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平方根与立方根及实数(综合提高)


平方根与立方根知识点小结及练习
一、知识要点 1、平方根: ⑴、定义:如果 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根,记作“ ? a ” (a 称为被开方数) 。 ⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根。 ⑶、算术平方根:正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根,记作“ a ” 。 2、立方根: ⑴、定义:如果 x3=a,则 x

叫做 a 的立方根,记作“ 3 a ” (a 称为被开方数) 。 ⑵、性质:正数有一个正的立方根;0 的立方根是 0;负数有一个负的立方根。 3、开平方(开立方) :求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方) 。 二、规律总结: 1、平方根是其本身的数是 0;算术平方根是其本身的数是 0 和 1;立方根是其本身的数是 0 和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根, 这个立方根的符号与原数相同。 3、 a 本身为非负数,即 a ≥0; a 有意义的条件是 a≥0。 4、公式:⑴( a )2=a(a≥0) ;⑵ 3 ? a = ? 3 a (a 取任何数) 。 5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于 0,则每一个非负数都为 0(此性质应用很广,务必掌握) 。 例 1 求下列各数的平方根和算术平方根 (1) 64 ; (2) (?3) ; (3) 1
2

1 15 25 ; ⑷ ; (5)100; (6) 2 (?3) 49 121

(7)0.25

例 2 求下列各式的值 (1) ? 81 ; (2) ? 16 ; (3)

9 2 ; (4) ( ?4) . 25

(5) 1.44 , (6) ? 36 , ( 7) ?

25 2 (8) ( ?25) 49

例 3、求下列各数的立方根: ⑴ 343; ⑵ ?2

10 ; 27

⑶ 0.729; (4) 343

; (5) ?

8 ; (6)-0.0064; (7)-729 216

二、巧用被开方数的非负性求值. 当 a≥0 时,a 的平方根是± a ,即 a 是非负数. 例 4、若 2 ? x ?

x ? 2 ? y ? 6, 求 y 的立方根.

x

练习:1、已知 y ? 1 ? 2 x ?

2 x ? 1 ? 2, 求 x y 的值.

2、已知 x ? 3 ? y ? 3 ? ( z ? 2) ? 0 ,求 xyz 的值。
2

3、已知

互为相反数,求 a,b 的值。

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 当 a≥0 时,a 的平方根是± a ,而 (? a ) ? (? a ) ? 0. 例 5、已知:一个正数的平方根是 2a-1 与 2-a,求 a 的平方的相反数的立方根.

练习:若 2a ? 3 和 a ? 12 是数 m 的平方根,求 m 的值.

四、巧解方程 2 例 6、解方程(1) (x+1) =36

(2)27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

a ? 0 ,即 a=0 时其值最小,换句话说 a 的最小值是零.
例 4、已知:y= a ? 2 ? 3(b ? 1) ,当 a、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当 y 最小时,求 b 的非算术平方根.
a

六、实数 1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类: ①按属性分类: ②按符号分类

2 .关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行 加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算. 3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过 来, 数轴上的每一个点都可以表示一个实数. 我们可以用几何作图方法, 在数轴上表示某些无理数, 如 思考: (1)-a2 一定是负数吗?-a 一定是正数吗? (2) 是一个无理数,那么 -1 在哪两个整数之间? 、 等.

(3) 15 的整数部分为 a,小数部分为 b,则 a=____, b=____ (4)实数包括____________或__________________; (5)下列各数: 个 七、实数大小比较的方法

? 5 ? ,? , 0.28 ,0,
3 3

4 , 3.14159 , 0.121121112? , ? 3 ,

22 .其中无理数有( ) 7

一、平方法

比较

3 和 3 的大小 2

二、移动因式法 比较 2 3 和 3 2 的大小

三、求差法

比较

5 ?1 和 1 的大小 2

四、求商法

比较

4 5 和 11 的大小 3

练习:比较下列各组数的大小: ①?

4 2 和 ? 3 ;② 3 和 3 ? 2 ;③ 15 和 3 ; 5

④ ? 7 和-2.45。

八、解答题 1、当 a ?

1 2 时,化简 1 ? 4a ? 4a ? | 2a ? 1 | 2

2 2、已知实数 a 、b 在数轴上表示的点如上图,化简 a ? b + (a ? b ? 1)

-1 a 0
3、已知 a, b 是实数,且有 a ? 3 ? 1 ? (b ?

1 b

2 ) 2 ? 0 ,求 a, b 的值.

4、已知 a, b 为有理数,且 (3 ? 2 3 ) ? a ? b 3 ,求 a ? b 的平方根
2

【课堂练习】 1.无限小数包括无限循环小数和 2.如果 x ? 10 ,则 x 是一个
2

,其中

是有理数, .

是无理数.

数, x 的整数部分是 ,立方根是 ,绝对值是 . . .

3. 64 的平方根是 4. 1 ? 5 的相反数是 5.若 x ?

6则x ?

6.当 x _______时, 2 x ? 3 有意义; 7.当 x _______时,

1 1? x
2

有意义; ;

8.若一个正数的平方根是 2a ? 1 和 ? a ? 2 ,则 a ? ____ ,这个正数是 9.当 0 ? x ? 1 时,化简 x ? x ? 1 ? __________ ; 10. a, b 的位置如图所示,则下列各式中有意义的是( A、 a ? b 11.全体小数所在的集合是( A、分数集合 12.等式 x ? 1 ? x ? 1 ? A、 x ? 1 B、 x ? ?1
3

). C、 ab

B、 a ? b ). B、有理数集合

a D、 b ? a
D、实数集合

o b

C、无理数集合 ). D、 x ? ?1或 ? 1

x 2 ? 1 成立的条件是(
C、 ? 1 ? x ? 1

61 ,则 x 等于( ). 64 1 1 A、 B、 2 4 14、0.25 的平方根是 ;125 的立方根是
13.若 (3x ? 2) ? 1 ?

C、 ?

1 4 ;

D、 ?

9 4

15.计算: 2

1 3 =___; 3 ? 3 =___; 1.4 ? 2 的绝对值等于 8 4



16.若 x 的算术平方根是 4,则 x=___;若 3 x =1,则 x=___; 17.若 ( x ? 1) 2 -9=0,则 x=___;若 27 x 3 +125=0,则 x=___; 18.当 x___时,代数式 2x+6 的值没有平方根; 19.
1 25 2 27 ? ? 12 ? 3 8 = 3 9 3 64

; ;

20.若 x ? 1? | y ? 2 |? 0 ,则 x+y= 21.若 x 2 ? 64 ,则 3 x =____. 22.立方根是-8 的数是___,

64 的立方根是____。

23.如果 x、y 满足 x ? y ? | x ? 2 | =0,则 x= 24、如果 a 的算术平方根和立方根相等,则 a 等于 25、如果式子 x ? 1 有意义,则 x 的取值范围为 26、 7 在整数 和整数

,y=___; ; 。 和整数 。 之间。

之间, 5 在整数 ,
16 的算术平方根是 81

27、121 的算术平方根是是

28、 的算术平方根是它本身。 的平方根是它本身。 29、已知一个正数的平方根是 3x-2 和 5x+6,则这个数是 。 30、已知一个正数的平方根是 2a-1 和 a-5,a 的值是 。
二、 .计算: 1、 (1) 2 ? 5 ?

5 ?1

(2)

10 ? 3 ? 10 ? 4

(3)

2 ? 3 ? 2 ? ?4 ? 2 ? 3

(4) 32 ? 2 50 ?

1 1 1 ? 4 2 8

(5) ( 8 ? 13 )( 8 ? 13 )

(6) (5 ? 3 ) ? (1 ? 3 )( 3 ? 8)
2

(7)

(?4) 2 ? 3 2 ? 8 2 ? 6 2 ? 13 2 ? 5 2

(8)

( 3 ? 2 ) 2 (5 ? 2 6 )

2.若 x ? 4 ?

x ? y ? 5 ? 0 ,求 xy 的值.

3.设 a、b 是有理数,且满足 a ? b 2 ? 1 ? 2

?

? ,求 a 的值
2

b

4、已知: x ? y ? 3 与 x ? y ? 1 互为相反数,求 x+y 的算术平方根

5、若 y ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2 x ? 1 ,则 xy 的值为多少?

6、已知: x ? y ? 3 与

x ? y ? 1 互为相反数,求 x+y 的算术平方根

7、已知

1 |3a-b-7|+ 2a ? b ? 3 =0 求(b+a)a 的平方根。 5

8、若 m ? 1 ?

2n ? 1 ? 0 ,求 m2000 ? n4 的值。


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