,|z|有最大值和最小值.因为|OO1|= 2,半径 r=2 2,

所以当 z=1-i 时,|z|min= 2.


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