tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列复习资料


高一下学期期末复习(1)—— 等差数列 班别 姓名 学号 主要计算公式 1、等差数列{ a n }的通项公式:a n = a 1 + ( n – 1 ) d ,推广:a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N ) 2、等差数列的前 n 项和公式:S n = n a 1 +

n(a1 ? a n ) 1 n(n–1)d= 2 2

/>
3、等差中项:若 a , A , b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

4、证明一个数列{ a n }是等差数列的方法:根据定义,只需证明 a n +1 -- a n = 常数 ( n∈N ) 5、等差数列{ a n }的判断方法: (1)定义法:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即有 a n +1 -- a n = d ,那么这个数列就叫做等差数列,常数 d 叫做这个等差数列的公差。 (2)通项公式法:数列的通项公式是关于 n 的一次函数, 即有 a n = a 1 + ( n – 1 ) d = d n + (a 1 – d ) = p n + q (一次项的系数即为公差) (3)前 n 项和公式法:数列的前 n 项和公式是关于 n 的没有常数项的二次函数,(二次项系数的 2 倍 即为公差)即有 S n = n a 1 +

1 1 1 n ( n – 1 ) d = d n 2 + (a 1 -- d ) n = A n 2 + B n 2 2 2
Sn ? An ? B ,所 n

(注意:①若数列的前 n 项和是 S n = A n 2 + B n + C,则当 C = 0 时,{ a n }是等差数列;当 C≠0 时, 数列{ a n }不是等差数列,但从第二项起,构成一个等差数列。②由于等差数列有

以数列{

Sn }为等差数列。 ) n

(4)中项公式法:a n --1 + a n +1 = 2 a n (n≥2) 6、等差数列{ a n }的主要性质: (1)当 d > 0 时,{ a n }是递增数列;当 d < 0 时,{ a n }是递减数列;当 d = 0 时,{ a n }是常数列; (2)若 m + n = 2 p,则 a m + a n = 2 a p(等差中项)( m , n∈N ) (3)若 m + n = p + q,则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) (4)记 A = a 1 + a 2 + … + a n,B = a n + 1+ a n + 2 + … + a 2 n,C = a 2 n + 1 + a 2 n + 2 + … + a 3 n,则 A , B , C 成等差数列,公差为 n d。即 S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列。 (5) 记奇数项之和为 S 奇, 偶数项之和为 S 偶, 若{ a n }共有 2 n 项, 则 S 偶 -- S 奇 = n d ,

S偶 S奇

?

a n ?1 ; an

若{ a n }共有 2 n – 1 项,S 奇–

S偶 =an ,

S奇 S偶

?

n n ?1

7、 特殊等差数列的设元方法: ①如果已知三个数成等差数列, 可设这三个数分别为 a – d , a , a + d (其 中公差为 d)②如果已知四个数成等差数列,可设这四个数分别为 a – 3d , a – d , a + d , a + 3d(其中 公差为 2d) 。
1

题型 1:妙用等差数列{ a n }的判断方法,从而提高解题速度。 1、由下列各表达式确定的数列{ a n }:① a n = –5 , ② a n = n 2 , ③ a n = –n , ④ S n = n 2 +1,其中表 示等差数列的序号是( ) (02 年市调研)答案:(C) (A) ①③④ (B) ①② (C) ①③ (D) ①②③④ 2、 已知数列{ a n }中, a 1 = 15, 3 a n + 1 = 3 a n – 2 ( n∈N + ), 则数列中乘积为负值的相邻两项是 ( (A) a 21 和 a 2 2 (B) a 2 2 和 a 2 3 (C) a 2 3 和 a 2 4 (D) a 2 4 和 a 2 5 答案:(C) )

3、设 S n 是数列{ a n }的的前 n 项和,且 S n = – n 2 ,则{ a n }是( ) (A) 等比数列,但不是等差数列 (B) 等差数列,但不是等比数列 (C) 等差数列,而且也是等比数列 (D) 既非等比数列又非等差数列 (01 年天津)答案:(B) 4、在公差为 d 的等差数列{ a n }中,S n = – n 2 + n,则( ) (A) d = –1 , a n = –n +1 (B) d = –2 , a n = –2n +2 (C) d = 1 , a n = n – 1 答案:(B) (D) d = 2 , a n = 2 n – 2

5、已知{an}、{bn}都是公差不为零的等差数列,则数列{ a n + b n }、{b n – a n }、{3 a n– b n}、 {5 a n + 4 b n}、{a n b n }、{ a n 2 }中有( )个是等差数列。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 答案:(B) 题型 2:等差数列的通项公式的应用 6、等差数列{ a n }中,已知 a 1 = (A) 48 (B) 49 (C)

1 ,a 2 +a 5 = 4 ,a n = 33,则 n 为( 3
(D) 51



50

(03 年全国文科)答案:(C)

7、等差数列{ a n }中,a 1 5 = 33 ,a 4 5 = 153 ,则 217 是这个数列的第___________项。答案:61

8、在公差不为零的等差数列{ a n }中,a1、a2 为方程 x 2 – a 3 x + a 4 = 0 的两根,则{ a n }的通项公式 是___________________________ 答案:a n = 2 n

9、已知定义在正整数集上的函数 f ( n )满足 f ( 1 ) = 8, f ( 4 ) = 2,而且对于任意的正整数 n 都有 f ( n + 2 ) + f ( n ) = 2 f ( n + 1 ),则 f ( n ) = ____________ 答案:f ( n ) = 10 – 2 n 题型 4、求等差数列前 n 项和公式的应用 10、在等差数列{ a n }中,已知 S 1 0 = 120 ,那么 a 1 + a 1 0 的值是( ) (A) 12 (B) 24 (C) 36 (D) 48 答案:(B) 11、在等差数列{ a n }中,已知 a 3 = 2,则该数列前 5 项之和为( ) (02 年市二摸) (A) 10 (B) 16 (C) 20 (D) 32 答案:(A)
2

12、设数列{ a n }的首项 a 1 = – 7,且满足 a n + 1 = a n + 2 ( n∈N) ,则 a 1 + a 2 + … + a 1 7 = _______ (01 年上海文科)答案:153 13、在等差数列{ a n }中,a 5 = 3,a 6 = –2,则 a 4 + a 5 + … + a 1 0 = _______(03 年上海文科卷) 答案:--49 14、在–9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n + 2 个数组成和为–21 的等差数列,则 n = _______答案:5

15、设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n,且 S 4 = – 62,S 6 = – 75 , (98 年市一模) (1)求{ a n }的通项公式 a n ; (2)求和| a 1 | + | a 2 | + … + | a 1 4 | 。 答案:(1) a n = 3 n – 23 , , (2) 147

16、设{ a n }为等差数列,S n 为数列{ a n }的前 n 项和,已知 S 7 = 7,S 15 = 75,T n 为数列{ 项和,求 T n。 (00 年全国文科卷)答案: Tn ?

Sn }的前 n n

1 2 9 n ? n 4 4

1 1 1 1 1 S 3 与 S 4 的等比中项为 S 5, S 3 与 S 4 的等差 3 4 5 3 4 32 12 中项为 1,求等差数列{ a n }的通项 a n。 (97 年全国文科)答案:a n = 1 或 a n = -n 5 5
17、设 S n 是等差数列{ a n }的前 n 项和,已知

18、一个凸多边形的内角度数成等差数列,它的公差是 5?,最小角是 120?,那么此多边形的边数为 ( )(A) 9 或 16 (B) 9 (C) 16 (D) 12 答案:(B) 19、甲、乙两物体分别从相距 70 米的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 米,以后每分钟比前 1 分 钟多走 1 米,乙每分钟走 5 米。 (1)甲、乙开始运动后_______分钟相遇。 (2)如果甲、乙到达对方 起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 米,乙继续每分钟走 5 米,那么开始运动______ 分钟后第二次相遇。 (02 年浙江文科卷)答案: (1)7(2)15
3

20、A , B 两物体自相距 30 米处同时相向运动,A 每分钟走 3 米,B 第一分钟走 2 米,且以后每分钟 比前一分钟多走 0.5 米,则 A 和 B 开始运动后_____________分钟相遇。 (03 年市一摸)答案:5 题型 5、等差数列性质的应用。 类型 1、关于公差 d 的讨论 21、在 a 和 b 两数之间插入 n 个数,使它们与 a、b 组成等差数列,则该数列的公差为( (A)



b?a n

(B)

b?a n ?1

(C)

a ?b n ?1

(D)

b?a n?2

答案:(B)

22、首项为 –24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围是( (A) d >

) 答案:(D)

8 3

(B) d < 3

(C)

8 ≤ d<3 3

(D)

8 <d ≤ 3 3

类型 2、若 m + n = 2 p,则 a m + a n = 2 a p(等差中项)( m , n∈N ) 23、在等差数列{ a n }中,已知 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 20,那么 a 3 等于( ) (A) 27 (B) 30 (C) 33 (D) 37 (03 年北京春季)答案:(A) 24、若{ a n }为等差数列,且 a 1 + a 4 + a 7 = 45,a 2 + a 5 + a 8 = 39,则 a 3 + a 6 + a 9 的值是( (A) 27 (B) 30 (C) 33 (D) 37 答案:(C) )

25、若{ a n }为等差数列,且 a 2 + a 5 + a 8 = 9 ,a 3 ? a 5 ? a 7 = --21 ,则 a 11 的值是__________答 案:15 或--9 26、在等差数列{ a n }中,a 5 + a 1 6 = 30,那么 S 2 0 的值是( ) (A) 150 (B) 300 (C) 600 (D) 1200 答案:(B) 27、在等差数列{ a n }中,a 2 + a 7 + a 1 2 = 21,则前 13 项之和 S 1 3 = __________ 28、在等差数列{ a n }中,已知前 15 项之和 S 1 5 = 90 ,那么 a 8 的值是( ) (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 12 答案:(C) 29、已知等差数列{ a n }满足 a 1 + a 2 + a 3+ … + a 1 0 1 = 0,则有( ) (00 年北京春季) (A) a 1 + a 1 0 1 > 0 (B) a 2 + a 1 0 0 < 0 (C) a 3 + a 9 9 = 0 (D) a 5 1 = 51 答案:(C) 类型 3、若 m + n = p + q,则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N ) 30、已知等差数列{ a n }中,a 2 + a 1 8 = 36,则 a 5 + a 6 + a 7 + … + a 15 的值是( (A) 130 (B) 156 (C) 180 (D) 198 答案:(D) 答案:91



31、已知等差数列{ a n }中,a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = 450,则 a 2 + a 8 的值是( ) (A) 45 (B) 75 (C) 180 (D) 300 (91 年高考上海卷)答案:(C)
4

类型 4、记 A = a 1 + a 2 + … + a n,B = a n + 1+ a n + 2 + … + a 2 n,C = a 2 n + 1 + a 2 n + 2 + … + a 3 n,则 A , B , C 成等差数列,公差为 n d。即 S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等差数列。 32、 已知等差数列{ a n }中, a 1 + a 2 + … + a 1 0 = 20 , a 1 1 + a 1 2 + … + a 2 0 = 30 , 那么 S 3 0 = ( ) (A) 40 (B) 90 (C) 120 (D) 150 答案:(B)

33、一个等差数列的前 10 项和是 48,前 20 项和是 60,那么它的前 30 项和是( (A) 72 (B) 84 (C) 36 (D) --24 答案:(C)



34、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 ( )项(A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10 (02 年北京春季)答案:(A)

类型 5、记奇数项之和为 S 奇,偶数项之和为 S 偶,若{ a n }共有 2 n 项,则 S 偶 -- S 奇 = n d ,

S偶 S奇

?

S奇 a n ?1 n ? ;若{ a n }共有 2 n -- 1 项,S 奇 -- S 偶 = a n , an S偶 n ? 1

35、在等差数列{ a n }中,公差为

1 ,且 a 1 + a 3 + a 5 +… + a 99 = 60,则 a 2 + a 4 + a 6 + … + a 100 2
(03 年市调研)答案:85,145

=___________ ,则前 100 项之和 S 1 0 0 =__________

36、已知等差数列{ a n }的公差 d = -- 2 ,a 1 + a 4 + a 7 + … + a 9 7 = 50 ,那么 a 3 + a 6 + a 9 + … + a 9 9 的值是__________ 答案:– 82

37、已知一个等差数列共有 21 项,那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是______答案:

11 10

38、一等差数列共有奇数项,且奇数项之和为 80,偶数项之和为 75,求此数列的中间项是______ 项数是______ 答案:5 ,31

题型 6、等差数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最大(小)值问题。 39、一个首项为正数的等差数列,它的前 5 项之和与前 13 项之和相等,那么它的前( 最大。(A) 18 (B) 13 (C) 10 (D) 9 答案:(D)

)项之和

5

40、 设{ a n }是等差数列, S n 是其前 n 项的和, 且 S 5< S 6 , S 6= S 7> S 8 , 则下列结论错误的是 ( ) (A) d < 0 (B) a 7 = 0 (C) S 9 > S 5 (D) S 6 与 S 7 均为 S n 的最大值 (02 年上海春季)答案:(C) 41、 已知数列{ a n }的通项公式为 a n = 26 – 2 n, 若要使此数列的前 n 项之和最大, 则 n 的值为( (A) 12 (B) 13 (C) 12 或 13 (D) 14 答案:(C) )

42、等差数列{ a n }中,| a 3 | = | a 9 |,公差 d < 0,则 S n 取得最大值时 n 的值为( (A) 4 或 5 (B) 5 或 6 (C) 6 或 7 (D) 不存在 答案:(B)



题型 7、特殊等差数列的设元方法。 特殊等差数列的设元方法:①如果已知三个数成等差数列,可设这三个数分别为 a – d , a , a + d (其中公差为 d) ②如果已知四个数成等差数列, 可设这四个数分别为 a – 3d , a – d , a + d , a + 3d (其 中公差为 2d) 。 43、设数列{ a n }是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( ) (01 年高考全国理科卷) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 答案:(B)

44、设等差数列由三个数组成,三个数的和为 21,三个数的平方和为 179,求此数列。答案:3, 7, 11 或 11, 7, 3

n 1 21 ?1? 45、已知等差数列{ a n },设 bn ? ? ? ,且 b 1 + b 2 + b 3 = ,b 1 b 2 b 3 = ,求数列{ a n }的通项 8 8 ?2?

a

公式。 答案:a n = 2 n – 3 或 a n = --2 n + 5

6

高一下学期期末复习(2)—— 等比数列 班别 姓名 学号 主要计算公式 1、等比数列{ a n }的通项公式:a n = a 1 q n – 1 ,推广:a n = a m q n – m 2、等比数列的前 n 项和公式: 当 q≠1 时,S n = ( m , n∈N )

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q = , 当 q = 1 时,S n = n a 1 1? q 1? q

3、等比中项:若 a , A , b 成等比数列,则 A 叫做 a 与 b 的等比中项,且 A 2 = a b。 4、证明一个数列{ a n }是等比数列的方法:根据定义,只需证明 5、等比数列{ a n }的判断方法: (1)定义法:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,即有 那么这个数列就叫做等比数列,常数 q(q≠0)叫做这个等比数列的公比。 (2)通项公式法:a n = a 1 q n – 1 = c?q n (c,q 均为非 0 常数)

a n ?1 = 常数 ( n∈N ) an

a n ?1 ?q, an

a1 (1 ? q n ) a1 n a1 a1 (3)前 n 项和公式法:S n = = q – = k q n – k ( q≠0 ,q≠1, k = 为常数) 1? q q ?1 q ?1 q ?1
(4)中项公式法:a n 2 = a n --1 ? a n +1 (n≥2 ,a n≠0) 6、等比数列{ a n }的主要性质: (1) 当 q >1 , a 1 > 0 或 0 < q < 1 , a 1 < 0 时, { a n }是递增数列; 当 q >1 , a 1 < 0 或 0 < q < 1 , a 1 > 0 时, { a n }是递减数列;当 q = 1 时,{ a n }是常数列;当 q < 0 时,{ a n }是摆动数列。 (2)若 m + n = 2 p,则 a p2 = a m ? a n(等比中项)( m , n∈N ) (3)若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q∈N ) (4)记 A = a 1 + a 2 + … + a n,B = a n + 1+ a n + 2 + … + a 2 n,C = a 2 n + 1 + a 2 n + 2 + … + a 3 n,则 A , B , C 成等比数列,公比为 q n。即 S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列。 7、特殊等比数列的设元方法:①如果已知三个数成等比数列,可设这三个数分别为

a , a , a q(其中 q

公差为 q)②如果已知四个数成等比数列,可设这四个数分别为

a a , , a q , a q 3(其中公差为 q 2) 。 3 q q

题型 1:妙用等比数列{ a n }的判断方法,从而提高解题速度。 1、设数列{ a n }的通项为 a n,前 n 项的和为 S n,则下列结论中正确的是__________ (1)若 S n = n 2 + n ,则{ a n }是等差数列; (2)若 S n = 2 n –1 ,则{ a n }是等比数列; (3)若 2 a n = a n + 1 + a n – 1 ( n≥2),则{ a n }是等差数列; (4)若 a n 2 = a n + 1 ? a n – 1 ( n≥2),则 { a n }是等比数列; 答案: (1) (2) (3)
7

2、已知等比数列{an}的公比 q≠1,则数列{a n a n+1}、{a n +1– a n}、{a n 3}、{n a n }中有( 是等比数列。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案:(C) 3、设等比数列{ a n }的前 n 项的和为 S n= 3 n + r ,那么 r 的值为________________ 题型 2:等比数列的通项公式的应用。 4、已知 2,a,b,c,4 成等比数列,则 b = ( (A) 2 2 (B) --2 2 (C) ? 2 2 答案:–1

)个

) (D) 8 (04 年市调研)答案:(A) 答案:

5、已知等比数列{ a n }中,公比为 2,则

2a1 ? a 2 = ___________ 2a 3 ? a 4

1 4

6、已知等比数列{ a n }中,a 4 = 18 ,a 6 = 8 ,则 q = ________

答案: ?

2 3

7、已知等比数列{an}中,a 4 a 7 = –512 ,a 3+a 8 = 124 ,且公比 q 为整数,则 a 1 0 = _____ 答案:512

8、已知等比数列 1, 3 , 3 , 3 ,…, 则 3 n + 1 是该数列的第________项;9 n 是该数列的第________项。 答案:2 n + 3 , 4 n + 1

1 2

2 2

3 2

9、已知数列{ a n }为等比数列,{ b n }是首项为零的等差数列,c n = a n + b n ,数列{ c n }的前三项为 1 , 1 , 2 , 试求{ c n }的通项公式和前 n 项的和。答案:c n = 2 n – 1 – n + 1, S n ? 2 ?
n

1 2 1 n ? n ?1 2 2

10、某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的 2000 元降到 1280 元,则这种手 机平均每次降价的百分率是( ) (01 年市二摸) (A) 10% (B) 15% (C) 18% (D) 20% 答案:(D)
8

11、彩色电视机的成本不断降低,若每隔 3 年彩色电视机降价 1 次,每次价格比上一次降低

1 ,现在 3

价格是 8100 元的彩电 n 年后的价格为 2400 元,则 n 值等于_________(03 年市调研)答案:9 12、某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂二个) ,经过 3 小时,这种细菌由 1 个可 以繁殖成_____个 (94 年高考全国卷)答案:512

13、设{ a n }是由正数组成的等比数列,公比 q = 2 ,且 a 1 a 2 a 3 … a 3 0 = 2 3 0, 则 a 3a 6a 9 … a 30 = ( ) (93 年高考全国卷)答案:20 2 0

14、在等比数列{ a n }中,公比 q = =________________

1 ,且 a 3 + a 6 + a 9 + … + a 9 9 = 60 ,则 a 1 + a 2 + a 3 + … + a 9 9 2
答案:90

15、在

8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____ 3 2

(05 年高考全国文科卷)答案:216

16、 在

1 与 n + 1 之间插入 n 个正数, 使这 n +2 个数组成等比数列, 则所插入的 n 个数的积是 ( n n n ?1



(A)

? n ?1? 2 (B) ? ? ? n ?

n

? n ?2 (C) ? ? ? n ? 1?

n

? n ?1? (D) ? ? ? n ?

n

答案:(B)

题型 4:等比数列前 n 项和公式的应用。 17、若等比数列{ a n }的前 n 项之和为 S n ,

S10 31 1 ? ,则此数列的公比 q 为_______ 答案: ? S 5 32 2

18、等比数列{ a n }中,已知 a 1 + a n = 66,a 2 a n – 1 = 128 ,前 n 项的和 S n = 126,求 n 和公比 q 答案:n = 2,q = 6 或 n = 6 ,q =

1 2

9

19、 在等比数列{ a n }中, 它的前 n 项和为 S n, 已知 S 3 = 3 a 3 , 求公比 q 的值。 答案: q=1或q=–

1 2

20、设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n,若 S 3 + S 6 = 2 S 9,求数列的公比 q(96 年高考全国文科卷) 。 答案: ?
3

4 ( 《三点一测》37 页例 4) 2

21、正项等比数列{ a n }的前 n 项和为 80,前 2 n 项和为 6560,数值最大的项为 54,求数列的首项 a 1 和公比 q。 ( 《三点一测》42 页练习 10)答案:a 1 =2 , q = 3

22、已知数列前 n 项之和为 S n =2 n –1 ,则此数列奇数项的前 n 项之和为( (A)

) 答案:(C)

1 n+1 (2 –1 ) 3

(B)

1 n+ 1 (2 –2) 3

(C)

1 2n (2 – 1 ) 3

(D)

1 2n (2 – 2 ) 3

题型 5:等比数列{ a n }的主要性质的运用 类型 1:若 m + n = 2 p,则 a p2 = a m ? a n(等比中项)( m , n∈N ) 23、已知一等比数列的前三项依次为 x , 2 x + 2 , 3 x + 3 ,则 x 的值是( ) (A) –1 (B) –4 (C) –1 或–4 (D) 1 或 4 答案:(C)

24、已知数列{ a n }为等比数列,前三项依次为 a , 则 T n =a 1 2 + a 2 2 + a 32 + … + a n 2 =(

1 1 1 1 a+ , a + ,且 S n = a 1 + a 2 + … + a n , 2 2 3 3 81 ?4? [1– ? ? ] 5 ?9?
n

)答案:(C)
n

?2? (A) 9 [ 1 – ? ? ] ?3?

n

?2? (B) 81 [ 1 – ? ? ] ?3?

(C)

?4? (D) 81 [ 1 – ? ? ] ?9?
)

n

25、在等比数列{ a n }中,a 1 < 0,a 2 ? a 4 + 2 a 3 ? a 5 + a 4 ? a 6 = 25 ,则 a 3 + a 5 = ( (A) – 5 (B) 5 (C) –10 (D) 10 答案:(A)
10

26、在等比数列{ a n }中,a 1 = (A)

?4

(B) 4

1 ,q = 2 ,则 a 4 与 a 8 的等比中项是( 8 1 1 (C) ? (D) 4 4

) 答案:(A)

类型 2:若 m + n = p + q,则 a m ? a n = a p ? a q ( m , n , p , q∈N ) 27、 在各项均为正数的等比数列{ a n }中, 若 a 5 ? a 6 = 9, 则 log 3 a 1 + log 3 a 2 + … + log 3 a 1 0 = ( (A) 12 (B) 10 (C) 8 (D) 2 + log 3 5 (93 年高考全国卷)答案:(B)

)

类型 3:记 A = a 1 + a 2 + … + a n,B = a n + 1+ a n + 2 + … + a 2 n,C = a 2 n + 1 + a 2 n + 2 + … + a 3 n,则 A , B , C 成等比数列,公比为 q n。即 S n , S 2 n – S n , S 3 n – S 2 n 组成等比数列。 28、在等比数列{ a n }中,a 1 + a 2 = 30,a 3 + a 4 = 120,则 a 5 + a 6 的值是_________答案:480

29、在等比数列{ a n }中,若 S 2 = 7,S 6 = 91,则 S 4 等于( ) (A) 28 (B) 32 (C) 35 (D) 49 答案:(A)

30、在等比数列{ a n }中,若 S n = 48,S 2 n = 60,则 S 3 n 等于( ) (A) 64 (B) 108 (C) 144 (D) 63 答案:(D)

题型 6:等差数列与等比数列的综合应用 31、设{ a n }为等差数列,{ b n }为等比数列,a 1 = b 1 = 1,a 2 + a 4 = b 3,b 2 b 4= a 3,分别求出{ a n } 及{ b n }的前 10 项的和 S 10 及 T10。 (02 年高考广东卷)答案:S 10 = ? T10 =

55 31 , T10 = (2 ? 2 ) 或 8 32

31 (2 ? 2 ) 32

11

32、已知等差数列{ a n }的公差和等比数列{ b n }的公比相等,且都等于 d,若 a 1 = b 1,a 3 = 3 b 3,

5 a 5 = 5 b 5,求 a n , b n。 (00 年春季高考北京卷)答案: a n ? (n ? 6) 5

? 5? ? bn ? ? 5 ? ? ? 5 ? ? ?

n ?1

38、已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列.(Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. (05 年高考福建卷)

解: (1)由题意可知, 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q ? a1 ? a1q,? 2q ? q ? 1 ? 0,? q ? 1或q ? ?
2 2

1 ; 2

(II) q ? 1时,Sn ? 2n ?

n ? n ? 1? 2

?

n ? n ? 3? 2

,

? n ? 2,? Sn ? bn ? Sn ?1 ?
当 n ? 2时,Sn ? bn

? n ? 1?? n ? 2 ? ? 0
2

?n ? n ? 9 ? 1 若q ? ? , 则Sn ? , 2 4 同理Sn ? bn ? ? ? n ? 1?? n ? 10 ? 4

? 2 ? n ? 9时,Sn ? bn , n ? 10时,Sn ? bn ,n ? 11时,Sn ? bn .
12

高一下学期期末复习(3)——数列的通项 班别 姓名 学号 题型 1、给出 a n 与 S n 的关系求通项公式 一般数列{ a n }的通项公式:记 S n = a 1 + a 2 + … + a n,则恒有 a n ? ? 类型 1:给出的 S n 是关于 n 的二次函数 1、数列{ a n }的前 n 项和为 S n = n 2 +

?

?S n ? S n ?1 ?n ? 2, n ? N ?

S1

?n ? 1?

1 1 n,求数列{ a n }的通项公式。答案:a n = 2n – 2 2

2、数列{ a n }的前 n 项和为 S n = n 2 +n,求数列{ a n }的通项公式。答案:a n =2 n 解: (1)当 n = 1 时,a 1 = S 1 = 2 (2)当 n≥2 时,a n = S n – S n – 1 = n 2 +n – (n–1) 2 – (n–1)= 2 n 上式当 n = 1 时,有 a 1 = 2,符合(1) ∴ 综上所述:a n =2 n 3、数列{ a n }的前 n 项和为 S n = 2 n 2 +n +1,求数列{ a n }的通项公式。 ( 《三点一测》20 页例 5) 答案: a n ? ?

? 4 ?4 n ? 1

?n ? 1? ?n ? 2?

4、数列{ a n }的前 n 项的和为 S n,且 S n = 3 +2 n ,求数列{ a n }的通项公式 a n 答案: a n ? ?

? 5 ?n ? 1? n ?1 ?2 ?n ? 2?

类型 2:给出的 S n 是关于 a n 的代数式

5、数列{ a n }的前 n 项和为 S n =

3 (an– 1) ,求数列{an}的通项公式。答案:a n = 3 n 2 1 (a n – 1) (a n + 3 ) 4

6、设{ a n }是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,且满足关系:S n = (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若 Tn ? (01 年市二模)答案:a n = 2 n + 1 ,

1 1 1 1 ? ? ??? ,求 T n S1 S 2 S 3 Sn

13

题型 2、一阶线性递推数列 a 1 = b ,a n +1 = c a n + d ( b , c , d 为常数,c ? 0,c ? 1)求通项问题

7、已知数列{ a n }中,a 1 = 1 ,a n +1 = 2 a n + 1,求数列{ a n }的通项公式及前 n 项和。 ( 《三点一测》35 页练习 5)答案:a n = 2 n – 1 ;S n = 2 n +1 – n – 2 解: (1)∵

an ?1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? ?2 an ? 1 an ? 1

∴ {an+1}是公比 q = 2 的等比数列 (2)设 b n = an+1 ,则 ∴ ∴ ∴ ∵

bn ?1 ? 2 ,b 1 = a1+1 = 1 + 1 = 2 bn

{bn}是公比 q = 2,首项 b 1 = 2 的等比数列 b n = 2×2 n – 1 = 2 n an+1 = 2 n ∴ a n = 2 n– 1 a1=2–1 a 2= 2 2– 1 a 3 = 2 3– 1 …… a n = 2 n– 1 S n = ( 2 + 22 + 23 + …… + 2n ) – n =



2 1 ? 2n ? n = 2 n +1 – n – 2 1? 2

?

?

8、已知数列{ a n }中,a1 = 1,a n +1= 3 a n +2, (1){a n +1}是等比数列;(2)求数列{ a n }的通项公式及前 n 项和。 解: (1)∵

an ?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 ? ?3 an ? 1 an ? 1

∴ {a n + 1}是公比 q = 3 的等比数列 (2)设 b n = a n +1 ,则 ∴ ∴ ∴ ∵

bn ?1 ? 3 ,b 1 = a1+1 = 1 + 1 = 2 bn

{bn}是公比 q = 3,首项 b 1 = 2 的等比数列 b n = 2×3 n – 1 an+1 = 2×3 n – 1 ∴ a n = 2×3 n – 1 – 1 a 1 = 2×1 – 1 a 2 = 2×3 – 1 a 3 = 2×3 2 – 1 ……
14

a n = 2×3 n – 1 – 1 ∴ S n = 2( 1+3+ 32 + 33 + …… + 3n– 1 ) – n = 2 ?

1 ? 1 ? 3n ? n = 3 n– n – 1 1? 3

?

?

题型 3、一阶线性递推数列 a n +1 =

can ( c, d 为非零常数)求通项问题 an ? d

方法:倒数变换。把 a n +1 =

can 1 1 1 取倒数得 ? ? ,则可转化为等差数列进行求解。 an ? c a n ?1 a n c
?1? 2a n 对任意自然数 n 都成立,且 a 1 = 1, (1)证明数列 ? ? 是等差 an ? 2 ? an ?

9、已知数列{ a n }中, a n + 1=

数列; (2)求{ a n }的通项公式。答案: a n =

2 n ?1

9、已知数列{ a n } ( n∈N)中,a 1 = 1,a n =

?1? a n ?1 (n≥2), (1)证明数列 ? ? 是等差数列; 1 ? a n ?1 ? an ?

(2)求{ a n }的通项公式。 ( 《三点一测》9 页练习 1)答案: an ? 解: (1)∵ an ?

1 n

an ?1 1 ? an ?1



1 1 ? an ?1 ? an an ?1



1 1 ? ?1 an an ?1



1 1 1 ? ? 1 ∴{ }是公差 d = 1 的等差数列。 an an ?1 an 1 1 ?1 , 则 b n – b n –1 = 1 ,b 1 = an a1

(2)设 b n =

∴{b n}是公差 d = 1,首项 b 1 = 1 的等差数列 ∴ bn=b1+(n–1)d=1+(n–1)=n 即

1 =n an

∴ an ?

1 n

15

题型 4:用累加法求数列的通项。 利用恒等式 a n = a 1 + (a 2-- a 1 ) + … + (a n -- a n --1 )求数列的通项公式。 适用于已知条件 a n +1 = a n + f ( n ) 10、已知数列{a n }满足 a 1 = 2,a n + 1 – a n = –1 ( n∈N ),则{a n }的通项 a n =______

答案:3 – n

11、数列{ a n }中,a 1 = 0,a n +1 = a n + 2 n – 1 ,求数列{ a n }的通项 a n

答案:a n = ( n – 1 ) 2

12、数列{ a n }中,a1=1,a n +1 = a n+ 2 n,求数列{ a n }的通项公式。 解:∵ a n +1 – a n = 2 n ∴ a 2 – a 1 = 2 1 ,a 3 – a 2 = 2 2 , a 4 – a 3 = 2 3 , …… ,a n – a n – 1 = 2 n – 1 把上面的 n – 1 个式子相加有: a n – a 1 = 2 + 2 2 + 2 3+ ……+ 2 n – 1=

2 1 ? 2n ?1 = 2 n– 2 1? 2

?

?

∴ a n= 2 n– 1

题型 5:用累乘法求数列的通项。 利用恒等式 a n ? a1 ?

a a a 2 a3 a 4 ? ? ? ? ? n 求数列的通项公式。适用于已知条件 n = f ( n ) a1 a 2 a3 a n ?1 a n ?1

13、数列{ a n }的前 n 项和为 S n = 2 (a n – 1) ,求数列{ a n }的通项公式。 解: ∵S n = 2 ( a n – 1) ① S n – 1 =2 (a n – 1– 1) ② ∴ ∴ ∵ ∴ ① – ②得:an = 2an – 2an– 1 {an}是公比 q = 2 的等比数列 a1 =2(a1– 1) ∴ a1 = 2 a n = 2×2 n– 1 = 2 n 即 an = 2 an – 1 ∴

an ?2 an ?1

14、数列{ a n }中,a1=1, an ?1 ? 解:∵

n an ,求数列{ a n }的通项公式。 n ?1

an ?1 n ? an n ?1
16



a2 1 a3 2 a4 3 a n ?1 , ? , ? , ? ,……, n ? a1 2 a2 3 a3 4 an ?1 n an 1 ? a1 n
∴ an ?

把上面的 n – 1 个式子相乘有

1 n

15、设{ a n }是首项为 1 的正项数列,且( n + 1 ) a n + 1 2 – n a n 2 + a n + 1 a n =0 ( n = 1 , 2 , 3 ,… ),则它 的通项公式是 a n =________(00 年高考全国卷)答案:

1 n

17


推荐相关:

数列复习资料

高一下学期期末复习(1)—— 等差数列 班别 姓名 学号 主要计算公式 1、等差数列{ a n }的通项公式:a n = a 1 + ( n – 1 ) d ,推广:a n = a...


高二数学数列复习资料

高二数学数列复习资料_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高二数学数列复习资料_数学_高中教育_教育专区。个性化学案 数列专题复习适用学科...


数列复习资料

1/bn+1/4,即 1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2). 因此数列{1/bn-1/2}是首项为 1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6,公比为 1/2 的等比 数列. 故 ...


高考数列复习题

高考数列复习题。数列复习题(高考样题) 数列复习题(高考样题)一、选择题: {a n } 中, a 7 + a 9 = 16, a 4 = 1, 则a12 的值是) 1. (福建卷)...


高2015届数列复习资料

高2015 届数列复习资料一、基础知识: 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的...


高中数列总复习资料

高中数列总复习资料_数学_高中教育_教育专区。高中数列总复习资料2013 届高复习材料---数列一、考纲解读 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是...


2015新课标高中数学 数列专题复习 学生版 一轮二轮复习资料

2015新课标高中数学 数列专题复习 学生版 一轮二轮复习资料_数学_高中教育_教育...??? 即:首尾颠倒相加,则和相等 1、等差数列中连续 m 项的和,组成的新数列...


高一数学数列复习题精华

数列复习题一、选择题 1、若数列{an}的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) (A)是公差为 2 的等差数列 (B)是公差为 3 的等差数列 (C) 是公差...


高一数列复习讲义

高一数列复习讲义_数学_高中教育_教育专区。数列复习讲义(一) 知识点 一、数列的概念 1.数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列. 2.数列的通项公...


数列基础知识复习题与答案

数列基础知识复习题与答案_数学_高中教育_教育专区。必修 5 数列习题与答案 一、选择题 1、若数列{an}的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) (A)是...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com