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2014届高三数学二轮专题复习课后强化作业 3-1等差、等比数列的通项、性质与前n项和 Word版含详解]


基本素能训练 一、选择题 1.(2013· 新课标Ⅰ理,7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1 =-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 C.5 [答案] C [解析] Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3, ∴d=am+1-am=3-2=1, Sm=a1m+ m?m-1? · 1=0,① 2 B.4 D.6 )

am=a1+(m-1)· 1=2, ∴a1=3-m.② m2 m ②代入①得 3m-m + 2 - 2 =0,
2

∴m=0(舍去)或 m=5,故选 C. S4 S6 2.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1,S =4,则S 的
2 4

值为( 9 A.4 5 C.3

) 3 B.2 D.4

[答案] A [解析] 由等差数列的性质可知 S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,

S4-S2 S4 由S =4 得 S =3,则 S6-S4=5S2, 2 2 S6 9 所以 S4=4S2,S6=9S2,S =4.
4

3.(2012· 昆明第一中学检测)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, S6 且 4a3-a6=0,则S =(
3

)

A.-5 C.3

B.-3 D.5

[答案] D [解析] ∵4a3-a6=0,∴4a1q2=a1q5,∵a1≠0,q≠0, a1?1-q6? 1-q 1-q6 S6 3 3 ∴q =4,∴S = 3 = 3=1+q =5. a1?1-q ? 1-q 3 1-q 4.(2013· 新课标Ⅱ理,3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 =a2+10a1,a5=9,则 a1=( 1 A.3 1 C.9 1 B.-3 1 D.-9 )

[答案] C [解析] ∵S3=a2+10a1, ∴a1+a2+a3=a2+10a1, a3=9a1=a1q2, ∴q2=9,又∵a5=9,∴9=a3· q2=9a3,∴a3=1, 1 又 a3=9a1,故 a1=9. 5.(2013· 安徽文,7)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3, a7=-2,则 a9=( A.-6 ) B.-4

C.-2 [答案] A

D.2

? ? ? ?S3=4a3 ?3a1+3d=4a1+8d ?a1=10, [解析] ? ?? ?? ?a7=-2 ?a1+6d=-2 ? ? ? ?d=-2.

∴a9=a1+8d=-6. 6.(2013· 东城区模拟)已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2-
2 a7 +2a12=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b3b11 等于(

)

A.16 C.4

B.8 D.2

[答案] A
2 [解析] 由已知,得 2(a2+a12)=a7 ,4a7=a2 a7=4,所以 b7=4, 7, 2 b3b11=b7 =16.

7.(2013· 沈阳质检)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=15, S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线的斜率为( A.4 C.-4 [答案] A [解析] 由条件知 S5= 5?a1+a5? =55,故 a1+a5=22,根据等差 2 1 B.4 D.-14 )

数列的性质知 a1+a5=2a3=22, 故 a3=11, 因为 a4=15, 则过点 P(3, a3),Q(4,a4)的直线的斜率为 kPQ= a4-a3 4 = =4,故选 A. 4-3 1

8.(2013· 镇江模拟)已知公差不等于 0 的等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,如果 S3=-21,a7 是 a1 与 a5 的等比中项,那么在数列{nan} 中,数值最小的项是( A.第 4 项 )

B.第 3 项

C.第 2 项 [答案] B

D.第 1 项

[解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则由 S3=a1+a2+a3=3a2 =-21,得 a2=-7,又由 a7 是 a1 与 a5 的等比中项,得 a2 a5, 7=a1· 即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d),将 a2=-7 代入,结合 d≠0,解得 d 3 =2,则 nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n,对称轴方程 n=24,又 n∈ N*, 结合二次函数的图象知, 当 n=3 时, nan 取最小值, 即在数列{nan} 中数值最小的项是第 3 项. 二、填空题 9.(文)(2012· 吉林一中模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S2=10,S5=55,则过点 P(n,an),Q(n+2,an+2)的直线的斜率是 ________. [答案] 4 n-1 Sn S5 S2 [解析] 设等差数列{an}的公差为 d,则 n =a1+ 2 d,故 5 - 2 an+2-an 3d = 2 =6,解得 d=4.故直线 PQ 的斜率为 2 =d=4. (理)(2013· 广东六校联考)设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切 线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 则 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012 的值为________. [答案] -1 [解析] 因为 y′=(n+1)xn, 所以在点(1,1)处的切线的斜率 k=n +1, 0-1 n 所以 =n+1,所以 xn= , xn-1 n+1 所以 log2013x1+log2013x2+?+log2013x2012

=log2013(x1· x2· ?· x2012) 1 2 2012 =log2013(2· ?· 3· 2013) 1 =log20132013=-1. 10.(文)(2013· 北京理,10)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3 +a5=40,则公比 q=________,前 n 项和 Sn=________. [答案] 2,Sn=2n+1-2 [解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴q=2,再根据 a2+a4=a1q+a1q3 =20 得 a1=2,所以 an=2n,利用求和公式可以得到 Sn=2n+1-2. (理)(2012· 沈阳市二模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知数列{Sn} 是首项和公比都是 3 的等比数列, 则数列{an}的通项公式为________.
? ?n=1? ?3 [答案] an=? n-1 ?2· 3 ?n≥2? ?

[解析] 由条件知,Sn=3n,∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1 =2×3n-1,当 n=1 时,a1=S1=3 不满足,
? ?n=1? ?3 ∴an=? . n-1 ?2×3 ?n≥2? ?

能力提高训练 一、选择题 1. (2012· 西安中学模拟)若数列{an}为等比数列, 且 a1=1, q=2, 1 1 1 则 Tn=a a +a a +?+ 等于( anan+1 1 2 2 3 1 A.1-4n 1 C.1-2n [答案] B 2 1 B.3(1-4n) 2 1 D.3(1-2n) )

[解析] 因为 an=1×2n-1=2n-1,所以 an· an+1=2n-1· 2n=2×4n-1, 1 1 1 1 所以 =2×(4)n-1,所以{ }也是等比数列, anan+1 anan+1 1 1×?1-4n? 1 1 1 1 2 1 所以 Tn=a a +a a +?+ =2× = (1 - 1 3 4n),故 anan+1 1 2 2 3 1-4 选 B. 2.(2013· 山西四校联考)已知等比数列{an}中,各项都是正数, a8+a9 1 且 a1,2a3,2a2 成等差数列,则 =( a6+a7 A.1+ 2 C.3+2 2 [答案] C [解析] 由条件知 a3=a1+2a2, ∴a1q2=a1+2a1q, ∵a1≠0,∴q2-2q-1=0, ∵q>0,∴q=1+ 2, ∴ a8+a9 2 =q =3+2 2. a6+a7 B.1- 2 D.3-2 2 )

3.(2012· 山西四校联考)在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18 +a19+a20=87,则此数列前 20 项的和等于( A.290 C.580 [答案] B [解析] 由 a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87 得, a1+a20=30, B.300 D.600 )

∴S20=

20×?a1+a20? =300. 2

bn+1 4.已知数列{an},{bn}满足 a1=b1=1,an+1-an= b =2,n∈ n N+,则数列{ban}的前 10 项的和为( 4 A.3(49-1) 1 C.3(49-1) [答案] D [解析] 由 a1=1,an+1-an=2 得,an=2n-1, bn+1 由 b =2,b1=1 得 bn=2n-1, n ∴ban=2an-1=22(n-1)=4n-1, 1×?410-1? 1 10 ∴数列{ban}前 10 项和为 =3(4 -1). 4-1 5.(文)(2012· 山东淄博摸底)如表定义函数 f(x): x f (x ) 1 5 2 4 3 3 4 1 5 2 4 B.3(410-1) 1 D.3(410-1) )

对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,?,则 a2008 的值 是( ) A.1 C.3 [答案] B [解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律.由特殊到 一般易知 a1=4, a2=f(a1)=f(4)=1, a3=f(a2)=f(1)=5, a4=f(a3)=f(5) =2,a5=f(a4)=f(2)=4,?,据此可归纳数列{an}为以 4 为周期的数 列,从而 a2008=a4=2. B.2 D.4

1 1 2 1 2 3 1 (理)(2012· 湖南长郡中学一模)给出数列1,2,1,3,2,1,?,k , 2 k , ?, ?, 在这个数列中, 第 50 个值等于 1 的项的序号 是( .. 1, k-1 A.4900 C.5000 [答案] B [解析] 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的和为 4,第 3 个 1 是分子、分母的和为 6,?, 第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、分母的和为 2 的有 1 项, 分子、 分母的和为 3 的有 2 项, 分子、 分母的和为 4 的有 3 项, ?, 分子、 分母的和为 99 的有 98 项, 分子、 分母的和为 100 的项依次是: 1 2 3 50 51 99 , , , ? , , , ? , 99 98 97 50 49 1 ,第 50 个 1 是其中第 50 项,在数 列中的序号为 1+2+3+?+98+50= 98?1+98? +50=4901. 2 B.4901 D.5001 )

[点评] 本题考查归纳能力,由已知项找到规律,“ 1”所在项的 特点以及项数与分子、分母的和之间的关系,再利用等差数列求和公 式即可. 6.(2013· 南昌市二模)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d, 已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1,(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1,则 下列结论正确的是( ) B.d>0,S2013=2013 D.d>0,S2013=-2013

A.d<0,S2013=2013 C.d<0,S2013=-2013 [答案] C

[解析] 记 f(x)=x3+2013x,则函数 f(x)是在 R 上的奇函数与增 函数;依题意有 f(a8+1)=-f(a2006+1)=1>f(0)=0,即 f(a8+1)=f[-

(a2006+1)]=1,a8+1=-(a2006+1),a8+1>0>a2006+1,即 a8>a2006, a2006-a8 2013?a1+a2013? 2013?a8+a2006? d= <0; a8+a2006=-2, S2013= = 2 2 2006-8 =-2013,故选 C. 二、填空题
2 * 7.在数列{an}中,若 a2 n-an-1=p(n≥2,n∈N )(p 为常数),则称

{an}为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断: ①若数列{an}是等方差数列,则数列{a2 n}是等差数列; ②数列{(-1)n}是等方差数列; ③若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列必为常 数列; ④若数列{an}是等方差数列,则数列{akn}(k 为常数,k∈N*)也是 等方差数列. 其中正确命题的序号为________. [答案] ①②③④ [解析] 由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①② ③④均正确. 8.(2012· 西城期末考试)已知{an}是公比为 2 的等比数列,若 a3 1 1 1 -a1=6,则 a1=________;a2+a2+?+a2=________.
1 2 n

1 1 [答案] 2 3(1-4n) [解析]
2 ? ?a1q -a1=6, ∵? ∴a1=2, ?q=2, ?

1 1 ? 1 - 4n? 1 1 1 1 1 1 1 4 n ∴an=2 ,∴a2+a2+?+a2=4+42+?+4n= 1 =3(1- 1 2 n 1-4

1 4n). 三、解答题 9.(文)(2013· 浙江理,18)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1 =10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|. [解析] (1)由题意得 a1· 5a3=(2a2+2)2,a1=10, 即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0, 由(1)得 d=-1,an=-n+11.则 1 21 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=Sn=-2n2+ 2 n. 1 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|=-Sn+2S11=2n2- 2 n+ 110. 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an| 1 2 21 ? - ? 2n + 2 n, =? 1 2 21 ? ?2n - 2 n+110, n≤11, n≥12.

2x+3 (理)(2013· 天津十二区县联考)已知函数 f(x)= 3x ,数列{an}满 1 足 a1=1,an+1=f(a ),n∈N*.
n

(1)求数列{an}的通项公式; m-2004 1 (2)令 bn= (n≥2), b1=3, Sn=b1+b2+?+bn, 若 Sn< 2 an-1an

对一切 n∈N*成立,求最小的正整数 m. 1 2+3an 2 [解析] (1)∵an+1=f(a )= 3 =an+3,
n

2 ∴{an}是以3为公差,首项 a1=1 的等差数列, 2 1 ∴an=3n+3. (2)当 n≥2 时, bn= 1 =2 1 2 1 an-1an ?3n-3??3n+3? 1

9 1 1 =2( - ), 2n-1 2n+1 当 n=1 时,上式同样成立. ∴Sn=b1+b2+?+bn 9 1 1 1 1 1 =2(1-3+3-5+?+ - ) 2n-1 2n+1 9 1 =2(1- ), 2n+1 m-2004 m-2004 9 1 * ∵Sn< ,即 (1 - )< 对一切 n ∈ N 成立, 2 2 2 2n+1 9 1 9 1 9 又2(1- )随 n 递增,且2(1- )<2, 2n+1 2n+1 9 m-2004 ∴2≤ ,∴m≥2013,∴m 最小=2013. 2 10.(文)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{ n-1}的前 n 项和. 2 [解析] (1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d. 由 已 知 条 件 可 得

? ? ?a1+d=0, ?a1=1, ? ,解得? ?2a1+12d=-10, ? ? ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? a2 an (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ 2 +?+ n-1,故 2 ? ?

S1=1, Sn a1 a2 an = + + ? + 2 2 4 2n. 所以,当 n>1 时, a2-a1 an-an-1 an Sn = a + ? + - 2n 1+ 2 2 2n-1 2-n 1 1 1 =1-(2+4+?+ n-1)- 2n 2 =1-(1- 2
n-1)-

1

2-n n 2n =2n.

n 所以 Sn= n-1. 2
? an ? n 综上,数列?2n-1?的前 n 项和 Sn= n-1. 2 ? ?

(理)(2012· 福建厦门质检)已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(n∈N*). (1)求 p 的值及 an; 2 9 (2)若 bn= ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn>10成 ?2n-1?an 立的最小正整数 n 的值. [解析] 本题主要考查等差数列的概念及有关计算,数列求和的 方法,简单分式不等式的解法,化归转化思想及运算求解能力等. (1)解法 1:∵{an}是等差数列,

∴Sn=na1+

n?n-1? n?n-1? d = na 1+ 2 2 ×2

=n2+(a1-1)n. 又由已知 Sn=pn2+2n, ∴p=1,a1-1=2,∴a1=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 2:由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4,∴a2=3p+2. 又等差数列的公差为 2,∴a2-a1=2, ∴2p=2,∴p=1,∴a1=p+2=3, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1,∴p=1,an=2n+1. 解法 3: 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)] =2pn-p+2, ∴a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,∴2p=2,∴p=1, ∴a1=p+2=3,∴an=a1+(n-1)d=2n+1, ∴p=1,an=2n+1. 2 1 1 (2)由(1)知 bn= = - , ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 ∴Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1 1 1 1 1 = ( 1- 3 ) + ( 3 - 5 ) + (5 -7 ) + ? + ( 2n . 2n+1 9 2n 9 又∵Tn>10,∴ >10,∴20n>18n+9, 2n+1 9 即 n>2,又 n∈N*. 1 1 1 - )= 1- = 2n-1 2n+1 2n+1

9 ∴使 Tn=10成立的最小正整数 n 的值为 5.


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