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导数计算易错题的例析


例析导数计算易错题
导数,作为高中数学的新增内容之一,为教学和教研注入了新的活力.导数的计算是 导数中重要内容,然而初学者由于概念不清等导致出错,本文举例说明,供同学们学习参考. 一、 f ' (a) 和 [ f (a)]' 含义不清 【易错点导析】 若已知函数为 f ( x) ,则当 x ? a 时, f ' (a) 表示 f ( x) 在 x

? a 处的导数 值;而 [ f (a)]' 表示函数当 x ? a 时函数值 f ( a ) 的导数.有些同学易将 f ' (a) 与 [ f (a)]' 混为 一谈. 例1 已知 f ( x) ? sin x ,求 f ' (a) ; [ f (a)]' .
x?a ' ' 错解: f ' (a ) ? [ f (a )] ? f ( x)

? cos x

x?a

? cos a.

错解分析:没搞清楚 f ' (a) 与 [ f (a)]' 的含义. 正确解法: 由于 f ' ( x) ? (sin x) ' ? cos x, 而 f ' (a) 表示导数 f ' ( x) 在 x ? a 处的值,故

f ' (a) ? cosa; [ f (a)]' 表示函数 f ( x) 在 x ? a 时的函数值 f (a) ? sin a (常数)的导数, 因此 [ f (a)]' ? 0 . 二、函数 y ? a x 的导数与函数 y ? x n 的导数 x ?1 【易错点导析】 同学们易把指数函数与幂函数混在一起, (a x ) ' 容易求出 x ? a 的错误结
果. 例 2 求函数 y ? a x ? x 2 的导数. 错解: y ' ? x ? a x?1 ? x 2 ? 2 x ? a x 错解分析:没有搞清楚 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )是指数函数与 y ? x n 是幂函数,导致公式运用 错误. 正确解法: y ' ? (a x ? x 2 ) ' ? a x ? ln a ? x 2 ? 2 x ? a x ? a x ( x 2 ln a ? 2x). 三、求导公式的错用 【易错点导析】 函数的求导公式与原来的一些数学公式有类似之处,但是应该注意不要弄 混了,一定要准确地记住公式. 例 3 求下列函数的导数: (1) f ( x) ? a 2 ? 2ax ? x 2 ;
' 2

(2) f ( x) ?
2 '

x sin x . ln x

错解:(1) f ( x) ? (a ? 2ax ? x ) ? 2a ? 2 x; (2) f ( x) ? (
'

x ? sin x ' ( x sin x) ' sin x ? x cos x ) ? ? ? x sin x ? x 2 . ' 1 ln x (ln x) x

错解分析:(1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是 x,a 是 常量.(2)商的求导法则是:分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母 的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了 正确解法: (1) f ( x) ? (a ? 2ax ? x ) ? ?2 x ? 2a;
' 2 2 '



2



f ' ( x) ? (

x sin x ' ( x sin x) ' ? ln x ? x sin x ? (ln x) ' sin x ln x ? x cos x ln x ? sin x ) ? ? . ln x (ln x) 2 ln 2 x

四、导数的几何意义不清致误

例 4 求曲线 C: y ? 3x ? x 3 过点 A(2,?2) 的切线方程. 【易错点导析】对曲线的切线概念的理解,停留在以往的片面认识上,即切线是满足直线和 曲线仅有一个公共点(某些特例除外,如平行于抛物线对称轴的直线,虽然与抛物线只有一 个公共点,但不称其为抛物线的切线). 错解:因为点 A 在曲线 S 上,所以斜率 k ? y ' x ? 2 ? ?9 ,因此过点 A 的切线方程为:

9 x ? y ? 16 ? 0 .
错解分析: 这一解法的错因在于漏掉一解, 切线方程 y ? 2 ? 0. 错误原因是对曲线的切线概 念的理解,停留在以往的片面认识上,即切线是满足直线和曲线仅有一个公共点(某些特例 除外,如平行于抛物线对称轴的直线,虽然与抛物线只有一个公共点,但不称其为抛物线的 切线.) 切线的正确理解是: 曲线的割线 PQ 当 Q 沿曲线无限地接近于 P 点时的极限位置, 而并不是 凭直线与曲线的公共点个数作为判断的依据. 正确解法:设切点为 P( x0 , y0 ) ,则 P 点处的切线 l 的方程是: y ? y0 ? (3 ? 3x0 )(x ? x0 ) , 因为 A 点在直线 l 上,所以: y ? y0 ? (3 ? 3x0 )(2 ? x0 ) ……………….(1) 又因为点 P 在曲线 S 上,所以: y0 ? 3x0 ? x0 ………(2) 由(1) 、 (2)解得, x0 ? 2 或 x0 ? ?1 . 当 x0 ? 2 时, P 点坐标为 (2,?2) ,切线方程是:
3

2

2

9 x ? y ? 16 ? 0 ;当 x0 ? ?1 时, P 点坐标为 (?1,?2) ,切线方程是: y ? 2 ? 0. 综上,过点 A 的曲线 S 的切线方程是: 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? 2 ? 0.


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