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2016高考数学(新课标人教版)一轮总复习课件:第十一章复数、算法、推理与证明 5


第十一章 复数、算法、推理与 证明 第5节 数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. [要点梳理] 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤 进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设当n=k(k∈N* , k≥n0) 时命题成立,推 n=k+1 时命题也成立. 出当__________ 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对n 取 第 一 个 值 后 面的所有正整数都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 质疑探究:数学归纳法两个步骤有什么关系? 提示:数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第 一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不 可,否则就会导致错误. (1) 第一步中, 验算 n = n0 中的 n0 不一定为 1 ,根据题目要 求,有时可为2或3等. (2)第二步中,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要 用到归纳假设,掌握“一凑假设,二凑结论”的技巧. [ 基础自测] n 2 1 - a 1.用数学归纳法证明 1+a+a2+?+an+1= (a≠1, 1-a + n∈N+),在验证 n=1 成立时,左边需计算的项是( A.1 C.1+a+a2 B.1+a D.1+a+a2+a3 ) [解析] 观察等式左边的特征易知选C. [答案] C 1 1 1 2.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1-2+3-4+? ? 1 1 1? 1 ? -n=2?n+2+n+4+?+2n? ?时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶 ? ? 数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( A.n=k+1 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 [ 解析] 为 k+2. [ 答案] B ) B.n=k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 因为假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数),故下一个偶数 1 1 1 1 3.已知 f(n)=n+ + +?+n2,则( n+1 n+2 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=2+3 ) 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)=2+3+4 1 1 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)=2+3 2 1 1 1 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)=2+3+4 2 [解析] 从n到n2共有n2-n+1个数, 所以f(n)中共有n2-n+1项. [答案] D 4.凸k边形内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和为f(k+1) =f(k)+________. [解析] 易得f(k+1)=f(k)+π. [答案] π 1 1 1 5.用数学归纳法证明:“1+2+3+?+ n <n(n>1)”, 2 -1 由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项的 项数是________. 1 1 [ 解析] n=k 时,左边=1+2+?+ k , 2 -1 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 左边=1+2+3+?+ k +?+ k+1 . 2 -1 2 -1 所以左边应增加的项的项数为 2k. [ 答案] 2k [典例透析] 考向一 例1 用数学归纳法证明等式 1 1 1 1 1 已知 n∈N*,证明:1-2+3-4+?+ - = 2n-1 2n 1 1 1 + +?+2n. n+1 n+2 思路

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