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2016延边职业技术学院单招数学模拟试题及答案


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2016 延边职业技术学院单招数学模拟试题及答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1. f ' ( x0 ) ? 0是可导函数 f ( x)在点x ? x0处取值的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知集合 A ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? x 2 x ? 1 ? 3 ,则集合 A ? B ? A. x 2 ? x ? 3

?

?

?

?





?

? ?

B. x 2 ? x ? 3

?

? ?

C. x ? 1 ? x ? 3

?

D. x 2 ? x ? 3

?

3.某校高一高二年级各有 300 人,高三年级有 400 人,现采用分层抽样抽取容量为 50 人的 样本,那么高三年级应抽人数为 A.16 B.40 C.20 ( )

D.25 ( )

4. m ? ?1是直线mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0和直线 3x ? my ? 3 ? 0垂直的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

5.地球半径为 R, 在 北纬 30。的圆上, A 点经度为东经 120。, B 点的经度为西经 60。 则 A.B 两点的球面距离为 A. ( )

?
3

R

B.

3 ?R 2
?1

C. ?R

1 2

D. ?R

2 3

x 6.若 f ( x) ? 2 的反函数为 f

1 1 ( x), 且f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 4, 则 ? 的最小值是 a b
( )

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A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4
( )

7.直线 y ? x ? 1上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点的最近距离是 A. 2 2 B.

2 ?1

C. 2 2 ? 1

D.1

8.把编号为 1.2.3.4.5 的 5 位运动员排在编号为 1.2.3.4.5 的 5 条跑道中, 要求 有上只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同的排法种数 ( A.10 B.20 C.40 D.60 ( ) )

9.已知函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 3) ,则使 f ( x)为减函数的区间是 A.(3,6) 10.函数 y ? sin( x ? B.(-1,0) C.(1,2) D.(-3,-1)

?
6

)( x ? R)的图象上所有的点向左 平行移动

?
4

个单位长度

再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)则所得到的图象的解 析式为 2( , 4 , 6 )

A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin(

?
12

)( x ? R)

B. y ? sin( D. y ? sin(

x 5? ? )( x ? R) 2 12 x 5? ? )( x ? R) 2 24

x ? ? )( x ? rR ) 2 12

11.已知向量 a ? (2 cos ? ,2 sin ? ), ? ? (

?
2

, ? ), b ? (0,?1), 则向量 a与b的夹角为


) A.

3? ?? 2

B.

?
2

??

C. ? ?

?
2

D. ?

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12.我们把离心率为黄金比

5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆”(也叫黄金椭圆),已知 2

FA分别是 “优美椭圆”的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,则 ?ABF ?
( A. 60? B. 75? C. 90? D. 120? )

B卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)
8 13. ( x ? ) 的展开式中常数项为

1 x

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14.已知 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 u ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?
15.等比数列 ?an ? 的前 n项和为S n , a2 ? 6, S3 ? 21 , 则公比 q ? 16.关于正四棱锥 p _ ABCD,给出下列命题: ①异面直线 PA与BD所成的角为直角 ②侧面为锐角三角形; ③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角; ④相邻两侧面所成的二面角为钝角。 其中正确命题的序号是 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分 17.(本小题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) ? a (2 cos

x ? sin x) ? b 。 2

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(Ⅰ)当 a ? 1时, 求 f ( x)的单调递增区间 (Ⅱ)当 a >0,且 x ? ?0, ? ? 时, f ( x)的值域是 ?3, ?,求a, b的值 。 4, 18.(本小题满分 12 分) CBA 篮球总决赛采取五局三胜制,即有一队胜三场比赛就 结束,预计本次决赛的两队实力相当,且每场比赛门票收入 100 万元,问: (Ⅰ)在本次比赛中,门票总收入是 300 万元的概率是多少? (Ⅱ)在本次比赛中,门票总收入不低于 400 万元的概率是多少? 19.(本小题满分 12 分)如图,正棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

D是BC的中点,AA1 ? AB ? 1
(Ⅰ)求证: A1C ∥平面 AB1 D ; (Ⅱ)求点 C 到平面 AB1 D 的距离。

21.(本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ,数列 {bn } 为等比数列,

a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

an ,数列 {cn } 的前 n 项为 Tn,求 Tn(n? N ) bn
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)上除A1 (?a,0), A2 (a,0) a2 b2

21.(本小题满分 12 分)p 为椭圆 C : 的两点外的一点。

(Ⅰ)求直线 A1 P与A2 P的斜率的乘积;

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(Ⅱ)设 ?A1 PA2=? , 求证: S


A1PA2

=-

2a 2 b 2 cot? 。 a2 ? b2

22.(本小题满分 12 分) f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d在(??,0] 上为增函数在[0,2]上减 函数,又方程 f ( x ? 0) 有三个根为 ? ,2, , ? 。 (Ⅰ)求 c ; (Ⅱ)比较 f (1)与2的大小; (Ⅲ)求 ?-? 的范围。

参考答案
BDCAD 13.70 BCBDB 14.5 AC 15.2 或

2 , ? ? ) ? b ? 1 ,……3 17.(10 分)解:(1)? f ( x) ? 1 ? cos x ? sin x ? b ? 2 sin( x 4 , 4 6 分

1 2

16.①②③④

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? 递增区间为[ 2k? 3? ? , 2 k? ? ]( k ? z ) 4 4
………………5 分

2)? f ( x) ? a(sin x ? cos x) ? a ? b ? 2 a sin( x ?

?
4

) ? a ? b ,……………8 分

而 x ? [0, ? ] ,则 x ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] , ? sin(x ? ) ? [? ,1] 4 4 4 4 2

? 2a ? a ? b ? 4 ?a ? 2 ? 1 ? 故? ………………10 分 ?? 2 ) ? a ? b ? 3 ?b ? 3 ? 2a ( ? 2 ?
18.解:①本次比赛,门票总收入是 300 万元,则前 3 场由某个队连胜,……… 2 分 其概率为 p1= =

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ………………………………………………。4 分. 2 2 2 2 2 2

1 …………………………5 分 4

②本次比赛,门票总收入不低于心不忍 400 万元,则至少打 4 场,……………7 分
2 概率为 p2=2 C 3 ( ) 2( 1 ? ) ?

1 2

1 2

1 1 2 1 2 ? C4 ( ) (1- ) 2 ? 1 ………………………………10 分 2 2 2



3 3 3 ? ? ……………………………………………………………11 分 8 8 4

答:略。 …………………………………………………………………12 分 19. 【解】解法一 (Ⅰ) 证明: 连接 A1B, 设 A1B ? AB1=E. 连接 DE

? ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1= AB, ? 四边形 A1ABB1 是正方形, ? E 是 A1B 的中点,又 D 是 BC 的中点, ? DE//A1C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3 分 ? DE ? 平面 AB1D, A1C ? 平面 AB1D,

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? A1C//平面 AB1D……………………5 分
(Ⅱ) 解:? 平面 B1BCC1 ? 平面 ABC,且 AD ? BC,

? AD ? 平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D ? 平面 B1BCC1 ? 平面 AB1D………………8 分
在平面 B1BCC1 内作 CH ? B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离 ………………10 分 由 ? CDH∽ ? B1DB,得 CH =

BB ? CD 5。 = BD 5

即点 C 到平面 AB1D 的距离是 解法二:

5 …………12 分 5

建立空间直角坐标系 D—xyz, 如图, ( ? )证明: 连接 A1B,设 A1B1 ? AB1=E,连接 DE。 设 AA1,=AB=1, 则 D(0,0,0), A 1 (0,

1 1 3 3 1 ,1), E (- , , ),C( ,0,0)。 4 4 2 2 2
=(-

1 3 , -1), DE ? A1C =( , ? 2 2
? C ∥ DE ? A1C =-2 DE ,? A1

1 3 1 , , ), 4 4 2

……………………………………………3 分

? DE ? 平面 AB1 D, A1C ? 平面 AB1 D

? A1C ∥平面 AB1 D ,
(Ⅱ)解:? A (0,

……………………………………………………………5 分

1 3 ,0), B1 (- ,0,1), 2 2

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? AD =(0,
1 3 ,0), B1 D =( ,0,-1) 2 2

设 n1 =( p, q, r )是平面 AB1D 的法向量。则, n1 · AD =0,且 n1 · B1 D =0,……8 分 故- 分 取其单位法向量 n =(

1 3 q =0, p ? r =0。取 r =1,得 n1 =(2,0,1)………………………10 2 2

2 5

,0,

1 5

),又 DC =(

1 ,O,O) 2

? 点 C 到平面 AB1D 的距离 d ?| DC · n |=
20. 解:(1) n ? 1 时, ?1 ? S1 ? 1

5 ……………………………………12 分 5

n ? 2 时, ? n ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1 ,且该式当 n ? 1 时也成立。

? n ? N 时, ? n ? 2n ? 1 又 b1 ? a1 ? 1 , b2 ?
(2)解。 C n ?

1 1 n ?1 ,? b2 ? ( ) 。。。。4 分 2 2

?n
bb

? (2n ? 1) ·2n-1

1 1 1 1 1 Tn =1×1+3× +5×( )2+7×( )3+..+(2n-3)×( )n-2+(2n-1)×( )n-1 2 2 2 2 2
(1)

1 1 1 1 1 1 Tn=1× +3×( )2+5×( )3+.. ... ... ...+(2n-3)×( ) n-1+(2n-1)×( )n 2 2 2 2 2 2
(2) (1)-(2)得:

1 1 1 1 1 1 Tn=1×1+2[ +( )2+( )3+...+( )n-1]-(2n-1)×( )n 2 2 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 =1×1+2× 2 -(2n-1)( )n 1 2 1? 2
Tn=3+(2n-3)·2n …………………………12 分

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21. 解:设上点 P(x,y)则有

k PA1 ?

y y , k PA2 ? , ……………………………………………………2 分 x?a x?a

? x2 y2 ? 2 b2 ? ? 1, 2 2 ? ?a2 b2 ? y ? ? 2 ? ( x ? a ), 由? 变形为 ? …………………4 分 a ? y ? y ? k. ?y 2 ? k(x2 ? a 2 ) ? ? ?x ? a x ? a
?k ? ? b2 b2 k ? k ? ? 。即 。 ………………………………………5 分 PA1 PA2 a2 a2

?II ?证明:( 1 )当点P在x轴的上方时, y ? 0。
tan ?A1 PA2 ? k PA2 ? k PA1 1 ? k PA2 k PA1
,

y y ? 2a 3 y 2ab2 x?a x?a = <0…………………7 分 ?? 2 (a 2 ? b 2 )(x 2 ? a 2 ) (a ? b 2 ) y b2 1? 2 a
2ab2 (2)当点 P 在 x 轴的下方时,y<0,同理可得 tan?A1 PA2 ? 2 <0。 (a ? b 2 ) y

2ab2 ……………………………9 分 ? ?A1 PA2是钝角,?A1 PA2 ? ? ? arctan 2 (a ? b 2 ) y
由三角形的面积公式得 S ?A1PA2 ? 又 a ? ? ? arctan

1 ? 2a ? y ? a y 2

2ab2 (a 2 ? b 2 ) y

2ab2 ]。 ………………………………………10 分 ? tan ? ? tan [ ? ? arctan 2 (a ? b 2 ) y
2ab2 cot? , 得 y ?? 2 a ? b2 ? S ?A1PA2 ? 2ab2 cot? 。 a2 ? b2
……………………………………………………12 分

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22.(12 分) 解:(1) f ?( x) = 3x 2 ? 2bx ? c

? 在(-?, 0) 为增函数,(0,2)为减函数 ? f ?(0) ? 0 ? c ? 0
(2) f (2) ? 0 ? d ? ?4b ? 8 ………………………………………………3 分

f ' ( x) ? 0两根x1 ? 0 x 2 ? ?

2b 2b ?? ? 2 b ? ?3 3 3
……………………………………………………7 分

? f (1) ? b ? d ? 1 ? ?7 ? 3b ? 2
(3)

x 3 ? bx2 ? d ? ( x ? ? )(x ? 2)(x ? ? ) ? x 3 ? (2 ? ? ? ? ) x 2 ? (2? ? 2? ? ?? ) x ? 2??
……………………………………………………………9 分

?? ? ? ? ?b ? 2 ?b ? ?2 ? ? ? ? ? 即? ? d ?? ? ? ?d ? ?2?? ? 2 ?
? ? ? ? ? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? (b ? 2) 2 ? 2d ? (b ? 2) 2 ? 16, (b ? 2) 2 ? 25

?? ? ? ? 3

………………………………………………………………………12 分


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