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第七讲 等差数列与等比数列(师)


第五讲
一、知识梳理
(一)等差数列

等差数列与等比数列

1、等差数列的有关定义 (1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n∈N*,d 为常数). (2)数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是____

______,其中 A 叫做 a,b 的__________. 2、等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=________,an=am+________ (m,n∈N*). (2)前 n 项和公式:Sn=__________=____________. d? d 3、等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=__________. 4、等差数列的性质 (1)若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则有__________, 特别地,当 m+n=2p 时,______________. (2)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (3)等差数列的单调性: 若公差 d>0, 则数列为____________; 若 d<0, 则数列为__________; 若 d=0,则数列为________.

(二)等比数列
1、等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母________表示(q≠0). 2、等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=______________. 3、等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4、等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· ________ (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则__________________________. ?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan} (λ≠0),?a ?,{an },{an· bn},?b ?仍是等比 ? n? ? n? 数列. ? ? ?a1<0 ?a1<0 ?a1>0, ?a1>0, ? ? (4)单调性: 或? ?{an}是________数列; 或? ?{an}是________ ?0<q<1 ?q>1 ?q>1 ?0<q<1 ? ? 数列;q=1?{an}是____数列;q<0?{an}是________数列. 5、等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q (q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1?qn-1? a1qn a1 当 q≠1 时,Sn= = = - . 1-q q-1 q-1 q-1 6、等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其 公比为______.

1

二、问题归纳选讲
类型一、 等差数列的判定
例 1、已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2n-1(n≥2 且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值. an+λ (2)是否存在实数 λ,使得数列{ n }为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理 2 由. 答案: (1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33. an+λ (2)假设存在实数 λ,使得数列{ n }为等差数列. 2 an+λ 设 bn= n ,由{bn}为等差数列,则有 2b2=b1+b3. 2 a2+λ a1+λ a3+λ 13+λ 5+λ 33+λ ∴2× 2 = + 3 .∴ = + ,解得 λ=-1. 2 2 2 2 2 8 an+1-1 an-1 1 1 + 事实上,bn+1-bn= n+1 - n = n+1[(an+1-2an)+1]= n+1[(2n 1-1)+1]=1. 2 2 2 2 an+λ 综上可知,存在实数 λ=-1,使得数列{ n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列. 2

类型二、 等差数列的性质
例 2、在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值.(2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 答案:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,∵a16+a17+a18=3a17=-36, a17-a9 ∴a17=-12,∴d= =3,∴an=a9+(n-9)· d=3n-63,an+1=3n-60, 17-9
? ?an=3n-63≤0 令? ,得 20≤n≤21,∴S20=S21=-630, ?an+1=3n-60≥0 ? ∴n=20 或 21 时,Sn 最小且最小值为-630. (2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数. 3 123 3 123 当 n≤21 时,Tn=-Sn=- n2+ n.当 n>21 时,Tn=Sn-2S21= n2- n+1 260. 2 2 2 2 3 123 - n 2+ n (n≤21,n∈N*) 2 2 综上,Tn= . 3 2 123 n - n+1 260 (n>21,n∈N*) 2 2

? ? ?

类型三、 等比数列的判定
例 3、已知数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*. (1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式以及 Sn. 答案:(1) 由已知 Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*,可得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4, 两式相减得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1), 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,所以 a2+a1=2a1+6,又 a1=5,所以 a2=11, 从而 a2+1=2(a1+1),故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N*, an+1+1 又 a1=5,a1+1≠0,从而 =2,即数列{an+1}是首项为 6,公比为 2 的等比数列. an+1 6· (1-2n) - - (2)解 由(1)得 an+1=6· 2n 1,所以 an=6· 2n 1-1,于是 Sn= -n=6· 2n-n-6. 1-2
2

类型四、 等比数列的性质
例 4、(1)已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,求 b5+b9 的值; (2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求 a41a42a43a44. 答案: (1)∵a3a11=a2 7=4a7,∵a7≠0,∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}为等差数列,∴b5+b9=2b7=8. 6 12 (2)a1a2a3a4=a1· a1q· a1q2· a1q3=a4 a1q13· a1q14· a1q15=a4 q54=8.② 1q =1.①a13a14a15a16=a1q · 1· 4 54 a1· q ②÷ ①: 4 6 =q48=8?q16=2, a1· q 又 a41a42a43a44=a1q40· a1q41· a1q42· a1q43=a4 q166=a4 q6· q160=(a4 q6)· (q16)10=1· 210=1 024. 1· 1· 1·

三、巩固训练
1、如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7= ( C ) A.14 B.21 C.28 D.35 1 2、在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- a11 的值为 ( C ) 3 A.14 B.15 C.16 D.17 S5 3、设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 等于 ( A ) S2 A.-11 B.-8 C.5 D.11 4、 在各项都为正数的等比数列{an}中, a1=3, 前三项的和 S3=21, 则 a3+a4+a5 等于( C ) A.33 B.72 C.84 D.189 S10 5、记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 等于( D ) S5 A.-3 B.5 C.-31 D.33 2 6、 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 am-1+am+1-am =0, S2m-1=38, 则 m=____10____. 7、 在数列{an}中, 若点(n, an)在经过点(5,3)的定直线 l 上, 则数列{an}的前 9 项和 S9=___27___. 120 8、 在等比数列{an}中, 公比 q=2, 前 99 项的和 S99=30, 则 a3+a6+a9+…+a99=___ _____. 7 - 9、 等比数列{an}中, 若公比 q=4, 且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式 an=_4n 1__. 10、已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项;(2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 答案:(1)由题设知公差 d≠0,由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列, 1+2d 1+8d 得 = ,解得 d=1 或 d=0(舍去).故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. 1 1+2d 2(1-2n) (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式,得 Sn=2+22+23+…+2n= 1-2 + =2n 1-2. 11、在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2). 1 (1)证明数列{ }是等差数列; an (2)求数列{an}的通项; 1 (3)若 λan+ ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. an+1 1 1 答案:(1)证明 将 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得a - =3(n≥2). an-1 n
3

1 所以数列{ }为以 1 为首项,3 为公差的等差数列. an 1 1 (2)解 由(1)可得a =1+3(n-1)=3n-2,所以 an= . 3n-2 n 1 (3)解 若 λan+ ≥λ 对 n≥2 的整数恒成立, an+1 λ 即 +3n+1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立. 3n-2 (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-2) 整理得 λ≤ 令 cn= 3(n-1) 3(n-1) (3n+4)(3n+1) (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) cn+1-cn= - = . 3n 3(n-1) 3n(n-1) 因为 n≥2,所以 cn+1-cn>0, 28 即数列{cn}为单调递增数列,所以 c2 最小,c2= . 3 28 所以 λ 的取值范围为(-∞, ]. 3 12、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值。 答案: (I) a1 ? 0, a2 ? 0 ;或 a1 ? 2 ?1, a2 ? 2 ? 2 ;或 a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 (II)当 a1 ? 0 时,由(I)知 a1 ? 2 ?1, a2 ? 2 ? 2 当 n ? 2 时,有 (2 ? 2)an ? S2 ? Sn ,(2 ? 2)an?1 ? S2 ? Sn?1 , 所以 (1 ? 2)an ? (2 ? 2)an?1 ,即 an ? 2an?1 (n ? 2) , 所以 an ? a1 2 令 bn ? lg
n ?1

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最 an

? ( 2 ? 1) ? ( 2) n ?1

1 1 100 10a1 n ?1 ,则 bn ? 1 ? lg( 2) ? 1 ? ( n ? 1) lg 2 ? lg n ?1 2 2 2 an 1 lg 2 ) ,从而 2

所以数列 {bn } 是单调递减的等差数列(公差为 ?

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 , 当 n ? 8 时, bn ? b8 ? lg 2 128 2 b1 ? b2 ? ... ? b7 ? lg
故 n ? 7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为

T7 ?

7(b1 ? b7 ) 7(1 ? 1 ? 3lg 2) 21 ? ? 7 ? lg 2 2 2 2
4


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