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浙江省嘉兴市2015年高考数学二模试卷(理科)


2015 年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.在△ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A . π B.

C.

D.

3.计算: (log43+log83) (log32+log92)=( A. B. C. 5 D. 15



4.已知 a>0,实数 x,y 满足:

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(



A. 2 B. 1 C.

D.

5.若 sinθ+cosθ= A. ﹣
2

,θ∈[0,π],则 tanθ=( C. ﹣2 D. 2



B.
2

6. 已知圆 x +y ﹣4x﹣5=0 的弦 AB 的中点为 Q (3, 1) , 直线 AB 交 x 轴于点 P, 则|PA|?|PB|= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

7.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左

顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该 双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

8.设 f(x)=

,其中 a∈R,若对任意的非零

实数 x1,存在唯一的非零实数 x2(x1≠x2) ,使得 f(x1)=f(x2)成立,则 k 的取值范围为 ( ) A. R B. [﹣4,0] C. [9,33] D. [﹣33,﹣9]

二、填空题(9-12 题每小题 6 分,13-15 题每小题 6 分,共 36 分) 9. 已知全集 U=R, 集合 A={x|﹣1≤x≤1}, B={x|x ﹣2x≥0}, 则 A∩B= = . 10.在等差数列{an}中,a1=3,a1+a3=14,则公差 d= ,an=
2

, A∪ (?UB)



11. 若向量 与 满足| |= | + |= .

,| |=2, ( ﹣ )

,则向量 与 的夹角等于



12.已知函数 f(x)= a= .

,则 f(2)=

,若 f(a)=1,则

13.已知实数 x,y>0 且 xy=2,则

的最小值是



14.抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点(0,3)的直线与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的 垂直平分线交 x 轴于点 D,若|AF|+|BF|=6,则点 D 的横坐标为 .

2

15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 α 内,则正方 体在平面 α 内的影射构成的图形面积的取值范围是 .

三、解答题 2 2 2 16.三角形 ABC 中,已知 sin A+sin B+sinAsinB=sin C,其中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的取值范围.

17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,2AC=PC=2,AC⊥BC,D,E,F 分别 为 AC,AB,AP 的中点,M,N 分别为线段 PC,PB 上的动点,且有 MN∥BC, (Ⅰ)求证:MN⊥平面 PAC (Ⅱ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E﹣MN﹣F 为直二面角?若存在,求 CM 的长度,若不存在,说明理由.

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 A,

B 两点,当 l∥x 轴时,|AB|= (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)当|AP|=2|PB|,求直线 l 的方程.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 a1=2,有一组圆心在 x 轴正半轴上的圆 An(n=1, 2,…)与 x 轴的交点分别为 A0(1,0)和 An+1(an+1,0) ,过圆心 An 作垂直于 x 轴的直线 ln,在第一象限与圆 An 交于点 Bn(an,bn) (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式 (Ⅱ)设曲边形 An+1BnBn+1(阴影所示)的面积为 Sn,若对任意 n∈N , 恒成立,试求实数 m 的取值范围.
*

+

+…+

≤m

20.已知函数 f(x)=x+ ﹣4,g(x)=kx+3 (Ⅰ)当 a∈[3,4]时,函数 f(x)在区间[1,m]上的最大值为 f(m) ,试求实数 m 的取值 范围 (Ⅱ)当 a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2) ,对任意 x1,x2∈[2, 4](x1<x2)恒成立,求实数 k 的取值范围.

2015 年浙江省嘉兴市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.在△ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理知 可得结论. 解答: 解:若 sinA>sinB 成立, 由正弦定理 =2R, ,由 sinA>sinB,知 a>b,所以 A>B,反之亦然,故

所以 a>b, 所以 A>B. 反之,若 A>B 成立, 所以 a>b, 因为 a=2RsinA,b=2RsinB, 所以 sinA>sinB, 所以 sinA>sinB 是 A>B 的充要条件. 故选 C. 点评: 本题以三角形为载体,考查四种条件,解题的关键是正确运用正弦定理及变形.属 于基础题. 2.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

A . π B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥,代入锥体体积公 式,可得答案. 解答: 解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥, 其底面面积 S= 高 h=1, 故半圆锥的体积 V= = , = ,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 3.计算: (log43+log83) (log32+log92)=( A. B. C. 5 D. 15 )

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析:化简 (log43+log83) (log32+log92) = ( log23+ log23) (log32+ log32) , 且 log23?log32=1, 从而解得. 解答: 解: (log43+log83) (log32+log92) =( log23+ log23) (log32+ log32) = log23? log32 = ; 故选:A. 点评: 本题考查了对数的化简与运算,属于基础题.

4.已知 a>0,实数 x,y 满足:

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(



A. 2 B. 1 C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即先确定 z 的最优解, 然后确定 a 的值即可. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, (阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z,

平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最小, 此时 z 最小. 即 2x+y=1, 由 ,解得 ,

即 C(1,﹣1) , ∵点 C 也在直线 y=a(x﹣3)上, ∴﹣1=﹣2a, 解得 a= . 故选:C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

5.若 sinθ+cosθ= A. ﹣ B.

,θ∈[0,π],则 tanθ=( C. ﹣2 D. 2



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系, 以及三角函数在各个象限中的符号, 求得 tanθ 的值. 解答: 解:∵sinθ+cosθ= ∴sinθ= ∴tanθ= ,cosθ=﹣ =﹣2, , ,θ∈[0,π],sin θ+cos θ=1,
2 2

故选:C. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,属于 基础题.

6. 已知圆 x +y ﹣4x﹣5=0 的弦 AB 的中点为 Q (3, 1) , 直线 AB 交 x 轴于点 P, 则|PA|?|PB|= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆的圆心与半径,求出 AB 的方程,然后求出 P 的坐标,利用相交弦定理求解 即可. 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣4x﹣5=0 的圆心(2,0) ,半径为 3,弦 AB 的中点为 Q(3,1) ,则 AB 的斜率为:﹣1, AB 的方程为:y﹣1=﹣(x﹣3) ,即 x+y﹣4=0,则 P(4,0) , 如图:由相交弦定理可知:|PA|?|PB|=|PC||PD|=(3﹣2) (3+2)=5. 故选:B.

2

2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系的应用,相交弦定理的应用,考查计算能力.

7.设 F1、F2 分别为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左

顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐过线于 M,N 两点,且满足∠MAN=120°,则该 双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先求出 M,N 的坐标,再利用余弦定理,求出 a,c 之间的关系,即可得出双曲线的 离心率. 解答: 解: 不妨设圆与 y= x 相交且点 M 的坐标为 (x0, y0) (x0>0) , 则 N 点的坐标为 (﹣ x0,﹣y0) , 联立 y0= x0, 得 M(a,b) ,N(﹣a,﹣b) ,

又 A(﹣a,0)且∠MAN=120°,所以由余弦定理得 4c =(a+a) +b +b ﹣ 2
2 2

2

2

2

2

?bcos 120°, .

化简得 7a =3c ,求得 e=

故选 A. 点评: 本题主要考查双曲线的离心率.解决本题的关键在于求出 a,c 的关系.

8.设 f(x)=

,其中 a∈R,若对任意的非零

实数 x1,存在唯一的非零实数 x2(x1≠x2) ,使得 f(x1)=f(x2)成立,则 k 的取值范围为 ( ) A. R B. [﹣4,0] C. [9,33] D. [﹣33,﹣9] 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于函数 ( f x) 是分段函数, 且对任意的非零实数 x1, 存在唯一的非零实数 x( , 2 x2≠x1) 使得 f(x2)=f(x1)成立,可得函数必须为连续函数,即在 x=0 时,两段的函数值相等, 且函数在 y 轴两次必须是单调的,进而可得答案. 解答: 解:由于函数 f(x)=
2

,其中 a∈R,

则 x=0 时,f(x)=a ﹣k, 又由对任意的非零实数 x1,存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1) ,使得 f(x2)=f(x1)成立 ∴函数必须为连续函数,即在 x=0 时,两段的函数值相等, 2 2 ∴(3﹣a) =a ﹣k,即﹣6a+9+k=0,即 k=6a﹣9, 且函数在 y 轴两次必须是单调的, ∴二次函数的对称轴 x=﹣ ≥0,

解得:﹣4≤a≤0, ∴﹣33≤6a﹣9≤﹣9, ∴k∈[﹣33,﹣9], 故选:D 点评: 本题考查了存在性问题,分段函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,不等式 的基本性质,是函数与不等式的综合应用,难度中档. 二、填空题(9-12 题每小题 6 分,13-15 题每小题 6 分,共 36 分) 2 9. 已知全集 U=R, 集合 A={x|﹣1≤x≤1}, B={x|x ﹣2x≥0}, 则 A∩B= [﹣1, 0] , A∪ (?UB) = [﹣1.2) . 考点: 交、并、补集的混合运算;补集及其运算. 专题: 集合.

分析: 求出集合 B 中不等式的解集,求出 A 与 B 的交集,再求出集合 B 的补集,即可求 出所求. 解答: 解:∵集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1,1],B={x|x ﹣2x≥0}=(﹣∞,0]∪[2, +∞) ∴?UB=(0,2) , ∴A∩B=[﹣1,0],A∪(?UB)=[﹣1.2) 故答案为:[﹣1,0], ) ,[﹣1.2) 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关 键. 10.在等差数列{an}中,a1=3,a1+a3=14,则公差 d= 4 ,an= 4n﹣1 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 设数列{an}的公差为 d,利用等差数列的通项公式代入 a1+a3=14,列出有关 d 和 a1 的方程,由此解得 d 的值,可得 an. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,由 a1+a3=14,可得 2a1+2d=14, 即 a1+d=7,把 a1=3 代入,解得 d=4, 所以 an=3+4(n﹣1)=4n﹣1. 故答案为:4;4n﹣1. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
2

11. 若向量 与 满足| |= .

, | |=2, ( ﹣ )

, 则向量 与 的夹角等于

, | + |=

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据条件得出 夹角, 根据向量的模与乘法的转化| + | =( 解答: 解:∵| |= ∴( ﹣ )? =0, 即 =2, = , ,| |=2, ( ﹣ )
2

=2,运用数量积的定义式得出 cos< , >=

即可求出

) =| | +| | +2 ,

2

2

2

,即可求解向量的模.

∴cos< , >=

即向量 与 的夹角为 ∵| + | =( ∴| + |= 故答案为: , ; .
2 2


2 2

) =| | +| | +2

=2+4+4=10

点评: 本题综合考查了平面向量的性质,运算,求解夹角,模,属于基本题目,难度不大, 计算仔细些,书写规范即可.

12.已知函数 f(x)=

,则 f(2)= 3 ,若 f(a)=1,则 a= 1 .

考点: 函数的零点;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的解析式直接求解函数值即可. 解答: 解:函数 f(x)=
a

,则 f(2)=2 ﹣1=3.

2

a≥0 时,2 ﹣1=1,解得 a=1. 2 a<0 时,﹣a +2a=1,解得 a=1,舍去. 故答案为:3;1. 点评: 本题考查函数值的求法,函数的零点的求法,基本知识的考查.

13.已知实数 x,y>0 且 xy=2,则

的最小值是 1 .

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设 x+2y=t,由实数 x,y>0 且 xy=2,可得 =t﹣ =f(t) ,利用函数的单调性即可得出. =4,当且仅当 x=y= .则

解答: 解:设 x+2y=t, ∵实数 x,y>0 且 xy=2, ∴ 则 =4,当且仅当 x=2y=2. = = =t﹣ =f(t)≥4﹣

=1,



的最小值是 1.

故答案为:1. 点评: 本题考查了“换元法”、乘法公式、函数的单调性,考查了变形能力、推理能力与计 算能力,属于中档题. 14.抛物线 y =4x 的焦点为 F,过点(0,3)的直线与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的 垂直平分线交 x 轴于点 D,若|AF|+|BF|=6,则点 D 的横坐标为 4 .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 AB 的中点为 H,求出准线方程,设 A,B,H 在准线上的射影分别为 A',B', H',运用抛物线的定义可得 H 的横坐标为 2,设出直线 AB 的方程,联立抛物线方程,运用 韦达定理和判别式大于 0,求得 k 的范围,由中点坐标公式解得 k=﹣2,再求直线 AB 的中 垂线方程,令 y=0,即可得到所求值. 解答: 解:设 AB 的中点为 H, 抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) ,准线为 x=﹣1, 设 A,B,H 在准线上的射影分别为 A',B',H', 则|HH'|= (|AA'|+|BB'|) , 由抛物线的定义可得, |AF|=|AA'|,|BF|=|BB'|, |AF|+|BF|=6,即为|AA'|+|BB'|=6, |HH'|= ×6=3, 即有 H 的横坐标为 2, 设直线 AB:y=kx+3, 代入抛物线方程,可得 k x +(6k﹣4)x+9=0, 即有判别式(6k﹣4) ﹣36k >0,解得 k< 且 k≠0,
2 2 2 2 2

又 x1+x2=

=4,

解得 k=﹣2 或 (舍去) , 则直线 AB:y=﹣2x+3,

AB 的中点为(2,﹣1) , AB 的中垂线方程为 y+1= (x﹣2) , 令 y=0,解得 x=4, 则 D(4,0) . 故答案为:4.

点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查抛物线的准线方程的运用,同时考 查直线和抛物线方程联立, 运用判别式和韦达定理, 考查两直线垂直的条件和中点坐标公式 的运用,属于中档题. 15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 α 内,则正方 体在平面 α 内的影射构成的图形面积的取值范围是 .

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: 设矩形 BDD1B1 与 α 所成锐二面角为 θ,面积记为 S1,推出正方形 A1B1C1D1 与 α 所成锐二面角为 .面积记为 S2,

求出阴影部分的面积的表达式,利用两角和与差的三角函数求解最值即可. 解答: 解:设矩形 BDD1B1 与 α 所成锐二面角为 θ,面积记为 S1, 则正方形 A1B1C1D1 与 α 所成锐二面角为 面积记为 S2, 所求阴影部分的面积 S= 其中 sinβ= 故 S∈ 故答案为: ,cosβ= . . . =S1cosθ+S2sinθ= cosθ+sinθ= sin(θ+β) .

点评: 本题考查二面角的应用,空间想象能力以及转化思想的应用,难度比较大. 三、解答题 16.三角形 ABC 中,已知 sin A+sin B+sinAsinB=sin C,其中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 的取值范围.
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用余弦定理表示出 cosC,将得出关系式代 入求出 cosC 的值,确定出 C 的度数;

(Ⅱ)由(Ⅰ)及正弦定理化简可得:

=

,结合 A 的范围,可得

<sin

(A

)<1,即可得解.
2 2 2 2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)由 sin A+sin B+sinAsinB=sin C,利用正弦定理化简得:a +b ﹣c =﹣ab, ∴cosC= 即 C= . , = =﹣ ,

(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:B=

∴由正弦定理可得:

=

=

=

=



∵0



A





<sin(A

)<1,







,从而解得:

∈(1,

) .

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,解题时注意分析角的范围,属于 基本知识的考查. 17.如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,2AC=PC=2,AC⊥BC,D,E,F 分别 为 AC,AB,AP 的中点,M,N 分别为线段 PC,PB 上的动点,且有 MN∥BC, (Ⅰ)求证:MN⊥平面 PAC (Ⅱ)探究:是否存在这样的动点 M,使得二面角 E﹣MN﹣F 为直二面角?若存在,求 CM 的长度,若不存在,说明理由.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角;推理和证明. 分析: (Ⅰ)证明:BC⊥平面 PAC,利用 MN∥BC,即可证明 MN⊥平面 PAC; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) MN⊥平面 PAC, ∠DMF 是二面角 E﹣MN﹣F 的平面角, 由题意, ∠DMF=90°, 可得 M 是 PC 的中点,即可求 CM 的长度. 解答: (Ⅰ)证明:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∵AC⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, ∵MN∥BC, ∴MN⊥平面 PAC (Ⅱ)解:由(Ⅰ)MN⊥平面 PAC, ∴MN⊥MF,MN⊥MD, ∴∠DMF 是二面角 E﹣MN﹣F 的平面角, 由题意,∠DMF=90°,∴M 是 PC 的中点,

∴CM= PC=1. 点评: 本题考查线面垂直的判定,考查二面角的平面角,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆交于 A,

B 两点,当 l∥x 轴时,|AB|= (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)当|AP|=2|PB|,求直线 l 的方程.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求得 y=1 与椭圆的交点,代入椭圆方程,结合离心率公式和 a,b,c 的关系, 可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的方程为 x=0 时,|AP|=2|PB|显然不成立.可设直线 l:y=kx+1,代入椭圆方 程,消去 y,得到 x 的方程,运用韦达定理和向量共线的坐标表示,可得 k,即可得到所求 直线方程. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,y=1 时,x=± ,

代入椭圆方程可得



∵椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,

∴e =
2

2

=
2

= ,

∴a =4,b =3, 即有椭圆方程为 + =1;

(Ⅱ)当直线 l 的方程为 x=0 时,|AP|=2|PB|显然不成立. 可设直线 l:y=kx+1, 2 2 代入椭圆方程 3x +4y ﹣12=0,

可得(3+4k )x +8kx﹣8=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2=﹣ 又|AP|=2|PB|,即 即有﹣x1=2x2,② 由①②可得, = , ,x1x2=﹣ =2 , ,①

2

2

解得 k=



则直线 l:y=± x+1. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查离心率的运用和方程的运用,注意联立方程, 运用韦达定理,化简整理,属于中档题. 19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设 a1=2,有一组圆心在 x 轴正半轴上的圆 An(n=1, 2,…)与 x 轴的交点分别为 A0(1,0)和 An+1(an+1,0) ,过圆心 An 作垂直于 x 轴的直线 ln,在第一象限与圆 An 交于点 Bn(an,bn) (Ⅰ)试求数列{an}的通项公式 (Ⅱ)设曲边形 An+1BnBn+1(阴影所示)的面积为 Sn,若对任意 n∈N , 恒成立,试求实数 m 的取值范围.
*

+

+…+

≤m

考点: 数列的应用;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ) 由条件可得 an+1﹣1=2 (an﹣1) , 所以数列{an﹣1}是等比数列, 从而 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得各点坐标为 Bn (2 ,从而
n﹣1

; ,

+1, 2

n﹣1

) , Bn+1 (2 +1, 2) , 且 ﹣ ,计算可得

n

n

,从而 m≥ .

+

+…+

=

,所以实数

解答: 解: (Ⅰ)由条件可得,an+1﹣1=2(an﹣1) , ∴数列{an﹣1}是等比数列. 又∵a1﹣1=1, 所以 ; (Ⅱ)∵bn= ∴Bn(2
n﹣1 n




n﹣1

+1,2

) , , ﹣ ,

∴Bn+1(2 +1,2 ) ,且

n

= = 所以 所以 + +…+ = ,





=

= < , .

故可得实数 m≥

点评: 本题考查了递推式的应用,面积的求法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20.已知函数 f(x)=x+ ﹣4,g(x)=kx+3 (Ⅰ)当 a∈[3,4]时,函数 f(x)在区间[1,m]上的最大值为 f(m) ,试求实数 m 的取值 范围 (Ⅱ)当 a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2) ,对任意 x1,x2∈[2, 4](x1<x2)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)解不等式 f(m)≥f(1)即可; (Ⅱ)不等式等价于 F(x)=|f(x)|﹣g(x)在[2,4]上递增,显然 F(x)为分段函数, 结合单调性对每一段函数分析讨论即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵a∈[3,4],∴y=f(x)在(1, )上递减,在( ,+∞)上递增, 又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为 f(m) , ∴f(m)≥f(1) ,解得(m﹣1) (m﹣a)≥0, ∴m≥amax,即 m≥4; (Ⅱ)∵|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2) , ∴|f(x1)|﹣g(x1)<|f(x2)|﹣g(x2)恒成立, 令 F(x)=|f(x)|﹣g(x) ,则 F(x)在[2,4]上递增.

对于 F(x)=



(1)当

时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣ +1, 上递增,所以 k=﹣1 符合; 上递增,所以 k<﹣1 符合;

①当 k=﹣1 时,F(x)=﹣ +1 在 ②当 k<﹣1 时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣ +1 在

③当 k>﹣1 时,只需 所以 (2)当 x∈ ①当 k=1 时,F(x)= ,从而

,即 ; ,

=



时,F(x)=(1﹣k)x+ 在 在

上递减,所以 k=1 不符合; 上递减,所以 k>1 不符合; =1+ ,

②当 k>1 时,F(x)=(1﹣k)x+ ③当 k<1 时,只需

,即

所以 , 综上可知: . 点评: 本题利用导数解决与最值、不等式的相关问题,考查分析、计算能力以及分类讨论 的思想,属于难题.



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