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1.2.1充分与必要条件


复习及引入:
1.命题:可以判断真假的陈述句. 可写成:“若P,则q”的形式.

2.四种命题之间的 关系
原 命 题 与 逆 否 命 题 同 真 假

原命题
若p则q

互逆

逆命题
若q则p

互 否

互 否
互逆

否命题
若﹁p则﹁q

逆否命题
若﹁q则﹁p

两个互逆命题,两个互否命题的真假性没有关系.

原 命 题 的 逆 命 题 与 否 命 题 同 真 假

3.训练(2010年天津高考)命题“若f(x)是奇函数, 则f(-x)是奇函数”的否命题是( ) A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数 C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数 D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数 【解析】 因为一个命题的否命题是对其条件 与结论都进行否定,且对“f(x)是奇函数”的 否定为“f(x)不是奇函数”,“f(-x)是奇函 数”的否定为“f(-x)不是奇函数”.故选B. 【答案】 B

引例1.把下列命题改写成“若p,则q”的形式 并判 断下列命题的真假及其逆命题的真假. 有两角相等的三角形是等腰三角形. 若一个三角形有两个角相等, 则这个三角形是等腰三角形。
一般地,若“p,则q”为真命题,是指由p通过推 理可以得出q.这时,我们就可说,由p可推出q,记作:

p ? q(或q ? p)

引例2:判断下列命题是真命题还是假命题? (1)若x>a2+b2,则x>2ab;

1 (2)若x<1,则 ? 1 . x
解:(1)因为若x>a2+b2 ,而a2+b2≥2ab, 所以可以得到 x>2ab. 真命题

x ? a ? b ? x ? 2ab
2 2

1.如果命题“若p则q”为真,则记作:

p ? q(或q ? p)

引例2:判断下列命题是真命题还是假命题?
1 (2)若x<1,则 x ? 1 .

假命题
q

2.如果命题“若p则q”为假,则记作:p

练习1.用符号 与 填空. (1).x2=y2 x=y; (2).内错角相等 两直线平行; (3).整数a能被6整除 a的个位数字为偶数; (4).ac=bc a=b.
如果命题“若p则q”为真,则记作:p ? q(或q ?

p)

则说p是q的充分条件,q是p的必要条件.

p ? q(或q ? p) 1.如果命题“若p则q”为真,则记作:

则说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.如果命题“若p则q”为假,则记作:p q

思考:此时p是q的什么条件,q是p的什么条件?
则说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.

范例精讲:
例1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中 的p是q的充分条件? (1)若 x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 . 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.

练习1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的充分条件?
(1)若两个三角形全等,则这两个三角形相似;

(2)若x>5,则x>10.
解:命题(1)是真命题,命题(2)是假命题 所以命题(1)中的p是q的充分条件。

例2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的q是p的必要条件? (1)若x=y,则x2=y2; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积 相等; (3)若a>b,则ac>bc.
解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

判别充分与必要条件问题:
1 判别步骤:

① 认清条件和结论; ② 考察p
2 判别技巧:

q真假。

① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

练习2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的p是q的必要条件? (1)若a+5是无理数,则a是无理数; (2)若(x-a)(x-b)=0,则x=a.
分析:注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件, 所以应该分析命题的逆命题的真假性。

解:命题(1)(2)的逆命题都是真命题, 所以命题(1)(2)中的p是q的必要条件。

例3. 判断下列命题中前者是后者的什么条件? (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d。 (2)ax2+ax+1>0的解集为R,则0<a<4。 (3)若a2>b2,则a>b。 (1) p (2) p q,p q,p q,p q q
前者是后者的充分不必要条件。

前者是后者的必要不充分条件。

(3) p

q

前者是后者的既不充分也不必要条件。

练习3.判断下列问题中,p是q成立的什么条件? p q (1) x2>1 x<-1 (2) |x-2|<4 -x2+4x+5>0 (3) xy≠0 x≠0或y≠0

(1)、(2)
( 3) p (原问题 q,q

p

q ,q
p q p)

p

从集合角度理解: p q,相当于P q ,



P

q

练习3.判断下列问题中,p是q成立的什么条件? p q (1) x2>1 x<-1 (2) |x-2|<4 -x2+4x+5>0

课堂小结:
定 义:

如果已知p q,则说p是q的充分条件, q是p的必要条件。

判别步骤: ① 认清条件和结论。 ② 考察p 判别技巧: ① 可先简化命题; ② 否定一个命题只要举出一个反例即可; ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 q的真假。

能力测试:
1、用符号“充分”或“必要”填空: (1)“0<x<5”是“x–2<3”的充分 条件。

(2)“四边形的对角线相等”是“这个平行四 必要 边形 为正方形”的 条件。 (3)“个位数是5的整数”是“这个数能被5 整除” 充分 的 条件。


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