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高一数学人教B版必修1课后强化作业:2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》


第二章

2.4

2.4.2

一、选择题 1.三次方程 x3+x2-2x-1=0 的根不可能所在的区间为( A.(-2,-1) C.(0,1) [答案] C [解析] ∵f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0, f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0, ∴三次方程 x

3+x2-2x-1=0 的三个根分别在区间(-2,-1)、(-1,0)、(1,2)内,故选 C. 2.用二分法求函数 f(x)=x3-2 的零点时,初始区间可选为( A.(0,1) C.(2,3) [答案] B [解析] ∵f(1)=-1,f(2)=6,∴f(1)· f(2)<0,故选 B. 3.(2013~2014 学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程 x3+3x-7=0 在(1,2)内近 似解的过程中,设函数 f(x)=x3+3x-7,算得 f(1)<0,f(1.25)<0,f(1.5)>0,f(1.75)>0,则该 方程的根落在区间( A.(1,1.25) C.(1.5,1.75) [答案] B [解析] 本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理.由 f(1.25)<0, ) B.(1.25,1.5) D.(1.75,2) B.(1,2) D.(3,4) ) B.(-1,0) D.(1,2) )

f(1.5)>0 得 f(1.25)· f(1.5)<0,根据零点存在性定理,函数 f(x)的一个零点 x0∈(1.25,1.5),即方 程 x3+3x-7=0 的根落在区间(1.25,1.5),故选 B. 4.(2013~2014 学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数 f(x)=x3 +x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.438)=0.165 f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.406 5)=-0.052 )

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为(

A.1.2 C.1.4 [答案] C [解析] ∵f(1.4065)<0, f(1.438)>0, ∴f(1.4065)· f(1.438)<0, 又 1.4∈(1.4065,1.438),故选 C.

B.1.3 D.1.5

5.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表: x y 1 123.56 2 21.45 3 -7.82 4 11.45 ) B.3 个 D.5 个 5 -53.76 6 -128.88

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( A.2 个 C.4 个 [答案] B

[解析] 由表可知,f(2)· f(3)<0, f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0,由函数零点存在性定理得,函数 y=f(x)在区间(2,3)、(3,4)、(4,5)各应至少存在一个零点,所以函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零 点至少有 3 个.故选 B. 6.下列命题中正确的是( )

A.方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异实根,且一个大于 5,一个小于 2 B.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点个数是 1 C.零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性,也能用来判断函数零点的个数 D.利用二分法所得方程的近似解是惟一的 [答案] A [解析] 设函数 f(x)=(x-2)(x-5)-1,有 f(5)=-1, f(2)=-1.又因为函数 f(x)的图象是 开口向上的抛物线,所以抛物线与 x 轴在(5,+∞)内有一个交点,在(-∞,2)内也有一个 交点,从而方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异实根,且一个大于 5,一个小于 2,故 A 正确; 由函数的定义知,函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点个数为 1 或 0,故 B 错误; 零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性,但不能用来判断函数零点的个数,故 C 错误; 由于精确度的不同,所得方程的近似解是不一样的,但精确度确定后,所得方程的近似 解是惟一的,故 D 错误. 二、填空题 7. 已知二次函数 f(x)=x2-x-6 在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线, 且 f(1)=-6<0, f(4)=6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点.用二分法求解时,取(1,4)的中点 a, 则 f(a)=________.

[答案] -2.25 [解析] 区间[1,4]的中点为 2.5,f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25. 8.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下部分对应值表:

x f(x)

1 136.1

2 15.6

3 -3.9

4 10.9

5 -52.5

6 -232.1

则 f(x)的零点至少有________个. [答案] 3 [解析] 因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0, ∴f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0, 故 f(x)的零点至少有 3 个. 三、解答题 9.求方程 x5-x3-3x2+3=0 的无理根.(精确到 0.01). [分析] 若令 f(x)=x5-x3-3x2+3,则 f(x)=(x2-1)(x3-3),则方程的无理根就是 x3-3 =0 的根. [解析] 令 f(x)=x5-x3-3x2+3,则 f(x)=(x2-1)· (x3-3).显然方程 f(x)=0 有两个有理 根,即 x1=1,x2=-1,则无理根就是方程 x3-3=0 的根.令 g(x)=x3-3,以下用二分法 求函数 g(x)的零点. 由于 g(1)=-2<0,g(2)=5>0,故可以取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下: 端点或中点 横坐标 a0=1,b0=2 x0=1.5 x1=1.25 x2=1.375 x3=1.437 5 x4=1.468 75 x5=1.453 125 x6=1.445 312 5 x7=1.441 406 25 计算端点或中点 的函数值 g(1)=-2,g(2)=5 g(x0)=0.375 g(x1)≈-1.046 9 g(x2)≈-0.400 4 g(x3)≈-0.029 5 g(x4)≈0.168 4 g(x5)≈0.068 4 g(x6)≈0.019 2 g(x7)≈-0.005 3 定区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.437 5,1.5] [1.437 5,1.468 75] [1.437 5,1.453 125] [1.437 5,1.445 312 5] [1.441 406 25,1.445 312 5]

由于区间 [1.441 406 25,1.445 312 5] 的长度 1.445 312 5 - 1.441 406 25 = 0.003 906 25<0.01,因此可取 1.44 为所求函数的一个零点的近似值,因此原方程的无理根是 1.44.

一、选择题 1. 在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时, 经计算, f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0, 则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为( A.0.68 C.0.7 [答案] C [解析] 已知 f(0.64)<0,f(0.72)>0,则函数 f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又 0.68 =(0.64+0.72)/2,且 f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72]上,且该区间的左、右端点精确 到 0.1 所取的近似值都是 0.7,因此 0.7 就是所求函数的一个正实数零点的近似值. 2.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时,验证 f(2)· f(4)<0,取区 2+4 间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0 所在的区间是( 2 A.(2,4) C.(3,4) [答案] B [解析] ∵f(2)· f(4)<0, f(2)· f(3)<0, ∴f(3)· f(4)>0,∴x0∈(2,3). 3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 m -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 n 4 6 ) B.(2,3) D.无法确定 ) B.0.72 D.0.6 )

不求 a、b、c 的值,可以判断方程 ax2+bx+c=0 的两根所在的区间是( A.(-3,-1)和(2,4) C.(-1,1)和(1,2) [答案] A [解析] ∵f(-3)· f(-1)<0, f(2)· f(4)<0, 故选 A. B.(-3,-1)和(-1,1) D.(-∞,-3)和(4,+∞)

4.(2013~2014 学年度河南开封中学高一月考)用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零 点时,第一次计算得 f(0)<0 , f(0.5)>0,可得其中一个零点 x0 ∈________ ,第二次应计算 ________,则横线上应填的内容分别为( A.(0.5,1), f(0.75) C.(0,0.5), f(0.25) [答案] C [解析] ∵f(0)<0,f(0.5)>0, ∴f(0)· f(0.5)<0,又函数 f(x)的图象是不间断的, ) B.(0,0.5), f(0.125) D.(0,1), f(0.25)

0+0.5 ∴f(x)在(0,0.5)内必有零点,利用二分法,则第二次应计算 f( )=f(0.25). 2 由 f(0.25)=-0.234 375<0, 可以判断 x0∈(0.25,0.5). 二、填空题 5.给出以下结论,其中正确结论的序号是________. ①函数图象通过零点时,函数值一定变号; ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; ③函数 f(x)在区间[a,b]上连续,若满足 f(a)· f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上一定 有实根; ④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效. [答案] ②③ [解析] 零点有变号零点与不变号零点,故①不对;“二分法”针对的是连续不断的函 数的变号零点,故④不对.据零点的性质知②③都正确.
?x2+bx+c ?x≤0? ? 6.设函数 f(x)=? ,若 f(-4)=2,f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) ? ?x>0? ?2

=x 的解的个数是________. [答案] 3
? ? ?16-4b+c=2 ?b=4 [解析] 由已知? 得? , ?4-2b+c=-2 ? ? ?c=2 ?x2+4x+2 ? ∴f(x)=? ?2 ?

?x≤0? ?x>0?

,作图象如图所示.

由图象可知 f(x)=x 的解的个数为 3. 三、解答题 7.求方程 x3-x-1=0 在[1,1.5]的一个实根(精确到 0.1). [解析] 设 f(x)=x3-x-1, ∵f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,

∴方程在[1,1.5]内有实根,用二分法逐次计算,列表如下: 第1次 左端点 右端点 1 1.5 第2次 1.25 1.5 第3次 1.25 1.375 第4次 1.312 5 1.375 第5次 1.312 5 1.343 75

∵1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3,∴方程在区间[1,1.5]的零点精确到 0.1 的近似值是 1.3. 8.(2013~2014 学年度湖北荆州中学高一期末测试)已知函数 f(x)=ax3-2ax+3a-4 在 区间(-1,1)上有一个零点. (1)求实数 a 的取值范围; 32 (2)若 a= ,用二分法求方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根. 17 [解析] (1)若 a=0,则 f(x)=-4,与题意不符,∴a≠0. 由题意得 f(-1)· f(1)=8(a-1)(a-2)<0,
?a-1<0 ?a-1>0 ? ? 即? 或? , ? ? ?a-2>0 ?a-2<0

∴1<a<2,故实数 a 的取值范围为 1<a<2. 32 32 64 28 (2)若 a= ,则 f(x)= x3- x+ , 17 17 17 17 60 28 4 ∴f(-1)= >0, f(0)= >0, f(1)=- <0, 17 17 17 1 ∴函数零点在(0,1),又 f( )=0, 2 1 ∴方程 f(x)=0 在区间(-1,1)上的根为 . 2 9.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明 a>0,并利用二分 法证明方程 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根. [解析] ∵f(1)>0,∴3a+2b+c>0, 即 3(a+b+c)-b-2c>0, ∵a+b+c=0,∴-b-2c>0, 则-b-c>c,即 a>c. ∵f(0)>0,∴c>0,则 a>0. 1 在[0,1]内选取二等分点 , 2 1 3 3 1 则 f( )= a+b+c= a+(-a)=- a<0. 2 4 4 4 ∵f(0)>0,f(1)>0, 1 1 ∴f(x)在区间(0, )和( ,1)上至少各有一个零点, 2 2

又 f(x)最多有两个零点,从而 f(x)=0 在[0,1]内有两个实根.


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