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甘肃省张掖市高台一中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)


甘肃省张掖市高台一中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要 求的,请选出. ) 2 1.集合 A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x ﹣3x>0},则 A∩B=( ) A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. {x|3<x≤6} D. {x|

3≤x<6} 2.已知 i 是虚数单位,则 A. ﹣i B. i 等于( ) C. D.

3.曲线的参数方程为 A. 线段

(t 是参数) ,则曲线是( B. 双曲线的一支 C. 圆

) D. 射线

4.函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是(



A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)

C. (﹣ , )

D. (﹣∞,﹣ )

5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y=x|x| B. y=﹣x
2

) C. y=x+1 D. y=﹣

6.下表为某班 5 位同学身高 x(单位:cm)与体重 y(单位 kg)的数据, 身高 170 171 166 178 160 体重 75 80 70 85 65 若两个量间的回归直线方程为 =1.16x+a,则 a 的值为( A. ﹣122.2
x 3

) D. ﹣92.3

B. ﹣121.04

C. ﹣91 ) C. (1,2)

7.函数 f(x)=2 +x 的零点所在区间为( A. (0,1) B. (﹣1,0)

D. (﹣2,﹣l)

8.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可 以看出( )

第 1 页(共 18 页)

A. B. C. D.

性别与喜欢理科无关 女生中喜欢理科的比为 80% 男生比女生喜欢理科的可能性大些 男生不喜欢理科的比为 60%

9.设 f(x)= A. 0 B. 1

,则 f(f(2) )的值为( C. 2

) D. 3

10.已知三角形的三边分别为 a,b,c,内切圆的半径为 r,则三角形的面积为 s= (a+b+c)r;四 面体的四个面的面积分别为 s1,s2,s3,s4,内切球的半径为 R.类比三角形的面积可得四面体的体 积为( ) A. ?= (s1+s2+s3+s4)R C. ?= (s1+s2+s3+s4)R B. ?= (s1+s2+s3+s4)R D. ?=(s1+s2+s3+s4)R

11.函数 f(x)=ln(x﹣ )的图象是(



A.

B.

C.

D. 12.已知函数 f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示,则 不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是( )
第 2 页(共 18 页)

A. (﹣1,0)∪(0,1) 1) D. (﹣1,0)∪(1,3)

B. (﹣1,1)

C. (﹣3,﹣1)∪(0,

13.已知双曲线 C:

的离心率为

,则 C 的渐近线方程为(



A.

B.

C.

D. y=±x

14.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. (x≠0) B. (x≠0)



C.

(x≠0)

D.

(x≠0)

15.已知函数 f(x)=x ﹣3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是( ) A. ﹣3 B. 3 C. 6 D. 9

3

16.椭圆

上的点到直线 2x﹣y=7 距离最近的点的坐标为( B. ( ,﹣ ) C. (﹣ , )

) D. ( ,﹣ )

A. (﹣ , )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 17.如果直线 2x﹣y﹣1=0 和 y=kx+1 互相垂直,则实数 k 的值为 18.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值是 .



19.{an}为等比数列,若 a3 和 a7 是方程 x +7x+9=0 的两个根,则 a5= 20.y=x ﹣2x +3 的单调递减区间是
3 2

2





三、解答题(21-27 题,要写出必要的解题过程,共 70 分)
第 3 页(共 18 页)

21.围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三 面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,已知旧墙的维修费用为 45 元 /m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m) ,修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位:元) . (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 22.在数列{an}中,a1=1, ;

2

(1)设

.证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

23.若双曲线与椭圆

有相同的焦点,与双曲线

有相同渐近线,求双曲线方程.

24.已知函数 f(x)=x ﹣3x, (1)求函数 f(x)在 上的最大值和最小值.

3

(2)求曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程. 25. 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 一个顶点为 B (0, ﹣1) , 且其右焦点到直线 的距离为 3. (1)求椭圆方程; (2)设直线 l 过定点 的方程. 26.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1) )处的切线方程为 y=3x+1. (1)若函数 y=f(x)在 x=﹣2 时有极值,求 f(x)表达式; (2)若函数 y=f(x)在区间[﹣2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围.
3 2

,与椭圆交于两个不同的点 M、N,且满足|BM|=|BN|.求直线 l

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甘肃省张掖市高台一中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 16 小题,每小题 4 分,共 64 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要 求的,请选出. ) 2 1.集合 A={x∈N|x≤6},B={x∈R|x ﹣3x>0},则 A∩B=( ) A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. {x|3<x≤6} D. {x|3≤x<6} 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据所给的两个集合,整理两个集合,写出两个集合的最简形式,再求出两个集合的交集. 解答: 解:∵集合 A={x∈N|x≤6}={0,1,2,3,4,5,6}, 2 B={x∈R|x ﹣3x>0}={x∈R|x<0 或 x>3} ∴A∩B={4,5,6}. 故选 B. 点评:本题考查集合的表示方法,两个集合的交集的定义和求法.化简 A、B 两个集合,是解题的 关键.

2.已知 i 是虚数单位,则 A. ﹣i B. i

等于(

) C. D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:将 解答: 解:∵ ∴ =﹣i. 的分子与分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可. = = =﹣i.

故选 A. 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,分母实数化是关键,属于基础题.

3.曲线的参数方程为 A. 线段

(t 是参数) ,则曲线是( B. 双曲线的一支 C. 圆

) D. 射线

考点:直线的参数方程. 专题:计算题;数形结合.

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分析:判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程, 再依据变通方程的形式判断此曲线的类型, 由此参数方程的形式,可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程 解答: 解:由题意 由(2)得 t =y+1 代入(1)得 x=3(y+1)+2,即 x﹣3y﹣5=0,其对应的图形是一条直线 又由曲线的参数方程知 y≥﹣1,x≥2, 所以此曲线是一条射线 故选 D 点评:本题考查直线的参数方程,解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元, 本题易因为忘记判断出 x,y 的取值范围而误判此曲线为直线,好在选项中没有这样的干扰项,使得 本题的出错率大大降低.
2

4.函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是(



A. (﹣ ,+∞) B. (﹣ ,1)

C. (﹣ , )

D. (﹣∞,﹣ )

考点:对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题:计算题. 分析:依题意可知要使函数有意义需要 1﹣x>0 且 3x+1>0,进而可求得 x 的范围. 解答: 解:要使函数有意义需 ,

解得﹣ <x<1. 故选 B. 点评:本题主要考查了对数函数的定义域.属基础题. 5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y=x|x| B. y=﹣x
2

) C. y=x+1 D. y=﹣

考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据奇偶性及单调性的定义逐项判断即可. 解答: 解:y=x|x|= ,作出其图象,如下图所示:

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由图象知 y=x|x|在 R 上为增函数, 又﹣x|﹣x|=﹣x|x|, 所以 y=x|x|为奇函数. 故选 A. 点评:本题考查函数奇偶性、单调性的判断,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法. 6.下表为某班 5 位同学身高 x(单位:cm)与体重 y(单位 kg)的数据, 身高 170 171 166 178 160 体重 75 80 70 85 65 若两个量间的回归直线方程为 =1.16x+a,则 a 的值为( A. ﹣122.2 B. ﹣121.04 C. ﹣91 ) D. ﹣92.3

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:利用回归直线经过样本中心,通过方程求解即可. 解答: 解:由题意可得: = = =75. =169.

因为回归直线经过样本中心. 所以:75=1.16×169+a, 解得 a=﹣121.04. 故选:B. 点评:本题考查回归直线方程的应用,注意回归直线经过样本中心是解题的关键,考查计算能力. 7.函数 f(x)=2 +x 的零点所在区间为( A. (0,1) B. (﹣1,0)
x 3

) C. (1,2)

D. (﹣2,﹣l)

考点:二分法求方程的近似解. 专题:计算题;函数的性质及应用. x 3 分析:由函数的解析式求得 f(﹣1)?f(0)<0,根据函数零点的判定定理,可得 f(x)=2 +x 的 零点所在区间.

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解答: 解:∵连续函数 f(x)=2 +x ,f(﹣1)= ﹣1=﹣ ,f(0)=1+0=1, ∴f(﹣1)?f(0)=﹣ ×1<0, 根据函数零点的判定定理,f(x)=2 +x 的零点所在区间为(﹣1,0) , 故选:B. 点评:本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,连续函数只有在某区间的端点处函数值异号, 才能推出此函数在此区间内存在零点,属于基础题. 8.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图可 以看出( )
x 3

x

3

A. B. C. D.

性别与喜欢理科无关 女生中喜欢理科的比为 80% 男生比女生喜欢理科的可能性大些 男生不喜欢理科的比为 60%

考点:频率分布直方图. 专题:常规题型. 分析:本题为对等高条形图,题目较简单,注意阴影部分位于上半部分即可. 解答: 解:由图可知,女生喜欢理科的占 20%,男生喜欢理科的占 60%,显然性别与喜欢理科有 关, 故选为 C. 点评:本题考查频率分布直方图的相关知识,属于简单题.

9.设 f(x)= A. 0 B. 1

,则 f(f(2) )的值为( C. 2

) D. 3

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:计算题. 分析:考查对分段函数的理解程度,f(2)=log3(2 ﹣1)=1,所以 f(f(2) )=f(1)=2e =2. 2 1﹣1 解答:解:f(f(2) )=f(log3(2 ﹣1) )=f(1)=2e =2,故选 C. 点评:此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型, 主要考查学生对“分段函数在定义域 的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解.
2 1﹣1

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10.已知三角形的三边分别为 a,b,c,内切圆的半径为 r,则三角形的面积为 s= (a+b+c)r;四 面体的四个面的面积分别为 s1,s2,s3,s4,内切球的半径为 R.类比三角形的面积可得四面体的体 积为( ) A. ?= (s1+s2+s3+s4)R C. ?= (s1+s2+s3+s4)R B. ?= (s1+s2+s3+s4)R D. ?=(s1+s2+s3+s4)R

考点:类比推理. 专题:规律型. 分析:根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比,而面积与体积进行类比,进行猜想. 解答: 解:根据几何体和平面图形的类比关系, 三角形的边应与四面体中的各个面进行类比,而面积与体积进行类比: ∴△ABC 的面积为 s= (a+b+c)r, 对应于四面体的体积为 V= (s1+s2+s3+s4)R. 故选 B. 点评:本题考查了立体几何和平面几何的类比推理,一般平面图形的边、面积分别于几何体中的面 和体积进行类比,从而得到结论.

11.函数 f(x)=ln(x﹣ )的图象是(



A.

B.

C.

D. 考点:函数的图象. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由 x﹣ >0,可求得函数 f(x)=ln(x﹣ )的定义域,可排除 A,再从奇偶性上排除 D,再 利用函数在(1,+∞)的递增性质可排除 C,从而可得答案. 解答: 解:∵f(x)=ln(x﹣ ) ,
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∴x﹣ >0,即

=

>0,

∴x(x+1) (x﹣1)>0, 解得﹣1<x<0 或 x>1, ∴函数 f(x)=ln(x﹣ )的定义域为{x|﹣1<x<0 或 x>1},故可排除 A,D;

又 f′(x)=

>0,

∴f(x)在(﹣1,0) , (1+∞)上单调递增,可排除 C, 故选 B. 点评:本题考查函数的图象,着重考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 12.已知函数 f(x)是定义在(﹣3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示,则 不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是( )

A. (﹣1,0)∪(0,1) 1) D. (﹣1,0)∪(1,3)

B. (﹣1,1)

C. (﹣3,﹣1)∪(0,

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(﹣x)?x>0,得 f(x)?x<0,由图象知,当 x∈(0,3)时不等式的解,根据奇函数性 质可得 x∈(﹣3,0]时不等式的解. 解答: 解:f(﹣x)?x>0 即﹣f(x)?x>0,所以 f(x)?x<0, 由图象知,当 x∈(0,3)时,可得 0<x<1, 由奇函数性质得,当 x∈(﹣3,0]时,可得﹣1<x<0, 综上,不等式 f(﹣x)?x>0 的解集是(﹣1,0)∪(0,1) , 故选 A. 点评:本题考查函数奇偶性的应用,考查数形结合思想,属基础题.

13.已知双曲线 C:

的离心率为

,则 C 的渐近线方程为(



A.

B.

C.

D. y=±x

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析:由题意可得

= ,由此求得

= ,从而求得双曲线的渐近线方程.

解答: 解:已知双曲线 C:

的离心率为

,故有

= ,



= ,解得

= .

故 C 的渐近线方程为



故选 C. 点评:本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题. 14.已知△ ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. (x≠0) B. (x≠0) )

C.

(x≠0)

D.

(x≠0)

考点:椭圆的定义. 专题:计算题. 分析:根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 A 的轨迹是椭 圆,椭圆的焦点在 y 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 解答: 解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) , ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 ∴b =20, ∴椭圆的方程是 故选 B. 点评:本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题 是一个易错题,容易忽略掉不合题意的点. 15.已知函数 f(x)=x ﹣3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程为 y=ax+16, 则实数 a 的值是( ) A. ﹣3 B. 3 C. 6 D. 9
3 2

第 11 页(共 18 页)

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用. 分析:设出切点,求导函数可得切线方程,将 A 坐标代入,求得切线方程,从而可求实数 a 的值. 解答: 解:设切点为 P(x0,x0 ﹣3x0) 3 2 ∵f(x)=x ﹣3x,∴f′(x)=3x ﹣3, 3 3 3 2 ∴f(x)=x ﹣3x 在点 P(x0,x0 ﹣3x0)处的切线方程为 y﹣x0 +3x0=(3x0 ﹣3) (x﹣x0) , 3 2 把点 A(0,16)代入,得 16﹣x0 +3x0=(3x0 ﹣3) (0﹣x0) , 解得 x0=﹣2. ∴过点 A(0,16)的切线方程为 y=9x+16, ∴a=9. 故选 D. 点评:本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查导数的几何意义,正确确定切线方程是关键.
3

16.椭圆

上的点到直线 2x﹣y=7 距离最近的点的坐标为( B. ( ,﹣ ) C. (﹣ , )

) D. ( ,﹣ )

A. (﹣ , )

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设与直线 2x﹣y=7 平行且与椭圆 相切的直线 l 的方程为:2x﹣y=t,与椭圆的方程

联立化为关于 x 的一元二次方程,令△ =0,进而解出点的坐标. 解答: 解:设与直线 2x﹣y=7 平行且与椭圆 相切的直线 l 的方程为:2x﹣y=t,

联立
2

,化为 9x ﹣8tx+2t ﹣2=0. (*)
2 2

2

2

∴△=64t ﹣36(2t ﹣2)=0,化为 t =9,解得 t=±3. 取 t=3,代入(*)可得:9x ﹣24x+16=0,解得 ∴椭圆
2

,∴y=

=﹣ . .

上的点到直线 2x﹣y=7 距离最近的点的坐标为

故选 B. 点评:本题考查了直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到△ =0、相互平行的直线之间的斜率公式 等基础知识与基本技能方法,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 17.如果直线 2x﹣y﹣1=0 和 y=kx+1 互相垂直,则实数 k 的值为 ﹣ .

考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆.
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分析:利用直线与直线垂直的性质求解. 解答: 解:∵直线 2x﹣y﹣1=0 和 y=kx+1 互相垂直, ∴2k=﹣1, 解得 k=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评:本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线与直线垂直的性质的合理 运用.

18.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求 + 的最小值是 4 .

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把 + 转化为( + ) (x+y)展开后利用基本不等式求得答案. 解答: 解:∵x+y=1, ∴ + =( + ) (x+y)=1+ + +1=2+ + ≤2+2=4,当且仅当 x=y= 时等号成立, 故答案为:4. 点评:本题主要考查了基本不等式的应用.解题的关键是凑出 + 的形式.
2

19.{an}为等比数列,若 a3 和 a7 是方程 x +7x+9=0 的两个根,则 a5= 考点