tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:6.2 等差数列


第 2 讲 等差数列

目录

退出

考 纲 展 示
1.理解等差数列的 概念. 2.掌握等差数列的 通项公式与前 n 项 和公式. 3.了解等差数列与 一次函数的关系.

考 纲 解 读
等差数列知识在高考中属必考内容, 通常直接 考查等差数列的通项公式、等差数列的性质、 前

n 项和公式, 尤其是等差数列性质的应用为 高考的必考内容.题目常以选择题、填空题形 式出现, 多为容易题, 而与其他知识( 函数、 不等 式、解析几何等) 相结合的综合题一般为解答 题, 难易程度为中档题.

目录

退出

目录

退出

1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差是同一个常 数, 那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 通 常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 那么它的通项公式是 an=a1+( d. n-1) 3.等差中项 如果 A 是 a 与 b 的等差中项, A= 则
+ . 2

目录

退出

4.等差数列的常用性质 ( 通项公式的推广: n=am+( 1) a n-m) n, d( m∈N*) . ( 若{an}为等差数列, k+l=m+n( l, n∈N*)则 ak+al=am+an. 2) 且 k, m, , ( 若{an}是等差数列, 3) 公差为 d, 则{a2n}也是等差数列, 公差为 2d. ( 若{an}, n}是等差数列, 4) {b 则{pan+qbn}也是等差数列. ( 若{an}是等差数列, ak, k+m, k+2m, k, 5) 则 a a …( m∈N*) 是公差为 md 的 等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d, 其前 n 项和 Sn= Sn=na1+ 2 d.
(-1) (1 + ) 或 2

目录

退出

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n=2n2+ 1 - 2 n. 数列{an}为等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=An2+Bn( B 为常数) A, . 7.等差数列前 n 项和的最值 在等差数列{an}中, 1>0, a d<0, Sn 存在最大值; a1<0, 则 若 d>0, Sn 则 存在最小值.


目录

退出

8.等差数列与等差数列各项的和的有关性质 ( 若{an}是等差数列, 1) 则 同, 公差是{an}公差的 . ( 若 Sm, 2m, 3m 分别为等差数列{an}的前 m 项, 2m 项, 3m 项 2) S S 前 前 的和, Sm, 2m-Sm, 3m-S2m 成等差数列. 则 S S ( 关于等差数列奇数项与偶数项的性质. 3) ①若项数为 2n, S 偶-S 奇=nd, = . 则 +1 偶



1 2



也成等差数列, 其首项与{an}首项相



②若项数为 2n-1, S 偶=( an, 奇=nan, 奇-S 偶=an, = 则 n-1) S S




. -1

( 两个等差数列{an}, n}的前 n 项和 Sn, n 之间的关系为 4) {b T


=

2-1 2-1

.
目录 退出

连续三个数成等差数列的通常设法是设其为 a-d, a+d. a,

目录

退出

1.在等差数列{an}中, 已知 A.48 【答案】 C 【解析】 由
1 2

1 a1= , 2+a5=4, n=33, a a 则 3

n 是(

)

B.49

C.50 D.51
2 d=3, 于是

1 a1=3, 2+a5=( 1+d) a1+4d) 得 a a +( =4,

an=3+( ×3=33, n-1) 解得 n=50. 2.已知等差数列 a1, 2, 3, an 的公差为 d, ca1, 2, 3, can( 为常 a a …, 则 ca ca …, c 数且 c≠0) 是( ) A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 cd 的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 【答案】 B 【解析】 can-can-1=c( n-an-1) a =cd.
目录 退出

3.已知{an}为等差数列, 2+a8=12, a5 等于( a 则 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】 C 【解析】 ∵ 2+a8=2a5=12, a5=6. a ∴

)

目录

退出

4.等差数列{an}的前 m 项和为 30, 2m 项和为 100, 前 则它的前 3m 项 和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 【答案】 C 【解析】 方法一: 依据题设和前 n 项和公式有

②-①, ma1+ 得 故

(3-1) d=70. 2 3(3-1) S3m=3ma1+ d=3 1 2

(-1) 1 + d = 30, 2 2(2-1) 21 + d = 100,② 2
(3-1) + d 2



=210.

方法二: 在等差数列中, m, 2m-Sm, 3m-S2m 成等差数列, ∵ S S S ∴ 70, 3m-100 成等差数列. 30, S 故 2×70=30+S3m-100, S3m=210. 即
目录 退出

5.在数列{an}中, 1=15, n+1=3an-2( a 3a n∈N*)则该数列中乘积是负值的 , 相邻两项为 . 【答案】 第 23 项与第 24 项 【解析】 ∵ 由已知可得 an+1-an=-3, 1=15, a
2 47-2 ∴ n=a1+( d=15-3( = 3 , a n-1) n-1) 2

显然 a23>0, 24<0. a 故该数列中乘积是负值的相邻两项为 a23 与 a24.

目录

退出

目录

退出

T 题型一等差数列的定义及证明
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足
an+2Sn·n-1=0( S n≥2)a1=2. , ( 求证: 1)
1 1

是等差数列;

( 求 an 的表达式. 2) ( 将 an 与 Sn 的关系先转化为 an=Sn-Sn-1, 1) 然后利用定 义证明. ( 先求 Sn, 2) 再求 an.

目录

退出

【解】 ( 证明: an=Sn-Sn-1( 1) ∵ n≥2) , 又 an=-2Sn·Sn-1, Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1, n≠0. ∴ S 因此
1

?

1

-1

=2( n≥2) .
1 1 是以 1

故由等差数列的定义知 等差数列.
1 ( 由( 知 2) 1) 1 即 Sn= . 2

=

1 =2 1

为首项, 为公差的 2

=

1 +( d=2+( ×2=2n, n-1) n-1) 1

1 由于当 n≥2 时, an=-2Sn·Sn-1=有 , 2(-1) 1 ,n = 1, 1 2 又∵ 1= , an= a ∴ 1 2 ,n ≥ 2. 2(-1)
目录 退出

(1)判定或证明{an}为等差数列的方法: ①用定义证明: n-an-1=d(d 为常数, a n≥2)?{an}为等差数列; ②用等差中项证明: n+1=an+an+2?{an}为等差数列; 2a ③通项法: n 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; a ④前 n 项和法: n=An2+Bn 或 Sn= S
(1 + ) . 2

(2)用定义证明等差数列时, 常采用的两个式子是 an+1-an=d 和 an-an-1=d, 但它们的意义不同, 后者必须加上“n≥2”, 否则 n=1 时, 0 无 a 定义.

目录

退出

1.在数列{an}中, 1=1, n+1=2an+2n.设 bn= a a 差数列. 【证明】 由已知 an+1=2an+2n 得
bn+1= +1 2


-1

2

, 求证: 数列{bn}是等

=

2 +2 2

=

2
-1

+1=bn+1.

又 b1=a1=1, 因此{bn}是首项为 1, 公差为 1 的等差数列.

目录

退出

T 题型二等差数列的基本运算
例 2 在等差数列{an}中, ( 已知 a15=33, 45=153, a61; 1) a 求 ( 已知 a6=10, 5=5, a8 和 S8; 2) S 求 ( 已知前三项和为 12, 3) 前三项积为 48, d>0, a1. 且 求 在等差数列中, 有五个重要的量, 只要已知三个量, 就 可求出其他两个量, 其中 a1 和 d 是两个最基本量, 利用通项公式与前 n 项和公式, 先求出 a1 和 d.

目录

退出

【解】 ( 方法一: 1) 设首项为 a1, 公差为 d, 由条件得 33 = 1 + 14d, 解方程组得 1 = -23, 153 = 1 + 44d, = 4. 故 a61=-23+( 61-1) ×4=217. 方法二: d= 由
- , 得 -

d=

45 -15 45-15

=

153-33 =4, 30

由 an=am+( n-m) d, 得 a61=a45+16d=153+16×4=217. 1 + 5d = 10, ( ∵ 6=10, 5=5, 2) a S ∴ 51 + 10d = 5, 解方程组得 a1=-5, d=3. 故 a8=a6+2d=10+2×3=16, + S8=8× 1 2 8 =44.
目录 退出

( 设数列的前三项分别为 a-d, a+d, 3) a, 依题意有 (-) + + ( + ) = 12, (-)··( + ) = 48, = 4, = 4, 于是 解得 = ±2. (2 -2 ) = 48, ∵ d>0, d=2, ∴ a-d=2.故首项为 2, a1=2. 即

方程思想是解决数列问题的基本思想, 通过公差列方程(组)来 求解基本量是数列中最基本的方法, 同时在解题中也要注意数列性 质的应用.

目录

退出

2.设 a1, 为实数, d 首项为 a1, 公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn, 且满足 S5S6+15=0. ( 若 S5=5, S6 及 a1; 1) 求 ( 求 d 的取值范围. 2) 【解】 51 + 10d = 5, 于是 1 + 5d = -8, 解得 a1=7.故 S6=-3, 1=7. a
-15 ( 由题意知 S6= =-3, 6=S6-S5=-8. 1) a 5

目录

退出

( 方法一: S5S6+15=0, 2) ∵ ∴5a1+10d) 6a1+15d) ( ( +15=0, 2 即 21 +9da1+10d2+1=0. ∵ 关于 a1 的一元二次方程有解, ∴ Δ=81d2-8( 2+1) 2-8≥0, 10d =d 解得 d≤-2 2或 d≥2 2. 方法二: S5S6+15=0, ∵ ∴5a1+10d) 6a1+15d) ( ( +15=0, 2 即 21 +9da1+10d2+1=0. 2 故( 1+9d) =d2-8. 4a 因此应有 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.

目录

退出

T 题型三等差数列的性质及运用
例 3( 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1) 已知其前 6 项和 为 36, n=324, S 最后 6 项的和为 180( n>6)求该数列的项数 n 及 a9+a10; ,
( 等差数列{an}, n}的前 n 项和分别为 Sn, n, 2) {b T 且

=

3-1 8 , 求 的 2+3 8

值. ( 可利用前 6 项与后 6 项的和及等差数列的性质求 1) 出 a1+an 的值, 然后利用前 n 项和公式求出项数 n. ( 可利用中项公式求解. 2)

目录

退出

【解】 ( 由题意可知 a1+a2+…+a6=36, 1) ① an+an-1+an-2+…+an-5=180, ② ①+②得, ( 1+an) a2+an-1) a +( +…+( 6+an-5) a1+an) a =6( =216, 于是 a1+an=36. 又 Sn=
(1 + ) =324, 18n=324, ∴ 2

即 n=18.从而可得 a1+a18=36.故 a9+a10=a1+a18=36.
( ∵ 2)

=

3-1 15 , ∴ 2+3 15

=

3×15-1 2×15+3

=

44 33

=

4 . 3

15(1 +15 ) 15(1 +15 ) ∵ 15= S =15a8, 15= T =15b8, 2 2

∴8 =

8

158 158

=

15 15

= .
目录 退出

4 3

此类问题解决的关键是将性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 与前 n 项和
(1 + ) Sn= 2 结合在一起, 采用整体思想, 简化解题过程.

目录

退出

3.(2012·辽宁卷, 在等差数列{an}中, 4) 已知 a4+a8=16, 则 a2+a10=( ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】 B 【解析】 由等差数列的性质知, 2+a10=a4+a8=16.故选 B. a

目录

退出

T 题型四等差数列前 n 项和的综合问题
例 4( 在等差数列{an}中, 1) 已知 a1=20, n 项和为 Sn, 前 且 S10=S15, 求当 n 取何值时, n 取得最大值, S 并求出它的最大值. ( 已知数列{an}的通项公式是 an=4n-25, 2) 求数列{|an|}的前 n 项 和. ( 由 a1=20 及 S10=S15 可求得 d, 1) 进而求得通项, 由通项 得到此数列前多少项为正, 或利用 Sn 是关于 n 的二次函数, 利用二次 函数求最值的方法求解.( 利用等差数列的性质, 2) 判断出数列从第几 项开始变号.

目录

退出

【解】 方法一: a1=20, 10=S15, ∵ S ∴ 10×20+
10×9 15×14 d=15×20+ d.故 2 2 5 5

d=- .

5 3

于是 an=20+( × - 3 =-3n+ 3 . n-1) 因此 a13=0, 即当 n≤12 时, n>0, a n≥14 时, n<0. a 故当 n=12 或 13 时, n 取得最大值, S 且最大值为 S13=S12=12×20+ 2 × - 3 =130. 5 方法二: 同方法一求得 d=-3.
(-1) 3 125 5 5 5 =-6 25 2 - 2 12×11 5

65

于是 Sn=20n+ 2 · - 3 =-6n2+ 6 n + 24 . ∵ n∈N*, 当 n=12 或 13 时, n 有最大值, ∴ S 且最大值为 S12=S13=130.
目录 退出

125

方法三: 同方法一得

5 d=- . 3

又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15=0. 从而可得 5a13=0, a13=0. 即 故当 n=12 或 13 时, n 有最大值, S 且最大值为 S12=S13=130. ( ∵ n=4n-25, n+1=4( 2) a a n+1) -25, ∴ n+1-an=4=d.又 a1=4×1-25=-21, a ∴ 数列{an}是以-21 为首项, 为公差的递增的等差数列. 4 = 4n-25 < 0, ① 令 +1 = 4(n + 1)-25 ≥ 0,② 1 1 由①得 n<64; 由②得 n≥54.因此 n=6, 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项, 公差为-4 的等差数列, 从 第 7 项起以后各项构成公差为 4 的等差数列,
目录 退出

而|a7|=a7=4×7-25=3, 设数列{an}和{|an|}的前 n 项和分别为 Sn, n, T 则 Tn=
(-1) × (-4),n ≤ 6, 2 (-6)(-7) 66 + 3(-6) + × 4,n ≥ 2

21 +

7

-22 + 23n,n ≤ 6, = 22 -23n + 132,n ≥ 7.

目录

退出

求等差数列前 n 项和的最值, 常用的方法如下: ①利用等差数列 的单调性, 求出其正负转折项; ②利用性质求出其正负转折项, 便可求 得和的最值; ③将等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn( B 为常数) A, 看作 二次函数, 根据二次函数的性质求最值.

目录

退出

4.(2013 届·山东潍坊阶段测试)已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2( n∈N*)它的前 n 项和为 Sn, a3=10, 6=72.若 , 且 S
1 bn=2an-30, 求数列{bn}的前 n 项和的最小值.

【解】 ∵ n+1=an+an+2, {an}是等差数列. 2a ∴ 设数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 1 + 2d = 10, 由 a3=10, 6=72, S 得 61 + 15d = 72, = 2, 解得 1 于是 an=4n-2, = 4, 1 则 bn=2an-30=2n-31.①

目录

退出

∵ n∈N*, n=15. ∴ 因此数列{bn}的前 15 项为负值, S15 最小. 即 由①可知数列{bn}是以 b1=-29 为首项, d=2 为公差的等差数列, S15=
15×(-29+2×15-31) 2

2-31 ≤ 0, 解 2( + 1)-31 ≥ 0, 29 31 得 2 ≤n≤ 2 .

=

15×(-60+30) =-225. 2

目录

退出

思想方法
等差数列解题中的整体思想
例设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m, m 项和 Sm=n( 前 m>n) , 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.
( Sm+n=a1( 1) m+n) +
+-1 d , 这样只要求出 2 +-1 a1+ 2 d, 并求出. (+-1)(+) d=( m+n) 1 + 2 +-1 a1+ 2 d 即可.( 由 Sn, m 可以构造出 2) S

目录

退出

【解】 方法一: 设数列{an}的公差为 d, 则由 Sn=m, m=n, S
(-1) d = n.② 2 (-)(+-1) ②-①, m-n) 1+ 得( a d=n-m, 2 +-1 ∵ m>n, a1+ 2 d=-1. ∴



= n1 +

(-1) d 2

= m,



= m1 +

故 Sm+n=( m+n) 1+ a =( m+n)

(+)(+-1) d 2 +-1 1 + 2 d =-( m+n) .

目录

退出

方法二: Sn=An2+Bn( 设 n∈N*) , 2 + Bm = n, 则 2 + Bn = m.④ ③-④, A( 2-n2) m-n) 得 m +B( =n-m. ∵ m≠n, ∴ m+n) A( +B=-1. 2 于是 A( m+n) +B( m+n) m+n) =-( . 故 Sm+n=-( m+n) .



目录

退出

(1)本题的两种解法都突出了整体思想, 其中方法一把 a1+
+-1 d 2

看成了一个整体, 方法二把 A(m+n)+B 看成了一个整体,

解起来都很方便. (2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧.这就要求学生要掌 握公式, 理解其结构特征.

目录

退出

目录

退出

1.若{an}是等差数列, 则下列数列中一定为等差数列的个数为( 2 ①{an+3} ②{ } ③{an+1-an} ④{2an} ⑤{2an+n}

)

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D 【解析】 {an}为等差数列, 则由其定义可知①, ④, ③, ⑤仍然是等差 数列. 2.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 2+a10=4, S11 的值为( a 则 ) A.12 B.18 C.22 D.44 【答案】 C
11(1 +11 ) 【解析】 由题意可知 S11= 2 11(2 +10 ) 11×4 = = =22, 应选 C. 2 2

目录

退出

3.若等差数列{an}的前 5 项之和 S5=25, a2=3, a7 等于( 且 则 A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】 B 【解析】 ∵ S5= 由
(2 +4)·5 (3+4 )·5 ? 25= ? a4=7, 2 2

)

∴ 7=3+2d? d=2. 故 a7=a4+3d=7+3×2=13, 应选 B. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: n+Sm=Sn+m, a1=1, S 且 那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】 A 【解析】 由 Sn+Sm=Sn+m, S1+S9=S10? a10=S10-S9=S1=a1=1. 得
目录 退出

5.在等差数列{an}中, 3=7, 5=a2+6, a6= a a 则 【答案】 13 【解析】 设公差为 d, a5-a2=3d=6. 则 故 a6=a3+3d=7+6=13.

.

目录

退出


推荐相关:

2013届高考数学“全面达标”高效演练模拟试题 理 (三)

2财富值 【赢在高考】2013届高考数... 4页 5财富...2013届高考数学(理)一轮复... 32页 免费如要投诉...Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S S4 1 ?...


高考增分策略

2014年高考理科数学北京...1/2 相关文档推荐 ...赢在高考之增分策略 14页 免费 赢在高考心理与学习...2),理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com