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【名师一号】2014-2015学年高中数学必修1第二章+基本初等函数+单元测试(1)


新课标 A 版·数学·必修 1

高中同步学习方略

第二章测试
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.有下列各式: ① an=a; ②若 a∈R, 则(a2-a+1)0=1; ③ ④ 6 3 ?-2?2= -2. ) B.1 D.3 n 3 x4+y3=x
4 3

+ y;

其中正确的个数是( A.0 C.2 解析 仅有②正确. 答案 B

2.函数 f(x)=loga(4x-3)的图象过定点( A.(1,0)
?3 ? C.?4,0? ? ?

)

B.(1,1)
?3 ? D.?4,1? ? ?

解析 令 4x-3=1,得 x=1.又 f(1)=loga(4×1-3)=loga1=0, 故 f(x)=loga(4x-3)的图象过定点(1,0). 答案 A )

3.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=3-x C.y=log0.1x
1

B.y=-2x D.y=x
1 2

新课标 A 版·数学·必修 1 答案 D
? ?

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?1? 4.设 y1=40.9,y2=log1 4.3,y3=?3?1.5,则(
2

)

A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 解析 因为 y1=40.9>40=1, y2=log1 4.3<log1 1=0,
2 2

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

?1? ?1? 0<y3=?3?1.5<?3?0=1,所以 y1>y3>y2. ? ? ? ?

答案

D )

5. 已知集合 A={y|y=2x, x<0}, B={y|y=log2x}, 则 A∩B=( A.{y|y>0} C.{y|0<y<1} 解析 B.{y|y>1} D.?

A={y|y=2x,x<0}={y|0<y<1},B={y|y=log2x}={y|y∈

R},∴A∩B={y|0<y<1}. 答案 C

6.如果某林区森林面积每年比上一年平均增长 10%,经过 x 年 可以增长到原来的 y 倍,那么函数 y=f(x)的图象大致是( )

2

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解析 假设原来森林面积为 1,则 y=(1+10%)x=1.1x. 答案 D

1 7.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y=2loga5,z=loga 21- loga 3,则( A.x>y>z C.y>x>z 解析 ) B.z>y>x D.z>x>y

1 x=loga 2+loga 3=loga 6=2loga6,

1 z=loga 21-loga 3=loga 7=2loga7. 1 1 1 ∵0<a<1,∴2loga5>2loga6>2loga7. 即 y>x>z. 答案 C

8.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y= ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex+1 C.e-x+1 ) B.ex-1 D.e-x-1

解析 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e-x,函数 y=e-x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图象,即 f(x)=e-(x
3

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+1)

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=e-x-1. 答案 D

9.已知四个函数①y=f1(x);②y=f2(x);③y=f3(x);④y=f4(x) 的图象如下图:

则下列等式中可能成立的是( A.f1(x1+x2)=f1(x1)+f1(x2) B.f2(x1+x2)=f2(x1)+f2(x2) C.f3(x1+x2)=f3(x1)+f3(x2) D.f4(x1+x2)=f4(x1)+f4(x2)

)

解析 结合图象知,A、B、D 不成立,C 成立. 答案 C

4

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???2?? -3,x , 10.设函数 f(x)=? 1 ?x 2 ,x ,
值范围是( ) A.(-2,1) C.(1,+∞)
? ?

?1?x

已知 f(a)>1,则实数 a 的取

B.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

?1? 解析 当 a≤0 时,f(a)=?2?a-3>1,解得 a<-2;

当 a>0 时,f(a)=a

1 2

>1,解得 a>1.

综上 a 的取值范围是(-∞,2)∪(1,+∞) 答案 B

11.若偶函数 f(x)在(-∞,0)内单调递减,则不等式 f(-1)<f(lgx) 的解集是( A.(0,10)
?1 ? C.?10,+∞? ? ?

)
?1 ? B.?10,10? ? ?

1? ? D.?0,10?∪(10,+∞)
? ?

解析 因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(|x|),因为 f(x)在(-∞,0) 内单调递减,所以 f(x)在(0,+∞)内单调递增,故|lgx|>1,即 lgx>1 1 或 lgx<-1,解得 x>10 或 0<x<10. 答案 D

12.设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞) 上单调递增,若 a=f?log
? ?
2

1? ? ?,b=f?log 3? ?

3

1? ?,c=f(-2),则 a,b, 2?

c 的大小关系是(

)

5

新课标 A 版·数学·必修 1 A.a>b>c C.c>a>b 解析 因为 log 0<log
3 2 3

高中同步学习方略 B.b>c>a D.c>b>a

3<log

2

2=2,

2<log
3

3=1,
2

所以 log

2<log

3<2.

因为 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以 f(log
3

2)<f(log

2

3)<f(2),

因为 f(x)是偶函数,所以 a=f?log
? ? ? ?
2

1? ?=f(-log 3? 1? ?=f(-log 2?

2

3)=f(log 2)=f(log

2

3), 2),

b=f?log

3

3

3

c=f(-2)=f(2).所以 c>a>b. 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填 在题中横线上) 13.函数 y= log1 ?x-4?的定义域是________.
2

解析 由 log1 (x-4)≥0 得 0<x-4≤1,
2

∴4<x≤5.故函数的定义域为(4,5]. 答案 (4,5]

14. 已知函数 y=loga(x+b)的图象如下图所示, 则 a=________, b=________.

6

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解析 由图象过点(-2,0),(0,2)知,loga(-2+b)=0,logab=2, ∴-2+b=1,b=a2.∴b=3,a2=3.由 a>0,知 a= 3.∴a= 3,b= 3. 答案 3 3

15.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时, f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 解析 根据题意画出 f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0 的 x 的取 值范围是-1<x<0,或 x>1.

答案

(-1,0)∪(1,+∞)

7

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16.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为 x2-x1,已知函数 y=2|x|的 定义域为[a,b],值域为[1,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小 值的差为________. 解析

作出函数 y=2|x|的图象(如图所示) 当 x=0 时,y=20=1, 当 x=-1 时,y=2-1=2, 当 x=1 时,y=21=2, 所以当值域为[1,2]时,区间[a,b]的长度的最大值为 2,最小值 为 1,它们的差为 1. 答案 1

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算下列各题: (1)0.0081
1 4 - ? -4 ?2 3 3 ? ? + +( 8) -16-0.75; ?4 ? 4

1 (2)(lg5)2+lg2· lg50+21+2log25. 解 (1)原式=(0.34)
1 4

+2

?-3?×2 2× ? 4?

+2

3 ? 4? ×- 2 ? 3?

-24×(-0.75)=0.3+

2-3+2-2-2-3=0.55. (2)原式=(lg5)2+lg2· lg(2×52)+2· 2 =(lg5)2+lg2· (lg2+2lg5)+2 5 =(lg5+lg2)2+2 5=1+2 5. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log2(ax+b),若 f(2)=1, f(3)=2,求 f(5).
? ? ?log2?2a+b?=1, ?2a+b=2, 解 由 f(2)=1,f(3)=2,得? ?? ?log2?3a+b?=2, ? ? ?3a+b=4, ? ?a=2, ?? ∴f(x)=log2(2x-2), ? ?b=-2.
log2 5

∴f(5)=log28=3. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-2x (1)求 f(x)的定义域; (2)证明 f(x)在定义域内是减函数.
1 2

.

9

新课标 A 版·数学·必修 1 解 (1)∵f(x)=-2x
1 2

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=-2 x,

∴f(x)的定义域为[0,+∞).

?2 ,x∈?-∞,1], 20.(本小题满分 12 分)设 f(x)=? x x log log 3 · 3 ,x∈?1,+∞?. ? 3 9
3? ? (1)求 f?log22?的值;
? ?

-x

(2)求 f(x)的最小值. 解 3 (1)因为 log22<log22=1, 2 =3.
? ?

3? ? 所以 f?log22?=
? ?

?1? (2)当 x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=?2?x 在(-∞,1]上是减函数,

1 所以 f(x)的最小值为 f(1)=2. 当 x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2), 令 t=log3x,则 t∈(0,+∞),
? 3? 1 f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=?t-2?2-4, ? ?
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?3? 1 所以 f(x)的最小值为 g?2?=-4. ? ?

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1 综上知,f(x)的最小值为-4. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lg(ax-bx),(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在(1,+∞)上递增且恒取正值,求 a,b 满足的关系式. 解
?a? (1)由 ax-bx>0,得?b?x>1. ? ?

a ∵a>1>b>0,∴b>1. ∴x>0. 即 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)∵f(x)在(1,+∞)上递增且恒为正值, ∴f(x)>f(1),只要 f(1)≥0. 即 lg(a-b)≥0,∴a-b≥1. ∴a≥b+1 为所求. 1 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x-2|x|. (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范 围. 解 1 (1)当 x<0 时,f(x)=0;当 x≥0 时,f(x)=2x-2x.

1 由条件可知 2x-2x=2,即 22x-2· 2x-1=0, 解得 2x=1± 2.

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新课标 A 版·数学·必修 1 ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2). 1? 1? ? ? (2)当 t∈[1,2]时,2t?22t-22t?+m?2t-2t?≥0,
? ? ? ?

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即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).

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