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二项式定理竞赛辅导


1.n元集S ? ? 1,2,3, ?, n? 的子集个数有多少个?

2. 已知 A= ?1,2,3, ?,13,14? ,函数 f ?x ? 的定义域为 值域是集合 A 的含有三个元素的子 ?1,2,3?, 集,且满足 f (2) ? f (1) ? 3, f (3) ? f (2) ? 3 ,则这样不同 的函数 f ?x? 共有多少个? 3.设有红、 黑

、 白三种颜色的球各 10 个, 现将它们全部放入甲、乙两个袋子中, 要求每个袋子里三种颜色都有,且甲乙 两个袋子中三种颜色球数之积相等,问 共有多少种放法? 4.白子 5 个,黑子 10 个排成一横行,要 求每个白子的右邻必须是黑子,共有多 少种放法? 5.有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人 结成一对互发互收,有多少种不同的结 对方式? 6.(不定方程整数解的个数问题) (1)求方程的 x ? x ? x ? x ? 12 正整数解 (2) (自然数解)把 7 个大小完全相同 的小球,放置在不同的三个盒子中,允 许有的盒子一个也不放, ,有多少种放 法?
1 2 3 4

练习:不定方程 x ? x ??? x 有多少组?
1 2

10

? 100

的正整数解

7. 某市有 7 条南北向街道,5 条东西 向街道。图中共有多少个矩形?
B

A

8. 在一个圆周上有 N 个点(N 大于等 于 4) ,用线段将它们彼此相连,若这些 线段中的任意 3 条在圆内都不共点,那 么这些线段在圆内共有多少个交点? 9. 设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中 有且仅有两条直线互相平行,任意三条 不过同一点. 若用 f(n)表示这n条直线交 点的个数,则 f(4) _____________;当 n > 4 时 , f(n) = _____________ . 5,
1 (n ? 2)( n ? 1) 2

10 如图,设六边形 ABCDEF 为正六边 形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次 可随意地跳到相邻两顶点之一,若在 5 次之内跳到点 D,则停止跳动;若 5 次 之内不能到达点 D,则跳完 5 次也停止 跳动,那么这只青蛙从开始跳到停止, 可能出现的不同跳法共有多少种?
A B C D F

E

11. 小华登上 10 级台阶,每一步只 能登上 1 级或 2 级台阶,他登上 10 级台 阶共有多少种不同的登法? 12. N 个人进行棋类比赛 (每两个人 进行一场比赛) ,其中有 2 人各 赛 3 场 后,因故退出了比赛,因此这次比赛一 共进行了 83 场,问开始参赛的人有多少 个? 13 设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小

的数大于 A 中最大的数,则不同的选择 方法共有多少种? 14 多项式(1? x ? x ? x ??? x )的展开式在合并同类项 后,求x 的系数
2 3 100 3 150

) 的展开式中的常数项 15 求 ( x ? 1 ? 1 x
7

16. (1? 2x ? 3x ) 的展开式中 x 的系数
2 6
5

) ?3 17.求证:对一切 n ? N ,都有 2?(1 ? 1 n
*
n

18.设 (x ? 2x ? 2) ? a ? a (x ? 2) ? a (x ? 2) ??? a (x ? 2) , 其中 a (i ? 0,1,2,?,12) 为实常数,求 a ? a ? 2a ? 3a ? ?? 12a 的值 19.求 ( 2 ? 3) 的小数点后一位数字 20.若 ( 5 ? 2) ? m ? ? (r, m ? N ,0?? ?1) ,求证: ? (m ? ? ) ? 1 顺序确定的排列问题 21.七个人站成一排,其中甲在乙前(不 一定相邻) ,乙在丙前,则共有多少种不 同的站法?
2 6 2 12 0 1 2 12
i 0 1 2 3 12

2010

2 r ?1

*

22. 某工程队有 6 项工程需要先后单独 完成,其中工程乙必须在工程甲完成后 才能进行,工程丙必须在工程乙完成后 才能进行,又工程丁必须在工程丙完成 后立即进行,那么安排这 6 项工程的不

同排法种数是 _____________ . ( 用数字 作答) 23. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已 排成节目单,开演前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原 节目单中,那么不同插法的种数为 (A)42 (B)30 (C)20 (D)12 25.把 4 个相同的黑球和 3 个相同的白 球排成一排,其排法总数是多少? 24.求 (a ? b ? c) 展开式里含 a b c 的系数
7
3 2 2


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