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2013高考数学 解题方法攻略 离心率 理


离心率专题
离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点,对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两 类:一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围,属于中低档次 的题型,对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率,只 需要由条件得到一个关于基本量 a,b,c,e 的一个方程,就可以从中求出离心率.但如果选 择方法不恰当,则极可能“小题

”大作,误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以 使结果马上水落石出,一针见血,其实不然,对于这类题,用最淳朴的定义来解题是最好的, 此时无招胜有招! 【例 1】

(05全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P, 若?F1 PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A. 2 2 B. 2-1 2 C. 2- 2 D. )

2-1

[解法一](大多数学生的解法) 解:由于 ?F1 PF2 为等腰直角三角形,故有

F1 F2 ? PF2 ,而 F1 F2 ? 2c , PF2 ?

b2 a

所以 2c ?

b2 2 2 2 ,整理得 2ac ? b ? a ? c a
2 2 2

等式两边同时除以 a ,得 2e ? 1 ? e ,即 e ? 2e ? 1 ? 0 , 解得 e ?

?2 ? 8 ? ?1 ? 2 ,舍去 e ? ?1 ? 2 2

因此 e ? ?1 ? 2 ,选 D [解法二](采用离心率的定义以及椭圆的定义求解) 解:如右图所示,有
离心率的定义

e

?

c 2c 椭圆的定义 2c ? ? a 2a | PF1 | ? | PF2 |

?
故选 D [评]

2c 1 ? ? 2 ?1 2 2c ? 2 c 2 ?1

-1-

以上两种方法都是很好的方法,解法一是高手的解法,灵活运用了“通径”这个二级结论, 使题目迎刃而解,但计算量偏大,耗时较长;而解法二则是老手,整个过程没有任何高级结 论,只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”,通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法 胜有法! 一、用定义求离心率问题 1. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ 1PF2 为等 、F F 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )D (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

2. 已知 F1、 2 是椭圆的两个焦点, F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 两点, ABF2 F 过 B 若△ 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )A

A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2

3.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 椭圆的离心率 e ? .
3 8

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 18

4、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_________; 解析:设 c=1,则

b2 c 1 ? 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a ? a ? 1 ? 2 ? e ? ? ? 2 ?1 a a 2 ?1

5、已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心 率为 。

b2 c 2 1 解析:由已知 C=2, ? 3 ? b 2 ? 3a ? a 2 ? 4 ? 3a ? a ? 4, e ? ? ? a a 4 2
6.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 a 2 b2

?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 B
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

x2 y2 7.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 a b
MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )D

-2-

A. 4 ? 2 3

B. 3 ? 1

C.

3 ?1 2

D. 3 ? 1

8.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角 a 2 b2

为 30? 的直线交双曲线右支于 M 点, MF2 垂直于 x 轴, 若 则双曲线的离心率为 ( B A. 6 B. 3 C. 2 D.
3 3



9、设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 F , ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠ 1AF2=90? a 2 b2

且|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为 (A)

5 2

(B)

10 2

(C)

15 2

(D)

5

x2 y 2 解.设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使∠ 1AF2=90? F , a b
且 |AF1|=3|AF2| , 设 |AF2|=1 , |AF1|=3 , 双 曲 线 中 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 2 ,

2c ? | AF1 |2 ? | AF2 |2 ? 10 ,∴离心率 e ?

10 ,选 B。 2

10、如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个 a 2 b2

焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线 左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心 率为 (A) 3 (B) 5 (C)

5 2

(D) 1 ? 3

x2 y 2 解析:如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O 为 a b
圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且

-3-

△ F2 AB 是等边三角形, 连接 AF1, AF2F1=30° |AF1|=c, 2|= 3 c, 2a ? ( 3 ? 1)c , ∠ , |AF ∴ 双曲线的离心率为 1 ? 3 ,选 D。 11.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, 2, F 若曲线 r 上存在点 P 满 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2, 则曲线 r 的离心率等于 A A. 或

1 2

3 2

B.

2 或2 3

C.

1 或2 2

D.

2 3 或 3 2

二、列方程求离心率问题 1.方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 解:方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2,

1 ,故选 A 2


2、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

3 3

C.

1 2

D.

3 2 c 3 ,选 D。 ? a 2

解.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,∴ a ? 2b ,椭圆的离心率 e ?

3、 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, 与 C 交于 A ,B 两点, AB L 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 B (A) 2 (B) 3
2 2

(C)2

(D)3

x y 4.在平面直角坐标系中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,a 为半 a b a2 径的圆,过点( c ,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率 e= .e ?

2 2

5.已知双曲线 5 (A)3

x2 y2 4 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y=3x,则双曲线的离心率为 2 a b
4 (B)3 5 (C)4 3 (D)2

解析:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为( ) A. 5 B.

5 2

C. 3

D. 2

-4-

解析:由

a 1 c ? 得b ? 2a c ? a 2 ? b 2 ? 5a , e ? ? 5 b 2 a

选A

7.已知双曲线

x2 y 2 π ? ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为 3 ,则双曲线的离心率为 2 a 2
B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

A.2

解:双曲线

2 ? 3 x2 y 2 π ,∴ a2=6,双 ? ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为 3 ,则 ? tan ? 2 a 6 3 a 2

2 3 曲线的离心率为 ,选 D. 3

8.已知双曲线

x2 y 2 (a>0,b>0) 的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k , ? ?1 a 2 b2

则双曲线方程为( (A)
x2 y2 - 2 =1 a2 4a

)C (B)
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (C) 2 ? 2 ? 1 a 2 5a 4b b

(D)

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

x2 y 2 9 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率 a b
等于( ) (A) 3 (B)2 (C) 5
'

(D) 6

解:设切点 P ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y

|x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x0 2 ? 1 x0

解得: x0 ? 1,?
2

b b ? 2, e ? 1 ? ( ) 2 ? 5 . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程 a a

和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较 好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 10、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)

3 ?1 2

(D)

5 ?1 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 b b b b 则一个焦点为 F (c,0), B(0, b) 一条渐近线斜率为: , 直线 FB 的斜率为:? , ? (? ) ? ?1 , ? a c a c
解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为:

-5-

? b 2 ? ac ? c 2 ? a 2 ? ac,? e 2 ? e ? 1 ? 0 ? e ?

5 ?1 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶 a 2 b2

11.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆

点,F 为其右焦点, 直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T, 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率 为 .

【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的 计算等。以及直线的方程。 直线 A1 B2 的方程为: 直线 B1 F 的方程为: 则M(

x y ? ? 1; ?a b
x y 2ac b(a ? c) ? ? 1 。二者联立解得: T ( , ), c ?b a?c a?c

x2 y 2 ac b(a ? c) , ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, a b a ? c 2(a ? c)

c2 (a ? c) 2 ? ? 1, c 2 ? 10ac ? 3a 2 ? 0, e 2 ? 10e ? 3 ? 0 , 2 2 (a ? c) 4(a ? c)
解得: e ? 2 7 ? 5

12 已知椭圆 C:

3 x2 y 2 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 2 2 a b

直线于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

????

??? ?

3 ???? ??? ? e? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵ AF ? 3FB , ∴ y1 ? ?3 y2 , ∵ 2 ,设 【解析】B:
a ? 2t , c ? 3t , b ? t ,∴ x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 ? 0 ,直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。代入消去 x ,

2 3st t2 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 2 2 2 s ?4 s ?4, ∴ ( s ? 4) y ? 2 3sty ? t ? 0 ,∴ ?2 y2 ? ?

1 2 3st t2 2 s2 ? , ?3 y2 ? ? 2 2 2 ,k ? 2 s ?4 s ? 4 ,解得

13 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,且

-6-

uu r uur BF ? 2FD ,则 C 的离心率为
答案:

2 3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二 定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本 题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性 质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, | BF |? b 2 ? c 2 ? a ,

y
B

uu r uur 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得
3 3 | OF | | BF | 2 ? ? ,所以 | DD1 |? | OF |? c , 2 2 | DD1 | | BD | 3
即 xD ?

O D1

F
D

x

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? 2 c 2 2a

3c 2 2 2 又由 | BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ? ,整理得 3c ? 2a ? ac ? 0 . a
两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ?
2 2

2 . 3

14. 过双曲线 M: x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分 b2
) D.

别相交于 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 ( A. 10 B. 5 C.

10 3

5 2

解析:过双曲线 M : x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A (1,0)作斜率为 1 的直线 l :y=x-1, 若 l 与双曲 b2 y2 ? 0 分别相交于点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) , 联立方程组代入消元得 b2

线 M 的两条渐近线 x ?
2

2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? b 2 ? ,x1+x2=2x1x2,又 | AB |?| BC | ,则 B 为 AC 中点, (b 2 ? 1) x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 ? x ?x ? ? 1 2 1 ? b2 ?

-7-

1 ? ? x1 ? 4 c ? 2x1=1+x2,代入解得 ? ,∴b2=9,双曲线 M 的离心率 e= ? 10 ,选 A. a ?x ? ? 1 2 ? ? 2
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 ( ) 2
15.过双曲线 A. 2 答案:C 【解析】对于 A ? a, 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C, B. 3 C. 5 D. 10

? a2 ab ? a2 ab B? , , C( ,? ) ,则有 ? a ?b a ?b ? a?b a?b?

??? ??? ? ? ??? ? ? 2a 2b 2a 2b ??? ? ab ab ? 2 2 BC ? ( 2 2 , ? 2 2 ), AB ? ? ? , ,因 2 AB ? BC ,? 4a ? b ,? e ? 5 . ? a ?b a ?b a?b a?b ? ?
16. 已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 b2
.

A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
A.

m

6 5

B.

7 5
x2 a

C.

5 8

D.

9 5

解:设双曲线 C: 2 ?

y2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 b2

AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D ,由直线 AB
的 斜 率 为

3 , 知 直 线

AB

的 倾 斜 角 为

60???BAD ? 60?,| AD |?

1 | AB | ,由双曲线的第二定义有 2

??? ? ??? ? 1 ???? 1 1 ???? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2
又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |?

1 e

??? ?

? 5 ??? 6 | FB |? e ? 2 5

故选 A

-8-

一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究:一是考 虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等;二是通过设椭圆(或双曲线)点的坐标, 利用椭圆(或双曲线)本身的范围,列出不等式.离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键 量,它是一个比值,它与圆锥曲线的大小无关,只与其形状有关.在椭圆中,离心率越大, 椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越圆,椭圆离心率的取值范围 e∈ (0,1);在双曲线中,离 心率越大,双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔,即双曲线的“张口”逐渐增大,双曲线离心 率的取值范围 e∈ (1,+∞);在抛物线中,离心率 e=1. x2 y2 已知椭圆 2+ 2 =1(a>b>0)的焦 a b 点分别为 F1,F2,若该椭圆上 存在一点 P,使得∠ 1PF2 = F 60° ,则椭圆离心率的取值范围 是 .

y B1 P F2 x

F1
分析:如果我们考虑几何的大小, 我们发现当 M 为椭圆的短轴的 顶点 B1 (或 B2) 时∠ 1PF2 最大 F

O B2

c 1 (需要证明) ,从而有 0<∠ 1PF2≤∠ 1 B1F2.根据条件可得∠ 1 B1F2≥60°,易得a≥ .故 F F F 2 1 ≤e<1. 2 证 明 , 在 △F1PF2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,

cos ?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2
2

2

2

2

2 1 PF1 ? PF2 ? ? F1 F2 ? 2 ? 2 1 ? PF1 ? PF2 ? 2

a 2 ? 2c 2 ? a2

当且仅当 PF1=PF2 时,等号成立,即当 M 与椭圆的短轴的顶点 B1(或 B2)时∠ 1MF2 最大. F 如果通过设椭圆上的点 P(x,y),利用椭圆本身的范围,也可以求出离心率 e 的范 围.在本题中,运用此法可以做,但比较复杂(关键是点 P 的坐标不易表示) .因此, 在解题过程中要注意方法的选择.

三、离心率范围问题

-9-

x2 y 2 1.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别为 F1,F2,若该椭圆上存在一点 P,使得∠ 1PF2 F a b =60° ,则椭圆离心率的取值范围是 . [ ,1)

1 2

2.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若双曲线上 a 2 b2


存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c

答案:(1,

2 ?1)

???? ????? ? 3.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭
圆离心率的取值范围是( A. (0,1) )C C. (0,
2 ) 2

1 B. (0, ] 2

D. [

2 ,1) 2

x2 y 2 4、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N ,若 a b
MN ≤ ? F1 F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(
A. ? 0, ? )

? ?

1? 2?

B. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ?

? 2 ? , 1? ? ? 2 ?

解析:椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别为 M ,N , a 2 b2

a2 a2 2 ? 2c ,该椭圆离心率 e≥ 若 | MN |? 2 , | F1 F2 |? 2c , MN ≤ ? F1 F2 ,则 ,取值 c c 2
范围是 ?

? 2 ? , ,选 D。 1? ? ? 2 ?

x2 y2 ? 1 的离心率 e 的取值范围是( )B 5.设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? a (a ? 1) 2
A. ( 2, 2) B. ( 2,5) C. (2, 5) D. (2,5)

x2 y 2 6. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1, ( a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, a b 且 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为: )B (
- 10 -

A.

4 3

B.

5 3

C. 2

D.

7 3

7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 a 2 b2
)B D. ?3, ?? ? B. ?1,3? C.(3,+ ? )

|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3)

x2 y2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲 a b
线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 解析:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60o 的直线与双 a 2 b2
b ,∴ a

曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
2 a 2 ? b2 b 2 c ≥ 4 ,∴e≥2,选 C ≥ 3 ,离心率 e = 2 ? a a2 a

- 11 -


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