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2015届高考数学大一轮复习 椭圆及其性质精品试题 理(含2014模拟试题)


2015 届高考数学大一轮复习 椭圆及其性质精品试题 理(含 2014 模 拟试题)

1. (2014 河北石家庄高中毕 业班复习教学质量检测 (二) , 9) 已知两定点 动点 在直线 : ) 上移动, 椭圆 以 , 为焦点且经过点

和 , 则椭圆

, 的

离心率的最大值为(

A.

B.

C.

D.

[解析] 1.

要使离心率

最大,即使 最小,即长轴最短. 由数形结合知:当直

线 与椭圆 C 相切时长轴最短, 就最小. 联立椭圆方程 得: ,由

及直线方程 可解得: (舍)或

,此时

,选 B.

2. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,9) 如 图, 线 的公共焦点, 、 分别是 、 )



是椭圆

与双曲 为矩

在第二、四象限的公共点,若四边形

形,则

的离心率是(

A.

B.

C.

D.

1

[解析] 2.





,因为点

在椭圆

上,

所以

,即

,又四边形

为矩形,

所以

,即



解方程组







设双曲线

的实轴长为 ,

,焦距为

,则



所以双曲线的离心率为

.

3.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,9)三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭 圆的内接三角形,已知点 是椭圆的一个短轴端点,如果以 为直角顶点的椭圆内接等腰 )

直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是(

A.

B.

C.

D.

[解析] 3.

设椭圆 C 的方程为:

,设直线



,由题意可得直线 与直线 与椭圆相交所得的弦长相等,联立直线 与

椭圆 C 的方程得,所截得的弦长为

,用

代替 k 可得直线 与椭圆 C

的方程得,所截得的弦长为

,两个弦长相等得

2

, 欲使以 三个,只需使方程 ,则

为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有 有三个不同的正实根即可,令 ,又因为 ,所以只

需使

即可,整理得离心率的范围

,又因为椭圆的离心率小于

1,所以

.

4.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 6) 已知

,是椭圆

两个焦点,P 在椭圆上,



且当

时,

的面积最大,则椭圆的标准方程为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

[解析] 4.



中,由余弦定理可得:

,反解得

,又因为

的面积为

,因为当

时面积最

大,故

的最大角为

,所以可得 a=2b,又因为 c=3,所以可得



3

椭圆方程为

.

5. (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),6) 在同一坐标系中,离心率为 的椭圆与离 心率为 的双曲线有相同的焦点 , 椭圆与双曲线的一个交点与两焦点 的连线互

相垂直,则

(

)

(A) 2 [解析] 5. 右支上,

(B)3 ,椭圆长轴长

(C) ,双曲线实轴长

(D) ,令点 在上去先的

依题意,设焦距为

由椭圆的定义知

,①

由双曲线的定义知

,②







由①

② 得



,即

,故

.

6. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 9) 已知曲线 上任意一点到两定点 、 的距离之和是 4, 且曲线 的一条切线交 、 轴交于 、 两点, 则 )

的面积的最小值为( A. 4

B. C. D. 8 2

4

[解析] 6.

依题意,曲线 的方程为椭圆,其方程为

,设切线方程为

,联立方程组 ,整理得

,消去 得 ,即切线方程为

,由 ,令 ,则

,令

,则



,当且仅当 故 的面积的最小值为 2.

取等号.

7. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆 有相同的焦点,则椭圆 的离心率 的取值范围为( )

与双曲线

A.

B. C.

D.

[解析] 7. 椭圆 : ,解得 ,

与双曲线

有相同的焦点,



椭圆 的离心率

,又



故椭圆 的离心率的取值范围是

. :

8.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,21)(原创)如图所示,椭圆

5

的左右焦点分别为 大值为 2,且其离心率 是方程 (1) 求椭圆 的方程;

,椭圆 的根。

上的点到

的距离之差的最

(2)

过左焦点

的直线 与椭圆

相交于

两点,与圆

相交于

两点,求

的最小值,以及取得最小值时直线 的方程。

[解析] 8.

(1) 设

是椭圆

上任意一点,则

,故

。解

方程





。因

,故

,因此

,从而

。所以椭圆

的方程为



(2) 法一:焦准距

,设

,则



,故

。易知

,故

。令

,则

。令

6

,则

,故



单调递增,从而

,得

,当且仅当



时取等

号。所以

的最小值为

,取得最小值直线 的方程为



法二:当

轴时易知



,有

。当 与 轴不垂直时,

设 :

,代入

并整理得

,故

。圆心

到 的距离

, 故

, 令

, 则

。令 。因 ,故

,且 ,因此

,则 ,从而

, 可知 取得最小值直线 的方程为 。

。 综上知

的最小值为



9.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,22) 椭圆 轴上,椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1.

的中心在坐标原点,焦点在

(1)求椭圆

的标准方程;

7

(2) 若直线 直径的圆过椭圆

与椭圆

相交于

两点(

不是左右顶点), 且以



的右顶点.求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.

[解析] 9.(1)由题意设椭圆的标准方程为 ,

,由已知得:

椭圆的标准方程为



4分

(2)设

.联立



,则

8分





因为以

为直径的圆过椭圆的右顶点



,即







8

.解得:

,且均满足





时, 的方程

,直线过点

,与已知矛盾;



时, 的方程为

,直线过定点



所以,直线 过定点,定点坐标为



14 分

10. (2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试, 21) 已知椭圆

的离心率为

,椭圆

的中心

关于直线

的对称点落在直线



(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 设 ,求直线

是椭圆

上关于 轴对称的任意两点,连接 与 轴相交顶点。

交椭圆

于另一点

的斜率范围并证明直线

[解析] 10.解:(I) 由题意知



……1 分



设椭圆中心

关于直线

的对称点为



于是

方程为

……2 分



得线段

的中点为(2,-1),从而

的横坐标为 4

9



椭圆的方程为

=1……6 分

(II)由题意知直线

存在斜率,设直线

的方程为

并整理得

①……

8分



,得



不合题意

……10 分

设点

,则

由①知

……11 分

直线

方程为

……12 分





,将

代入

整理得

, 再将



代入计算得

直线

轴相交于顶点(1,0),……14 分

11. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,20) 抛物

线 C1:

的焦点与椭圆 C2:

的一个焦点相同. 设椭圆的右顶

10

点为 A,C1, C2 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且 (1) 求椭圆 C2 的标准方程;

的面积为

.

(2) 过 A 点作直线 交 C1 于 C, D 两点, 连接 OC, OD 分别交 C2 于 E, F 两点, 记 的面积分别为 , . 问是否存在上述直线 使得



,若存在,求直线 的方程;若

不存在,请说明理由.

[解析] 11.

(1)∵

∴焦点





……………1 分

又∵



……………2 分

代入抛物线方程得

. 又 B 点在椭圆上得



∴椭圆 C2 的标准方程为

.

……………4 分

(2)设直线 的方程为

,由





,所以

……………6 分

又因为

直线

的斜率为

,故直线

的方程为



11





,同理

所以





……………10 分

所以



所以

,故不存在直线 使得

……………12 分

12. (2014 山西太原高三模拟考试(一),20) 已知中心在原点 O,左右焦点分别为 F1,F2 的椭圆的离心率为 (I)若直线 AB 与以原点为圆心的圆相切,且 OA⊥OB, 求此圆的方程;

[解析] 12.

12

13. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 21) 设

,

分别是椭圆



的左、 右焦点, 过 到直线 的距离为 , 连接椭圆

作倾斜角为

的直线交椭圆



,

两点,

的四个顶点得到的菱形面积为 .

13

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)已知点 若 , 求

,设

是椭圆

上的一点,过



两点的直线 交

轴于点

,

的取值范围;

(Ⅲ) 作直线 与椭圆 是线段

交于不同的两点

,

, 其中

点的坐标为

, 若点

垂直平分线上一点, 且满足

, 求实数 的值.

[解析] 13.(Ⅰ)设

,

的坐标分别为

, 其中



由题意得

的方程为:





到直线

的距离为 , 所以有

, 解得



所以有

……①

由题意知:

, 即

……②

联立①②解得:



所求椭圆

的方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知椭圆

的方程为





,

,由于

, 所以有

14





是椭圆

上的一点, 则



所以



解得:



.

(9 分)

(Ⅲ)由

, 设

根据题意可知直线 的斜率存在,可设直线斜率为 , 则直线 的方程为



把它代入椭圆

的方程, 消去

, 整理得:



由韦达定理得

, 则

,



所以线段

的中点坐标为



(1) 当

时, 则有

, 线段

垂直平分线为

轴,

于是





, 解得:

,(11 分)

(2) 当

时, 则线段

垂直平分线的方程为



15

因为点

是线段

垂直平分线的一点,



, 得

,于是





, 解得



代入

, 解得



综上, 满足条件的实数 的值为



.

(14 分 )

14. (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,19) 已知椭圆 E: 点为 F (1,0) ,设左顶点为 ,上顶点为 ,且

的右焦 ,如图所示.

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)若点 y0)满足

与椭圆上的另一点 C(非右顶点)关于直线 l 对称,直线 l 上一点 N(0, ,求点 的坐标.

[解析] 14.

(Ⅰ)由已知,

,因为



所以

, 又

, 所以

, 解得

, 所以





16

所以椭圆的标准方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)记

,且

,则线段

的中点



易知

,则

,则







,因为



所以

,即



所以



联立方程组 去),

消去



,解得



(舍

所以

,即



.

(13 分)

15. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,21) 已知点



分别为椭圆

的左、右焦点,点 最大值为 ,且 的最大面积为 1.

为椭圆上任意一点,

到焦点

的距离的

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

17

(Ⅱ)点 于任意的

的坐标为

,过点

且斜率为 的直线 与椭圆

相交于



两点.对



是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

[解析] 15.(Ⅰ)依题意, ,



,因为

,所以



所以所求椭圆的标准方程为

. (5 分)

(Ⅱ)设直线 的方程为





,又



联立方程组

,消去



,(8 分)

所以



,因为





所以

18

. (12 分)

16. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,21) 设 垂直于 轴的垂线段 , 为垂足, ,当点 是线段

是圆

上的任意一点,过



上的点,且满足 的轨迹是曲线 .

在圆上运动时,记点

(Ⅰ)求曲线

的方程;

(Ⅱ)过曲线

的左焦点

作斜率为

的直线 交曲线 ,使得点 在曲线





,点

满足 的值,若

,是否存在实数 不存在,请说明理由. [解析] 16.(Ⅰ)如图,

上,若存在,求出





,则由

可得



,即





,即为曲线 C 的方程.

(6 分)

19

(Ⅱ)设



,(8 分)







,即 P 点坐标为



点代入

,得

(负舍去)

存在当

时,

点在曲线 C 上

. (13 分)

17. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试,20) . 线段 的垂直平分线与半径 的方程;

为圆

: ,记点 的轨迹为

上的动点,点 .

相交于点

(Ⅰ)求曲线

(Ⅱ)当点

在第一象限,且

时,求点

的坐标.

[解析] 17.(Ⅰ)圆

的圆心为

,半径等于

.

20

由已知

,于是



故曲线

是以



为焦点,以

为长轴长的椭圆,







曲线

的方程为

.

(5 分)

(Ⅱ)由



,得

.

(8 分)

于是直线

方程为

.



,解得





由于点

在线段

上,所以点

坐标为

.

(12 分)

18. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 20) 已知椭圆 短轴、焦距分别为 、 、 ,且 是

: 与

的长轴、 等差中项 .

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程;

(Ⅱ)若曲线 C2 的方程为 与曲线 相切,求直线 被椭圆 截得的线段长的最小值.

,过椭圆

左顶点的直线

[解析] 18.解:(I) 由题意得







),

21

所以

,解得



故椭圆 的方程为

.

(6 分)

(II) 由(I) 得椭圆的左顶点坐标为

,设直线 的方程为



由直线 与曲线

相切得

,整理得

又因为



解得



联立

消去

整理得



直线 被椭圆

截得的线段一端点为

,设另一端点为



解方程可得点

的坐标为



所以





,则



考查函数

的性质知

在区间

上是增函数,

所以

时,

取最大值

,从而

. (12 分)

22

19. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试,20) 已知椭圆

为其右焦点, 过 的弦长为 2.

垂直于 轴的直线与椭圆相交所得

(Ⅰ) 求椭圆

的方程;

(Ⅱ) 设直线 边作平行四边形 ,其中顶点

与椭圆 在椭圆

相交于 上,



两点,以线段

,

为邻

为坐标原点,求

的取值范围.

[解析] 19.解:(Ⅰ) 由题意,

,解得

,所以所求的椭圆方程为

. (4 分)

(Ⅱ) 当

时,

在椭圆

上, 所以

, 解得

, 所以





时,则由

消去

化简整理得



















,(8 分)

23

由于点

在椭圆

上,所以



从而,

化简得

,经检验满足①式.

因为

,则

,所以







因为

,故

.

综上所述,

的取值范围是

.

(13 分)

20. (2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,19)已知椭圆 图,在平面直角坐标系 中,

的方程为

,如 .

的三个顶点的坐标分别为

(Ⅰ) 求椭圆

的离心率;

(Ⅱ) 若椭圆



无公共点,求

的取值范围;

24

(Ⅲ) 若椭圆



相交于不同的两点, 分别为



, 求

面积

的最大值.

[解析] 20.(Ⅰ) 由已知可得,

,

, 即椭圆

的离心率为

, (4 分)

(Ⅱ) 由图可知当椭圆

在直线

的左下方或

在椭圆内时, 两者便无公共点(5 分)

① 当椭圆

在直线

的左下方时将

:



代入方程

整理得

,





< 0 解得

∴由椭圆的几何性质可知当

时, 椭圆

在直线

的左下方, (7 分)

② 当

在椭圆内时, 当且仅当点

在椭圆内

∴可得

, 又因为

, ∴

综上所述, 当



时, 椭圆



无公共点, (9 分)

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知当

时, 椭圆



相交于不同的两个点



,

25

又因为当

时, 椭圆

的方程为

, 此时椭圆恰好过点

,

∴① 当 ﹑ 分别与

时, ﹑



在线段

上, 显然的, 此时

, 当且仅当

重合时等号成立,,

②当

时, 点 ,



分别在线段

,

上, 易得

,







, 则



所以

=

综上可得面积

的最大值为 1. (14 分)

21. (2014 广东广州高三调研测试, 21) 如图, 已知椭圆

的方程为



双曲线

的两条渐近线为

.

过椭圆

的右焦点 ,

作直线 ,使 .

,又 与

交于点

,设 与椭圆

的两个交点由

上至下依次为

(Ⅰ) 若 与

的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4,求椭圆

的方程;

(Ⅱ) 求

的最大值.

26

[解析] 21.解:(Ⅰ) 因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为

.

因为两渐近线的夹角为



,所以

.

所以

.

所以

.

因为

,所以

,[

]所以



.

所以椭圆

的方程为

. (4 分)

(Ⅱ) 因为

,所以直线 与的方程为

,其中

.

因为直线

的方程为



27

联立直线 与

的方程解得点

.



,则

. (7 分)

因为点

,设点



则有

.

解得



.

因为点

在椭圆

上,

所以

.



.

等式两边同除以



(10 分)

所以



.

所以当

,即

时,

取得最大值

.

28



的最大值为

. (14 分)

22. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,19) 椭圆



(

) 的离

心率为

,其左焦点到点

的距离为

.

(Ⅰ)求椭圆

的标准方程;

(Ⅱ)若直线 为直径的圆过椭圆

与椭圆

相交于

, 两点(

不是左右顶点),且以

的右顶点. 求证:直线 过定点,并求出该定点的坐标.

[解析] 22.(Ⅰ)由题: .

; 左焦点

到点

的距离为:

所以

.

所以所求椭圆 C 的方程为:

. (5 分)

(Ⅱ)设

,由







.

29



为直径的圆过椭圆的右顶点











解得

,且满足

.



时,

,直线过定点

与已知矛盾;



时,

,直线过定点

综上可知,直线 过定点,定点坐标为

(14 分)

23.(2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学(理)试题,20)已知双曲线 C:

的焦距为

,其一条渐近线的倾斜角为 ,且

.以

双曲线 C 的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为 E. ( I ) 求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 设点 A 是椭圆 E 的左顶点,P、Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点,若直线 AP、

AQ 的斜率之积为 点,说明理由. [解析]

,问直线 PQ 是否恒过定点? 若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定

30

23.

24.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,20)

已知椭圆

的离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

, 椭圆 C 过点



(2)过点 点) 的面积为 [解析] 24.

作圆 , 将

的切线 交椭圆

于 A,B 两点, 记 的最大值.

为坐标原

表示为 m 的函数,并求

31

(2)由题意知,

.

易知切线 的斜率存在, 设切线 的方程为





设 A、B 两点的坐标分别为

,则

………………………6 分

,

32

(当且仅当

时取等号)

所以当 分

时,

的最大值为 1.

………………………13

25.(2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,20)如图,F1,F2 是离心率为

的椭

圆 C: 度之比为 1:3.

(a>b>0)的左、右焦点,直线 l:x=﹣

将线段 F1F2 分成两段,其长

设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点, 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 求

的取值范围.

[解析] 25.

(Ⅰ)设 F2(c,0),则

= ,所以 c=1.

因为离心率 e=

,所以 a=

,所以 b=1

所以椭圆 C 的方程为

.----------------------4 分

33

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=﹣ ,

此时 P(

,0)、Q(

,0),

.------6 分

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,

M(﹣ ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).



得(x1+x2)+2(y1+y2)

=0,

则﹣1+4mk=0,∴k=

.-----------------------------------8 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1=﹣4m,PQ 的直线方程为 即 y=﹣4mx﹣m.



联立

消去 y,整理得(32m +1)x +16m x+2m ﹣2=0.

2

2

2

2

所以





-------------------------10 分

于是

=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)

34

=

=

=



令 t=1+32m ,由

2

得 1<t<29,则



又 1<t<29,所以



综上,

的取值范围为[﹣1,

).-------------------------------13 分

26.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,20)已知椭圆 C:

经过



,离心率

,直线 的方程为

.

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 的斜率分别为 若不存在,说明理由. ,问:是否存在常数 ,使得

与 l 相交于点 M,记 PA, PB, PM ?若存在,求出 的值,

[解析] 26.(1)由点

在椭圆上得,





35

由 ①②得

,故椭圆

的方程为

…………………….. 4 分

(2)假设存在常数 ,使得

.

由题意可设



代入椭圆方程

并整理得



,则有

④ ……………6 分

在方程③中,令

得,

,从而

. 又因为

共线,则有



即有

所以

=



将④代入⑤得

,又



36

所以

故存在常数

符合题意……………………………………………………………12 分

27.(2014 广西桂林中学高三 2 月月考,21) 已知





是椭圆

上的三点, 其中点 且 .

的坐标为



过椭圆

的中心,

(Ⅰ) 求椭圆

的方程;

(Ⅱ) 过点

且不垂直于 轴的直线 与椭圆

交于

、 两点, 设

为椭圆



轴负半轴的交点,且

,求实数 的取值范围.

[解析] 27.(Ⅰ)

(Ⅱ) 由条件





①当

时,显然

.



时,设



联立方程组

消去







,可得



(7 分)







中点



37







所以





,所以

,即



所以

化简得



所以

,把

代入

解得



故 的取值范围是

.

(12 分)

28. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测, 21) 已知椭圆 的左、 右焦点分别为 、 , 椭圆上的点

: , 且△

满足

的面积为

.

(Ⅰ)求椭圆

的方程;

(Ⅱ)设椭圆 两点,直线

的左、右顶点分别为 与直线



,过点 ,证明:点

的动直线 与椭 圆 总在直线 上.

相交于



的交点为

[解析] 28.解: (Ⅰ) 由题意知: 分

, ……………………………………………1

38

椭圆上的点

满足

,且



.



.

…………………………………………………………2 分



………………………………………………………3 分

椭圆

的方程为

. ………………………………………………………4 分

(Ⅱ)由题意知





(1) 当直线 与 轴垂直时,



, 则

的方程是:



的方程是:

,直线

与直线

的交点为



∴点

在直线

上. ……………………………………………………………………6 分

(2)当直线 不与 轴垂直时,设直线 的方程为











39





…………………………………………………7 分





共线,∴

………………8 分





,需证明

共线,

需证明

,只需证明



,显然成立,若

, 即证明



成立,……………………………………………11 分



共线,即点

总在直线

上. ………………………………………12 分

29.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试, 20)已知椭圆



右焦点为

,点

在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)点 圆于 理由. ,

在圆 两点,问:△

上,且

在第一象限,过

作圆

的切线交椭

的周长是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,说明

40

[解析] 29.

(1)『解法 1』:

(Ⅰ) 由题意,得

,………………………………………2 分

解得

………………………………………4 分

∴椭圆方程为 『解法 2』:

. ………………………………………5 分

右焦点为



左焦点为

,点

在椭圆上

所以



所以椭圆方程为 (2)『解法 1』:

…………………………5 分

41

由题意,设

的方程为



与圆

相切



,即

…………………………6 分



,得

……………7 分



,则



…………8 分



…………10 分



42



…………11 分

∴ 『解法 2』:

(定值)…………12 分





………………………………8 分

连接

,由相切条件知:

………………………………10 分

同理可求

所以

为定值. ………………………………12 分

30.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,21) 如图,矩形 ABCD 中,|AB|=

,|BC|=2.E,

F,G,H 分别是矩形四条边的中点,分别以 HF,EG 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐

43

标系,

其中 0<λ <1.

(Ⅰ)求证:直线 ER 与 GR′的交点 M 在椭圆 Γ :



(Ⅱ)若点 N 是直线 l:y=x+2 上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2 分别为椭圆 Γ 的左、 右焦点,直线 NF1 和 NF2 与椭圆 Γ 的交点分别为 P、Q 和 S、T.是否存在点 N,使得直线 OP、 OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT 满足 kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点 N 的坐标; 若不存在,请说明理由.

[解析]

30.

44

31.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,21) 己知⊙O:x +y =6,P 为⊙O 上动点,过 P 作 PM⊥x 轴于 M,N 为 PM 上一点,且 (I)求点 N 的轨迹 C 的方程; (II)若 A(2,1) ,B(3,0) ,过 B 的直线与曲线 C 相交于 D、E 两点,则 kAD+kAE 是否为定 值?若是,求出该值;若不是,说明理由. .

2

2

45

[解析] 31.

(Ⅰ) 设

,

, 则

,

,



, 得

,

………………………………………3 分

由于点

在圆

上, 则有

, 即

.



的轨迹

的方程为

. …………………………………………………………6 分

(Ⅱ) 设

,

, 过点

的直线

的方程为

,



消去

得:

, 其中

; ……………………………………………………… …8 分

……………………………… ……………10 分

46

是定值 . ………………………………………………………………………………13 分

32. (2014 天津七校高三联考, 18) 设椭圆 : (Ⅰ)求 的方程;

过点

,离心率为 .

(Ⅱ)求过点

且斜率为 的直线被 所截线段的中点坐标.

[解析] 32.

(Ⅰ)将点

代入 的方程,得







,得

,即



曲线 的方程为

.

(5 分)

过点

且斜率为 的直线方程为 (Ⅱ)设直线与曲线 的交点为

, , ,



消去 得



解得





47

所以

的中点坐标





即所截得的中点坐标为

.

(13 分) 的两顶点坐标 ,

33. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 20) 已知 圆 是 的内切圆,在边 , ,

上的切点分别为 , , , .

(从圆外一点

到圆的两条切线段长相等),动点 的轨迹为曲线 (Ⅰ)求曲线 (Ⅱ)设直线 的方程. 的方程; 与曲线

的另一交点为 ,当点 在以线段

为直径的圆上时,求

直线

[解析] 33.

解析

(Ⅰ)由题知

所以曲线

是以

为焦点,长轴长为 的椭圆(挖去与 轴的交点),

设曲线









所以曲线



为所求.

(4 分)

48

(Ⅱ)注意到直线

的斜率不为 ,且过定点









消 得

,所以



所以

(8 分)

因为

, 所以

注意到点 在以

为直径的圆上, 所以

, 即

,

所以直线

的方程



为所求.

(12 分)

34. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 20) 已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 ,椭圆的离心率为 ,且椭圆经过点 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; .

(Ⅱ ) 线段

是椭圆过点 的弦,且

,求

内切圆面积最大时实数 的值.

[解析] 34.:(Ⅰ)

,又

. (4 分) (Ⅱ) 显然直线 不与 轴重合

49

当直线 当直线

与 轴垂直时,|

|=3, :



; 代入椭圆 C 的标准方程,

不与 轴垂直时,设直线

整理,得

,(7 分)





所以



由上,得



所以当直线

与 轴垂直时

最大,且最大面积为 3,



内切圆半径 ,则



,此时直线

与 轴垂直,

内切圆面积最大,

所以,

. (12 分)

35. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一) ,20)已知椭圆 的中心在原点,焦点在 轴上, 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 的正方形(记为 ). (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设点 是直线 与 轴的交点,过点 的直线 与椭圆 相交于 段 的中点落在正方形 内(包括边界)时,求直线 斜率的取值范围. 两点,当线

[解析] 35.(Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

=1,焦距为



50

由题设条件知,



, 所以



故椭圆 的方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)椭圆 的左准线方程为 的坐标为(-4,0), 显然直线 l 的斜率 存在,所以直线的方程为 如图,设点 、 的坐标分别为 , 线段 . 的

所以点

中点为





,消去 得



(6 分)





解得



因为

是方程①的两根,所以



于是

=







,所以点 不可能在 轴的右边.

(9 分)

又直线



方程分别为





51

所以点 在正方形 内(包括边界)的充要条件为







解得

,此时②也成立.

故直线 斜率的取值范围是

,

.

(13 分)

36. (2014 广州高三调研测试, 21) 如图 7,已知椭圆 的方程为 线 的两条渐近线为 . 过椭圆 的右焦点 作直线 ,使

,双曲 ,又 与 交于点 ,

设 与椭圆 的两个交点由上至下依次为 , .

(1)若 与 的夹角为 60°,且双曲线的焦距为 4,求椭圆 的方程;

(2)求

的最大值.

[解析] 36.

(1)因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为

.

52

因为两渐近线的夹角为



,所以

.

所以

.

所以 因为

. ,所以 ,

所以



.

所以椭圆 的方程为

.

(4 分)

(2)因为

,所以直线 与的方程为

,其中

.

因为直线 的方程为



联立直线 与 的方程解得点

.



,则

.

因为点

,设点



则有

.

53

解得



.

(8 分)

因为点

在椭圆

上,

所以

.



.

等式两边同除以 得







,即

时, 取最大值

.



的最大值为

.

(14 分)

37.(2014 兰州高三第一次诊断考试, 20) 设椭圆 ,直线 : [解析] 37. 交 轴于点 ,且 (Ⅰ)试求椭圆的方程; .

的焦点分别为



(Ⅱ )

过 、

分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 面积的最大值和最小值.

、 四点(如图

所示), 试求四边形

54

解析 (Ⅰ) 由题 意, 即:椭圆方程为 (3 分)



的中点

(Ⅱ )当直线

与 轴垂直时,

,此时

,四边形



面积

.同理当

与 轴垂直时,也有四边形

的面积

. 当直线



均与 轴不垂直时,设

:

,代入消去 得:



(6 分)

所以,

,所以,



同理

(9 分)

所以四边形的面积



因为



,且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以



综上可知,

.故四边形

面积的最大值为 4,最小值为



(12 分)

38. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两 个焦点,A、B 为过 F1 的直线与椭圆的交点,且△F2AB 的周长为 4 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; .

55

(Ⅱ)判断

是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由,.

[解析] 38.解:(Ⅰ)由椭圆定义可知,

4,



所以



=

.

所以椭圆方程为 (Ⅱ)设 ,

. ,

(5 分)

(1)当直线斜率不存在时,有







.

(7 分) 代入椭圆方程,

(2)当直线斜率存在时,设直线方程为

并整理得:



所以



(或求出 x1,x2 的值),

所以

(10 分)



所以

.

(14 分) 答案和解析

56

理数 [答案] 1. B

[解析] 1.

要使离心率

最大,即使 最小,即长轴最短. 由数形结合知:当直

线 与椭圆 C 相切时长轴最短, 就最小. 联立椭圆方程 得: ,由

及直线方程 可解得: (舍)或

,此时 [答案] 2.D

,选 B.

[解析] 2.





,因为点

在椭圆

上,

所以

,即

,又四边形

为矩形,

所以

,即



解方程组







设双曲线

的实轴长为 ,

,焦距为

,则



所以双曲线的离心率为 [答案] 3. B

.

[解析] 3.

设椭圆 C 的方程为:

,设直线



57

,由题意可得直线 与直线 与椭圆相交所得的弦长相等,联立直线 与

椭圆 C 的方程得,所截得的弦长为

,用

代替 k 可得直线 与椭圆 C

的方程得,所截得的弦长为 , 欲使以 三个,只需使方程 ,则

,两个弦长相等得 为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有 有三个不同的正实根即可,令 ,又因为 ,所以只

需使

即可,整理得离心率的范围

,又因为椭圆的离心率小于

1,所以 [答案] 4. A

.

[解析] 4.



中,由余弦定理可得:

,反解得

,又因为

的面积为

,因为当

时面积最

大,故

的最大角为

,所以可得 a=2b,又因为 c=3,所以可得



椭圆方程为 [答案] 5. A

.

58

[解析] 5. 右支上,

依题意,设焦距为

,椭圆长轴长

,双曲线实轴长

,令点 在上去先的

由椭圆的定义知

,①

由双曲线的定义知

,②







由①

② 得



,即 [答案] 6. D

,故

.

[解析] 6.

依题意,曲线 的方程为椭圆,其方程为

,设切线方程为

,联立方程组 ,整理得

,消去 得 ,即切线方程为

,由 ,令 ,则

,令

,则



,当且仅当 故 的面积的最小值为 2. A

取等号.

[答案] 7.

[解析] 7. 椭圆 : ,解得 ,

与双曲线

有相同的焦点,



椭圆 的离心率

,又



59

故椭圆 的离心率的取值范围是 [答案] 8.查看解析

.

[解析] 8.

(1) 设

是椭圆

上任意一点,则

,故

。解

方程





。因

,故

,因此

,从而

。所以椭圆

的方程为



(2) 法一:焦准距

,设

,则



,故

。易知

,故

。令 ,则 ,故

,则 在

。令 单调递增,从而

,得

,当且仅当



时取等

号。所以

的最小值为

,取得最小值直线 的方程为



法二:当

轴时易知



,有

。当 与 轴不垂直时,

设 :

,代入

并整理得

,故

。圆心

60

到 的距离

, 故

, 令

, 则

。令 。因 ,故

,且 ,因此

,则 ,从而

, 可知 取得最小值直线 的方程为 [答案] 9.查看解析 。

。 综上知

的最小值为



[解析] 9.(1)由题意设椭圆的标准方程为 ,

,由已知得:

椭圆的标准方程为



4分

(2)设

.联立



,则

61

8分





因为以

为直径的圆过椭圆的右顶点



,即







.解得:

,且均满足





时, 的方程

,直线过点

,与已知矛盾;



时, 的方程为

,直线过定点



所以,直线 过定点,定点坐标为 [答案] 10.查看解析



14 分

[解析] 10.解:(I) 由题意知



……1 分



设椭圆中心

关于直线

的对称点为



62

于是

方程为

……2 分



得线段

的中点为(2,-1),从而

的横坐标为 4



椭圆的方程为

=1……6 分

(II)由题意知直线

存在斜率,设直线

的方程为

并整理得

①……

8分



,得



不合题意

……10 分

设点

,则

由①知

……11 分

直线

方程为

……12 分





,将

代入

整理得

, 再将



代入计算得

63

直线

轴相交于顶点(1,0),……14 分

[答案] 11.查看解析

[解析] 11.

(1)∵

∴焦点





……………1 分

又∵



……………2 分

代入抛物线方程得

. 又 B 点在椭圆上得



∴椭圆 C2 的标准方程为

.

……………4 分

(2)设直线 的方程为

,由





,所以

……………6 分

又因为

直线

的斜率为

,故直线

的方程为







,同理

所以

64





……………10 分

所以



所以

,故不存在直线 使得

……………12 分

[答案] 12.查看解析 [解析] 12.

65

[答案] 13.查看解析

[解析] 13.(Ⅰ)设

,

的坐标分别为

, 其中



由题意得

的方程为:





到直线

的距离为 , 所以有

, 解得



所以有

……①

由题意知:

, 即

……②

联立①②解得:



所求椭圆

的方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知椭圆

的方程为





,

,由于

, 所以有

66





是椭圆

上的一点, 则



所以



解得:



.

(9 分)

(Ⅲ)由

, 设

根据题意可知直线 的斜率存在,可设直线斜率为 , 则直线 的方程为



把它代入椭圆

的方程, 消去

, 整理得:



由韦达定理得

, 则

,



所以线段

的中点坐标为



(1) 当

时, 则有

, 线段

垂直平分线为

轴,

于是





, 解得:

,(11 分)

(2) 当

时, 则线段

垂直平分线的方程为



67

因为点

是线段

垂直平分线的一点,



, 得

,于是





, 解得



代入

, 解得



综上, 满足条件的实数 的值为 [答案] 14.查看解析



.

(14 分 )

[解析] 14.

(Ⅰ)由已知,

,因为



所以

, 又

, 所以

, 解得

, 所以





所以椭圆的标准方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)记

,且

,则线段

的中点



易知

,则

,则







,因为



所以

,即



68

所以



联立方程组 去),

消去



,解得



(舍

所以

,即



.

(13 分)

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.(Ⅰ)依题意, ,



,因为

,所以



所以所求椭圆的标准方程为

. (5 分)

(Ⅱ)设直线 的方程为





,又



联立方程组

,消去



,(8 分)

所以



,因为





所以

69

. (12 分) [答案] 16.查看解析 [解析] 16.(Ⅰ)如图,





,则由

可得



,即





,即为曲线 C 的方程.

(6 分)

(Ⅱ)设

70



,(8 分)







,即 P 点坐标为



点代入

,得

(负舍去)

存在当

时,

点在曲线 C 上

. (13 分)

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.(Ⅰ)圆

的圆心为

,半径等于

.

由已知

,于是



故曲线

是以



为焦点,以

为长轴长的椭圆,







曲线

的方程为

.

(5 分)

71

(Ⅱ)由



,得

.

(8 分)

于是直线

方程为

.



,解得





由于点

在线段

上,所以点

坐标为

.

(12 分)

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.解:(I) 由题意得







),

所以

,解得



故椭圆 的方程为

.

(6 分)

(II) 由(I) 得椭圆的左顶点坐标为

,设直线 的方程为



由直线 与曲线

相切得

,整理得

又因为



解得



联立

消去

整理得



72

直线 被椭圆

截得的线段一端点为

,设另一端点为



解方程可得点

的坐标为



所以





,则



考查函数

的性质知

在区间

上是增函数,

所以

时,

取最大值

,从而

. (12 分)

[答案] 19.查看解析

[解析] 19.解:(Ⅰ) 由题意,

,解得

,所以所求的椭圆方程为

. (4 分)

(Ⅱ) 当

时,

在椭圆

上, 所以

, 解得

, 所以





时,则由

消去

化简整理得



73

















,(8 分)

由于点

在椭圆

上,所以



从而,

化简得

,经检验满足①式.

因为

,则

,所以







因为

,故

.

综上所述,

的取值范围是

.

(13 分)

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.(Ⅰ) 由已知可得,

,

, 即椭圆

的离心率为

, (4 分)

74

(Ⅱ) 由图可知当椭圆

在直线

的左下方或

在椭圆内时, 两者便无公共点(5 分)

① 当椭圆

在直线

的左下方时将

:



代入方程

整理得

,





< 0 解得

∴由椭圆的几何性质可知当

时, 椭圆

在直线

的左下方, (7 分)

② 当

在椭圆内时, 当且仅当点

在椭圆内

∴可得

, 又因为

, ∴

综上所述, 当



时, 椭圆



无公共点, (9 分)

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知当

时, 椭圆



相交于不同的两个点



,

又因为当

时, 椭圆

的方程为

, 此时椭圆恰好过点

,

∴① 当 ﹑ 分别与

时, ﹑



在线段

上, 显然的, 此时

, 当且仅当

重合时等号成立,,

75

②当

时, 点 ,



分别在线段

,

上, 易得

,







, 则



所以

=

综上可得面积

的最大值为 1. (14 分)

[答案] 21.查看解析

[解析] 21.解:(Ⅰ) 因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为

.

因为两渐近线的夹角为



,所以

.

所以

.

所以

.

因为

,所以

,[

]所以



.

76

所以椭圆

的方程为

. (4 分)

(Ⅱ) 因为

,所以直线 与的方程为

,其中

.

因为直线

的方程为



联立直线 与

的方程解得点

.



,则

. (7 分)

因为点

,设点



则有

.

解得



.

因为点

在椭圆

上,

所以

.



.

等式两边同除以



(10 分)

77

所以



.

所以当

,即

时,

取得最大值

.



的最大值为

. (14 分)

[答案] 22.查看解析

[解析] 22.(Ⅰ)由题: .

; 左焦点

到点

的距离为:

所以

.

所以所求椭圆 C 的方程为:

. (5 分)

(Ⅱ)设

,由







.

78



为直径的圆过椭圆的右顶点











解得

,且满足

.



时,

,直线过定点

与已知矛盾;



时,

,直线过定点

综上可知,直线 过定点,定点坐标为 [答案] 23.查看解析 [解析] 23.

(14 分)

79

[答案] 24.查看解析 [解析] 24.

(2)由题意知,

.

80

易知切线 的斜率存在, 设切线 的方程为





设 A、B 两点的坐标分别为

,则

………………………6 分

,

(当且仅当

时取等号)

所以当 分

时,

的最大值为 1.

………………………13

[答案] 25.查看解析

[解析] 25.

(Ⅰ)设 F2(c,0),则

= ,所以 c=1.

81

因为离心率 e=

,所以 a=

,所以 b=1

所以椭圆 C 的方程为

.----------------------4 分

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=﹣ ,

此时 P(

,0)、Q(

,0),

.------6 分

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,

M(﹣ ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).



得(x1+x2)+2(y1+y2)

=0,

则﹣1+4mk=0,∴k=

.-----------------------------------8 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1=﹣4m,PQ 的直线方程为 即 y=﹣4mx﹣m.



联立

消去 y,整理得(32m +1)x +16m x+2m ﹣2=0.

2

2

2

2

82

所以





-------------------------10 分

于是

=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)

=

=

=



令 t=1+32m ,由

2

得 1<t<29,则



又 1<t<29,所以



综上,

的取值范围为[﹣1,

).-------------------------------13 分

[答案] 26.查看解析

[解析] 26.(1)由点

在椭圆上得,





由 ①②得

,故椭圆

的方程为

…………………….. 4 分

(2)假设存在常数 ,使得

.

由题意可设



代入椭圆方程

并整理得

83



,则有

④ ……………6 分

在方程③中,令

得,

,从而

. 又因为

共线,则有



即有

所以

=



将④代入⑤得

,又



所以

故存在常数

符合题意……………………………………………………………12 分

[答案] 27.查看解析

[解析] 27.(Ⅰ)

84

(Ⅱ) 由条件





①当

时,显然

.



时,设



联立方程组

消去







,可得



(7 分 )







中点









所以





,所以

,即



所以

化简得



所以

,把

代入

解得



故 的取值范围是 [答案] 28.查看解析

.

(12 分)

85

[解析] 28.解: (Ⅰ) 由题意知: 分

, ……………………………………………1

椭圆上的点

满足

,且



.



.

…………………………………………………………2 分



………………………………………………………3 分

椭圆

的方程为

. ………………………………………………………4 分

(Ⅱ)由题意知





(1) 当直线 与 轴垂直时,



, 则

的方程是:



的方程是:

,直线

与直线

的交点为



∴点

在直线

上. ……………………………………………………………………6 分

(2)当直线 不与 轴垂直时,设直线 的方程为







86









…………………………………………………7 分





共线,∴

………………8 分





,需证明

共线,

需证明

,只需证明



,显然成立,若

, 即证明



成立,……………………………………………11 分



共线, 即点

总在直线

上. ………………………………………12 分 [答案]

29.查看解析 [解析] 29. (1)『解法 1』:

(Ⅰ) 由题意,得

,………………………………………2 分

解得

………………………………………4 分

87

∴椭圆方程为 『解法 2』:

. ………………………………………5 分

右焦点为



左焦点为

,点

在椭圆上

所以



所以椭圆方程为 (2)『解法 1』:

…………………………5 分

由题意,设

的方程为



与圆

相切



,即

…………………………6 分



,得

……………7 分



,则



…………8 分

88



…………10 分





…………11 分

∴ 『解法 2』:

(定值)…………12 分





89

………………………………8 分

连接

,由相切条件知:

………………………………10 分

同理可求

所以 [答案] 30.查看解析 [解析]

为定值. ………………………………12 分

30.

90

[答案] 31.查看解析

[解析] 31.

(Ⅰ) 设

,

, 则

,

,



, 得

,

91

………………………………………3 分

由于点

在圆

上, 则有

, 即

.



的轨迹

的方程为

. …………………………………………………………6 分

(Ⅱ) 设

,

, 过点

的直线

的方程为

,



消去

得:

, 其中

; ……………………………………………………… …8 分

……………………………… ……………10 分

92

是定值 . ………………………………………………………………………………13 分 [答案] 32.查看解析

[解析] 32.

(Ⅰ)将点

代入 的方程,得







,得

,即



曲线 的方程为

.

(5 分)

过点

且斜率为 的直线方程为 (Ⅱ)设直线与曲线 的交点为

, , ,



消去 得



解得





所以

的中点坐标





即所截得的中点坐标为 [答案] 33.查看解析 [解析] 33. 解析

.

(13 分)

(Ⅰ)由题知

所以曲线

是以

为焦点,长轴长为 的椭圆(挖去与 轴的交点),

设曲线





93





所以曲线



为所求.

(4 分)

(Ⅱ)注意到直线

的斜率不为 ,且过定点









消 得

,所以



所以

(8 分)

因为

, 所以

注意到点 在以

为直径的圆上, 所以

, 即

,

所以直线

的方程



为所求.

(12 分)

[答案] 34.查看解析

94

[解析] 34.:(Ⅰ)

,又

. (4 分) (Ⅱ) 显然直线 不与 轴重合

当直线 当直线

与 轴垂直时,|

|=3, :



; 代入椭圆 C 的标准方程,

不与 轴垂直时,设直线

整理,得

,(7 分)





所以



由上,得



所以当直线

与 轴垂直时

最大,且最大面积为 3,



内切圆半径 ,则



,此时直线

与 轴垂直,

内切圆面积最大,

所以,

. (12 分)

[答案] 35.查看解析

95

[解析] 35.(Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

=1,焦距为



由题设条件知,



, 所以



故椭圆 的方程为

.

(4 分)

(Ⅱ)椭圆 的左准线方程为 的坐标为(-4,0), 显然直线 l 的斜率 存在,所以直线的方程为 如图,设点 、 的坐标分别为 , 线段 . 的

所以点

中点为





,消去 得



(6 分)





解得



因为

是方程①的两根,所以



于是

=







,所以点 不可能在 轴的右边.

(9 分)

96

又直线



方程分别为





所以点 在正方形 内(包括边界)的充要条件为







解得

,此时②也成立.

故直线 斜率的取值范围是 [答案] 36.查看解析

,

.

(13 分)

[解析] 36.

(1)因为双曲线方程为



所以双曲线的渐近线方程为

.

因为两渐近线的夹角为



,所以

.

所以

.

所以 因为

. ,所以 ,

97

所以



.

所以椭圆 的方程为

.

(4 分)

(2)因为

,所以直线 与的方程为

,其中

.

因为直线 的方程为



联立直线 与 的方程解得点

.



,则

.

因为点

,设点



则有

.

解得



.

(8 分)

因为点

在椭圆

上,

所以

.



.

等式两边同除以 得





98



,即

时, 取最大值

.



的最大值为

.

(14 分)

[答案] 37.查看解析 [解析] 37. (Ⅰ)试求椭圆的方程;

(Ⅱ )

过 、

分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 面积的最大值和最小值.

、 四点(如图

所示), 试求四边形

解析 (Ⅰ) 由题 意, 即:椭圆方程为 (3 分)



的中点

(Ⅱ )当直线

与 轴垂直时,

,此时

,四边形



面积

.同理当

与 轴垂直时,也有四边形

的面积

. 当直线



均与 轴不垂直时,设

:

,代入消去 得:



(6 分)

所以,

,所以,



99

同理

(9 分)

所以四边形的面积



因为



,且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以



综上可知,

.故四边形

面积的最大值为 4,最小值为



(12 分)

[答案] 38.查看解析

[解析] 38.解:(Ⅰ)由椭圆定义可知,

4,



所以



=

.

所以椭圆方程为 (Ⅱ)设 ,

. ,

(5 分)

(1)当直线斜率不存在时,有







.

(7 分) 代入椭圆方程,

(2)当直线斜率存在时,设直线方程为

并整理得:



所以



(或求出 x1,x2 的值),

100

所以

(10 分)



所以

.

(14 分)

101



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