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3.3导数在研究函数中的应用(教学设计)(1)


3.3 导数在研究函数中的应用(教学设计) (1) §3.3.1 函数的单调性与导数(2 课时) 教学目标: 知识与技能目标: 在观察、探索的基础上,归纳出函数的单调性与导数的关系,并用其判断函数的单调 性,会求函数的单调区。 过程与方法目标: 利用图象为结论提供直观支持,通过观察分析、归纳总结等方式,培养学生的数形结 合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。 情感、态度与价值观

目标: 通过学习本节内容,增强对数学的好奇心与求知欲;在教学过程中,培养学生勇于探 索、善于发现的创新思想。 教学重点:了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间。 教学难点:利用导数的几何意义来探究函数的单调性,理解用导数研究函数单调性的实质。 教学过程: 一.创设情景、新课引入: 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质, 我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会 导数在研究函数中的作用. 二.师生互动,新课讲解: 1. 问题 1: 如图, 它表示跳水运动中高度 h 随 时 间 t 变 化 的 函 数

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图 3.3-1
(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变 化 的 函 数 v(t ) ? h (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的 图
'

像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入 水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增 函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减 函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 .
'

2.函数的单调性与导数的关系 问题 2:分别作出下列函数的图象:

1

(1)y=x

(2)y=x2

(3)y=x3

(4)y=

1 x

观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.

在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x ) 在 x0 附近单调 递增; 在 x ? x1 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x ) 在 x1 附近单调 递减.

2

结论:函数的单调性与导数的关系 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如 果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 说明:特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ' ? f ' ( x) ; (3)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ' ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 例 1(课本 P91 例 1) .已知导函数 f ' ( x) 的下 列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状.
' 解:当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; ' 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减;

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点” .
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图所示. 例 2(课本 P91 例 2) .判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2x ? 3
2

3 2 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1

解: (1)因为 f ( x) ? x ? 3x ,所以,
3 2 f ' ( x)? 3x ? 3? 3 x ? 1? (2 )

0
3

因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如图 3.3-5(1)所示.

(2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1?
'

当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递增; 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递减; 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示. (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如图 3.3-5(3)所示. (4)因为 f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1 ,所以
3 2


2

当 f ( x) ? 0 ,即
'

时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3
2 2

; ;

当 f ( x) ? 0 ,即
' 3

函数 f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1 的图像如图 3.3-5(4)所示. 注: 、 (3)(4)生练

例 3(课本 P92 例 3) .如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入 下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系 图像.

4

分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增 加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其 它三种容器的情况. 解: ?1? ? ? B? , ? 2? ? ? A? , ?3? ? ? D ? , ?4 ? ? ?C ? 思考: 3 表明, 例 通过函数图像, 不仅可以看出函数的增减, 还可以看出其变化的快慢. 结 合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的 快,这时,函数的图像就比较“陡峭” ;反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图 3.3-7 所示,函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭” , 在 ? b , ? ?? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓” . 例 4.求证:函数 y ? 2x ? 3x ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2
' 2 2 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

' 3 2 当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时,y ? 0 , 所以函数 y ? 2x ? 3x ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1?

内是减函数. 说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f ' ? x ? ; (2)判断 f ' ? x ? 在 ? a , b ? 内的符号; (3)做出结论: f
'

? x ? ? 0 为增函数, f ' ? x ? ? 0 为减函数.
2

例 5. 已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 取值范围.

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数, 求实数 a 的 3
'

解: f ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上是增函数,所以 f ( x) ? 0 对
' 2

x???1,1? 恒成立,即 x2 ? ax ? 2 ? 0 对 x???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1

5

所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明: 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型, 常利用导数与函数单调 性关系:即“若函数单调递增,则 f ' ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ' ( x) ? 0 ”来求解,注 意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 例 6.已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

解:y′=(x+

1 )′ x

=1-1·x 2=



x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) ? x2 x2



( x ? 1)( x ? 1) >0. x2 1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x

解得 x>1 或 x<-1. ∴y=x+



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
王新敞
奎屯 新疆

∴y=x+

课堂练习: (课本 P93 练习 NO:1;2;3;4) 三.课堂小结,巩固反思: (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性 四.布置作业 A 组: 1、 (课本 P98 习题 3.3 A 组:NO:1(1) (3) (2) (4) )

2、 (课本 P98 习题 3.3 A 组:NO:2(1) (3) (2) (4) )

6

3、(tb11505002)求函数 y=x3-x2-x 的单调区间。 (答:增区间(- ?,

1 1 ),(1,+ ? );减区间为(- ,1) 3 3

4、(tb11504803)(1)求函数 f(x)=x3 的单调区间;

1 3 2 x -x +x+1 的单调区间; 3 1 3 2 (3)求函数 f(x)= x -3x +8x+4 的单调区间。 3
(2)求函数 f(x)= (答: (1)定义域上的增函数; (2)定义域上的增函数; (3)增区间:(- ? ,2)和(4,+ ? );减 区间:(2,4))

B 组: 1、(tb11504802)求函数 y= x ? x2 的单调区间。 (答:定义域:[0,1] 增区间(0,

1 1 ) ;减区间( ,1)) 2 2

2、(tb6007101)求函数 y= x ?

b (b>0)的单调区间。 x

(答:增区间: (??, ? b )和( b , ??) ;减区间: (? b ,0)和(0, b ) )

C 组: 1、(tb10005003)若函数 f(x)=ax3-x2+x-5 在 R 上为单调递增函数,求 a 的取值范围。 (答:[ , ?? ) ]

1 3

2、(05 福建文)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,
3 2

f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 .
(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 本小题主要考查函数的单调性、 导数的应用等知识, 考查运用数学知识分析问题和解决问 题的能力. 满分 12 分.
3 2 解: (Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2,

7

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c.
由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? ?3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3.

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数, 在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

8


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