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2015年浙江省湖州市2014-2015学年高三第一学期期末考试数学理试题


湖州市 2014-2015 学年度第一学期期末考试 高三数学卷(理)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a7 ? 10 ,则 S9 ? ( A. 9 2、 “? ? B.10 C. 45 ) ) D.90

>
?

?1 ? ”是“函数 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? 为偶函数”的( 2 ?2 ?

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3、函数 f ? x ? ? log 1 x2 ? 9 的单调递增区间为(
3

?

?

) C.?3, ??? D.? ??, ?3? )

A.? 0, ???

B.? ??,0?

4、已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l //? , m //? ,则 l //m C.若 l ? ? , m ? ? ,则 l //m
2 2

B.若 l ? m , m //? ,则 l ? ? D.若 l ? m , l ? ? ,则 m //?

5、若圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? 1? ? a 2 与 x , y 轴都有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( )

? 1 ? A.? ? ,0 ? ? 2 ?

? 0, ?? ?

? 1 ? B.?? ,0 ? ? 2 ?

? 0, ?? ?

1? ? C.? ?1, ? ? 2? ?

1? ? D.? ??, ? ? 2? ?

6、已知函数 f ? x ? ? m ? 9x ? 3x ,若存在非零实数 x0 ,使得 f ? ?x0 ? ? f ? x0 ? 成立,则 实数 m 的取值范围是( A.m ?
1 2


1 2

B.0 ? m ?

C.0 ? m ? 2

D.m ? 2

?0 ? x ? 1 ? 7、已知实数 x , y 满足 ?0 ? y ? 1 ,若 z ? kx ?y 的最大值为 1 ,则实数 k 的取值范围 ? y ? kx ? 1 ?

是(


第 1 页 共 12 页

A.k ? 1

B.k ? 1

C.k ? 1

D.0 ? k ? 1

8、已知 F1 、 F2 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点,且 F2 是 a 2 b2

抛物线 C2 : y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,双曲线 C1 与抛物线 C2 的一个公共点是 ? .若 线段 ?F2 的中垂线恰好经过焦点 F1 ,则双曲线 C1 的离心率是( A.2 ? 3 B.1 ? 2 C.2 ? 2 ) D.1 ? 3

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题,每小题 6 分,第 13-15 题,每小题 4 分,共 36 分. ) 9、已知全集为 R ,集合 ? ? x x 2 ? 2 x ? 0 , ? ? ? x 1 ? x ? 3? ,则 ? ? ?
? ??

?

?



; ?R ? ?



? ?log 3 x, x ? 0 10、若函数 f ? x ? ? ? ,则 f ?9? ? f x ? 3 , x ? 0 ? ? ? ?

? ? 1 ?? ; f ? f ? ?? ? ? ? 9 ??
?? ? ;f ? ? ? ?8?



?? ? 11、 若函数 f ? x ? ? tan ? 2 x ? ? , 则 f ? x ? 的最小正周期为 6? ?
12、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 ;表面积为 . 13、在 ??? C 中,? C ? 3 ,C? ? 4 ,?? ? 5 ,? 是边 ?? 上 的动点(含 ? , ? 两个端点) .若 C? ? ? C? ? ? C? ( ? ,



? ?R ) ,则 ? C? ? ? C? 的取值范围是



14、已知棱长为 a 的正四面体可以在一个单位正方体(棱长为 1 )内任意地转动.设

? , Q 分别是正四面体与正方体的任意一顶点,当 a 达到最大值时, ? , Q 两点间
距离的最小值是 .
? ? x 4ax 2 ? 4a ?1 ? 2a ? x ? 1 ? 0 , 15、 设 a?R , 集合 S ? x 2ax 2 ? x ? 0 , 若S

?

?

?

?

??R

( R 为实数集) ,则实数 a 的取值范围是



第 2 页 共 12 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) C 的对边分别为 a , b, 16、 (本小题满分 15 分) 在 ??? C 中, 角? , 且b ? 3. 已 c, ?, ? ? ? 知向量 m ? ? cos2 ,sin ? ? , n ? 3, 2 ,且 m //n . 2 ? ? 5? ? ? ? 若 ? ? 12 ,求边 c 的值; ? ?? ? 求 ?C 边上高 h 的最大值.

?

?

17、 (本小题满分 15 分) 如图, 在四棱锥 C ? ?1???1 中, ?1?//??1 , ?1? ? 平面 ?? C , ? ??C? ? , ?C ? ??1 ? 1, ?C ? ??1 ? 2 . 2 ? ? ? 求证:平面 ?1?C ? 平面 ?1?C ;

? ?? ? 若 点 C 在 棱 ?? 上 的 射 影 为 点 ? , 求 二 面 角
?1 ? ?C ? ?1 的余弦值.

第 3 页 共 12 页

18、 (本小题满分 15 分)已知二次函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c ( b , c ? R ) .

? ? ? 若 f ? ?1? ? f ? 2? ,且不等式 x ? f ? x ? ? 2 x ?1 ?1对 x ??0, 2? 恒成立,求函数 f ? x ?
的解析式;

? ?? ? 若 c ? 0 ,且函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点,求 2b ? c 的取值范围.

19、 (本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 上顶点为 ? ? 0,1? .

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F ?1,0? , a 2 b2

? ? ? 过点 ? 作直线与椭圆 C 交于另一点 ? ,若 ????F ? 0 ,求 ??? F 外接圆的方程; ? ?? ? 若过点 ? ? 2,0? 作直线与椭圆 C 相交于两点 G ,? ,设 ? 为椭圆 C 上动点,且满
足 ?G ? ?? ? t ?? ( ? 为坐标原点) .当 t ? 1 时,求 ??G? 面积 S 的取值范围.

20、 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且满足 2an ?1 ? Sn .

? ? ? 求数列 ?an ? 的通项公式; ? ?? ? 设 bn ? an ? ? ?1?
n

,记 ?n ?

1 1 1 ? ? ??? ? ,求证: ?n ? 2 . b1 b2 bn

第 4 页 共 12 页

湖州市 2014-2015 学年度第一学期期末考试 高三数学卷(理)参考答案
一、 选择题(本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A

二、填空题(本大题共 7 小题,9——12 每题 6 分,13——15 题每题 4 分,共 36 分.) 9. ? 2,3? ; ? ??, 0 ?

?1, ?? ? ; ?0, 2?

10. 2

; 0

11.

? 2

;2? 3

12.

3? 9? ; ? 3 4 4

13. ?

?12 ? ,4 ?5 ? ?

14.

3 ?1 2

15. ? 0,1?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.解:(Ⅰ )方法一:由 m // n ,得 2 cos 2 即 1 ? cos B ? 3 sin B ,得 sin( B ?

?

B ? 3 sin B ,--------------------------------2 分 2

6 5? ? ? ? 又 0 ? B ? ? ,所以 ? ? B ? ? ,故 B ? ? ,即 B ? .--------------6 分 6 6 6 6 6 3 5? ? 结合 A ? ,得 C ? 12 4 b c 由正弦定理 得, c ? 6 .----------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C B 方法二: 由 m // n ,得 2 cos 2 ? 3 sin B ,----------------------------------------------2 分 2 B B B B B B 则 2 cos 2 ? 3 ? 2sin cos ,又 cos ? 0 ,故 cos ? 3 sin , 2 2 2 2 2 2

)?

?

?

1 ,-----------------------------------------------4 分 2

即 tan

B 3 ,--------------------------------------------------------------------------------------4 分 ? 2 3
B ? B ? ? ? ,故 ? ,即 B ? .--------------------------------6 分 2 2 2 6 3

又 0 ? B ? ? ,所以 0 ? 结合 A ?

5? ? ,得 C ? . 12 4

第 5 页 共 12 页

由正弦定理

b c 得, c ? 6 .-------------------------------------------------------8 分 ? sin B sin C
1 3 1 3 bh ? h ? ac sin B ? ac ,----------10 分 2 2 2 4
-----------------14

(Ⅱ ) 设 AC 边上的高为 h ,则 S ?ABC ?

即h ?

1 2 3

ac , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ,

(等号成立当且仅当 a ? c ) 所以 ac ? 9 ,因此 h ?

1 2 3

ac ?

3 3 , 2

所以 AC 边上的高 h 的最大值为 h ?

3 3 . 2

-----------------------------------------------15 分

17. (Ⅰ)证明:因为 A1 A ? 平面 ABC ,所以 A1 A ? BC , ??????????2 分 又因为 AC ? BC ,所以 BC ? 平面 A1 AC , 所以平面 A1 AC ? 平面 B1 BC . ?????????4 分 ??????????5 分

(Ⅱ)解法 1:先考查二面角 A ? PC ? A1 和二面角 B ? PC ? B1 , 因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA1 ? CP ,又因为 CP ? AB , 所以 CP ? 面 A1 ABB1 ,所以 CP ? A1 P , CP ? B1 P , 所以 ?A1 PB1 即二面角的 A1 ? PC ? B1 一个平面角, 因为 tan ?A1 PA ? ????????7 分

AA1 1 ? ? 5, 1 AP 5

????????9 分

tan ?B1 PB ?

BB1 2 5 , ? ? 4 BP 2 5

????????11 分

所以 tan ?A1 PB1 ? tan ?? ? ?A1 PA ? ?B1 PB ? ,

第 6 页 共 12 页

所以 tan ?A1 PB1 ? ? tan ? ?A1 PA ? ?B1 PB ?

????????12 分

??

tan ?A1 PA ? tan ?B1 PB 1 ? tan ?A1 PA tan ?B1 PB

????????13 分

5 3 5 2 ? 2 ? 5 , ?? 3 5 1? 5 2 2 5?
所以 cos ?A1 PB1 ?

????????14 分

6 6 , 6 . 6
????????15 分

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

解法 2:因为 AA1 ? 面 ABC ,所以 AA1 ? CP ,又因为 CP ? AB , 所以 CP ? 面 A1 ABB1 ,所以 CP ? A1 P , CP ? B1 P , 所以 ?A1 PB1 即为二面角的 A1 ? PC ? B1 一个平面角. 因为 CP ? AB ,所以 AP ? ???????8 分

5 4 5 , BP ? , 5 5

??????????10 分

所以 A1 P ? 1 ?

1 6 16 36 6 2 ? , B1 P ? 2 ? , ? ? 5 5 5 5 5

???????12 分

又因为直角梯形 A1 ABB1 可得 A1 B1 ? 所以 cos ?A1 PB1 ?

5 ?1 ? 6 ,


??????????13 分

A1 P 2 ? B1 P 2 ? A1 B12 2 A1 P B1 P

?????????????14 分

6 36 ? ?6 6 5 5 ? 所以 cos ?A1 PB1 ? , 6 6 6 2 5

第 7 页 共 12 页

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

6 . 6

???????????15 分

解法 3:如图所示,以 CA 为 x 轴,以 CB 为 y 轴,过 C 作 z 轴,建立空间直角坐标系,则可知

?4 2 ? A ?1, 0, 0 ? , A1 ?1, 0,1? , B ? 0, 2, 0 ? , B1 ? 0, 2, 2 ? , P ? , , 0 ? ,??8 分 ?5 5 ?

z B1

A1 C A x
则 CA1 ? ?1, 0,1? , CP ? ?

P

B
?4 2 ? , ,0? . ?5 5 ?

y

设平面 A1 PC 的一个法向量是 n1 ? ? x, y,1? ,可得:

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? 即 n1 ? ? ?1, 2,1? .?????????????????10 分 ?? ? 4x 2 y ? ?0 ?y ? 2 ? 5 ?5
同理可得 B1 PC 的一个法向量是 n2 ? ?

?1 ? , ?1,1? , ??????????????12 分 ?2 ?

所以二面角 A1 ? PC ? B1 的余弦值为

n1 n2 n1 n2

?

1 6 . ? 6 6

?????????15 分

18.解:(Ⅰ)因为 f (?1) ? f (2) ,所以 b ? ?1 ,---------------------------------------3 分 因为当 x ? [0, 2] , 都有 x ? f ( x) ? 2 | x ? 1| ?1 ,所以有 f (1) ? 1 , --------------------------6 分

第 8 页 共 12 页

即 c ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? x ? 1 ;
2

--------------------------------------------7 分

(Ⅱ)解法 1:因为 f ( x) 在 [?1,1] 上有两个零点,且 c ? 0 ,

? f (?1) ? 0, ??b ? c ? 1 ? 0, ? ? 所以有 ? f (1) ? 0, ? ?b ? c ? 1 ? 0, ?c ? 0, ?c ? 0, ? ?
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

-------------------------11 分

y

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x

(图正确,答案错误,扣 2 分) ---------------------------------------------15 分

通过线性规划可得 ?2 ? 2b ? c ? 2 . (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分)

解法 2:设 f ( x) 的两个零点分别 x1 , x2 ,所以 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,--------9 分 不妨设 x1 ? [?1, 0) , x2 ? (0,1] ,--------------------------------------------------------------11 分 因为 f (2) ? (2 ? x1 )(2 ? x2 ) ,且 2 ? x1 ? (2,3] , 2 ? x2 ? [1, 2) ,----------------13 分 所以 f (2) ? (2, 6) ,所以 ?2 ? 2b ? c ? 2 .-------------------------------------------------15 分 (若答案为 ?2 ? 2b ? c ? 2 ,则扣 1 分) 19.解:(Ⅰ) 由右焦点为 F ?1, 0 ? ,上顶点为 B ? 0,1? 得 b ? 1, c ? 1 , 所以 a 2 ? 2 .-------------------------------------------------------------------------3 分 ( a, b, c 每个 1 分)

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, 2 1
4 1 , ? ) ,--------------------------------4 分 3 3
第 9 页 共 12 页

因为 AB ? BF ? 0 ,可求得点 A(?

1 5 2, 6 3 1 1 25 所以 ?ABF 外接圆方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? .--------------------6 分 6 6 18
因为 ?ABF 为直角三角形, AF 中点坐标 (? , ? ) ,且 AF ? (Ⅱ)设过点 M 的直线方程为 x ? my ? 2 , --------------------------------------------7 分

1 6

G, H 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 联立方程 ? 2 得 (m ? 2) y ?4my ?2 ? 0 , ? ? 8m 2 ? 16 ? 0 ? m 2 ? 2 , ? x ? my ? 2, ?
因为 y1 ? y2 ? ? 所以 | y1 ? y2 | ?

4m 2 , y1 y2 ? 2 ,-------------------------------------------------9 分 2 m ?2 m ?2

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

? (

?4m 2 8 2 2 m2 ? 2 ) ? ? ,------------11 分 2 ? m2 2 ? m2 2 ? m2
x1 ? x2 y1 ? y2 , ), t t

因为 OG ? OH ? tOP ,所以点 P ( 因为点 P 在椭圆 C 上, 所以有 (

x1 ? x2 2 y ? y2 2 ) ? 2( 1 ) ?2, t t

化简得 [m( y1 ? y2 ) ? 4]2 ? 2( y1 ? y2 ) 2 ? 2t 2 , 因为 y1 ? y2 ? ?

4m ,所以得 m2 ? 2 4m 2 2 4m 16 (? 2 ) (m ? 2) ? 8m(? 2 ) ? 16 ? 2t 2 ? 0 ,化简 m 2 ? 2 ? 2 ,-------13 分 m ?2 m ?2 t

因为 t ? 1 ,所以 2 ? m 2 ? 14 , 因为 S ?OGH ?

2 2 m2 ? 2 1 , ? 2? | y1 ? y2 | ? 2 ? m2 2
2 2 ?t 2 2 , ? t2 ? 4 t ? 4 t

令 m ? 2 ? t (t ? (0, 2 3]) ,所以 S ?OGH ?
2

第 10 页 共 12 页

令 g (t ) ? t ?

4 ,因为 g (t ) 在 t ? (0, 2] 上单调递减,在 t ? [2, 2 3] 上单调递增, t
2 .--------------------------------------------------------------------------------15 分 2

所以 0 ? S ?OGH ?

20.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2a1 ? 1 ? S1 ,解得 a1 ? 1 ,---------------------------------------------1 分 当 n ? 2 时, 2an ? 1 ? S n ,

2an ?1 ? 1 ? S n ?1 ,-----------------------------------------------------------------------2 分
两式相减得: 2an ? 2an ?1 ? an , 即 an ? 2an ?1 , ------------------------------------------------------------------------------------------5 分 所以 ?an ? 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n ?1 ,------------------6 分 (Ⅱ)证法 1:当 n 为偶数时,

1 1 1 1 2n ? 2 ? 2n ?1 ? ? ? ? ----------------------------7 分 bn ?1 bn 2n ? 2 ? 1 2n ?1 ? 1 22 n ?3 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? 1
2n ? 2 ? 2n ?1 ? 1 ? ? ?? ? 2 2 n ?3 ?2? ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? ?2?
1 1 ? ? b1 b2
0 1 2 3 n?2

?1? ?? ? ?2?
n?2

n ?1


n ?1

--------------------------------10



?1? ?? ? ?2?

?1? ?? ? ? 2?

= 2 ?1 ?

? ?

1 2n

? ? ? 2 ;-----------11 分 ?

当 n 是奇数时, Tn ?

?

1 1 1 ? ? ? bn b1 b2

?

1 1 ? 2. ? bn bn ?1

综上可知 Tn ? 2 .---------------------------------------------------------------------------------14 分 证法 2:当 n ? 1, 2,3, 4 时, T1 ?

1 3 17 129 , T2 ? , T3 ? , T4 ? 不等式显然成立-------8 分 2 2 10 70

当 n ? 5 时,要证明 Tn ? 2 , 只要证明

1 1 ? 1 ? 2 ?1 2 ?1
0

?

2

n?2

1 1 ? n ?1 ? 2, n ?1 ? (?1) 2 ? (?1) n
第 11 页 共 12 页

只要证明

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2

?

2

n?2

1 1 1 ? n?2 ? . n ?1 n ? (?1) 2 ? ( ?1) 2

--------9 分

又因为当 n ? 5 时, 2

n ?1

? 16(?1) n ? 0 , 即 (16 ? 15)2n ?1 ? 16(?1) n ? 0,

故 16 2n ?1 ? ( ?1) n ? 15 ? 2 n ?1 , 2n ?1 ? ( ?1) n ? 而

?

?

?

?

15 n ? 2 ?2 , 8

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1
2

?

2

n?2

1 1 ? n ?1 n ?1 ? (?1) 2 ? ( ?1) n
-----------------------------------------------12 分

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 15 15 5 7 ? 23 ? 24 8 8

?

1 15 n ? 2 ?2 8

1 1 1 8 23 ? ? ? ? 5 7 15
?

1 n?4 ? ? 1 ? ( ) ? ? 2 ? ? ----------------------------------------------------------------------13 分 1 1? ( ) 2

1 1 2 250 1 ? ? ? ? .-------------------------------------------------------------------------------14 分 5 7 15 525 2

第 12 页 共 12 页


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