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2014年卓越联盟自主招生数学试题及答案


2014 年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试
选择题(每题 5 分,共 20 分) (注:原题是选择题) 1. 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为_____________.
2 3

2.

在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? 2 ,二面角 P ? B

C ? A 的大 小为 60 ? ,三棱锥 P ? ABC 的体积为 ________.
4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3

3.

当实数 m 变化时,不在任何直线 2mx ? 形成的图形的面积为_____________.

?1 ? m ? y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ? x, y ?
2

4.

? 2x ? 1 1? ? ? x 2 , x ? ? ??, ? 2 ? , ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? .g 1 ? ? ?ln ? x ? 1? , x ? ? , ?? ? ? 2 ? ? ? ?

? x ? ? x2 ? 4x ? 4 .设 b 为实数,若存

在实数 a ,使 f ? a ? ? g ? b ? ? 0 ,则 b 的取值范围是___________.

填空题(每题 6 分,共 24 分) 5. 已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 ? 0, a ? 和 ? 0, 4 ? a ? 内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为

3 .则 a 的值为_______________. 16 ? )的两个单位向量,O 为平面上的一个固定点, 2

6.

设 e1 ,e 2 为平面上夹角为 ? ( 0 ? ? ?

当 OP ? xe1 ? ye2 时, 定义 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标. 现有两个点 A , P 为平面上任意一点,

B 的斜坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .则 A , B 两点的距离为______________.

7.

?? ? ? 若函数 y ? sin ? ? x ? ? 的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为 x ? ,则实数 ? 4 6 ? ?

的值为_____.

8.

已知集合 A , B 满足 A B ? ?1,2,3,

,8? , A

B ? ? .若 A 中元素的个数不是 A 中的

元素, B 中元素的个数不是 B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为 ___________.

解答题(共 56 分) 9. (13 分) 设? ? R , 函数 f ? x ? ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos ? 2x ? ? ? ? cos? ,
?? ?? ? ?? x?R . (1)若 ? ? ? , ? ,求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. ? 4? ?4 2?

(2)若 f ? x ? ? 3 ,求 ? 与 x 的值.

10. (13 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐进线的斜率之积为 ?3 ,左 a 2 b2

右两支上分别由动点 A 和 B . (1)设直线 AB 的斜率为 1,经过点 D ? 0,5a ? ,且 AD ? ? DB ,求实数 ? 的值. (2)设点 A 关于 x 轴的对称点为 M .若直线 AB , MB 分别与 x 轴相交于点 P ,Q ,O 为坐标原点,证明 OP ? OQ ? a2 .

11. (15 分) 已知 f ? x ? 为 R 上的可导函数, 对任意的 x0 ? R , 有 0 ? f ' ? x ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 4x ,
x?0.

(1)对任意的 x0 ? R ,证明: f ' ? x0 ? ?

f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? x

(x?0) ;

(2)若 f ? x ? ? 1 , x ? R ,证明 f ' ? x ? ? 4 , x ? R .

12. (15 分) 已知实数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? q an , 常数 q ? 1 . 对任意的 n ? N? , n ? N? , 有 ? ak ? 4 an .设 C 为所有满足上述条件的数列 ?an ? 的集合.
k ?1 n ?1

(1)求 q 的值; (2) 设 ?an ? , 且存在 n0 ? m , 使 an0 ? bn0 . 证明: ? ak ? ? bk ; ?bn ? ? C ,m ? N? ,
k ?1 k ?1 m m

?m ? A ? (3)设集合 m ?? ak ?an ? ? C ? , m ? N ? ,求 ? k ?1 ?

Am 中所有正数之和.

附录 2:2014 年卓越联盟自主招生数学参考 答案 ..
选择题(注:原题是选择题) ? 1? 5 ? ? 1? 5 ? 2 2 ? ?1? 1. 答案:? ?? ? ? ?1? ? .提示: x ? x ,把原式视作 x 的三次多项式分解因 ? 2 2 ? ? ? ? 式即可. 3 2. 答案: .提示:仔细算算. 3 3. 答案:4 ? . 提示: 原式视作 m 的二次方程 ym2 ? ? 2x ? 4? m ? 4 ? y ? 0 , 判别式 ? 0 即可. 4. 答案: ? ?1,5? .提示:仔细算算.

填空题 5. 6. 7. 8.

4 .提示:可转化为“线性规划+几何概型”问题. 5 2 2 答案: ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ?? y1 ? y2 ? cos ? .提示:显然. 3 答案: .提示:仔细算算. 2 答案:44.提示:按 A 中元素个数( A ? ? , 1 , 2 ,…)逐个进行分类讨论.
答案:

解答题

3? 答案: (1) 2 ? cos ? ; (2) ? ? 2 k ? , (k ?Z ) ; x ? n? ? ,n?Z . 8 ? ? ? 提示: f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? ? cos ? . 4? ? 2 10. 答案: (1) ? ? ; (2)提示: 7 x y ? xB y A xA yB ? xB y A x 2 y 2 ? xB 2 y A2 ,再带入 OP ? OQ ? xP ? xQ ? A B ? ? A B2 2 yA ? y2B y A ? yB y A ? yB 2 y y x A 2 ? a 2 ? A , xB 2 ? a 2 ? B 即可. 3 3
9.

11. 提示: (1) 即证 f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x ? 0 , 构造函数 g ? x ? ? f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x , 对 g ? x ? 求导证明 g ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单增即可. (2)由条件知 f ' ? x ? 是 R 上的单增函数,故 f ' ? x ? 不可能恒等于零. f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ?? . 如果存在正实数 ? ? 0 , 及实数 x0 , 使 f ' ? x0 ? ? ? , 则对任意 x ? 0 , x 1 ? f x ? ? ? 0? ? 1 ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ? ? 1 ,与条 则当 x ? max ?0, ? 时, f ? x ? x0 ? ? ? x ? f ? x0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 件矛盾. 如果存在正实数 ? ? 0 , 及实数 x0 , 使 f ' ? x0 ? ? ?? , 则对任意 x ? 0 , 存在 ? ? ? x ? x0 , x0 ? , f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ? ? 1? ? ? f ' ?? ? ? f ' ? x0 ? .则当 x ? min ?0, 满足 ? 时, x ? ? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 f ? x ? x0 ? ? ?? x ? f ? x0 ? ? ? ?? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 ,与条件也矛盾. ? 总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都 是真命题. 12. 提示:
1 1 ? q n ?1 2 ? 4q n ?1 ,可得 n ?1 ? ? q ? 2 ? 对任意正整数 n 成立,左边在 n 无穷大时 q 1? q 是无穷小,所以 q ? 2 .

(1)化简

(2)方法一:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最大角标.则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l

l

k

? al ? bl ?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l ?1

l ?1

k

? 2l ? ? 2k ? 2 .
k ?1

l ?1

方法二:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最小角标,则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

l ?1 ? al ?1 ? bl ?1 ? ? al ? bl ? ? ?2l ? 2l ? 2l ? . ? 0 ( mod 2 )

(3)显然 ?an ? 的前 m 项和是正数,当且仅当 am ? 0 ,此时 ai ( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 ) 的符号随意.即 ?an ? : ?1 , ?2 , ?4 ,…, ?2 m ? 2 , 2 m ?1 .这样的数列共有 2 m ?1 个,若
ai 与 bi 符号相反,则进行配对( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 ) .于是, Am 中所有元素之和为
2m ?1 ? 2m ?1 ? 22 m ? 2 .

说明: (1)第 11 题中的条件永远是假命题,这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之. (2)第 12 题第 2 问中,取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零,取角标最 小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路,应注意掌握.实际上,前者 对应于 Z 的欧几里得赋值,后者对应于 Z 的 p ? adic 赋值,这两个赋值数学本身的意义 也很大.


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