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高中数学竞赛专题讲座---如出一辙的三道奥赛题


如出一辙的三道奥赛题
近日笔者在学校竞赛辅导备课中,搜集到三到国际奥赛题,仔细研究后发现三到奥赛题均可以利用切 线法解决,现整理成文供广大竞赛爱好者参考借鉴 例 1 (日本奥林匹克数学竞赛试题) 已知 ,求证: 证明:令,,易得且 原不等式分式中上下同除以得 , 即证 ,易得在点的切线为.下证 ()x、y.化简即证明: 令 (). 得证. .得证,当且仅当,即时取等 例 2 (2005 年塞尔维亚数学奥林匹克竞赛题) 已知,求证: 证明: 令 , , , ;则.

.易得 在点的切线为 下证, ,令; , 令,得 ; 在上单调递增,由,得当时,单调递增; 当时,单调递减;得证 .当且仅当,即时取等
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定理(推广): 若,且 则(证明略,方法同上) 例 3 (2003 年美国奥林匹克竞赛试题第 5 题) 设 ;证明 , 证明: 令 ,, ,;则 将中分式上下同除以, 化简得,易得在点的切线 为.下证 ,,化简即证 . 令,,易得在单调递减,在单调递增; 得证 得证 当且仅当,即时取等 总结: 对于形如“已知,且,求证”的不等式问题均可以采用构造后累加.

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