高一数学暑期作业本(人教必修1、2、4、5共40套含参考答案)

高一数学暑期作业本（人教必修 1、2、4、5） 1．函数（1）
1．如果 M={x|x+1>0}，则 （ ） A、φ ∈M B、0 ? M C、{0}∈M D、{0} ? M

2．若集合 P ? {1,2,3} ? {1,2,3,4} ,则满足条件的集合 P 的个数为 （ ） A、6 B、7
2

C、8

D、1 ）

3．已知集合 A={y|y=-x +3,x∈R}，B={y|y=-x+3,x∈R},则 A∩B=（ A、{(0,3),(1,2)} B、{0,1} C、{3,2} D、{y|y≤3}

4．用列举法表示集合： M ? {m|

10 ? Z , m ? Z} = m ?1

。

? 5．设全集 U ? ( x, y ) x, y ? R ,集合 M ? ?( x, y ) y ? 2 ? 1? ， N ? ( x, y ) y ? x ? 4 , ? x?2 ? ?
那么 (CU M ) ? (CU N ) 等于________________。 6．若-3∈{a-3,2a-1,a -4}，求实数 a
2

?

?

?

?

7．已知集合 P={x|x +x-6=0},Q={x|ax+1=0}满足 Q ? P,求 a 的一切值。
2

8．已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1} （1）若 B ? A，求实数 m 的取值范围。 （2）当 x∈Z 时，求 A 的非空真子集个数。 （3）x∈R 时，没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立，求实数 m 的取值范围。

1

2．函数（2）
1．函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是（ A． 1 B． 0 C． 0 或 1 D．1 或 2 ）

2．已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a 4 , a 2 ? 3a ，且 a ? N , x ? A, y ? B ,使 B 中元素
*

?

?

y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应，则 a, k 的值分别为（
A． 2,3 B． 3, 4 C． 3,5
2

）

D． 2,5

1 1? x ( x ? 0) ，那么 f ( ) 等于（ ） 2 2 x A． 15 B． 1 C． 3 D． 30 2 4．若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [? 25 ， 4] ，则 m 的取值范围是（ ） ? 4 A． ?0,4? B． [ 3 ，4] C． [ 3 ， D． [ 3 ， ?） ? 3]
3．已知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f [ g ( x)] ? 5．设 f ( x) 是奇函数，且在 (0, ??) 内是增函数，又 f (?3) ? 0 ，则 x ? f ( x) ? 0 的解集是（ A． ? x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C． ? x | x ? ?3或x ? 3? B． ? x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D． ? x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?
2
2

2

）

6．设函数 f ( x) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R 且 x ? ?1 , f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且
f ( x) ? g ( x) ? 1 ,求 x ?1

f ( x) 和 g ( x) 的解析式.

7．已知 f ( x) ? ?4 x ? 4ax ? 4a ? a 在区间 ? 0,1? 内有一最大值 ?5 ，求 a 的值.
2 2

1 8．已知函数 f ( x) 定义域是 (0,??) ，且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 ,对于 0 ? x ? y ,都有 2

f ( x) ? f ( y ) ,

（1）求 f (1) ； （2）解不等式 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 。

2

3．函数（3）
1.下列函数中是奇函数的有几个（ ） ③y? D． 4 )

ax ?1 ①y? x a ?1
A． 1

lg(1 ? x 2 ) ②y? x?3 ?3
B． 2
x

x x

④ y ? log a

1? x 1? x

C． 3
?x

2．函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称( A． x 轴 3．已知 x ? x A. 3 3
?1

B． y 轴
3 2 3 ? 2

C．直线 y ? x ） D. ?4 5 ）
x

D．原点中心对称

? 3 ，则 x ? x 值为（ B. 2 5 C. 4 5
B． 3ln x ? 4
x

4．若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ，则 f ( x ) 的表达式为（ A． 3ln x C． 3e
x

D． 3e ? 4

5．若函数 f ( x) ? 1 ? 6．解方程： （1） 9
?x

m 是奇函数，则 m 为__________。 a ?1

? 2 ? 31? x ? 27

（2） 6 ? 4 ? 9
x x

x

7．求函数 y ? ( ) x ? ( ) x ? 1 在 x ? ? ?3, 2? 上的值域。

1 4

1 2

8．已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3, 当其值域为 [1, 7] 时，求 x 的取值范围。
x x

3

4．函数（4）
1．已知 f ( x ) ? log 2 x ，那么 f (8) 等于（
6

）

A． 4
3

B． 8
x

C． 18

D． 1
2

2．函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ，则 a 的值为（ A． 1
4

）

B． 1
2

C． 2

D． 4 )

3．已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是( A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D. [2，+?）

4．函数 f ( x) ? log a x ? 1 在 (0,1) 上递减，那么 f ( x) 在 (1, ??) 上（ ） A．递增且无最大值 B．递减且无最小值 C．递增且有最大值 D．递减且有最小值 5．(1)若函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 1 的定义域为 R ，则 a 的范围为__________。
2 2

(2)若函数 y ? log 2

? ?ax

? ? 2 x ? 1? 的值域为 R ，则 a 的范围为__________。

6．已知 f ( x) ? 1 ? log x 3 ， g ( x) ? 2log x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小。

7．已知 f ? x ? ? x ?

1? ? 1 ? ? ? x ? 0 ? ，⑴判断 f ? x ? 的奇偶性； x ? 2 ?1 2 ?

⑵证明 f ? x ? ? 0 ．

8．设函数 y = 2 ? x 的定义域为集 A，关于 x 的不等式 lg(2ax)＜lg(a+x)(a＞0)的解集为 B，求 x ?1 使 A∩B=A 的实数 a 的取值范围.

4

5．函数的应用（1）
1.函数 y ? f ? x ? 的图像在 ? a , b ? 内是连续的曲线，若 f ? a ? ? f ? b ? ? 0 ，则函数 y ? f ? x ? 在区间

? a, b ? 内（

） B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定 ）

A 只有一个零点

2. f ? x ? ? 3ax ? 12 ? 3a 在 ? ?1,1? 上存在 x0 ，使 f ? x0 ? ? 0 ? x0 ? ?1? ，则 a 的取值范围是（ A

? ??, 2 ?
x

B

? 2, ?? ?

C

? ??, ?2 ?
）

D

? ?2, ?? ?

1 ?1? 3.方程 ? ? ? x 3 有解 x0 ，则 x0 在下列哪个区间（ ?2?

A

? ?1,0 ?

B
2

? 0,1?

C ?1, 2 ?

D

? 2, 3?
） D a?4 .

4.若函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a 没有零点，则实数 a 的取值范围是（ A a?4
2

B a?4

C a?4

5.函数 f ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 的两个零点是
2

6．已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? m ? 1? x ? n 的零点是 1 和 2，求函数 y ? log n ? mx ? 1? 的零点.

7 函数 y ? x ? ? m ? 1? x ? m 的两个不同的零点是 x1 和 x2 ，且 x1 ， x2 的倒数平方和为 2，求 m .
2

5

6．函数的应用(2)
１．在本市投寄平信,每封信不超过 20 克付邮资 0．8 元, 超过 20 克但不超过 40 克付 1．6 元,依 此类推,每增加 20 克增加 0．8 元(信的质量在 100 克以内),某人所寄一封信 72．5 克,则应付邮资 元． ） （ A．2．4 B．2．8 C．3 D．3．2 ）

２．商品 A 降价 10%促销，经一段时间后欲恢复原价，需提价（ A． 10% B． 11% C． 9%

100 D． % 9

3．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所得的位 于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致为（ ）

4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来 越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用（ ） A 一次函数 B 二次函数 C 指数型函数 D 对数型函数 5． 长为 4 宽为 3 的矩形， 当长增加 x 宽减少

x 时面积最大， x ? 则 2

， 最大面积 S ?

．

6．某厂生产一种服装,每件成本 40 元,出厂价定为 60 元/件,为鼓励销售商订购,当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元,据市场调查, 销售商一次订购 量不超过 500 件, （1）设一次订购量为 x 件,实际出厂单价为 P,写出 P ? f ( x) 的表达式; （2）当销售商一次订购 450 件时,该厂获得利润多少元?

6

7．三角函数（1）
1、将－300 化为弧度为（ A．－
o

）

4? 3
?

B．－ ）

5? 3

C．－

7? 6

D．－

7? 4

2、 sin 600 的值是（

A．

1 ; 2

B．

3 ; 2

C． ? ）

3 ; 2

D． ?

1 ; 2

3、终边在 x 轴上的角的集合为（ A．S= ? ? ? 90 ? ? k ? 360 ? , k ? Z ? C．S= ? ? ? k ? ? , k ? Z ? 4、已知集合 M = {x | x = A． M = N

?

B．S= ? ? ? 90 ? ? k ? 180 ? , k ? Z ? D．S= ? ? ? ? ? k ? 2? , k ? Z ?

?

?

?

kp p + , k ? Z }, N 2 4
C． M ? N ）

{x | x =

kp p + ,k 4 2
f

Z } ，则（

）

B． M ? N

D． M ? N

5、下列命题中正确的是（ A. 第二象限角必是钝角 C.相等的角终边必相同

B. 终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同

6、已知 sin ? ? 0 ， tan ? ? 0 ，则角

? 的终边所在的象限是 2

A. 一或三； B. 二或四； C. 一或二； D. 三或四 7、一个扇形的面积为 1，周长为 4，则此扇形中心角的弧度数为 8、已知 a 终边上一点 P( - 3a, 4a ),求 sin a、 a、tana 的值。 cos

9、利用单位圆写出符合条件的角 ? 的集合： ?

1 2 ． ? sin ? ? 2 2

7

8．三角函数（2）
cos( ? A) ? ? ?
1．如果

1 ? sin( ? A) ? 2 ，那么 2 （
?
C．

）

1 A． 2 ?

1 B． 2

3 2
）

3 D． 2

2．f（cosx）=cos3x，则 f（sin300）的值是（

A．0

B．1

C． - 1

3 D． 2

1 ? ? 3．已知 sin a cos a = 8 ， 4 < ? < 2 , 则 cos a -sin a 的值为
3 2
2

A.

B.
2

3 2

C.

3 4

3 D. - 4

4．化简 (1 ? tan ? ) cos ? = 5．函数 y ? lg sin x ? 16 ? x 的定义域是
2

sin(? ? 5? ) cos(? sin(? ?
6．化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

1 ? 2 sin ? cos? 1 ? tan? ? 2 2 7．求证： cos ? ? sin x 1 ? tan?

8

9．三角函数（3）
1．函数 y=sin(2x + A．x=

? 2

? )的一条对称轴为（ 3
C．x=－

）

B．x= 0

２. 函数 y ? sin(?2 x ? A． [? C． [?

?
6

? 6

D．x = ）

? 12

) 的单调递减区间是（
k ?Z
B． [

?
6

? 2k? ,

?
3

? 2k? ]

?
6

? 2 k? ,
? k? ,

5? ? 2 k? ] 6

k ?Z
k ?Z

?

6 3 2 ３. 函数 y ? cos x ? sin x 的值域是: A. ?? 1,1? B. ?1, 5 ?
? 4? ? ?

? k? ,

?

? k? ]

k ?Z

D． [

?
6

5? ? k? ] 6

C. ?0,2?

D. ?? 1, 5 ? ? ?
? 4?

４. 函数 y ? 1 ? 2cos 取值的集合是 ５．函数 f ( x) ? tan(

?
3

x, x ? R 的最大值 y=
.

，当取得这个最大值时自变量 x 的

?
4

? x) 的单调减区间为

．

６． 已知 y ? a ? b cos3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 ， 最小值为 ? 。 求函数 y ? ?4a sin(3bx) 的周期、 2 2

最值，并求得最值时的 x ；并判断其奇偶性。

７．求函数 y ?

sin 2 x ? sin 2 x 的值域. 1 ? sin x ? cos x

9

10．三角函数（4）
1．函数 y ? 2 sin( x ? A.

?
4

1 2

?
4

) 的周期，振幅，初相分别是
B. 4? ,?2,?

,2,

?
4

?
4

C.

4? , 2,

?
4

D. 2? , 2,

?
4
）

2．函数 y ? 3cos(3x ?

?
2

) 的图象是把 y=3cos3x 的图象平移而得，平移方法是（

A．向左平移

? 个单位长度； 2 ? 个单位长度； 2

B．向左平移

? 个单位长度； 6 ? 个单位长度； 6

C．向右平移

D．向右平移

3．把函数 y ? cos(x ? 小正值是

4 ? ) 的图象向右平移 ? 个单位，所得图象正好关于 y 轴对称，则 ? 的最 3
（ B． ? D． ? ）

2 1 C． ? 3 3 3 x x 4．已知函数 f ( x) ? (cos ? 3 sin ) ? 3. 2 2 2
A． ? （2）指出 f (x) 的周期、振幅、初相；

4 3

5 3

（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

（3）说明此函数图象可由 y ? sin x在[0,2? ] 上的图象经怎样的变换得到.

10

11．三角恒等变换（1）
1．函数 y ? 2 sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 A． 1? 2 2．当 x ? [? B． 2 ? 1 C． 2 D． 2 （ ） （ ）

? ?

, ] 时，函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的 2 2

A．最大值为 1，最小值为－1 C．最大值为 2，最小值为－2 3.已知 tan( ? ? ) ? 7, tan? ? tan ? ? ?

B．最大值为 1，最小值为 ?

1 2

D．最大值为 2，最小值为－1

2 , 则 cos( ? ? ) 的值 ? 3
C． ?
2

（

）

A．

1 2

B．

2 2

2 2
2

D． ?

2 2
.

4．已知 sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? m ，则 cos ? ? cos ? 的值为

2 5．在△ABC 中， tan A ? tan B ? tan C ? 3 3 ， tan B ? tan A ? tan C 则∠B=__________.

6. sin(

?

? 3x) ? cos( ? 3x) ? cos( ? 3x) ? sin( ? 3x) ． 4 3 6 4

?

?

?

2 ? 2 ? 7．已知 0 ? ? ? ? ? 90 , 且 cos? , cos ? 是方程 x ? 2 sin 50 x ? sin 50 ?
?
?

1 ? 0 的两根， 2

求 tan(? ? 2? ) 的值.

11

12．三角恒等变换(2)
1．已知

3 12 3 ? ? ? ? ? ? , cos( ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin 2? ? （ ? 2 4 13 5 56 56 65 65 A． B．－ C． D．－ 65 65 56 56
? ? ?

?

）

2． sin15 ? sin 30 ? sin 75 的值等于

（

）

A．

3 4
? ?

B．
?

3 8
?

C．

1 8

D．

1 4
）

3． sin 20 cos 70 ? sin10 sin 50 的值是 A． 1
4
? ? ?

（ C． 1
2

B． 3
2
?

D． 3
4

4． cos 20 ? cos 40 ? cos 60 ? cos100 的值等于 . 5．已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 1 ，则 tan(? ? ? ) 的值为 4 3 6．已知α ，β ∈（0，π ）且 tan( ? ? ) ? ?

.

1 1 , tan ? ? ? ，求 2? ? ? 的值. 2 7

7．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B，

1 1 2 A?C ? ?? 求 cos 的值. cos A cos C cos B 2

12

13．三角恒等变换(3)
1． cos 75 ? cos 15 ? cos 75 ? cos15 的值是
2 ? 2 ? ? ?

（

）

A．

5 4

B．

6 2

C．

3 2

D． 1 ?

3 4

2．已知 ? 为第Ⅲ象限象，则

1 1 1 1 ? ? cos? 等于 2 2 2 2

（

）

A． sin
?

?
4
?

B． cos
?

?
4
?

C． ? sin

?
4

D． ? cos （ ）

?
4

3． sin 20 ? sin 40 ? sin 60 ? sin 80 的值为 A．

1 16

B． ?

1 16

C．

3 16

D． ? .

3 16

4．已知 sin? ? cos? ? 5．化简
?

1 ,? ? (0, ? ), 则 cot? 的值是 5
的结果是
?

cos100 ? cos 5 ? 1 ? sin 100

.

6.已知 cos( ? ?

?

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? , 求 cos( ? ? ) 的值. ? 2 9 2 3 2

7．设 x ? [0,

?

], 求函数y ? cos(2 x ? ) ? 2 sin(x ? ) 的最值. 3 3 6

?

?

13

14．解三角形(1)
1. 在△ABC 中，若

a

A B cos cos 2 2

=

b

=

c C cos 2

，则△ABC 的形状是(

)

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形 )

2. 在△ABC 中，若 A=60°,b=16,且此三角形的面积 S=220 3 ，则 a 的值是( A.

2400

B.25

C.55

D.49

3. 在△ABC 中，若 acosA=bcosB,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角 4. 在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则 c= . 5. 在△ABC 中，已知 a=3 2 ,cosC=

1 ,S△ABC=4 3 ，则 b= 3

.

6．△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求 AC 的长及△ ABC 的面积．

7．在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ ABC 的形状．

14

15．解三角形(2)
1、设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长，则实数 m 的取值范围是( ) A.0＜m＜3 B.1＜m＜3 C.3＜m＜4 D.4＜m＜6 2 、 在 △ ABC 中 ， 已 知 sinA ∶ sinB ∶ sinC=3 ∶ 5 ∶ 7, 则 此 三 角 形 的 最 大 内 角 的 度 数 等 于 （ ) A.75° B.120° C.135° D.150° 3、 ⊿ABC 中，若 c= a ? b ? ab ，则角 C 的度数是(
2 2

) D.45° . .

A.60°

B.120°

C.60°或 120°

a?b?c 4、 在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为 3 ，则 = sin A ? sin B ? sin C
5、 在△ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，且边 b=2，则外接圆半径 R= 6、在 △ABC 中， tan A ? （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若 △ABC 最大边的边长为 17 ，求最小边的边长．

1 3 ， tan B ? ． 4 5

7. 如图，海中有一小岛，周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行，望见小岛 B 在北偏东 75°，航行 8 海里到达 C 处，望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的方向继 续前进，问此舰有没有角礁的危险？

15

???? ??? ??? ??? ? ? ? 1．化简 AC ? BD ? CD ? AB 得（ ） ??? ? ? A． AB B． DA C． BC D． 0 ?? ?? ? ? ? ? 2．设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? A． a0 ? b0 B． a ? b ? 1 C． | a0 | ? | b0 |? 2 D． | a0 ? b0 |? 2 0 0
3．已知下列命题中：

16．平面向量（1）

? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）若 a ? b ? 0 ，则 a ? 0 或 b ? 0 （3）若不平行的两个非零向量 a, b ，满足 | a |?| b | ，则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ? ? b （4）若 a 与 b 平行，则 a? ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 1 4．若 OA = (2,8) ， OB = (?7,2) ，则 AB =_________ 3 ? ? ? ? ? 5．平面向量 a, b 中，若 a ? (4, ?3) ， b =1，且 a ? b ? 5 ，则向量 b =____。
（1）若 k ? R ，且 kb ? 0 ，则 k ? 0 或 b ? 0 ， 6．如图，? ABCD 中， E , F 分别是 BC , DC 的中点， G 为交点，若 AB = a ， AD = b ，试以 a ，

?

??? ? ?

?

?

? ? ??? ??? ? b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG ．

7．已知向量 a与b 的夹角为 60 ， | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

?

?

?

?

8．已知点 B(2, ?1) ，且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ，又 b ? (1, 3) ，求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

16

17．平面向量（2）
1．下列命题中正确的是（

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ???? ? ? ? D． AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2．设点 A(2,0) ， B(4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上，且 AB ? 2 AP ，则点 P 的坐标为（
B． AB ? BA ? 0 A． (3,1) B． (1, ?1) C． (3,1) 或 (1, ?1) D．无数多个

??? ??? ??? ? ? ? A． OA ? OB ? AB ? ??? ? ? C． 0 ? AB ? 0

）

）

3．下列命题中正确的是（ ） A．若 a?b＝0，则 a＝0 或 b＝0 B．若 a?b＝0，则 a∥b C．若 a∥b，则 a 在 b 上的投影为|a| D．若 a⊥b，则 a?b＝(a?b)2 4．已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值，最小值分别是（ A． 4 2 ,0 B． 4, 4 2 C． 16, 0 D． 4, 0 ) ）

o 5．若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹角是 180 ，且 | b |? 3 5 ，则 b ? (

A． (?3,6)

B． (3,?6)

C． (6,?3)

D． (?6,3)

6．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB ? CB ? CD ? __________。
? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

7．若 a = (2,3) ， b = (?4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________________。 8．求与向量 a ? (1, 2) ， b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标．

?

?

?

9．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．

17

18．平面向量（3）
1．向量 a ? (2,3) ， b ? ( ?1, 2) ，若 ma ? b 与 a ? 2b 平行，则 m 等于

?

?

? ?

?

?

1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2．若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a ， (b ? 2a) ? b ，则 a 与 b 的夹角是（
A． ?2 B． 2 C．

1 2

D． ?

）

5? 6 ? 1 ? 3 ? ? 3．设 a ? ( ,sin ? ) ， b ? (cos ? , ) ，且 a // b ，则锐角 ? 为（ 2 3
A．

? 6

B．

? 3

C．

2? 3

D．

）

A． 30

0

B． 60

0

C． 75

0

D． 45

0

4．若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ，且 c ? a ，则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

．
? ?

5．已知向量 a ? (1, 2) ， b ? ( ?2, 3) ， c ? (4,1) ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c =____。

?

?

c b 6．设非零向量 a , b , c , d ，满足 d ? (a ? )b ? (a ? )c ，求证： a ? d

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

7．已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时，

?

（1） ka ? b 与 a ? 3b 垂直？（2） k a ? b 与 a ? 3 b 平行？平行时它们是同向还是反向？

?

?

?

?

?

?

8．已知 a ? (cos ? ,sin ? ) ， b ? (cos ? ,sin ? ) ，其中 0 ? ? ? ? ? ? ． (1)求证： a ? b 与 a ? b 互相垂直； (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等，求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数)．
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18

19．平面向量（4）
1．若三点 A(2,3), B(3, a), C(4, b) 共线，则有（ A． a ? 3, b ? ?5 B． a ? b ? 1 ? 0 ） D． a ? 2b ? 0 C． 2a ? b ? 3

2．设 0 ? ? ? 2? ，已知两个向量 OP1 ? ?cos? , sin? ? ， OP2 ? ?2 ? sin ? , 2 ? cos? ? ，则向量

P1 P2 长度的最大值是（
A. 2 B. 3 C. 3 2

） D. 2 3 )

3．若平面向量 b 与向量 a ? ( 2,1) 平行，且 | b |? 2 5 ，则 b ? ( A． (4,2) B． (?4,?2) C． (6,?3)

D． (4,2) 或 (?4,?2)

4．已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ，向量 b ? ( 3, ?1) ，则 2a ? b 的最大值是

?

?

?

?

．

5．若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ，试判断则△ABC 的形状_________．

6．已知 a , b , c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．

? ? ?

（1）若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ，则 b ? c

? ?

? ?

?

?

?

? ? ?

（2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? （ ? 是 a 与 b 的夹角） ，方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量．

?

?

?

?

?

7．证明：对于任意的 a, b, c, d ? R ，恒有不等式 (ac ? bd ) ? (a ? b )(c ? d )
2 2 2 2 2

19

20．平面向量（5）
1．下列命题正确的是（ A．单位向量都相等 ） ）

? ? C． | a ? b | ?| a ? b | ，则 a ? b ? 0 ? ? D．若 a 0 与 b0 是单位向量，则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 2．已知 a , b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 a ? 3b ? （
A． 7 B． 10 C． 13 D． 4

B．若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则 a 与 c 是共线向量（

）

3．已知向量 a ， b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ?

?

?

? ? ? C． D． 4 3 2 ? ? 4．若 a ? (2, ?2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。
A． B． 5．若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

? 6

?

?

? ?

?

?

。

b 6．平面向量 a, b 中，已知 a ? (4, ?3) ， b ? 1 ，且 a? ? 5 ，则向量 b ? ______。
0 7．若 a ? 1 , b ? 2 ， a 与 b 的夹角为 60 ，若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ，则 m 的值为

?

?

? ?

?

?

?

?

? ?

．

8 ． 平 面 向 量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，使 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? a ?( 2t ?3 ) b , y? ? k a? ,tx b y ，试求函数关系式 k ? f (t ) 。 且 ?

?

?

9．如图，在直角△ABC 中，已知 BC ? a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的 夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大？并求出这个最大值。

20

21．数列（1）
1．在数列 1,1,2,3,5,8, x,21,34,55 中， x 等于（ A． 11 B． 12 C． 13 D． 14 ） ）

2．等差数列 {a n }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列{a n }前9 项的和 S 9 等于（ A． 66 B． 99 C． 144 D． 297 ） 3．等比数列 ?a n ?中, a 2 ? 9, a5 ? 243, 则 ?a n ?的前 4 项和为（ A． 81 C． 168 B． 120 D． 192

4．等差数列 ?a n ?中, a 2 ? 9, a5 ? 33, 则 ?a n ?的公差为______________。 5．数列{ an }是等差数列， a4 ? 7 ，则 s7 ? _________ 6．成等差数列的四个数的和为 26 ，第二数与第三数之积为 40 ，求这四个数。

7． 在等差数列 ?a n ?中, a5 ? 0.3, a12 ? 3.1, 求 a18 ? a19 ? a 20 ? a 21 ? a 22 的值。

8． 求和： (a ? 1) ? (a ? 2) ? ... ? (a ? n), (a ? 0)
2 n

21

22．数列（2）
1． 2 ? 1 与 2 ? 1 ，两数的等比中项是（ A． 1 B． ?1 C． ? 1 D． ）

1 2

2．已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ， 那么 ? 13 A． 2

1 是此数列的第（ ）项 2 B． 4 C． 6 D． 8

3．在公比为整数的等比数列 ?a n ?中，如果 a1 ? a 4 ? 18, a 2 ? a3 ? 12, 那么该数列 的前 8 项之和为（ A． 513 B． 512 ） C． 510 D．

225 8

4．两个等差数列 ?a n ?, ?bn ?,

a1 ? a 2 ? ... ? a n 7 n ? 2 a ? , 则 5 =___________. b1 ? b2 ? ... ? bn n?3 b5

5．在等比数列 ?a n ?中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________. 6．三个数成等差数列，其比为 3: 4 : 5 ，如果最小数加上 1 ，则三数成等比数列，那么原三数为什 么？

7．求和： 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? nx
2

n ?1

8．已知数列 ?an ? 的通项公式 a n ? ?2n ? 11 ，如果 bn ? a n (n ? N ) ，求数列 ?bn ?的前 n 项和。

22

23．数列（3）
1．已知等差数列 ?a n ?的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列, 则 a2 ? （ A． ?4 B． ?6 C． ?8 D． ?10 ）

2．设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和，若 B． ?1
x

a5 5 S ? ,则 9 ? （ a3 9 S5

）

A． 1

C． 2
x

D．

1 2
）

3．若 lg 2, lg(2 ? 1), lg(2 ? 3) 成等差数列，则 x 的值等于（ A． 1 B． 0 或 32 C． 32 D． log 2 5

4．等差数列 ?a n ?中, a 2 ? 5, a6 ? 33, 则 a3 ? a5 ? _________。 5．数列 7,77,777,7777 ?的一个通项公式是______________________。 6．已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 ，求 a n
n

7．一个有穷等比数列的首项为 1 ，项数为偶数，如果其奇数项的和为 85 ，偶数项的和为 170 ， 求此数列的公比和项数。

8．在等比数列 ?a n ? 中， a1 a3 ? 36, a 2 ? a 4 ? 60, S n ? 400 , 求 n 的范围。

23

24．数列（4）
1．数列 ?a n ?的通项公式 a n ? A． 98 B． 99 C． 96

1 n ? n ?1

，则该数列的前（

）项之和等于 9 。

D． 97 ）

2．在等差数列 ?a n ?中，若 S 4 ? 1, S 8 ? 4 ，则 a17 ? a18 ? a19 ? a 20 的值为（ A． 9 B． 12 C． 16 D． 17 ）
n?2

3．在等比数列 ?a n ?中，若 a 2 ? 6 ，且 a5 ? 2a 4 ? a3 ? 12 ? 0 则 a n 为（ A． 6 B． 6 ? (?1)
n?2

C． 6 ? 2

n?2

D． 6 或 6 ? (?1)

n?2

或6?2

4．等差数列中,若 S m ? S n (m ? n), 则 S m ? n =_______。 5．已知数列 ?an ? 是等差数列，若 a4 ? a7 ? a10 ? 17 ,

a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________。
n 6．等比数列 ?a n ?前 n 项的和为 2 ? 1 ，则数列 an

? ? 前 n 项的和为______________。
2

7．设等比数列 ?a n ?前 n 项和为 S n ，若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ，求数列的公比 q

8．已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ... ? (?1)

n ?1

(4n ? 3) ，求 S15 ? S 22 ? S 31 的值。

24

25．数列（5）
1．已知等差数列 {a n }的前n 项和为 S n , 若m ? 1, 且a m?1 ? a m?1 ? a m ? 0, S 2 m?1 ? 38, 则m
2

等于（ A． 38

） B． 20 C． 10 D． 9 ）

2．等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,若

Sn a 2n ,则 n =（ ? Tn 3n ? 1 bn
D．

A．

2 3

B．

2n ? 1 3n ? 1

C．

2n ? 1 3n ? 1

2n ? 1 3n ? 4

3．已知数列 ?a n ?中， a1 ? ?1 ， an ?1 ? an ? an ?1 ? an ，则数列通项 an ? ___________。 4．已知数列的 S n ? n ? n ? 1 ，则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =_____________。
2

5．三个不同的实数 a, b, c 成等差数列，且 a, c, b 成等比数列，则 a : b : c ? _________。 6 ． 在 等 差 数 列

?a n ?

中 ， 公 差 d?

1 ， 前 100 项 的 和 S100 ? 45 ， 则 2

a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 =_____________。
7．若等差数列 ?a n ?中， a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 S13 ? __________ . 8． 一个等比数列各项均为正数， 且它的任何一项都等于它的后面两项的和， 则公比 q 为_________。

{ a a 9、 {an } 是等差数列， bn } 是各项都为正数的等比数列， a1 ? b1 ? 1 ， 3 ? b5 ? 21 ， 5 ? b3 ? 13 设 且
（Ⅰ）求 {an } ， {bn } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n ． ? bn ?

25

26．不等式
1、设α ∈（0， A.（0，

? π π ） ∈［0， ］ ，β ，那么 2α － 的范围是 2 2 3
B.（－
π 5π ， ） C.（0，π ） 6 6 a?b 、 2
ab 、

5π ） 6

D.（－

π ，π ） 6

2、若 a、b 是正数，则

2ab 、 a?b

a2 ? b2 这四个数的大小顺序是2

________________________________________________ 3、若 p=a+
2 1 （a＞2） ，q=2 ?a ? 4a ?2 ，则 a?2

A.p＞q B.p＜q C.p≥q D.p≤q 2 2 4、不等式 ax +bx+c＞0 的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式 ax －bx+c＞0 的解集为_______. 5、若关于 x 的不等式－
1 2 x +2x＞mx 的解集为{x|0＜x＜2}，则实数 m 的值为_______. 2

6、船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1 和在静水中的速度 v2 的大小关系为 ____________. 7、求实数 m 的范围，使 y=lg［mx2+2（m+1）x+9m+4］对任意 x∈R 恒有意义.

8、 某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉 6 t，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管 等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元. （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少? （2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 t 时，其价格可享受 9 折优惠（即 原价的 90%） ，问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

26

27．简单的线性规划
1、点（－2，t）在直线 2x－3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是________________.

? x?0 ? 2、设 x、y 满足约束条件 ? x ? y ?2 x ? y ? 1 ?

则 z=3x+2y 的最大值是____________.

x－4y+3≤0， y 3x+5y－25≤0， 设 z= ，则 z 的最小值为_______，最大值为 3、变量 x、y 满足条件 x x≥1， _________. 4、 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v n mile/h（4≤v≤20）从 A 港出发到距 50 n mile 的 B 港去， 然后乘汽车以匀速 w km/h （30≤w≤100） B 港向距 300 km 的 C 市驶去.应该在同一天下午 自 4 至 9 点到达 C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 x h、y h. （1）作图表示满足上述条件的 x、y 范围； （2）如果已知所需的经费 p=100+3×（5－x）+2×（8－y） （元） ，那么 v、w 分别是多少时 走得最经济?此时需花费多少元?

5、某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员. 此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次， 乙型卡车每辆每 天可往返 8 次.甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元.问 每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

6、.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常 大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应 量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查， 得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 成 金 本 单位产品所需资金（百元） 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应量（百元） 300 110

劳动力（工资） 单位利润

试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?

27

28．空间几何体（1）
1.给出四个命题（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； （2）各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； （3）有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； （4）长方体一定是正四棱柱。其中正确的有 个。 2.圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 度。 3.一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为 3：2，则这个圆柱的侧面积与这个 球的表面积之比为 4.设地球半径为 R，若甲地位于北纬 45 度，东经 120 度，乙地位于南纬 75 度，东经 120 度，则 甲乙两地的球面距离为 5.在正三棱锥 ABC-A1B1C1 中，若 AB=2，AA1=1，则点 A 到平面 A1BC 的距离 是 6.三棱锥 P-ABC 中，PA=a，AB=AC=2a， ? PAB= ? PAC= ? BAC=60 ? ， 求三棱锥的体积。

7.一圆锥的底面半径为 2，高为 6，在其中有一个高为 x 的内接圆柱 （1）求圆锥的侧面积； （2）当 x 为何值时，圆柱侧面积最大，并求出最大值。

28

29．空间几何体（2）
1.已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆 柱被截后剩下部分的体积是 2.正三棱柱的底面边长为 a， 过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相平行的截面， 在这两个 截面间的斜三棱柱的侧面积为 3.正四棱台的斜高与上，下底面边长之比为 5：2：8，体积为 14，则棱台的高为 4.表面积为 S 的多面体的每个面都外切于半径为 R 的一个球，则这个多面体的体积为 5.长方体的表面积为 11，12 条棱的长度和为 24，则长方体的一条对角线长为 6.过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=2,求球面面积

7.四面体的一条棱长为 x， 其他各棱长为 1， 把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f ( x) ， 并求出 f ( x) 的值域和单调增区间。

29

30．点、直线、平面之间的位置关系（1）
1.若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线 2.一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有 3.面 ? ? 面 ? =L，点 A ?? ，A ? ? ，则过点 A 可以作 个。 条直线与两个面都平行

4.若两平面平行，则平行于其中一个平面的直线与另一个平面的位置关系是 5.若夹在两个平行平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 6.空间四边形 ABCD 中，E,F 是 AB,AD 的中点，G,H 在 BC，DC 上，且 BG:GC=DH:HC=1:2 （1）求证：E,F,G,H 四点共面 （2）设 EG 与 HF 交于点 P，求证：P,A,C 三点共线

7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 的中点，求异面直线 A1C1 与 B1M 所成角的余弦值

30

31．点、直线、平面之间的位置关系（2）
1.a，b 是异面直线，过 a 且与 b 平行的平面有 个。 2.空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长为 8，12，过 AB 的中点 E 且平行于 BD，AC 的 截面四边形的周长为 3.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， M,N 是棱 A1B1,B1C1 的中点， 是棱 AD 上一点， P AP=

1 ， 3

过 P,M,N 的平面与棱 CD 交于 Q，则 PQ= 4.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 L，则 L 与 A1C1 的位置关系是 5.若平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是 6.已知 A,B,C,D 四点不共面，M,N 是 ? ABD 和 ? CDB 的重心，求证：MN||面 ACD

7.面 ? ||面 ? ，P 是两面外的一点，直线 PAB，PCD 与面 ? , ? 相交于点 A,B 和 C,D （1）求证：AC||BD （2）若 PA=4，AB=5，PC=3，求 PD 的长

31

32．点、直线、平面之间的位置关系（3）
1.空间四边形 ABCD，若 AB=AD，BC=CD，则 AC 与 BD 的位置关系是 2.在四棱锥的 5 个面中，两两互相垂直的平面最多有 对 3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个平面角的大小为 4.三棱锥 P-ABC 中，PA ? 面 ACB，? ACB=90 ? ，PA=AC=BC=1,则异面直线 PB 与 AC 所成的角 的正切值为 5.已知 Rt ? ABC 中， ? ACB=90 ? ，点 P 是面 ABC 外一点，若 PA=PC=PB，则点 P 在面 ABC 上 的射影位于 6.四面体 ABCD 中，AB ? CD，BC ? AD，求证：AC ? BD

7.四棱锥 V-ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB ? 底面 ABCD，又 VB ? 面 VAD， 求证：面 VBC ? 面 VAC

32

33．直线与圆 (一)
1、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是（ A． 45 ,1
0

） C． 90 ，不存在
0

B． 135 , ?1
0

D． 180 ，不存在 ） D． x ? 2 y ? 7 ? 0

0

2、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为（ A． 2 x ? y ? 1 ? 0 B． 2 x ? y ? 5 ? 0 C． x ? 2 y ? 5 ? 0 ）

3、已知 ab ? 0, bc ? 0 ，则直线 ax ? by ? c 不通过（ A．第四象限
2

B．第三象限
2

C．第二象限

D．第一象限 ）

4、若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线，则实数 m 满足（ A． m ? 0 B． m ? ?

3 2

C． m ? 1

D． m ? 1 ， m ? ?

3 ，m ? 0 2

5、点 P(1, ?1) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是________________. 6、若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ，则 l 的方程为____________________。 7、 求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线 方程。

8、过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 ．

33

34．直线与圆 (二)
1、若 A(?2,3), B(3, ?2), C ( , m) 三点共线 则 m 的值为（ Ａ．

1 2

）

1 2

Ｂ． ?

1 2

Ｃ． ?2

Ｄ． 2 ）

2、直线 x cos ? ? y sin ? ? a ? 0 与 x sin ? ? y cos ? ? b ? 0 的位置关系是（ A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与 a, b,? 的值有关

3、两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行，则它们之间的距离为 4、已知点 A(1, 2), B(3,1) ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 5、已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ，若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范 围是 6、函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值为

。

7、一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0, l 2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得线段的中点是 P(0,1) 点，求此直 线方程。

8、求经过点 P(1, 2) 的直线，且使 A(2,3) ， B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程。

34

35．直线与圆 (三)
1、已知点 A（1，2） 、B（3，1） ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是 2、设集合 M ? ? x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R ， N ? ?x, y ? x ? y ? 0, x ? R, y ? R ，则集合
2 2

?

?

?

?

M ? N 中元素的个数为
3、直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x2 + y2 = 1 在第一象限内有两个不同的交点, 则 m 的取值范围是 4、如果直线经过两直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和 3x ? y ? 2 ? 0 的交点，且与直线 y ? x 垂直，则原点 到直线 l 的距离是 5、直线 kx ? y ? 1 ? 3k , 当 k 变动时，所有直线都通过定点 6、直线 x+2y=0 被曲线 x2+y2－6x－2y－15=0 所截得的弦长等于 7、设 P 为圆 x ? y ? 1 上的动点，求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值。
2 2

8、由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠APB=60°， 求动点 P 的轨迹方程。

35

36．直线与圆 (四)
1、若 P(2,?1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 （
2 2

）

A、 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0
2 2

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0

2、已知方程 x +y +kx+(1-k)y+ A k>3
2 2

B

k ? ?2
2

13 =0 表示圆，则 k 的取值范围 ( 4
C
2

)

-2<k<3

D k>3 或 k<-2

3、圆 O:x ＋y ＝9 与圆 C:x ＋y －2x＋8y－1＝0 的位置关系是_ ____________ 4、已知圆 C： x ? ( y ? 1) ? 1 与圆 O： ( x ? 1) ? y ? 1 关于某直线对称，则直线的方程为
2 2 2 2

5、圆心为 C（1, 2）且与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是____________ 6、 若点( x，y)在直线3x ? 4 y ? 25 ? 0上移动，则x ? y 的最小值为
2 2

。

7、求过点 P（1，6）与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 25 相切的直线方程。
2 2

8、已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上，且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 圆 C 的方程。

，求

36

37．直线与圆 (五)
1．圆： x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆： x ? y ? 6 x ? 0 交于 A, B 两点，
2 2 2 2

则 AB 的垂直平分线的方程是 2、对于任意实数 k ，直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的
2 2

位置关系是__
2 2

_______
2

3、动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是 4、实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ，则
2 2 2 2

. 。

y?2 的取值范围是 x ?1
2 2

5、已知两圆 x ? y ? 10 x ? 10 y ? 0, x ? y ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 ， 求（1）它们的公共弦所在直线的方程； （2）公共弦长。

6、求以 A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

7、求过点 A ?1, 2 ? 和 B ?1,10 ? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

37

38．综合训练（一）
1.若集合 A={1，3，x}，B={1， x }，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数 x 的个数有（ A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 2.集合 M={（x，y）| x＞0，y＞0}，N={（x，y）| x+y＞0，xy＞0}则（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M ? N= ?
2

）

3．下列图象中不能表示函数的图象的是 （ ）

A.

B.

C.
2

D. ）

4．若函数 y=f（x）的定义域是[2，4]，则 y=f（ log 1 x ）的定义域是（ A. [ 1 ，1] 2 B. [4，16] C.[ 1 ， 1 ] 4 16 ） D. ( 1 , ??) 2 D.[2，4 ]

2 5．函数 f ( x) ? ( x ? 1 ) 0 ? | x ? 1| 的定义域为（ 2 x?2

A. (?2, 1 ) 2

B.（-2，+∞）

C. (?2, 1 ) ? ( 1 , ??) 2 2

6．设偶函数 f（x）的定义域为 R，当 x ? [0, ??) 时 f（x）是增函数，则 f (?2), f (? ), f (?3) 的 大小关系是（ ）A. f (? ) ＞ f (?3) ＞ f (?2) C. f (? ) ＜ f (?3) ＜ f (?2) 7． a ? log 0.7 0.8 ， b ? log1.1 0.9 ， c ? 1.1 ，那么（
0.9

B. f (? ) ＞ f (?2) ＞ f (?3) D. f (? ) ＜ f (?2) ＜ f (?3) ） D.c＜a＜b

A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.b＜a＜c

8．已知函数 f (n) ? ?n ? 3(n ? 10) ?

? f [ f (n ? 5)](n ? 10)

，其中 n ? N，则 f（8）=（ ）

A.6 B.7 C. 2 D.4 9．若函数 f（x）和 g（x）都为奇函数，函数 F（x）=af（x）+bg（x）+3 在（0，+∞）上有最大 值 10，则 F（x）在（-∞，0）上有（ ） A.最小值 -10 B.最小值 -7 C.最小值 -4 D.最大值 -10
2 10.计算: （Ⅰ） lg 2） ? lg 5? 20 ? 1 = （ lg

6 3 （Ⅱ）（3 2 ? 3） ? 2 2） ? （ （ 4

4

16 ? 1 4 0 ）2 ? 2 ? 80.25 ? ? 2005） = （ 49

11.若函数 f ( x) ? log a ( 1 )(a ? 0且a ? 1 的定义域和值域都是[0，1]，则 a= ） x ?1

38

2 ） ? x ? （x ? ?1 12.设函数 （x） ? x 2 ?〈x 2） ，若 f（x）=3，则 x= f ? ? （ 1〈 ?2（x ? 2） ? x
13.以下四个命题中,不正确的题号为 ①函数 f（x）= a （a＞0 且 a≠1）与 g（x）=log ②函数 f（x）=x 与函数 g（x）=3
2

.

x

aa

x

（a＞0 且 a≠1）定义域相同；

3

x

的值域相同；
x -1

③函数 f（x）=（x-1） 与 g（x）=2 在（0，+∞）上都是增函数； -1 -1 ④如果函数 f（x）有反函数 f （x） ，则 f（x+1）的反函数是 f （x+1）. 14.y= f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时， （x） ?4 x 2 ? 8x ? 3 . f ? （Ⅰ）求 f（x）在 R 上的表达式； （Ⅱ）求 y=f（x）的最大值，并写出 f（x）在 R 上的单调区间（不必证明）.

15. 已知函数 （x） log 2 f ?

1? x ， （x∈（- 1，1）. 1? x

（Ⅰ）判断 f（x）的奇偶性，并证明； （Ⅱ）判断 f（x）在（- 1，1）上的单调性，并证明.

39

39．综合训练（二）
1．若等比数列 ?an ? 的前 3 项和 S3 ? 9 且 a1 ? 1 ，则 a2 等于（ Ａ． 3 Ｂ． 4 Ｃ． 5 Ｄ． 6 ） ）

2、直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是（

Ａ． x ? 2 y ? 1 ? 0 Ｂ． 2 x ? y ? 1 ? 0 Ｃ． 2 x ? y ? 3 ? 0 Ｄ． x ? 2 y ? 3 ? 0 3．在 △ABC 中， AB ? 3 ， A ? 45? ， C ? 75? ，则 BC ? （ Ａ． 3 ? 3
2 2

）

Ｂ． 2

Ｃ． 2
2 2

Ｄ． 3 ? 3

4 ． 已 知 两 圆 x ? y ? 10 和 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 20 相 交 于 A B 两 点 ， 则 直 线 AB 的 方 程 ， 是 ．

5 、 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n ， 已 知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成 等 差 数 列 ， 则 ?an ? 的 公 比 为 ． 6、若 P 两条异面直线 l，m 外的任意一点，则（ ） Ａ．过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 Ｂ、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 Ｃ．过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 Ｄ、过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面

? x ? y ≥ ?1 ， ? 7．设变量 x，y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为（ ， ?3x ? y ? 3． ?
Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14 8、如图，正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA1 ? 2 AB ，则异面直线 A1 B 与 AD1 所成角的余弦值为（ A． ）

）

D1 A1 B1

C1

1 5

B．

2 5

C．

3 5

D．

4 5
2 sin C ．

D
A B

C

9、已知 △ABC 的周长为 2 ? 1 ，且 sin A ? sin B ? （I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．

1 6

40

10、已知实数列 ?an ? 是等比数列，其中 a7 ? 1 ，且 a4，a5 ? 1 ， a6 成等差数列． （Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ，证明： Sn ? 128(n ? 1 2，?) ． ， 3，

11、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ，过点 P(0， 且斜率 2)
2 2

为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A B ． ， （Ⅰ）求 k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在常数 k ，使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请 说明理由．

??? ??? ? ?

??? ?

12 、 四 棱 锥 S ? ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， 侧 面 SBC ? 底 面 ABCD． 已 知

∠ABC ? 45? ， AB ? 2 ， BC ? 2 2 ， SA ? SB ? 3 ．
（Ⅰ）证明 SA ? BC ； （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值．
S

C D A

B

41

40．综合训练（三）
1、已知向量 a ? (?5， ， b ? (6， ，则 a 与 b （ 6) 5) A．垂直 B．不垂直也不平行 ） D．平行且反向 ） C．平行且同向

2、 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8， ?) 上为减函数， 且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数， （ 则 ? Ａ． f (6) ? f (7) 3、已知 sin ? ? cos ? ? Ｂ． f (6) ? f (9) Ｃ． f (7) ? f (9) Ｄ． f (7) ? f (10)

1 ? 3? ，且 ≤ ? ≤ ，则 cos 2? 的值是 ． 5 2 4 ? ) 3 4、 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ， ?R （其中 ? ? 0 ， ? ） 的最小正周期是 ? ， f 0 ? 且 ( ? x 2
则（ A． ? ? ）

，

1 ? 1 ? ? ? B． ? ? ，? ? C． ? ? 2，? ? D． ? ? 2，? ? ，? ? 2 6 2 3 6 3
） Ｃ． 2b ? a ? ?b Ｄ． 2b ? a ? 2b

5、若非零向量 a，b 满足 a ? b ? b ，则（ Ａ． 2a ? ?a ? b Ｂ． 2a ? 2a ? b

6、如图，在 △ABC 中， ?BAC ? 120° AB ? 2，AC ? 1 ， D 是边 BC 上一点， DC ? 2BD ， ，

· 则 AD BC ?
2

???? ??? ?

．
2

7、函数 f ( x) ? cos x ? 2cos A． ? ， ?

x 的一个单调增区间是（ 2
C． ? 0， ?

） D． ? ? ， ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B． ? ， ?

?? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

? ? ?? ? 6 6?

8、下面给出的四个点中，到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 区域内的点是（ A． (11) ， ） C． (?1 ? 1) ，

? x ? y ? 1 ? 0， 2 ，且位于 ? 表示的平面 2 ?x ? y ?1 ? 0

B． (?11) ，
2

D． (1 ? 1) ，

9、设 f ( x) ? 6 cos x ? 3 sin 2 x ． （Ⅰ）求 f ( x) 的最大值及最小正周期； （Ⅱ）若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ，求 tan

4 ? 的值． 5

42

10． 已知 a 是实数，函数 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ，如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1，1]上有零点，求 实数 a 的取值范围。

11 、 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ， EA ? 平 面 ABC ， DB ? 平 面 ABC ， AC ? BC ， 且 ， A C ? B C? B D 2 A EM 是 AB 的中点． ? （I）求证： CM ? EM ； D E （II）求 CM 与平面 CDE 所成的角．

E

H

A

C

M
B

12、在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切． （1）求圆 O 的方程；

PO PB （2）圆 O 与 x 轴相交于 A，B 两点，圆内的动点 P 使 PA ， ， 成等比数列，求 PA ? PB 的
取值范围．

43

参考答案
【第 1 练】 1.D 2.C 3.D 4. ?? 11,?6,?3,?2,0,1,4,9? 8. （1） (??,3] 5. ??2,?2 ?? （2）254 个 6.a=0 或 a=1 （3）m＞4

7.a=0 或 a=-1∕2 或 a=1∕3 【第 2 练】CDACD

2.按照对应法则 y ? 3x ? 1 ， B ? ?4, 7,10,3k ? 1? ? 4, 7, a 4 , a 2 ? 3a
* 4 2 4

?

?

而 a ? N , a ? 10 ，∴ a ? 3a ? 10, a ? 2,3k ? 1 ? a ? 16, k ? 5 6．解：∵ f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数，∴ f (? x) ? f ( x) ，且 g (? x) ? ? g ( x)

1 1 ,得 f (? x) ? g (? x) ? , x ?1 ? x ?1 1 1 即 f ( x) ? g ( x) ? ， ?? ?x ?1 x ?1 1 ∴ f ( x) ? 2 ， g ( x) ? x 。 x ?1 x2 ?1
而 f ( x) ? g ( x) ? 7．解：对称轴 x ?

a a ，当 ? 0, 即 a ? 0 时， ? 0,1? 是 f ( x) 的递减区间， 2 2
2

则 f ( x) max ? f (0) ? ?4a ? a ? ?5 ，得 a ? 1 或 a ? ?5 ，而 a ? 0 ，即 a ? ?5 ； 当

a ? 1, 即 a ? 2 时， ? 0,1? 是 f ( x) 的递增区间，则 f ( x)max ? f (1) ? ?4 ? a 2 ? ?5 ， 2
a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时， 2

得 a ? 1 或 a ? ?1 ，而 a ? 2 ，即 a 不存在；当 0 ?

则 f ( x)max ? f ( ) ? ?4a ? ?5, a ?

a 2

5 5 5 ，即 a ? ；∴ a ? ?5 或 . 4 4 4

8.解： （1）令 x ? y ? 1 ，则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 （2） f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2 x 3? x x 3? x f (? ) ? f ( ) ? f (1) ， f (? ? ) ? f (1) 2 2 2 2

44

? x ?? 2 ? 0 ? 则 ?3 ? x ? 0 , 得 ?1 ? x ? 0 ? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
【第 3 练】1～4.DDBD 1. 对于 y ? 5. 2

ax ?1 a?x ?1 ax ?1 , f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ，为奇函数； a x ?1 a ?1 1? a x

对于 y ?

lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ，显然为奇函数； y ? x 显然也为奇函数； ? x x ?3 ?3 x

对于 y ? log a 3.

1? x 1? x 1? x ， f (? x) ? log a ? ? log a ? ? f ( x) ，为奇函数； 1? x 1? x 1? x
1 ? 1 1 ? 1 2

x ? x?1 ? ( x 2 ? x 2 )2 ? 2 ? 3, x 2 ? x
? 3 2

? 5

x ?x

3 2

? ( x ? x )( x ? 1 ? x?1 ) ? 2 5
ln x

1 2

?

1 2

4． 由 f (ln x) ? 3x ? 4 ? 3e 6． （1） (3 ) ? 6 ? 3
?x 2 ?x

? 4 得 f ( x) ? 3e x ? 4

? 27 ? 0, (3? x ? 3)(3? x ? 9) ? 0, 而3? x ? 3 ? 0

3? x ? 9 ? 0,3? x ? 32 , 得 x ? ?2
（2） ( ) ? ( ) ? 1, ( )
x x

2 3

4 9

2 3

2x

2 2 5 ?1 2 , 得x ? log 2 ? ( ) x ? 1 ? 0 由 ( ) x ? 0, 则( ) x ? 3 3 2 3 3

5 ?1 2

7．解： y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? [( ) ] ? ( ) ? 1 ? [( ) ? ] ?
x x x 2 x x 2

1 4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

3 , 4

1 1 x ?( ) ?8 4 2 1 x 1 3 1 x 当 ( ) ? 时， ymin ? ；当 ( ) ? 8 时， ymax ? 57 2 2 4 2 3 ∴值域为 [ ,57] 4
而 x ? ? ?3, 2? ，则 8．解：由已知得 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 7,
x x

即?

?4 x ? 3 ? 2 x ? 3 ? 7 ?(2 x ? 1)(2 x ? 4) ? 0 ? ? , 得? x x x x ?4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?(2 ? 1)(2 ? 2) ? 0 ? ?
5. (1, ??)

即得 0 ? 2 ? 1 ，或 2 ? 2 ? 4
x

x

因此 x ? 0 ，或 1 ? x ? 2 。 【第 4 练】 1～4. DBBA

? 0,1?
45

2.令 u ? 2 ? ax, a ? 0, ? 0,1? 是的递减区间，∴ a ? 1 而 u ? 0 须 恒成立，∴ umin ? 2 ? a ? 0 ，即 a ? 2 ，∴ 1 ? a ? 2 ； 5.(1) ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立，则 ?
2 2

?a ? 0 ，得 a ? 1 ? ? ? 4 ? 4a ? 0

(2) ax ? 2 x ? 1 须取遍所有的正实数，当 a ? 0 时， 2 x ? 1 符合条件；
?a ? 0 当 a ? 0 时，则 ? ，得 0 ? a ? 1，即 0 ? a ? 1 ? ? ? 4 ? 4a ? 0

6．解： f ( x) ? g ( x) ? 1 ? log x 3 ? 2log x 2 ? 1 ? log x 当 1 ? log x

3 ， 4

4 3 ? 0 ，即 0 ? x ? 1 或 x ? 时， f ( x) ? g ( x) ； 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ，即 x ? 时， f ( x) ? g ( x) ； 3 4 4 3 当 1 ? log x ? 0 ，即 1 ? x ? 时， f ( x) ? g ( x) 。 3 4
7． （1） f ( x) ? x(

1 1 x 2x ? 1 x 2? x ? 1 x 2 x ? 1 ? )? ? x f (? x) ? ? ? ? x ? ? ? f ( x) ，为偶函数 2x ?1 2 2 2 ?1 2 2 ?1 2 2x ?1

8．解：由

2? x ≥0，∴1＜x≤2，即 A=（1，2]. x ?1
2ax＞0, 2ax＜a+x. 由 a＞0, 得 x＞0, (2a－1)x＜a.

由 lg(2ax)＜lg(a+x), 得

1 a a 时，0＜x＜ , ∴B=(0, ). 2 2a ? 1 2a ? 1 a 1 2 要使 A∩B=A，即 A ? B， ∴ ＞2， ∴ ＜a＜ . 2a ? 1 2 3 1 1 (2)当 2a－1＜0,即 0＜a＜ ,则 x＞0,∴B=(0,+∞)，此时显然 A∩B=A，∴0＜a＜ . 2 2 1 (3)当 2a－1=0，即 a= 时，满足 A∩B=A. 2 2 综上可得 a 的取值范围是（0， ）. 3
(1)当 2a－1＞0,即 a＞ 【第 5 练】1~4 BB B B 5．1 和 2 6. ? 【第 6 练】1~4 DDCD；5．2 12； ６． （1） P ? f ( x) ? ?

? m ? ?2 ?n ? 2

x?0

7. m ? ?1

(0 ? x ? 100) ?60 ； ?60 ? 0.02( x ? 100) (100 ? x ? 500)

46

（2）利润 L ? ( P ? 40) x ? ?

?20 x (0 ? x ? 100 ) ? x2 x?N , 22 x ? (100 ? x ? 500 ) ? 50 ?

x ? 450 时， L ? 5850 元． 1 【第７练】１~6 BCCBCB；7． 8
4 3 5 4 8. 3 4 3 ? ? 0,sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 5 5 4

? ? 0,sin ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? ?

3 5

9.如右图所示，角 ? 的集合为： {? | 2k? ?

?
6

? ? ? 2k? ?

?
4

, k ? Z}

?{? | 2k? ?

3? 7? ? ? ? 2k? ? , k ? Z} 4 6

【第８练】１~３ BAA ４．1 ５．

? 0, ? ? ? ? ?4, ?? ?

６． ? sin ?

【第９练】１~３DCD；４．3， {x | x ? 6k ? 3, k ? Z } ； ５． ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z 4 4 ? ? 6． T ?

?

?

3 ?

2? 2? ? 2? ? ，当 x ? ? 时， ymax ? 2 ；当 x ? ? 时， ymin ? ?2 ；奇函数 3 3 6 3 6
? 2 ? t ? 2 且 t ?1 有

7．令 sin x ? cos x ? t ,

1 9 y ? t 2 ? t ? 2 ? (t ? ) 2 ? 2 4 9 ? y ? [? , 2 ] . 4
【第１０练】１~３CBC 【第 11 练】 1.A 2.D 3.D 4. m 5.

? 3

6．原式= sin(? ? 3x) cos(? ? 3x) ? sin(? ? 3x) cos(? ? 3x) = 2 ? 6 ． 4 3 3 4 4 7． x ?
1 2 sin 50 ? ? (? 2 sin 50 ? ) 2 ? 4(sin 2 50 ? ? ) 2 ? sin(50 ? ? 45 ? ) ， 2

? x1 ? sin 95? ? cos 5? ,

x2 ? sin 5? ? cos85? ,

tan(? ? 2? ) ? tan 75 ? ? 2 ? 3
【第 12 练】

47

1.B 2.C

3.A 4．

1 2

5．

3 7
3 2? ? ? ? ? ? . 4

6． tan ? ? 1 , 3

tan(2? ? ? ) ? 1,

7．由题设 B=60°，A+C=120°，设 ? ?
1 1 ? ? cos cos A C co? s co2?? s 3 4

A?C 知 A=60°+α ， C=60°－α ， 2
2 故 cos A ? C ? 2 ． 2 2 2

? ?2 2 , 即 c o ? ? s

【第 13 练】 1.A 2.A 3.C 4. ?

3 4

5． ? 2

6．由已知 ? ? ? ? ? ? ? , 又 cos( ? ? ) ? ? 1 故 sin(? ? ? ) ? 4 5 ， ? 4 2 2 9 2 9

? 1 ??? ? ? 7 5 同理 cos( ? ? ) ? ， 5 , 故 cos ? cos[( ? ) ? ( ? ? )] ? ? 2 3 2 2 2 27 ??? 239 故 cos( ? ? ) ? 2 cos2 ． ? ?1 ? ? 2 729 ? 1 3 3 1 7． y ? ?2[sin( x ? ) ? ]2 ? , ? ymax ? , ymin ? ? ． 6 2 2 2 2 【第 14 练】
1．B 2.C 3.D 4.

8 3 5. 2 13 3

6.解：在△ABC 中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝ 3 ． A 在△ACD 中，AD2＝( 3 )2＋12－2× 3 × cos150o＝7，∴AC＝ 7 ． 1× B 2 D 1 C 1 3 ∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝ × 3× 1× sin60o＝ ． 3 2 4 7. 解： ∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA， 即 sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sinA．而 sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即 cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0， 【第 15 练】 1.B 2.B 3.B 4.

8 3 2 3 5. 3 3

6、解： （Ⅰ）? C ? π ? ( A ? B) ，

48

1 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1． 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ，? C ? π ． 4 3 （Ⅱ）? C ? ? ， 4

? AB 边最大，即 AB ? 17 ．
又? tan A ? tan B，A，B ? ? 0， ? ，

? ?

?? ??

?角 A 最小， BC 边为最小边．
sin A 1 ? ? ， ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0， ? ， ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1， ?
得 sin A ?

17 AB BC sin A ．由 得： BC ? AB? ? ? 2． 17 sin C sin A sin C

所以，最小边 BC ?

2．

7、解：如图，过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D 由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中， AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中， CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,?9 分∴ BD ? ∴该军舰没有触礁的危险。

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0

3 5 ???? ??? ???? ??? ??? ???? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 6. DE ? AE ? AD ? AB ? BE ? AD ? a ? b ? b ? a ? b 2 2 ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? BF ? AF ? AB ? AD ? DF ? AB ? b ? a ? a ? b ? a 2 2 ??? 1 ??? ? ? ???? 1 1 ? ? G 是△ CBD 的重心， CG ? CA ? ? AC ? ? (a ? b ) 3 3 3 ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ( b 7. (a ? 2b)? a ? 3b) ? a ? a ? ? 6b ? ?72
【第 16 练】1-3 .DCC 4. (?3, ?2) 5. ( , ? )

4 5

?2 ?2 ? ? ?2 ? a ? a b cos600 ? 6 b ? ?72, a ? 2 a ? 24 ? 0,

49

? ? ? ( a ? 4)( a ? 2) ? 0, a ? 4
8.设 A( x, y ) ，

???? ??? ? AO ? ?3 ，得 AO ? ?3OB ，即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 OB ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? b ?AB 5 , 2 得 A( 6 ? 3， A B ? ( ?4 , 2 ) A B ? ，0b c o ? ? ??? ? , ) s ? 10 AB
? ? ?? ? ? ?? CD 2 ?D ? A ? ? ??

【第 17 练】1-5. DCDDA 6. 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? C B C D ? ? A ? B? C ? B C D AC ?

65 7． 5

? ? a? b 13 ? a cos ? ? ? ? 65 b
? ? ? ?

8.设 c ? ( x, y) ，则 cos ? a , c ?? cos ? b , c ?,

?

? 2 ? ?x ? ?x ? ? ?x ? 2 y ? 2x ? y ? ? 2 得? 2 ，即 ? 或? 2 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ?y ? ? ? ? ? ? 2

2 2 2 2

2 2 2 2 ? c ?( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2
9.证明：记 AB ? a , AD ? b , 则 AC ? a ? b , DB ? a ? b ,

??? ?

? ????

?

????

?

? ? ???

?

?

??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? AC ? DB ? (a ? b )2 ? (a ? b )2 ? 2a 2 ? 2b 2
??? 2 ??? 2 ? ? ?2 ?2 ? AC ? DB ? 2 a ? 2 b
【第 18 练】 1-3.D BD 4. 120
0

3 1 ? ? sin ? cos ? ,sin 2? ? 1, 2? ? 900 , ? ? 450 2 3 ? ? ?2 a ?b ? a 1 ? ? ? ?2 ? ? (a ? b ) a ? 0 , a ? ?a b? 0 , c o s ? ? ? ? ? ? ? ? ,或画图来做 ? ? a b a b 2
? 设c ? xa
?

5. (2, ?1)

?

? y ，则 ( x , 2x ? ? y ,y3? ) x? b ) ( 2 (

y2 x 2 y ? ) , ? 3

( 4 , 1)

x ? 2 y ? 4 , 2x ? 3y ? 1, ? 2y ? ? 1 x ,
d [( c b c b b a 6.证明：? a ? ? a ? a ? )b ? (a ? )c ] ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )c ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? )(a ? ) ? (a ? )(a ? ) ? 0 c b c b

? ?

?

? ? ?

? ? ?

? ? ? ?

? ? ? ?

50

? ? ?a ? d
7. ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
（1） ( k a ? b ) ? ( a ? 3b ) ， 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 （2） (ka ? b ) // ( a ? 3b ) ，得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 ka ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?
?

?

?

?

?

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ，所以方向相反。 3 3 3 ? ? ? ? ?2 ?2 2 2 2 2 ( 8.（1）证明：? (a ? b )? a ? b ) ? a ? b ? (cos ? ? sin ? ) ? (cos ? ? sin ? ) ? 0
? ? ? ? ? a ? b 与 a ? b 互相垂直
（2） k a ? b ? ( k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ) ；
?
?

?

?

1 3

?

a ? k b ? (cos ? ? k cos ? ,sin ? ? k sin ? )
? ? k a ? b ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

?

?

? a ? kb ? k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )
k 2 ? 1 ? 2k cos( ? ? ? )

2 而 k ? 1 ? 2k cos( ? ? ? ) ?

cos( ? ? ? ) ? 0 ， ? ? ? ?
【第 19 练】 1-3.CCD

?
2

4.

? ? ? ? ? 2a ? b ? (2 cos ? ? 3, 2sin ? ? 1), 2a ? b ? 8 ? 8sin(? ? ) ? 16 ? 4 3
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A B? ( 1 , 1 )A C? ?( 3 , 3?B A C , A) , ? 0? A,B A C

5.直角三角形

6.解： （1）若 a ? b ? a ? c 且 a ? 0 ，则 b ? c ，这是一个假命题

? ?

? ?

?

?

?

?

51

因为 a ? b ? a ? c , a ? (b ? c ) ? 0 ，仅得 a ? (b ? c )

? ?

? ? ? ? ?

?

?

?

（2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 a cos ? （ ? 是 a 与 b 的夹角） ，方向与 a 在 b 相同 或相反的一个向量．这是一个假命题

?

?

?

?

?

?

?

因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量，而非向量。

?

?

7.证明：设 x ? (a, b), y ? (c, d ) ，则 x ?y ? ac ? bd , x ? 而 x ?y ? x y cos ? , x ?y ? x y cos ? ? x y 即 x ?y ? x y ，得 ac ? bd ?

?

?

? ?

?

? a 2 ? b2 , y ? c2 ? d 2

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

a 2 ? b2 c2 ? d 2

? (ac ? bd )2 ? (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )
【第 20 练】 1-3 . CCC 4. (

2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 2 2 2 2
2 2

设所求的向量为 ( x, y ), 2 x ? 2 y ? 0, x ? y ? 1, x ? y ? ?

2 2

5.

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
6． ( , ? ) 7.

4 5

23 8

? 3 4 3 2 2 设 b ? ( x, y ), 4 x ? 3 y ? 5, x ? y ? 1, x ? , y ? ? 5 5 5 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ( 3 ? 5 ? (ma ? b) ? 3ma 2 ? (5m ? 3)a ? ? 5b ? 0 a b ) b
3m ? ( 5 ? 3 ) 2 c o0s 6? ? 5 ?4 m 0 ,? m ? ? 0 8 23

8..解：由 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? ? ? 1 3 b ) 得 a ? ? 0, a ? 2, b ? 1 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [a ? (t 2 ? 3)b ]? ?ka ? tb ) ? 0, ?ka 2 ? ta ? ? k (t 2 ? 3)a ? ? t (t 2 ? 3)b 2 ? 0 ( b b

1 1 ?4k ? t 3 ? 3t ? 0, k ? (t 3 ? 3t ), f (t ) ? (t 3 ? 3t ) 4 4

52

9. 解：? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.

??? ?

????

??? ???? ?

??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC )

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 PQ ? BC 2 1 ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ? a ? a 2 cos? . ? ?a 2 ?
故当cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为0.
【第 21 练】 1.C an ? an ?1 ? an ? 2 2.B

a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27,3a4 ? 39,3a6 ? 27, a4 ? 13, a6 ? 9

9 9 9 S9 ? ( a1 ? a9) ? ( a4 ? a6) ? ( 1 3? 9 ) 9 9 ? 2 2 2
3.B

a5 a2 3(1 ? 34 ) 3 ? 27 ? q , q ? 3, a1 ? ? 3, S 4 ? ? 120 a2 q 1? 3

4. 8

a5 ? a2 33 ? 9 ? ?d ?8 5?2 5?2

5. 49

7 S7 ? ( a1 ? a7) ? 7 a4 ? 4 9 2
2 2

6．解：设四数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ，则 4a ? 26, a ? d ? 40

13 3 3 ,d ? 或? ， 2 2 2 3 当 d ? 时，四数为 2,5,8,11 2 3 当 d ? ? 时，四数为 11,8,5, 2 2
即a ? 7． 解： a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 , a12 ? a5 ? 7d ? 2.8, d ? 0.4

a20 ? a12 ? 8d ? 3.1 ? 3.2 ? 6.3
∴ a18 ? a19 ? a20 ? a21 ? a22 ? 5a20 ? 6.3 ? 5 ? 31.5

53

8． 解：原式= (a ? a ? ... ? a ) ? (1 ? 2 ? ... ? n)
2 n

? (a ? a 2 ? . .? a n ?) .
? a (1 ? a n ) n(n ? 1) ? 1 ? a ? 2 (a ? 1) ? ?? 2 ? n ? n (a ? 1) ?2 2 ?
【第 22 练】 1.C 2.B

n( n ? 1 ) 2

x 2 ? ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1, x ? ?1

x(3x ? 3) ? (2 x ? 2)2 , x ? ?1或x ? ?4, 而x ? ?1 ? x ? ?4

q?
3.C

3x ? 3 3 1 3 ? , ?13 ? ?4 ? ( )n?1 , n ? 4 2x ? 2 2 2 2
3 2

1 ? q3 3 1 a1 (1 ? q ) ? 18, a1 (q ? q ) ? 12, ? , q ? 或q ? 2, 2 q?q 2 2

2(1 ? 28 ) 而 q ? Z , q ? 2, a1 ? 2, S8 ? ? 29 ? 2 ? 510 1? 2

65 4. 12
5. ? 75 3 3

9 (a ? a ) a5 2a5 a1 ? a9 2 1 9 S 7 ? 9 ? 2 65 ? ? ? ? "9 ? ? b5 2b5 b1 ? b9 9 (b ? b ) S 9 9?3 12 1 9 2
q 6 ? 25, q ? ? 3 5, a10 ? a9 ? q ? ?75 3 5

6．解：设原三数为 3t , 4t ,5t ,(t ? 0) ，不妨设 t ? 0, 则 (3t ? 1)5t ? 16t , t ? 5
2

3t ? 1 5 , t4?

2 0t, ? ∴原三数为 1 5 , 2 0 , 。5 5 25, 2
2 n ?1

7．解：记 Sn ? 1 ? 2 x ? 3x ? ... ? nx
2

, 当 x ? 1 时， Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
3 n ?1

1 n(n ? 1) 2

当 x ? 1 时， xSn ? x ? 2 x ? 3x ? ... ? (n ? 1) x

? nx n ,

(1 ? x) Sn ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ... ? x n?1 ? nx n , Sn ?

1 ? xn ? nx n 1? x

54

?1 ? x n ? nx n ( x ? 1) ? ? 1? x ∴原式= ? ? n(n ? 1) ( x ? 1) ? 2 ?
8． 解： bn ? an ? ?

?11 ? 2n, n ? 5 n ，当 n ? 5 时， Sn ? (9 ? 11 ? 2n) ? 10n ? n 2 2 ?2n ? 11, n ? 6

当 n ? 6 时， Sn ? S5 ? Sn ?5 ? 25 ? ∴ Sn ? ? 【第 23 练】 1.B

n?5 (1 ? 2n ? 11) ? n2 ? 10n ? 50 2

? 2 ?? n ? 10 n, ( n ? 5) ? 2 ?n ? 10 n ? 50, ( n ? 6)

a1a4 ? a32 , (a2 ? 2)(a2 ? 4) ? (a2 ? 2) 2 , 2a2 ? ?12, a2 ? ?6

2.A

S9 9a5 9 5 ? ? ? ?1 S5 5a3 5 9
lg 2 ? lg(2 x ? 3) ? 2lg(2 x ? 1), 2(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) 2
( 2x 2 ? 4 x2 ? 5 0x, 2 x 5 , ) ? ? ? ?
2

3.D

log 5

4. 38 5. a n ?

a3 ? a 5 ? a 2? a ? 38 6

7 (10 n ? 1) 9
n

1 9 , 9 9 , 9 9 9 , 9 9 9 9 . . . 120? 1 , 3 ? ? 10

7 14,? 0 ?1 , 1 0 1 ? 9

1, 7

9

6． 解： Sn ? 3 ? 2 , Sn ?1 ? 3 ? 2 而 a1 ? S1 ? 5 ，∴ a n ? ?

n ?1

, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ?1 (n ? 2)

?5, (n ? 1) ?2
n ?1

, ( n ? 2)

7．解：设此数列的公比为 q,(q ? 1) ，项数为 2n ，

a2 (1 ? q 2 n ) 1 ? (q 2 ) n ? 85, S偶 ? ? 170, 则 S奇 ? 1 ? q2 1 ? q2
S偶 S奇 ? a2 1 ? 22 n ? q ? 2, ? 85, 22 n ? 256, 2n ? 8, a1 1? 4

∴ q ? 2, 项数为 8

55

8．解： a1a3 ? a2 ? 36, a2 (1 ? q ) ? 60, a2 ? 0, a2 ? 6,1 ? q ? 10, q ? ?3,
2 2 2

当 q ? 3 时， a1 ? 2, Sn ?

2(1 ? 3n ) ? 400,3n ? 401, n ? 6, n ? N ； 1? 3
?2[1 ? (?3) n ] ? 400, (?3) n ? 801, n ? 8, n 为偶数； 1 ? (?3)

当 q ? ?3 时， a1 ? ?2, Sn ? ∴ n ? 8, 且n为偶数 【第 24 练】 1.B

an ?

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n , Sn ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 1 ? n

Sn ? n ? 1 ? 1 ? 9, n ? 1 ? 10, n ? 99
2.A

S4 ? 1, S8 ? S4 ? 3, 而 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 , S20 ? S16 , 成等差数列
即 1,3,5,7,9, a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? S20 ? S16 ? 9

3.D

a5 ? 2a4 ? a3 ? 2a2 ? 0, a5 ? a3 ? 2a4 ? 2a2 , a3 (q 2 ? 1) ? 2a2 (q 2 ? 1)
a3 ? 2a2或q 2 ? 1 ? 0, q ? 2,1或 ? 1 ，当 q ? 1 时， an ? 6 ；
当 q ? ?1 时， a1 ? ?6, an ? ?6 ? (?1)
n ?1

? 6 ? (?1) n?2 ；

当 q ? 2 时， a1 ? 3, an ? 3 ? 2 4． 0 5． 18

n ?1

? 6 ? 2n ? 2

2 Sn ? a n ? b 该二次函数经过 (m ? n , 0 ，即 Sm ? n ? 0 n )

3a7 ? 1 7a 7 ? ,

17 ,a 1 1 9? 7 2 1 3? 7 k( ? 9 ) k ? ? ? , 3

2 a 7 , d ?7 , ak ? a, ? k ? d 7 ? ( 9 9 3 18

9)

6．

4n ? 1 3

Sn ? 2n ? 1, Sn ?1 ? 2n ?1 ? 1, an ? 2n ? 1, an 2? 4n ? , 1 1 ? 1, q ? 4, Sn ? a 2

1 ? 4n 1? 4

7． 解：显然 q ? 1 ，若 q ? 1 则 S3 ? S6 ? 9a1 , 而 2S9 ? 18a1 , 与 S 3 ? S 6 ? 2S 9 矛盾 由 S3 ? S 6 ? 2 S9 ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

56

1 2q9 ? q 6 ? q3 ? 0, 2(q3 )2 ? q3 ? 1 ? 0, 得q3 ? ? , 或q3 ? 1, 2
而 q ? 1 ，∴ q ? ?
3

4 2

?n ? 2 ? (?4), n为偶数 ??2n, n为偶数 ? 8． 解： S n ? ? ，Sn ? ? ， ?2n ? 1, n为奇数 ? n ? 1 ? (?4) ? 4n ? 3, n为奇数 ? 2 ?
S1 5 ? 2 9 ,S 2 2? ? 4 4S , S15 ? S22 ? S31 ? ?76
【第 25 练】 1．C
31

? 6 1,

am ? am ? am 2 ? 0, am (am ? 2) ? 0, am ? 2,

S2 m?1 ?

2．B

2m ? 1 (a1 ? a2 m?1 ) ? (2m ? 1)a2 m ? 38, 2m ? 1 ? 19 2 2n ? 1 (a1 ? a2 n ?1 ) an 2an S 2(2n ? 1) 2n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ?1 ? ? bn 2bn 2n ? 1 (b ? b ) T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 1 3n ? 1 1 2 n ?1 2
1 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? ?1, ? ? ? 1 , ? ? , ? 是以 为首项，以 ?1 为 1 an an?1 a? 1 an a ? ?n a a1 n 1
公差的等差数列，

3． ?

1 n

1 1 ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n, an ? ? an n

4． 100

a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? S12 ? S7 ? 122 ? 12 ? 1 ? (7 2 ? 7 ? 1) ? 100

5． 4 : 1 : (?2)

a ? c ?2 b c? 2 b? a a b2 c?( 2 b2 )a2, , , ? ?

a 5 a b4 ? ?2

b 0 ?

a ? b a? 4 b c ?2 b , , ?

100 (a1 ? a100 ) ? 45, a1 ? a100 ? 0.9, a1 ? a99 ? a1 ? a100 ? d ? 0.4, 2 50 50 S " ? (a1 ? a 9 9)? ? 0 . ? 1 0 4 2 2 13 7． 156 a3 ? a7 ? a10 ? a11 ? a4 ? 12, a3 ? a11 ? a10 ? a4 , a7 ? 12, S13 ? (a1 ? a13 ) ? 13a7 2
6． 10

S100 ?

8．

5 ?1 2

设 an ? an ?1 ? an ? 2 ? qan ? q an , q ? q ? 1 ? 0, q ? 0, q ?
2 2

?1 ? 5 2

57

9．解： （Ⅰ）设 ?an ? 的公差为 d ， ?bn ? 的公比为 q ，则依题意有 q ? 0 且 ? 解得 d ? 2 ， q ? 2 ． 所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ，

?1 ? 2d ? q 4 ? 21， ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13， ?

bn ? q n ?1 ? 2n ?1 ．
（Ⅱ）

an 2 n ? 1 ? n ?1 ． bn 2

3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ，① 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ?2 ，② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②－①得 Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ， 2 2 2 2 Sn ? 1 ?
1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2
【第 26 练】

1?

1 2n ?1 ? 2n ? 1 ? 6 ? 2n ? 3 ． 1 2n ?1 2n ?1 1? 2

? π ≤ . 6 3 ? ? π π ∴－ ≤－ ≤0.∴－ ＜2α － ＜π . 6 6 3 3 答案：D 2、解析：可设 a=1，b=2，
1、解析：由题设得 0＜2α ＜π ，0≤ 则
a2 ? b2 1? 4 5 a?b 3 2ab 4 = ， ab = 2 ， = ， = = = 2 .5 . 2 2 2 2 2 a?b 3 a2 ? b2 2ab a?b ≤ ab ≤ ≤ 2 a?b 2

答案：

3、解析：p=a－2+

1 +2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q. a?2

答案：A 4、解析：令 f（x）=ax2+bx+c，其图象如下图所示，
y y f- ) =(x 3 - O 2 y fx = () 2 3 x

58

再画出 f（－x）的图象即可. 答案：{x|－3＜x＜－2} 5、解析：由题意，知 0、2 是方程－ ∴－
2?m =0+2.∴m=1. 1 ? 2
1 2 x +（2－m）x=0 的两个根， 2

答案：1 6、解析：设甲地至乙地的距离为 s，船在静水中的速度为 v2，水流速度为 v（v2＞v＞0） ，则船在 流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t=
2v s s s + = 2 2 2 ， v2 ? v v2 ? v v2 ? v
2 2 2s v 2 ? v = . v2 t

平均速度 v1=

∵v1－v2=

v2 ? v 2 v2 －v2=－ ＜0， v2 v2
2

∴v1＜v2. 答案：v1＜v2 7、解：由题意知 mx2+2（m+1）x+9m+4＞0 的解集为 R，则
?m ? 0， ? 2 4 ） ? ?Δ ? （m ? 1 ? 4m（9m ? 4） 0.

解得 m＞

1 . 4

?a ? 0， 评述：二次不等式 ax2+bx+c＞0 恒成立的条件： ? ?Δ ? 0.

若未说明是二次不等式还应讨论 a=0 的情况. 8、解： （1）设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x t，由题意知，面粉的保管等其他费 用为 3［6x+6（x－1）+?+6×2+6×1］=9x（x+1）. 设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 y1=
900 900 +9x+10809≥2 ? 9 x +10809 x x

1 ［9x（x+1）+900］+6×1800 x

=

=10989. 当且仅当 9x=
900 ，即 x=10 时取等号， x

即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. （2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35 天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为

59

y2 元，则 y2= =
1 ［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 x

900 +9x+9729（x≥35）. x 100 （x≥35） ， x
100 100 ）－（x2+ ） x1 x2

令 f（x）=x+

x2＞x1≥35，则 f（x1）－f（x2）=（x1+

（x ? x1）（ 100 ? x1 x 2） = 2 x1 x 2

∵x2＞x1≥35， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0. ∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2） ， 即 f（x）=x+
100 ，当 x≥35 时为增函数. x

∴当 x=35 时，f（x）有最小值，此时 y2＜10989.∴该厂应该接受此优惠条件. 【第 27 练】 1、解析： （－2，t）在 2x－3y+6=0 的上方，则 2×（－2）－3t+6＜0，解得 t＞

2 . 3

2 3 2、解析：如图，当 x=y=1 时，zmax=5.
答案：t＞
y y= 2 x - 1 y= x

1 O 1 1 2 x

答案：5 3、 解析：作出可行域，如图.当把 z 看作常数时，它表示直线 y=zx 的斜率，因此，当直线 y=zx 过点 A 时，z 最大；当直线 y=zx 过点 B 时，z 最小．
y
3x y =0 +5 -25 5

A y 3= B x-4 + 0
9

-3 O 1 2 3 4 5 6 7 8

x

由

x＝1， 3x＋5y－25＝0，得 A（1，

22 ）. 5

由

x－4y+3=0， 得B （5， . 2） 3x+5y－25=0，

60

22 2 22 ∴zmax＝ 5 ＝ ，zmin＝ ． 5 5 1
2 22 5 5 4、 剖析：由 p=100+3×（5－x）+2×（8－y）可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围.
答案： 解： （1）依题意得 v=

300 50 ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100. y x

5 25 ≤y≤ . ① 2 2 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间，即 9≤x+y≤14.② 因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.
∴3≤x≤10，
y 14 9 2.5 O 3 9 1014 x 2y+3x=38

（2）∵p=100+3· （5－x）+2· （8－y） ， ∴3x+2y=131－p. 设 131－p=k，那么当 k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－

3 的 2

直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4） ，即当 x=10，y=4 时，p 最小. 此时，v=12.5，w=30，p 的最小值为 93 元. 评述： 线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何 意义. 5、剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目 标函数，用图解法求其整数最优解. 解：设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为 z 元，那么

x+y≤9， 10×6x+6×8x≥360， 0≤x≤4， 0≤y≤7. z=252x+160y， 其中 x、y∈N. 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.
y

O

l 0

l 1`

x x+y= 9 5x 4y 30 + =

61

作出直线 l0：252x+160y=0，把直线 l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴 上的截距最小.观察图形，可见当直线 252x+160y=t 经过点（2，5）时，满足上述要求. 此时，z=252x+160y 取得最小值，即 x=2，y=5 时，zmin=252×2+160×5=1304. 答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低. 评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线 系 f（x，y）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的 各整点. 6、解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y，由题意有
y 15 10 M

O

10

20

x

30x+20y≤300， 5x+10y≤110， x≥0， y≥0， x、y 均为整数.

3 1 x+ P 过 M（4，9）时，纵截距最大.这时 P 也取最大值 Pmax=6×4+8×9=96 4 8 （百元）.故当月供应量为空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元. 【第 28 练】
由图知直线 y=－ 1.1 个 2.180 3.1：1 4.

2? R 3

5.

3 2 2 3 a 3

6.取 AB,AC 的中点 M,N，连接 PM, PN，得到正四面体 P-AMN，得到 V= 7． （1） 4 10? 故 S ? 2? ? 2 ? 【第 29 练】 1. ? r (a ? b)
2

（2）设内接圆柱的底面半径为 r，则

6? x r ? 6 2

? ?

1 ? x ? x ，当 x=3 时，最大值为 6 ? 3 ?

1 2

2.3ab

3.2

4.

1 SR 3

5.5

6.设过 A,B,C 的截面中心为 O1，球心为 O，则 OO1 ? 面 ABC，设 AO=R，则 AO1=

3 2 3 4 64 R= ，则 R= ，S= ? 2 3 3 9

7.设四面体为 S-ABC，取 AS 中点 E，连 DE， f ( x) ?

x 3 ? x 2 (0 ? x ? 3) 12

62

值域为 ? 0, ? ，单调增区间为 ? 0, ? 2 ? ? 8? ? ? 【第 30 练】 1.平行或异面 2.一 3.一 4.平行或线在面内 5.平行或相交

?

1?

?

6?

6.（1）EF||GH 【第 31 练】

（2）P 为面 ABC 与面 ACD 的公共点

7.

10 10

1.一

2.20

3.

2 2 3

4.平行

5.平行或相交

6.延长 BM，BN 交 AD，CD 于 P,Q，连 PQ, 则 PQ||MN 【第 32 练】 1.垂直 2.5 3.相等或互补 4. 2

7.PD=

27 4

5.AB 的中点

6.作 AO ? 面 BCD 于 O，连 BO，交 CD 于 E，连 CO 交 BD 于 G，连 DO 交 BC 于 F，可以得证 7.VB ? VA，BC ? VA 可以得证 【第 33 练】 CACC 5、

3 2 ，6、 2 x ? y ? 5 ? 0 2

7、 2 x ? y ?

47 ? 0， 13

8、 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 或 8x ? 5 y ? 20 ? 0 【第 34 练】 A，B； 3、

7 3 10 ，4、 4 x ? 2 y ? 5 ，5、 k ? 2或k ? ， 20 4

6、 10 ，

7、 24 x ? 5 y ? 5 ? 0 ，8、 4 x ? y ? 2 ? 0 ，或 x ? 1 【第 35 练】 1、 4 x ? 2 y ? 5 6、 4 5 2、2 7、1 3、1 < m < 2 4、 2 5、 （3，1）

8、 x2+y2=4 6、25；
2 2

【第 36 练】 2 2 AD 3、相交； 4、 y ? ?x ；5、(x-1) +(y-2) =25；
2 2

7、3x+4y-27=0；8、 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ，或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 【第 37 练】

63

1、 3x ? y ? 9 ? 0 ；2、相切或相交；3、 x ? 2 y ? 1 ? 0,( x ? 1) ；4、 ( , ??) ；
2 2 5、 2 x ? y ? 5 ? 0 ， 2 30 ； 6、 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 17 ? 0 ；

3 4

7、 ( x ? 3) ? ( y ? 6) ? 20
2 2

【第 38 练】 1～9. CADCC 10. 0;100

ACBC 11.1／2 12.

3

13. ②③④
2 2

14.解： （Ⅰ）设 x＜0，则- x＞0， f (? x) ? ?4(? x) ? 8(? x) ? 3 ? ?4 x ? 8 x ? 3 ∵f（x）是偶函数， ∴f（-x）=f（x） ∴x＜0 时， f ( x) ? ?4 x ? 8 x ? 3
2

? ?4 x 2 ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) 2 ? 1( x ? 0) ? ? ?? 所以 f ( x ) ? ? 2 2 ? ?4 x ? 8 x ? 3 ??4( x ? 1) ? 1( x ? 0) ? ?
（Ⅱ）y=f（x）开口向下，所以 y=f（x）有最大值 f（1）=f（-1）=1 函数 y=f（x）的单调递增区间是（-∞，-1

? 和[0，1]
?

单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞ 15.证明： （Ⅰ）

f (? x) ? log 2

1 ? ( ? x) 1? x 1 ? x ?1 1? x ? log 2 ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1 ? (? x) 1? x 1? x 1? x

又 x∈（-1，1） ，所以函数 f（x）是奇函数 （Ⅱ）设 -1＜x＜1，△x=x2- x1＞0

? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? log 2

1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? log 2 ? log 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

因为 1- x1＞1- x2＞0；1+x2＞1+x1＞0 所以

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?1 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?0 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

所以 ? y ? log 2

所以函数 f ( x) ? log 2 【第 39 练】

1? x 在（- 1，1）上是增函数 1? x

64

1． A 2、 D

3、A

4、 x ? 3 y ? 0 5、

1 3

6、B 7、Ｂ 8、D

9、解： （I）由题意及正弦定理，得 AB ? BC ? AC ?

2 ? 1，

BC ? AC ? 2 AB ，
两式相减，得 AB ? 1． （II）由 △ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ，得 BC ?AC ? ， sin 2 6 3

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 由余弦定理，得 cos C ? 2 AC ?BC ?
所以 C ? 60 ．
?

( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ， 2 AC ?BC 2

10、解： （Ⅰ）设等比数列 ?an ? 的公比为 q(q ? R) ， 由 a7 ? a1q ? 1 ，得 a1 ? q ，从而 a4 ? a1q ? q ， a5 ? a1q ? q ， a6 ? a1q ? q ．
6 3 4 5 ?6 ?3 ?2 ?1

， 因为 a4，a5 ? 1 a6 成等差数列，所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) ，
即q
?3

? q ?1 ? 2(q ?2 ? 1) ， q ?1 (q ?2 ? 1) ? 2(q ?2 ? 1) ．
n ?1

1 ?1? n ?1 ?6 n ?1 所以 q ? ．故 an ? a1q ? q ?q ? 64 ? ? 2 ?2?

．

? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? n a1 (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? 128 ?1 ? ? 1 ? ? ? 128 ? ? （Ⅱ） S n ? ? ? ? ? 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2
11、解： （Ⅰ）圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ，所以圆心为 Q(6， ，过 P(0， 且斜率为 k 的 0) 2)
2 2

直线方程为 y ? kx ? 2 ． 代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ? 12 x ? 32 ? 0 ，
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 ．
2 2

①

， 直线与圆交于两个不同的点 A B 等价于
? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ，

65

解得 ?

3 ? 3 ? 0 ? k ? 0 ，即 k 的取值范围为 ? ? ，? ． 4 ? 4 ?
??? ??? ? ?

（Ⅱ）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 ) ，则 OA ? OB ? ( x1 ? x2，y1 ? y2 ) ， 由方程①，

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ．

S

2) 0) PQ ? 而 P(0，，Q(6，， ? (6， 2) ．
所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) ， 将②③代入上式，解得 k ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

C A

O
B

3 ． 4

D

由（Ⅰ）知 k ? ? ，? ，故没有符合题意的常数 k ． 0

?3 ?4

? ?

S

12、 （Ⅰ） S ⊥ 作O B 垂足为 O ， 连结 AO ， 由侧面 SBC ⊥底面 ABCD ， SO⊥底面 ABCD ． 得 C ， 因为 SA ? SB ，所以 AO ? BO ， 又 ∠ABC ? 45 ，故 △AOB 为等腰直角三角形， AO ⊥ BO ，
?

C A

B

得 SA ⊥ BC ． D （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA ⊥ BC ，依题设 AD ∥ BC ， 故 SA ⊥ AD ，由 AD ? BC ? 2 2 ， SA ? 3 ， AO ?

2 ，得

SO ? 1 ， SD ? 11 ．
1 ?1 ? △SAB 的面积 S1 ? AB ? SA2 ? ? AB ? ? 2 ． 2 ?2 ?
连结 DB ，得 △DAB 的面积 S2 ?
2

1 AB?AD sin135? ? 2 2

设 D 到平面 SAB 的距离为 h ，由于 VD ? SAB ? VS ? ABD ，得

1 1 h?S1 ? SO?S 2 ， 3 3
解得 h ? 2 ． 设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ，则 sin ? ?

h 2 22 ? ? ． SD 11 11

66

所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的角正弦值为 【第 40 练】

22 ． 11

7 8 4、D 5、C 6、 ? 7、A 8、C 25 3 1 ? cos 2 x 9、解： （Ⅰ） f ( x) ? 6 ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 2
1、 A 2、 D 3、 ?

? 3 ? 1 ?? ? ? 2 3? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 ． ? 2 ? 2 6? ? ? ?
故 f ( x) 的最大值为 2 3 ? 3 ；最小正周期 T ? （Ⅱ）由 f (? ) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos ? 2? ? 又由 0 ? ? ?

2? ? ?． 2

? ?

?? ?? ? ? ? 3 ? 3 ? 2 3 ，故 cos ? 2? ? ? ? ?1 ． 6? 6? ?

? ? ? ? ? 5 得 ? 2? ? ? ? ? ，故 2? ? ? ? ，解得 ? ? ?． 12 2 6 6 6 6 4 ? 从而 tan ? ? tan ? 3 ． 5 3
10． 解析 1：函数 y ? f ( x) 在区间[-1，1]上有零点，即方程 f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1，1]

上有解， a=0 时 ， 不 符 合 题 意 ， 所 以 a ≠ 0, 方 程 f(x)=0 在 [-1 ， 1] 上 有 解 <=> f (?1) ? f (1) ? 0 或
? af ( ?1) ? 0 ? af (1) ? 0 ? ?3 ? 7 ?3 ? 7 ? 或a ?5 ? a ? 或 a≥1. ? ? ? 4 ? 8a (3 ? a ) ? 0 ? 1 ? a ? 5 或 a ? 2 2 ? ? ? 1 ? [ ?1.1] ? a ?

所以实数 a 的取值范围是 a ?

?3 ? 7 或 a≥1. 2 1 2 x2 ? 1 在 ? a 3 ? 2x

解析 2：a=0 时，不符合题意，所以 a≠0,又 ∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1，1]上有解，? (2 x2 ? 1)a ? 3 ? 2 x 在[-1，1]上有解 ? [-1，1]上有解， 问题转化为求函数 y ? t∈[1,5], y ? ?
7 t

2 x2 ? 1 [-1，1]上的值域； t=3-2x，x∈[-1，1]， 2x ? 3 ? t ， 设 则 3 ? 2x

1 (t ? 3)2 ? 2 1 7 ? (t ? ? 6) ， 2 t 2 t t2 ? 7 ， t ? [1, 7) 时， g '(t ) ? 0 ，此函数 g(t)单调递减， t ? ( 7,5] 时， g '(t ) >0, t2

设 g (t ) ? t ? .g '(t ) ?

此函数 g(t)单调递增，∴y 的取值范围是 [ 7 ? 3,1] ，∴ f ( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 3 ? a =0 在[-1，1]上有解

67

?

3? 7 1 ∈ [ 7 ? 3,1] ? a ? 1 或 a ? ? 。 2 a

11、 （I）证明：因为 AC ? BC ， M 是 AB 的中点， 所以 CM ? AB ．又 EA ? 平面 ABC ，所以 CM ? EM ． （II）解：过点 M 作 MH ? 平面 CDE ，垂足是 H ，连结 CH 交延长交 ED 于点 F ，连结 MF ， MD ． ∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角． D E 因为 MH ? 平面 CDE ， E 所以 MH ? ED ， H 又因为 CM ? 平面 EDM ， 所以 CM ? ED ， 则 ED ? 平面 CMF ，因此 ED ? MF ． C A 设 EA ? a ， BD ? BC ? AC ? 2a ， M 在直角梯形 ABDE 中，

AB ? 2 2a ， M 是 AB 的中点，
所以 DE ? 3a ， EM ? 3a ， MD ?

B
6a ，
?

得 △EMD 是直角三角形，其中∠EMD ? 90 ， 所以 MF ?

EM ?MD ? 2a ． DE MF ? 1 ，所以∠FCM ? 45? ， MC
?

在 Rt△CMF 中， tan ∠FCM ?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 ． 12、解： （1）依题设，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离， 即

r?

4 ? 2 ． 得圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ． 1? 3
2

0) 0) （2）不妨设 A( x1，，B( x2，，x1 ? x2 ．由 x ? 4 即得 A(?2，，B(2， ． 0) 0)
PO PB 设 P( x，y ) ，由 PA ， ， 成等比数列，得
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ，
即

??? ??? ? ? ? (2 ? x 2 ? y 2 ? 2 ． PA?PB ? (?2 ? x， y)? ? x， y) ? x 2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1).
? x 2 ? y 2 ? 4， ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?

由于点 P 在圆 O 内，故 ?
2

由此得 y ? 1 ．所以 PA?PB 的取值范围为 [?2， ． 0)

??? ??? ? ?

68