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09届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编 圆锥曲线


2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 09 圆锥曲线
试题收集:成都市新都一中 二、填空题 肖宏

x2 y2 1、(安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)对于曲线 C∶ =1,给 ? 4 ? k k ?1
出下面四个命题: ①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为_____________. 答案:③④

5 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两 a2 b2 个焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,且满足 PF1 ? PF2 ? 0 , tan ?PF1 F2 ? 2 ,则该椭圆的
2、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知椭圆 离心率为 答案:

5 3 ? ? 5? 2?

3、 (上海市张堰中学高 2009 届第一学期期中考试)若 m ? 0 , P? m, ? 在双曲线 点 上,则点 P 到该双曲线左焦点的距离为 13 答案: 2 .

x2 y2 ? ?1 4 5

4 、 ( 厦 门 市 第 二 外 国 语 学 校 2008 — 2009 学 年 高 三 数 学 第 四 次 月 考 ) 已 知 圆

C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则
适合上述条件的双曲线的标准方程为 解:圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0
2 2



y ? 0 ? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0, 得圆 C 与坐标轴的交点分别为 (2, (4, 0), 0),
则 a ? 2, c ? 4, b ? 12, 所以双曲线的标准方程为
2

x2 y 2 ? ?1 4 12

5、 (江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)已知点 P 是抛物线 y ? 4 x
2

上的动点, P 在 y 轴上的射影是 M, A 的坐标是 a)则当 | a | ? 4 时, PA | ? | PM | 点 点 (4, , | 的最小值是 答案: a ? 9 ? 1
2



6、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)在圆中有结论:如图,“AB 是圆 O 的 直经,直线 AC,BD 是圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有

PO 2 ? PC ? PD ”。 类比到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P
是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 .”
C P C O B A F2 O F1 B D P D

A

答案: PF1 ? PF2 ? PC ? PD 7 、 ( 广 东 省 华 南 师 范 附 属 中 学 2009 届 高 三 上 学 期 第 三 次 综 合 测 试 ) 在 ? ABC 中 , AB ? BC , cos B ? ?

7 .若以 A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18


e?
3 答案: 8

8、(黑龙江省双鸭山一中 2008-2009 学年上学期期中考试)已知 ?ABC 的顶点 B ? -3, 0? 、

C ? 3, 0 ? , E 、 F 分 别 为 AB 、 AC 的 中 点 , AB 和 AC 边 上 的 中 线 交 于 G , 且
| GF | + | GE |5 ,则点 G 的轨迹方程为 =
答案:

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?5) 25 16
5 ,一条准线为 x=3 的椭圆的标准 3

9、(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)离心率 e ? 方程是
2 2

.

答案:

x 9y ? ?1 5 20
2

10、(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是 _____________; 答案:(a,0)

11、(四川省万源市第三中学高 2009 级测试)过双曲线 交两渐线于 Q.R 两点,则 PQ ? PR = 答案:3

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 作 x 轴的平行线 3 4


12、(四川省成都市 2008—2009 学年度上学期高三年级期末综合测试)P 是双曲线

x2 ? y2 ? 1 3

的 右 支 上 一 动 点 ,F 是 双 曲 线 的 右 焦 点 , 已 知 A(3,1), 则 PA ? PF 的 最 小 值 是 答案: 26 ? 2 3 13、(四川省泸县六中高 09 级二诊模拟数学试题)已知 P(x,y)是抛物线 y2=-8x 的准线与双曲 .

x2 y2 ? ?1 2 线 8 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则 z=2x-
y 的最大值为 答案:5 14、(苍山诚信中学· 理科)将抛物线 x ? 4 ? a( y ? 3) (a ? 0) 按向量 v=(4,-3)平移后所得
2

抛物线的焦点坐标为 答案: (

.

1 ,0) 4a 1 2 x (m ? 0) 的焦点坐标是 m
.

15、(苍山县· 理科)抛物线 y ? 答案:(0,

m ) 4

16、(郓城实验中学· 理科)已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? =1(5<a<10=的两个焦点,B 是 a 2 (10 ? a ) 2

短轴的一个端点,则△ F1BF2 的面积的最大值是 答案:

100 3 9

17、 (聊城一中· 理科)P 是双曲线 1),则 PA ? PF 的最小值是 答案: 26 ? 2 3

x2 ? y 2 ? 1 的右支上一动点, 是双曲线的右焦点, F 已知 A(3, 3


18 、 ( 重 庆 市 万 州 区 2009 级 高 三 第 一 次 诊 断 性 试 题 ) 设 O 是 坐 标 原 点 , F 是 抛 物 线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向的夹角为 60°,则 | OA |
为 .

答案:

21 p 2
7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? 18
▲ .

19 、 ( 江 苏 省 梁 寨 中 学 08 - 09 学 年 高 三 年 级 调 研 考 试 ) 在 △ABC 中 , AB ? BC,

cos B ? ?
答案:

3 8

20、(广东省汕头市潮南区 08-09 学年度第一学期期末高三级质检)已知在直角坐标系中,两 定点坐标为 A(-4,0), B(4,0),一动点 M(x,y)满足条件
MA ? MB ? 1 AB 2

,则点 M 的轨迹方程是

答案:

x2 y 2 ? ?1 4 12
2

21、(浙江省嘉兴市)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y ? x 的焦点,另外两个顶点在 抛物线上,则这个等边三角形的边长为 答案:2- 3 或 2+ 3 22、(浙江省嘉兴市文)已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍, 则该椭圆的标准方程是 答案: ▲ . ▲ .

x2 ? y2 ? 1 4
2

23、 (浙江省嘉兴市文)己知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y ? x 的焦点, 另外两个顶点在 抛物线上,则这个等边三角形的边长为 答案:2- 3 或 2+ 3 . 24、(金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷(理科) 抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为
2





答案:(1,0)

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点重 25、(浙江省宁波市.文)若抛物线 y ? ?2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线 3
2

合,则 p 的值 答案:4



.

26、(台州市 2008 学年第一学期理 )已知双曲线 渐近线的方程为 答案:13 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e=2,则其 a 2 b2

27、(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题)以抛物线 y ? 4 x 的顶点为圆心,焦点到准线的距离为
2

半径的圆的方程是______。 答案:x2 +y2 =4 28、(宁波市 2008 学年度第一学期高三期末数)若抛物线 y ? ?2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲
2

线

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点重合,则 p 的值 3

.

答案:4 29、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知抛物线y2=a(x+1)的准线方程是 x= -3,那么抛物线 的焦点坐标是______. 答案:(1,0) 30、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知动圆 P 与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 L:x=1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是: 。 2 答案:y =-8x 31、(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知 P 为双曲线 点距离为 12,则 P 到右准线距离为______; 答案:

x2 y2 ? ? 1 的右支上一点,P 到左焦 16 9

16 5

x2 y2 32、(北京市东城区高三综合练习一)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分 a b
别为 F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点 P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率 e 的 取值范围为 . 答案:1<e≤2 33、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P a2 b2
.

为椭圆上一点,且∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,则椭圆的离心率 e= 答案: 3-1
2

y2 34、(北京市丰台区高三统一练习一)过双曲线 M: x ? 2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 b
l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线相交于 B、C 两点 , 且 AB ? BC , 则双曲线 M 的离心

率为_____________. 答案: 10 35、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线

x2 y2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的一条渐近线方程为 9 a2

3x ? 2 y ? 0 ,则 a=__________.
答案:2 36 、 ( 北 京 市 十 一 学 校 高 三 数 学 练 习 题 ) 已 知 双 曲 线

x2 y2 则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是 ? 2 ? 1(a, b ? R ? )的离心率e ? [ 2 ,2] , 2 a b
_________. ππ 答案:[ , ]. 43 解析:依题意有

2?

c2 a 2 ? b2 b2 c ? 4 ,∴ 1 ? 2 ? 3 ,得 ? 2 ,∴ 2 ? 2 ? 4 ,即 2 ? a2 a a a

1?

b ? ? ? 3 ,∴ ? ? ? a 4 3
2

37、(北京市西城区高三抽样测试)已知两点 A(1 0) ,B(b, ,若抛物线 y ? 4 x 上存在点 C 使 , 0)

?ABC 为等边三角形,则 b=_________ .
1 答案:5 或- 3 38、(北京市宣武区高三综合练习一)长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x、y 轴上移动,动 点 C(x,y)满足 AC ? 2CB ,则动点 C 的轨迹方程是 答案: x ?
2

.

1 2 y ?1 4
2

39、(北京市宣武区高三综合练习二)设抛物线 x ? 12 y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与 抛 物 线 相 交 于 A 、 B 两 点 , 又 知 点 P 恰 为 AB 的 中 点 , 则

AF ? BF ?
答案:8

.

40、(四川省成都市高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 )与双曲线 在 y 轴上的双曲线的离心率为 答案:

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且焦点 9 16

5 4
2

41、(东北区三省四市第一次联合考试)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两

点,则 答案:1

1 1 ? = AF BF



42、(东北三校高三第一次联考)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率的取值范围是 a2 b2


e ?[

2 3 ,2] ,则两渐近线夹角的取值范围是 3

答案: [

? ?

, ] 3 2
2

x2 y2 43、 (东北师大附中第四次摸底考试)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重 8 4 合,则 p 的值为 ;
答案:4

x2 y2 ? ? 1的焦点F1 作直线交椭圆于 A、B 二点, 44、(福建省南靖一中第四次月考)过椭圆 36 25 F2 是此椭圆的另一焦点,则 ?ABF2 的周长为 .
答案:24 45、(福建省莆田一中期末考试卷)已知 l 是曲线 y ? 的方程是 答案:y=x .

1 3 x ? x 的切线中倾斜角最小的切线,则 l 3

46 、 ( 福 建 省 泉 州 一 中 高 第 一 次 模 拟 检 测 ) 若 双 曲 线

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的圆相切,则此双曲线的离心率为

y2 x2 - 2 =1 的 渐 近 线 与 方 程 为 a2 b .
P 是 双 曲 线

答案:2 47 、 ( 福 建 省 厦 门 市 高 三 质 量 检 查 ) 点

C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)和圆C 2 : x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的一个交点, 2∠PF1F2=∠ 且 2 a b


PF2F1,其中 F1、F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为 答案: 3 ? 1 48、(福建省厦门市高三质量检查)

x2 y2 已 知 动 点 P( x, y )在椭圆 ? ? 1上, 若A点坐标为(3,0), | AM |? 1且PM ? AM ? 0 , 则 25 16

| PM | 的最小值是
答案: 3



49、 (福建省漳州一中期末考试)双曲线

x2 y 2 点 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2 , P 在该双曲线上, 9 16
.

若 PF1 ? PF2 ? 0 ,则点 P 到 x 轴的距离为 答案:

???? ???? ?

16 5
2

50 、 ( 甘 肃 省 兰 州 一 中 高 三 期 末 考 试 ) 已 知 P( x, y ) 是 抛 物 线 y ? ?8 x 的 准 线 与 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点,则 8 2
z ? 2 x ? y 的最大值为
答案:5 51、 广东省佛山市高三教学质量检测一) ( 已知双曲线 离心率为________.

x2 则其渐近线方程为_________, ? y2 ? 1 , 4

1 5 答案: y ? ? x , 2 2 52、(广东省汕头市澄海区期末考试)经过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作与轴垂直的直线, 交抛物线 于 A、B 两点, O 是抛物线的顶点,再将直角坐标平面沿 x 轴折成直二面角, 此时 A、B 两点之 间的距离= , ∠AOB 的余弦值是 . 1 答案:2 2, 5
53、(广东省五校高三上期末联考)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重 6 3

合,则 p 的值为



答案:6.解析:本题考查了抛物线和双曲线的有关基本知识.

x2 y 2 P 双曲线 ? ? 1 的右焦点 F(3,0)是抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,所以, ? 3 ,p=6 6 3 2
54、(河北衡水中学第四次调考)椭圆 圆上的点,则能使 ?F PF2 ? 1 况填全) 答案:0 或 2 或 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,点 P 为椭 a 2 b2
的点 P 的个数可能有 个. (把所有的情

?
2

x2 y2 55、(河北省正定中学一模)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率的取值范围是 a b

e ?[

2 3 ,2] ,则两渐近线夹角的取值范围是 3



ππ 答案:[3,2] 56、(河北省正定中学 2008 年高三第四次月考)已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等
2 2 比数列,则椭圆 x ? y ? 1的离心率是 _______ m n

答案:

2 2

57、(河北省正定中学高三第五次月考)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动 9 4

点,当 PF1 ? PF2 < 0 时,点 P 的横坐标的取值范围是_________ 答案: (?

3 5 3 5 , ) 5 5
的左右焦点分别为 F1 与 F2,点 P 在直

58、(河南省濮阳市高三摸底考试)已知椭圆

线 l:x- 答案: 3-1

y+8+2

=0 上.当∠F1PF2 取最大值时,

的值为______________.

x2 2 59、(湖北省三校联合体 2 月测试)设中心在原点的双曲线与椭圆 2 ? y =1 有公共的焦点,

且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是 答案:2x2-2y2=1 60、(湖北省黄冈市高三年级期末考试)已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的
2

射影是 M, A 的坐标是 点 (4, , a) 则当 | a | ? 4 时,| PA | ? | PM | 的最小值是 答案: a ? 9 ? 1
2



61、(湖北省荆门市上期末)椭圆

x2 y2 ? =1 的右焦点为 F,过左焦点且垂直于 x 轴的直线为 3 2

L1,动直线 L2 垂直于直线 L1 于点 P,线段 PF 的垂直平分线交 L2 于点 M,点 M 的轨迹为 曲线 C,则曲线 C 方程为________________;又直线 y ? x ? 1 与曲线 C 交于 A, B 两点, 则 AB 等于 答案:y2=4x;8 62、(湖北省荆州市高中毕业班质量检测)已知 F1、F2 分别为双曲线

??? ?



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的左右焦点, P 为双曲线左支上的一点,若

| PF2 |2 ? 8a ,则双曲线的离心率的取值范围 | PF1 |

是 答案:(1,3]


2

63、(湖北省随州市高三模拟)抛物线 y ? ax (a ? 0, a ? R) 的准线方程是 点坐标是 。 1 1 答案:y=- ;(0, ) 4a 4a 64、(湖北省武汉市武昌区高中调研测试)过椭圆

, 焦

x2 y2 ? ? 1 内一点 P?1,1? 作弦 AB,若 9 4

AP ? PB ,则直线 AB 的方程为
答案: 4 x ? 9 y ? 13 ? 0 65、(湖南省十二校高三第一次联考)若双曲线 合,则双曲线的渐近线方程是 答案: y ? ? 3x

.

x2 y 2 ? ? 1 的一条准线与抛物线y2=4x的准线重 4 b2
.

66、(湖南省岳阳市高三第一次模拟)过定点 P(1,4)作直线交抛物线 C: y=2x2 于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的切线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_________ 答案:y=4x-4 67、(湖南省岳阳市高三第一次模拟)设 P 是曲线 y ? 4 x 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2)
2

的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离之和的最小值为 答案:2 2
2



68、(湖南省株洲市高三第二次质检)直线 l 交抛物线 y ? 2 x 于 M(x1,y1),N(x2,y2),且 l 过焦点, 则 y1 y 2 的值为 答案:-1 .

69、(吉林省实验中学高三年级模拟考试)抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 1 ,则 a 的值
2

为 1 答案:- 4

.

x2 y2 70、(江苏省南京市高三第一次调研测试)已知抛物线 y=mx(x≠0)的准线与椭圆 + =1 的右 6 2 准线重合,则实数 m 的值是 答案:-12 71、(江苏省南通市高三第二次调研考试)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线
uur uuu r 于 A、B 两点,交准线于点 C.若 CB ? 2BF ,则直线 AB 的斜率为









答案:± 3 说明:涉及抛物线的焦点弦的时候,常用应用抛物线的定义.注意本题有两解. 72、(江苏省前黄高级中学高三调研)若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于

__________。 答案: 2 2

73、(江苏省前黄高级中学高三调研)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 , A, B ,交其准线于点 C ( B 在 FC 之间) 且 BC ? 2BF , AF ? 12 ,则 p 的值为 答案:6 74、(江苏省南通通州市高三年级第二次统一测试)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的 一条渐近线为 mx-y=0,若 m 在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意取一个值,使得 双曲线的离心率大于 3 的概率是 答案: . .

7 9
x2 y 2 4 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲 m n 3

75、(山东省济南市高三统考)已知双曲线 线的离心率 e 为 答案: .

5 5 或 3 4

75、(山东省郓城一中第一学期期末考试)已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? =1(5<a<10=的 a 2 (10 ? a ) 2

两个焦点,B 是短轴的一个端点,则△ F1BF2 的面积的最大值是 答案:

100 3 9
( 山 西 大 学 附 中 月 考 ) 点 P 是 双 曲 线

76



C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)和圆C 2 : x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的 一 个 交点 ,且 2 ∠PF1F2 = ∠ 2 a b
.

PF2F1,其中 F1、F2 是双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为 答案: 3+1


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