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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章平面向量 章末复习课


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题型一
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数形结合思想在向量中的运用 → → → 例 1 已知向量OB=(2,0), =(2,2), =( 2cos α, 2sin α), OC CA → → 则OA与OB夹角的范围是 ( ) ? ?π 5π? π? A.?0,4 ? B.?4 ,12 ? ? ? ? ? ?π ?5π π? 5π? C.?12,12? D.?12 ,2 ? ? ? ? ?

解析 建立如图所示的直角坐标系. → → ∵OC=(2,2),OB=(2,0), → CA=( 2cos α, 2sin α),

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∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2为半径的圆.
过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连接 CM、CN, → → → → 如图所示,则向量OA与OB的夹角范围是∠MOB≤〈OA,OB〉 ≤∠NOB. 几何画板演示 → → → 1→ ∵|OC|=2 2,∴|CM|=|CN|= |OC|, 2 π π 知∠COM=∠CON=6,但∠COB=4.
π 5π π 5π → → ∴∠MOB=12,∠NOB=12,故12≤〈OA,OB〉≤12.
答案 C

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小结 数形结合是求解数学问题最常用的方法之一,其大致有 以下两条途径: (1)以数解形, 通过对数量关系的讨论, 去研究图形的几何性质. (2)以形助数,一些具有几何背景的数学关系或数学结构,如能 构造与之相应的图形分析,则能获得更直观的解法,这种解题 思想在不少章节都有广泛的应用.

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跟踪训练 1 已知向量 a=(1,1),b=(1,a),其中 a 为实数,O ? π? 为原点,当此两向量夹角在?0,12?变动时,a 的范围是 ( ) ? ? ? 3 ? ? A.(0,1) B.? , 3? ? ? 3 ? ? 3 ? ? C.? ,1?∪(1, 3) D.(1, 3) ? ? 3 ?

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→ 解析 已知OA=(1,1),即 A(1,1),如图所示, π 当点 B 位于 B1 和 B2 时,a 与 b 夹角为 ,即 12 π π π ∠AOB1=∠AOB2= , 此时, 1Ox= - ∠B 12 4 12 π π π π = ,∠B2Ox= + = , 6 4 12 3

? B1?1, ? ?

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3? ? ,B2(1, 3),又 a 与 b 夹角不为零, 3? ?
? 的范围是? ? ?

故 a≠1,由图易知 a

3 ? ? ,1?∪(1, 3). 3 ?

答案 C

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题型二 基底思想在解题中的应用

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→ → 例 2 设点 O 是△ABC 的外心, AB=13, AC=12, 则BC· = AO ________.
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解析

→ → 设{AB,AC}为平面内一组基底.如图

所示, 为△ABC 的外心, M 为 BC 中点, O 设 连接 OM、AM、OA, 则易知 OM⊥BC. → → → 又由BC=AC-AB, → → → 1 → → → AO=AM+MO=2(AB+AC)+MO.

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→ → → → → → → → → ∴BC· =BC· +MO)=BC· +BC· AO (AM AM MO → → → → =BC· (其中BC· =0) AM MO → → 1 → → =(AC-AB)·(AB+AC) 2 1 →2 →2 1 25 2 2 = (AC -AB )= ×(12 -13 )=- . 2 2 2 25 答案 - 2 小结 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础,它表明
同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线 性组合. 能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底 来表示.这样,几何问题就转化为代数问题.

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→ 跟踪训练 2 如图所示, 在△ABC 中, = AN 1→ → → NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ 3 3 2→ 11 AC,则实数 m 的值为________. 11 → → 解析 设BP=λBN, → → → → → 2→ 则BP=BA+AP=-AB+mAB+ AC 11 → 2→ =(m-1)AB+ AC. 11 → → → → 1→ BN=BA+AN=-AB+4AC. 1 2 3 → → ∵BP与BN共线,∴4(m-1)+11=0,∴m=11.

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题型三 向量坐标法在平面几何中的运用

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例 3 已知在等腰△ABC 中,BB′,CC′是两腰上的中线, 且 BB′⊥CC′,求顶角 A 的余弦值的大小.

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建立如图所示的平面直角坐标系,设

A(0,a),C(c,0),则 B(-c,0), → → → → OA=(0,a),BA=(c,a),OC=(c,0),BC= (2c,0).
因为 BB′、CC′为 AC、AB 边的中线,
1 → → ?3c a? → 所以BB′=2(BC+BA)=? 2 ,2?, ? ? ? 3c a? → 同理CC′=?- 2 ,2?. ? ?

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→ → → → 因为BB′⊥CC′,所以BB′· CC′=0,
9c2 a2 即- + =0,a2=9c2, 4 4 → → 2 2 2 2 AB· AC a -c 9c -c 4 又 cos A= = 2 2= 2 2=5. → → a +c 9c +c |AB||AC|
4 即顶角 A 的余弦值为5.

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小结 把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向 量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从 而解决问题.这种解题方法具有普遍性.

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跟踪训练 3 若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足 → 1→ 2→ → → -2 CM= CB+ CA,则MA· =________. MB 6 3 解析 建立如图所示的直角坐标系,根据题设
本 课 条件即可知 时 栏 A(0,3),B(- 3,0),M(0,2), 目 → → 开 ∴MA=(0,1),MB=(- 3,-2). 关

→ → ∴MA· =-2. MB

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1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,它的运算也因 为这两种不同的表示方法而有两种方式,因此向量问题的
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解决,理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法 和基于坐标表示的代数法,在具体做题时要善于从不同的 角度考虑问题.

2.向量是一个有“形”的几何量,因此,在研究向量的有关 问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,这是研究平 面向量最重要的方法与技巧.


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