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湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案


黄冈中学 2013 届高三第一次模拟考试 数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.纯虚数 z 满足 z ? 2 ? 3 ,则 z 为 A.

5i

B. ?

5i

C. ?

/>5i

D. 5 或 ?1

2.命题甲: x ? 2 或 y ? 3 ;命题乙: x ? y ? 5 ,则甲是乙的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分条件也不必要条件

3.已知双曲线的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的标准方程为 A. x ?
2

y2 ?1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 2

y2 x2 2 ? 1或 y ? ? 1 C. x ? 2 2
2

x2 y2 2 ? y ? 1 或 ? x2 ? 1 D. 2 2

4.用 0,1,2,3,4 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则该五位 数的个数是 A.36 B.32 C.24 D.20 5.已知 cos(?

? ? 3 ,则 sin(2? ? ) 的值为 ? )? 6 6 3
B. ?

A.

1 3

1 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

6.对某小区 100 户居民的月均用水量进行统计, 0.50 距 得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的 0.44 众数、中位数分别为 2.5 A. 2 , 0.30 B. 2.25 , 2.02 C. 2.25 , 2.5 0.16 D. 2.5 , 2 . 2 5 0.08

频率/组

0 0.5 1 1.5

2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)
第 6 题图

7.在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币,若硬币恰落在任何一个

方格内不与方格线重叠,即可获奖.已知硬币的直径为 2 ,若游客获奖的概率不超过 方格边长最长为(单位: cm ) A. 3 B. 4

1 ,则 9

C. 5

D. 6

8.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是 A.

20 π 3
2 1

B. 6π D

C.

10 π 3

D.
开始

16 π 3

n=5,k=0

2 正视图

4 侧视图

A

O C

B


n 为偶数

否 n=3n+1

n?

n 2

第 8 题图 俯视图

第 9 题图

第 12 题图

k=k +1 1 n =1? 是 输出 k 结束 否

D 9.如图, AB 是圆 O 的直径, C、 是圆 O 上的点, ?CBA ? 60 , ?ABD ? 45 ,
? ?

??? ? ??? ? ??? ? CD ? xOA ? yBC ,则 x ? y 的值为
A. ?

3 3

B. ?

1 3

C.

2 3

D. ? 3

10.已知定义在 (0, ??) 上的单调函数 f ( x ) ,对 ?x ? (0, ??) ,都有 f [ f ( x) ? log2 x] ? 3 , 则方程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是 A. (0,

1 ) 2

B. (

1 ,1 ) 2

C. (1,2)

D. (2,3)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上,书写不清楚,模拟两可均不得分. (一)必考题(11 — 14 题)

1 ? ? 4 11. ? x ? ? 的展开式中,含 x 项的系数为 2x ? ?
12.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是

10

. .

y z 13.已知 x、、 ? (0, ??) ,且 ln x ? ln y ? ln z ?
2 2 2

1 x2 ,则 的最大值为 3 yz



14.对于实数 x ,将满足“ 0 ?

y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用

符号 ? x ? 表示.已知无穷数列 {an } 满足如下条件:

? 1 ?? ? ① a1 ? ? a? ;② an ?1 ? ? an ? 0 ?
(Ⅰ)若 a ? (Ⅱ)当 a ?

(an ? 0) (an ? 0)



2 时,数列 {an } 通项公式为



1 * 时,对任意 n ? N 都有 an ? a ,则 a 的值为 3



(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果给分. ) 15. (极坐标与参数方程) 已知抛物线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 8cos? ? 0 ,若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦
2 2 点,与圆 ? x ? 4 ? ? y ? r (r ? 0) 相切,则 r 2

?



16. (几何证明选讲) 如图,过半径为 4 的 ? O 上的一点 A 引半径为 3 的 ? O? 的切线,切点为 B ,若 ? O 与 ? O? 内切于点 M ,连结 AM 与 ? O? 交于 C 点,则

AB ? AM

A


C
M
M

B

O? O
’ ‘
第 16 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

B C b c 已知 ?ABC 中,角 A、 、 的对边分别为 a、、 , a ?

?? 2 ,向量 m ? (?1,1) ,

?? ? ? 2 n ? (cos B cos C , sin B sin C ? ) ,且 m ? n . 2
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)当 sin B ? cos(

7? ? C ) 取得最大值时,求角 B 的大小和 ?ABC 的面积. 12

18. (本小题满分 12 分) 某象棋比赛规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人 比对方多 2 分或打满 6 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲、乙每局获胜的概率分别

2 1 和 ,且各局比赛胜负互不影响. 3 3 (Ⅰ)求比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分的概率;
为 (Ⅱ)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , Q 为 AD 的中点,
?

PA ? PD ? AD ? 2 .
(Ⅰ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定 t 的值,使 PA // 平面 MQB ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,求二面角 M ? BQ ? C 的大小. P M

Q A 20. (本小题满分 12 分) 数列

D B

C

第 19 题图

?an? 中 , 已 知 a1 ? 1 , n ? 2 时 ,

1 2 2 an ? an?1 ? n?1 ? . 数 列 ?bn? 满 足 : 3 3 3

bn ? 3n?1(an ?1) (n ? N * ) .
(Ⅰ)证明: ?bn ? 为等差数列,并求 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?

S ?m 3m ? an ? 1 ? 的前 n 项和为 Sn ,是否存在正整数 m, n ,使得 n ? m ? Sn?1 ? m 3 ? 1 ? n ?

成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 (m, n) ;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 13 分) 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. 如图,“盾圆 C ”是由椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4x 中两段曲线弧合成, 2 a b

F1、 2 为椭圆的左、右焦点, F2 (1,0) . A 为椭圆与抛物线的一个公共点, AF2 ? F
(Ⅰ)求椭圆的方程;

5 . 2

(Ⅱ)求定积分时,可以使用下面的换元法公式:函数 y ? f ( x) 中,令 x ? ? (t ) , 则

?
?

b

a

. b f ( x)dx ?? f ?? (t )? d? (t ) ?? f ?? (t )???(t )dt (其中 a ? ? (t1) 、 ? ? (t2 ) )
t2 t2 t1 t1



1

0

1 ? x 2 dx ? ? 2 1 ? sin 2 td (sin t ) ? ? 2 cos t (sin t )?dt ? ? 2 cos 2 tdt ? ? 2
0 0 0 0

?

?

?

?

1 ? cos 2t dt . 2

阅读上述文字,求“盾圆 C ”的面积. (Ⅲ) F2 作一条与 x 轴不垂直的直线, 过 与“盾圆 C ”依次交于 M、 、、 四点, P 和 P? N G H 分别为 NG、MH 的中点,问 明理由.

MH PF2 ? 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说 NG P?F2
y

M

A

N

F1 O
22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值;

F2
G
H

x

第 21 题图

(Ⅱ)证明:对 ?x1, x2 ? (0, ??) ,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ?ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? ;

(Ⅲ)若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,证明: ? xi ln xi ? ? ln 2n
i ?1

2n

. (i ,n?N* )

数学(理)试卷答案
BBCD ABAC AC 12 答案: 5 13 答案: e
2

11 答案: ?15 14 答案: (1) an 1 答案:B

(2) 2 ? 1 或 ? 2 ? 1;

5 ?1 15 答案: 2 2

16 答案:

1 2

解析:设 z ? bi(b ? R) ,则 2 答案:B

b 2 ? 4 ? 9 ? b ? ? 5 ,则 z ? ? 5i .

解析:甲 ? 乙,例如, x ? 1, y ? 4 ; ? 乙 ? 甲,若 x ? y ? 5 , x ? 2 或 y ? 3 ” “ 则 的逆否命题为 “若 x ? 2 且 y ? 3 , x ? 则 此逆否命题为真命题,所以原命题为真命题. 3 答案:C 解析:由题易知 2c ? 2 4 答案:D 解析:排除法.偶数字相邻,奇数字也相邻有 A3 A2 A2 有 A2 A2
2 2 3 2 2 2 2 ? 4 ,故 A3 A2 A2 ? A2 A2 ? 20 . 3 2 2

y ? 5”

3, b ? 2 ,故 a ? 1,这样的双曲线标准方程有两个.
? 24 ,然后减去 0 在首位的情况,

5 答案:A 解析:由 cos(?

? 1 ? 3 得, cos(2? ? ) ? ? , ? )? 3 3 6 3

所以 sin(2? 6 答案:B

? ? ? ? 1 ? ) ? sin(2? ? ? ) ? ? cos(2? ? ) ? . 6 3 2 3 3
2 ? 2.5 ? 2.25 2 0.01 ? 0.5 ? 2.02 . 0.25

解析:样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标,为 中位数是频率为 0.5 时,对应的样本数据,

由于 (0.08 ? 0.16 ? 0.30 ? 0.44) ? 0.5 ? 0.49 ,故中位数为 2 ? 7 答案:A 解析:设方格边长为 x ,则 (

x?2 2 1 ) ? ? x ? 3. x 9

8 答案:C 解析:此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,体积 V 9 答案:A 解析: CD ? xOA ? yBC ? xOA ? y(OC ? OB) ? ( x ? y)OA ? yOC

1 1 10 ? [ 4? ? 2 ? 4? ?1] ? ? . 2 3 3
??? ? ??? ?
y D

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ? 1 3 设 OA ? 1,建立如图所示坐标系,则 CD ? (? ,1 ? ), 2 2 ??? ? 1 ??? ? 3 3 . OA ? (?1,0) , OC ? ( , ? ) ,故 x ? y ? ? 2 2 3
10 答案:C 解析:由题 f ( x) ? log 2 x ? C ( C 为常数) ,则 A

O C

B

x

f ( x) ? log2 x ? C

第 9 题图

故 f [ f ( x) ? log2 x] ? f (C) ? log2 C ? C ? 3 ,得 C ? 2 ,故 记 g ( x) ?

f ( x) ? log2 x ? 2 ,

f ( x) ? f ?( x) ? 2 ? log 2 x ?

1 在 (0, ??) 上为增函数 x ln 2

且 g (1) ? ?

1 1 2ln 2 ? 1 ? 0, g (2) ? 1 ? ? ?0, ln 2 2ln 2 2ln 2

故方程 f ( x) ? f '( x) ? 2 的解所在的区间是(1,2) . 11 答案: ?15 12 答案: 5 解析:由题意,得:

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2

? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环;当 n ? 1 时,循环终止,这是关键,输出 k ? 5 . 13 答案: e
2 2

解析: (ln x ? ln y ? ln z)[2 ? (?1) ? (?1) ] ? (2ln x ? ln y ? ln z)
2 2 2 2 2

2

14 答案: (1) an

(2) 2 ? 1 或 ? 2 ? 1;

5 ?1 2
? ? ? ? ? ??? ? 2 ? 1 . ? ??

解析: (Ⅰ)若 a ?

2 时, a1 ? ? ?? ? 2 ? 1 ,则 a2 ? ?

(Ⅱ)当 a ?

1 1 1 时,由 an ? a 知, a ? 1 ,所以 a1 ? ?a? ? a , a2 ? ? ? ,且 ? (1,3) . a a 3

①当

1 1 ? 1 5 ?1 ? 5 ?1 ? (1, 2) 时, a2 ? ? ? ? ? 1 ,故 ? 1 ? a ? a ? (a ? 舍去) a a a a 2 2

②当

1 1 ? ? ? [2,3) 时, a2 ? ? ? ? ? 2 ,故 ? 2 ? a ? a ? 2 ? 1 ( a ? ? 2 ? 1 舍去) a a a a

综上, a ?

2 ? 1或

5 ?1 2

15 答案: 2 解析:将 ? sin 2 ? ? 8cos? ? 0 化为普通方程即 y 2 ? 8x ,得 F (2,0) 16 答案:

1 2

AM 解析:作两圆的公切线 MDE ,连结 AO , CO? ,则 AB 2 ? AC ? 2 AB AM ?AC AC ? ? 所以 2 AM AM 2 AM
由弦切角定理知 ?AOM ? 2?EMA , ?CO?M ? 2?EMA , 则 ?AOM ? ?CO?M , AO ? CO? ,

E

A

C
M
M D

B

O? O
’ ‘
第 16 题图

AB 1 1 AC OO? 4 ? 3 ? ? . 所以 ,即 ? ? AM 4 2 AM AO 4
17 答案: (1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ?

??

?

2 ?0 2

即 cos ? B ? C ? ? ?

2 ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 2
4分

所以

cos A ?

2 ? ,A? . 2 4
,C ? 3? ?B, 4

(2)由 A ?

?
4

故 sin B ? cos( 由 B ? (0,

7? ? 3 3 ? ? C ) ? sin B ? cos( B ? ) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 12 6 2 2 6
8分

? 3? ? ) ,故 3 sin B ? cos(C ? ) 最大值时, B ? . 3 4 4 a b ? ? 2 ,得 b ? 3 由正弦定理, sin A sin B


1 6 ? ? 3? 3 ab sin C ? sin( ? ) ? . 2 2 4 3 4

12 分

18 答案: (Ⅰ)比赛进行 4 局结束,且乙比甲多得 2 分即头两局乙胜一局,3,4 局连胜,
1 则所求概率为 P ? C2

1 2 1 1 4 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81

4分

(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 则 P (? ? 2) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?

2 3

1 3

5 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 , P (? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 9 33 3 33 3 81

1 P(? ? 6) ? (C2

1 2 2 16 ) ? 33 81

故 ? 的分布列为

?
P

2

4

6
16 81
10 分

5 9

20 81

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81 1 19 解:(I)当 t ? 时, PA // 平面 MQB 3
则 E? ? 2 ? 证明:连 AC 交 BQ 于 N ,连 MN . 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,? 若t ?

12 分

AQ AN 1 AN 1 ? ? ,所以 ? . BC NC 2 AC 3

1 PM 1 AN ? ? ,即 , ? PA // MN 3 PC 3 AC
4分

由 MN ? 平面 PAC ,故 PA // 平面 MQB . (II)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,连 BD, ∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB, 由 ∠BAD=60° 得△ABD 为正三角形, 又∵ 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ Q 以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为

8分

x, y , z 轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
A(1,0,0),B( 0, 3, 0 ),Q(0,0,0),P(0,0, 3 ) 设平面 MQB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,
? ??? ? ? ??? ? ? ?n ? QB ? 0 ?n ? QB ? 0 ? 3 y ? 0 ? ? ? 可得 ? ? ???? ,? 令 z=1,解得 n ? ( 3,0,1) ,? PA // MN ,? ? ? ??? ? ? ?n ? MN ? 0 ?n ? PA ? 0 ? x ? 3z ? 0 ? ? ?

取平面 ABCD 的法向量 QP ? 0,0, 3 ,设所求二面角为 ? ,

?

?

则 cos? ?

| QP ? n | | QP | | n |

?

1 2

故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60° .

12 分

20 解答: (Ⅰ)方法 1:由 n ? 2 时, an ? 两边同时乘以 3
n?1

1 2 2 1 2 an?1 ? n?1 ? 得, an ? 1 ? (an?1 ? 1) ? n?1 3 3 3 3 3

得, 3n?1(an ?1) ? 3n?2 (an?1 ?1) ? 2 ,即 n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 2

故 {bn} 是公差为 2 的等差数列. 又 b1 ? 30 ? 2 ? 2 , 所以 bn ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n . 方法 2: n ? 2 时, bn ? bn?1 ? 3n?1(an ?1)? 3n?2 (an?1 ?1) ,代入 an ? 整理得 bn ? bn ?1 ? 3
n ?1

6分

1 2 2 an?1 ? n?1 ? 3 3 3

1 2 1 ( an?1 ? n?1 ? ) ? 3n?2 (an?1 ? 1) ? 2 , {bn} 是公差为 2 的等差数列. 故 3 3 3 a ?1 2 ? n?1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? 3n?1(an ?1) ? 2n ,故 n n 3 1 2(1 ? n ) 3 ? 3(1 ? 1 ) 所以 S n ? 8分 1 3n 1? 3 1 1 1 3 ? m ? n?1 ? n n?1 Sn ? m 2 3 ? 1? 3 3 ? 1? 则 ? 1 Sn?1 ? m 3 ? m ? 1 (3 ? m)3n ? 1 3? m ? n 3n 3

2 1 Sn ? m 3m 1 ? m 因为 ,得 ? m ? 1? m n (3 ? m)3 ? 1 3 ? 1 Sn?1 ? m 3 ? 1 3 ?1

? (3 ? m)3n ?1 ? 0 , m ? N * ?m ? 1,2
当 m ? 1 时,

2 1 2 1 ? ? n ? 1 ;当 m ? 2 时, n ? ? n ? 1, 2 n 2 ? 3 ?1 4 3 ? 1 10
12 分

综上,存在符合条件的所有有序实数对 ( m, n) 为: (1,1) , (2,1),(2,2) .
2 21 解答: (Ⅰ)由 y ? 4 x 的准线为 x ? ?1 ,? AF2 ? x A ? 1 ?

5 3 ,故记 A( , 6) 2 2
3分

又 F1 (?1,0) ,所以 2a ? AF1 ? AF2 ?

7 5 x2 y 2 ? ? 6 ,故椭圆为 ? ?1. 2 2 9 8

? ? x2 y 2 8 ? ? 1 知, y ? ? 8 ? x 2 ,令 x ? 3sin t (? ? t ? ) (Ⅱ)由 2 6 9 8 9
3 8 S1 ? ? 2 8 ? x 2 dx ? ?3 9

??
6 ?

?

2

8 ? 8sin 2 td (3sin t ) ? 6 2 ? 6? cos2 tdt ? 3 2 ? 6? (1 ? cos 2t )dt
? 2 ? 2

?

?

? 1 3 6 ; ? 3 2( x ? sin 2 x) | 6? ? 2 2? ? ? 2 4 2
3 4 3 3 2 S2 ? ? 2 4 xdx ? ( x 2 ) |0 ? 6 0 3

根据对称性, “盾圆 C ”的面积为 2( S1 ? S2 ) ? 4 2? ? (Ⅲ)设过 F2 的直线为 x ? my ? 1(m ? 0) ,

6 . 2

7分

M ( xM , yM )、 ( xN , yN )、 ( xG , yG )、 ( xH , yH ) N G H
?16m ? ? x ? my ? 1 ? yM ? yH ? 8m2 ? 9 ? ? 联立 ? x 2 y 2 ,得 (8m2 ? 9) y 2 ? 16my ? 64 ? 0 ,则 ? ?1 ? y y ? ?64 ? ? 8 ?9 ? M H 8m2 ? 9 ?
联立 ?

? x ? my ? 1
2 ? y ? 4x

,得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,则 ?

? yN ? yG ? 4m ? yN yG ? ?4

yN ? yG MH PF2 y ? yH 2 由 M、 、、 、、 ? 共线,所以 N GH P P ? ? M ? NG P?F2 y N ? yG yM ? yH 2

代入韦达定理整理得,

MH PF2 ? ? NG P?F2

(16m) 2 ? 4 ? 64(8m2 ? 9) 8m2 ? 9 ? 16m 2 ? 16

4m ?3 16m 8m2 ? 9
13 分



MH PF2 ? 为定值 3 . NG P?F2

22 答案: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ,( 0 ? x ? 1 ),

1 x .令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 2 1? x 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ) 是减函数, 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( ,1) 是增函数, 2 2 1 1 1 所以 f ( x ) 在 x ? 时取得最小值,即 f ( ) ? ln . 2 2 2
则 f ?( x) ? ln x ? ln(1 ? x) ? ln

(4 分)

(Ⅱ)因为 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) ,所以 f ?( x) ? ln x ? ln(a ? x) ? ln 所以当 x ?

x . a?x

a 时,函数 f ( x ) 有最小值. ? x1,x2∈R+,不妨设 x1 ? x2 ? a ,则 2 x ?x x ?x x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? x1 ln x1 ? (a ? x1 ) ln(a ? x1 ) ? 2 ? 1 2 ln( 1 2 ) 2 2
(8 分)

? ( x1 ? x2 ) ?ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? .
(Ⅲ) (证法一)数学归纳法 ⅰ)当 n ? 1 时,由(Ⅱ)知命题成立. ⅱ)假设当 n ? k ( k∈N*)时命题成立, 即若 x1 ? x2 ? ? ? x2k ? 1 ,则 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ??? x2k ln x2k ? ? ln 2k . 当 n ? k ? 1 时, x1 , x2 ,?, x2k ?1 ?1 , x2k ?1 满足 x1 ? x2 ? ? ? x2k ?1 ?1 ? x2k?1 ? 1 . 设 F ( x) ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ?? x2k?1 ?1 ln x2k?1 ?1 ? x2k?1 ln x2k?1 , 由(Ⅱ)得 F (x) ?( x 1 ? 2)ln[( x 1 ?)2 ln2] x x ?

? ?? ( x

2k ?1 ? 1

x )ln[(1 ? 2 k?

x

2 k ?1 1?

x?2 ln2] ? ) k?1

= ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2k?1 ?1 ? x2k?1 )ln( x2k?1 ?1 ? x2k?1 ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2k?1 )ln 2 = ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ? ?? ( x2k?1 ?1 ? x2k?1 )ln( x2k?1 ?1 ? x2k?1 ) ? ln 2 . 由假设可得 F ( x) ? ? ln 2 ? ln 2 ? ? ln 2
k k ?1

,命题成立.

所以当 n ? k ? 1 时命题成立. 由ⅰ),ⅱ)可知,对一切正整数 n∈N*,命题都成立, 所以 若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,则

? x ln x ? ? ln 2
i ?1 i i

2n

n

. (i ,n?N* )

(13 分)

(证法二)若 x1 ? x2 ? ? ? x2n ? 1 , 那么由(Ⅱ)可得 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ?? x2n ln x2n

? ( x1 ? x2 )ln[( x1 ? x2 ) ? ln 2] ? ?? ( x2n ?1 ? x2n )ln[( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2] ? ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ??? ( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n )ln 2 ? ( x1 ? x2 )ln( x1 ? x2 ) ??? ( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? ln 2 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 )ln( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) ? ?( x2n ?1 ? x2n )ln( x2n ?1 ? x2n ) ? 2ln 2
? ? ? ( x1 ? x2 ? ... ? x2n )ln[( x1 ? x2 ? ?? x2n ) ? ln 2] ? (n ?1)ln 2 ? ? ln 2n .
(14 分)


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