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江苏省2012届高考数学二轮复习专题训练:专题五 空间立体几何


专题五 空间立体几何 第14讲 空间几何体的表面积与体积

1. 与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比为________. 2. 在△ABC 中,AB=3,BC=4,∠ABC=90° ,若将△ABC 绕直线 AB 旋转一周,则 所形成的旋转体的体积是________. 3. 底面边长为 2 m,高为 1 m 的正三棱锥的全面积为________

m2. 4. 用半径为 10 2 cm,面积为 100 2π cm2 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔 接部分忽略不计), 则该容器盛满水时的体积是________.

(第 5 题) 5. 如图,正三棱锥 S—ABC 中,∠BSC=40° ,SB=2,一质点自点 B 出发,沿着三棱 锥的侧面运动一周回到 B 点,则质点 B 运动所走的最短路程为________ 6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们面积分别是 6 cm2、4 cm2、3 cm2,那么它的 外接球体积是________cm3.

(第 7 题) 7. 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长均等于 1,且∠A1AB=∠A1AC=60° ,则该 三棱柱的体积是________. 8. 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径为 40 mm,满盘时直径为 120 mm.已知 卫生纸的厚度为 0.1 mm, 则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π 取 3.14, 精确到 1 m).

9. 在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中, E、 F 分别为 BC、 CD 的中点, M、 N 分别为 AB、 CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,构成一个三棱锥. (1) 判断 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2) 求多面体 E—AFNM 的体积.

(第 9 题)

10.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. 求圆柱的 侧面积,并求圆柱侧面积最大时 x 的值.

第15讲 点、直线、平面之间的位置关系

1. 直线与平面的位置关系有________、 ________和________, 其中________和________ 统称为直线在平面外;平面与平面的位置关系有________________. 2. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的 直线共有________条. 3. l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题中正确的有________.(填上所有正确 命题的序号) ① l1⊥l2,l2⊥l3 1∥l3; ② l1⊥l2,l2∥l3 1⊥l3; ③ l1∥l2∥l3 1,l2,l3 共面; ④ l1,l2,l3 共点 1,l2,l3 共面. 4. 已知 m、n、l 是三条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中,正确命题 的序号是________.(填上所有正确命题的序号) ①若 l 垂直于 α 内两条直线,则 l⊥α; ②若 l 平行于 α,则 α 内有无数条直线与 l 平行; ③若 m∥β, , ,则 m∥n; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β.

(第 5 题) 5. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 BB1 的中点,AC、BD 交于点 O,则 D1O 与 平面 AMC 所成的角为________.

6. 已知点 P、A、B、C 是球 O 表面上的四个点,且 PA、PB、PC 两两成 60° 角,PA= 2 PB=PC=1 cm,则球的表面积为________cm . 7. 已知平面 α、β、γ,直线 l、m 满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么① m⊥β; ② l⊥α;③ β⊥γ;④ α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的 序号都填上). 8. 设 α、β 为两个不重合的平面,m、n 为两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m⊥n,m⊥α, ,则 n∥α;

②若 α⊥β,α∩β=m, ,n⊥m,则 n⊥β; ③若 m⊥n,m∥α,n∥β,则 α⊥β; ④若 , ,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直. 其中,所有真命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号)

9.正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB=A1A,D 为 C1C 的中点,O 为 A1B 与 AB1 的 交点. (1) 求证:AB1⊥平面 A1BD; (2) 若点 E 为 AO 的中点,求证:EC∥平面 A1BD.

(第 9 题)

10.如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中. (1) 若 BB1=BC,B1C⊥A1B,证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; A1E (2) 设 D 是 BC 的中点,E 是 A1C1 上的一点,且 A1B∥平面 B1DE,求 的值. EC1

(第 10 题)

滚动练习(五)

1. 命题“ ∈R,sinx>0”的否定是________________. 2. 函数 y=loga(x-3)(a>0,a≠1)在(a,+∞)上单调增,则 a 的取值范围是________. 3. tan22.5° =________. 1-tan222.5°

4. 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图所成扇形的圆心角大 小为________. y≤x+1, ? ?y≥2x-1, 5. 设 x、y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0.

若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为

35,则 a+b 的最小值为________. 6. 下列说法中正确的是________________.(填上所有正确命题的序号) ①垂直于同一条直线的两条直线平行; ②平行于同一个平面的两条直线平行; ③若一条直线垂直于平面内的无数条直线,则直线垂直于该平面; ④垂直于同一平面的两条直线平行. 7. 设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,下列四个命题中,正确的 是________. (填上所有正确命题的序号)
?α∥β, ? ①? ? ?β∥γ ?m⊥α, ? ∥γ;②? ? ?m∥β ?m∥n, ? ⊥β;③? ? ? ?α∥β, ? ∥α;④? ? ?

∥β;

8.如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值 范围是________. 9.f(x)是偶函数,在(-∞,0]上是减函数,若 f(-1)<f(lgx),则实数 x 的取值范围是 ________. 1 10.若平面向量 a、b 满足|a|=1,|b|≤1,且以 a、b 为邻边的平行四边形的面积是 ,则 2 向量 a、b 的夹角 θ 的取值范围是________. 11.已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=4,E 为 CD 的中点,沿 AE 将 AED 折起,使 DB =2 3,O、H 分别为 AE、AB 的中点.

(第 11 题)

(1) 求证:直线 OH∥面 BDE; (2) 求证:面 ADE⊥面 ABCE.

12.如图, 等边△ABC 与直角梯形 ABDE 所在平面垂直, BD∥AE, BD=2AE, AE⊥AB, M 为 AB 的中点.

(第 12 题) (1) 证明:CM⊥DE; (2) 在边 AC 上找一点 N,使 CD∥平面 BEN.

13. 设点 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q 满足关于直线 x+ → → my+4=0 对称,又满足OP· OQ=0. (1) 求实数 m 的值; (2) 求直线 PQ 的方程.

Sn? 1 11 14.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点? ?n, n ?在直线 y=2x+ 2 上.数列{bn}满足:bn+2 -2bn+1+bn=0(n∈N*),且 b3=11,前 9 项和为 153. (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设 cn= 3 k , 数列{cn}的前 n 项和为 Tn, 求使不等式 Tn< 对一切(n∈N*) 57 ?2an-11??2bn-1?

都成立的最小正整数 k 的值;
? ?an,n为奇数, (3) 设 n∈N*,f(n)=? 问是否存在 m∈N*,使得 f(m+15)=5f(m)成立? ?bn,n为偶数, ?

若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

专题五 空间立体几何 第 14 讲 空间几何体的表面积与体积 1. π∶6 解析:正方体的棱长与球的直径相等. 2. 16π 解析:形成的几何体是母线长为 5,高为 3,底面半径为 4 的圆锥.

3. 3 3 解析:如图,作 PN⊥底面 ABC,N 为垂足,连结 CN 并且延长交 AB 于点 M. 4. 1 000π cm3 3 1 解析:设圆锥的底面半径为 R,则 ×10 2×2πR=100 2π,解得 R= 2

1 1 000π 10, ∴ 圆锥的高 h= ?10 2?2-102=10 cm, 圆锥的体积 V= ×(π×102)×10= cm3. 3 3

5. 2 3 解析:侧面展开图如图所示,即求 BB′的长度,在等腰三角形 SBB′中,易 得 BB′=2 3. 6. 29 29 π cm3 6 1 解析:三棱锥的三条侧棱长分别为 2 cm,3 cm,4 cm,外接球的半径为 2

22+32+42= 7. 2 4

29 4 29 29π ,V= πr3= . 2 3 6

解析:A1A=A1B=A1C=AB=AC=BC.∴ A1—ABC 为正四棱锥,∴ A1 在 3 2 A O=1× 2 1 2
1O=

△ABC 上的射影为△ABC 的中心.∴

6 2 ,∴ V=S△ABC· A1O= . 3 4

8. 100 解析:纸的厚度为 0.1 mm,可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆,然 后分别计算各圆的周长,再算总和. 由内向外各圈的半径分别为 20.05, 20.15,??,59.95. 因此,各圈的周长分别为 40.1π,40.3π,??,119.9π. 因此各圈半径组成首项为 20.05,公差为 0.1 的等差数列,设圈数为 n, 则 59.95=20.05+0.1(n-1),解得 n=400, 显然各圈的周长组成一个首项为 40.1π,公差为 0.2π,项数为 400 的等差数列.根据等 差数列的求和公式,得 400×?400-1? S=400×40.1π+ ×0.2π=32 000π mm≈100 m. 2 9. 解:(1) 因翻折后 B、C、D 重合(如图),

所以 MN 应是△ABF 的一条中位线, MN∥AF 则

? ? 平面AEF? 平面AEF ? ?
?

∥平面 AEF.

(2) 因为

AB⊥BE? ?
? AB⊥BF ?

⊥平面 BEF,

且 AB=6,BE=BF=3,所以 VA—BEF=9. 又 VE—AFMN SAFMN 3 27 = = ,所以 VE—AFMN= cm3. VE—ABF S△ABF 4 4

10. 解:圆锥及内接圆柱的轴截面,如图所示,

设所求圆柱的底面半径为 r,它的侧面积 S 圆柱侧=2πrx, ∵ r H-x R = ,∴ r=R- x, R H H

2πR 2 ∴ S 圆柱侧=2πRx- x (0<x<H), H 2πR H ∴ x=- = 时,圆柱侧面积有最大值. 2πR 2 -2× H

第 15 讲 点、直线、平面之间的位置关系 1. 平行 相交 在平面内 平行 相交 平行 相交 2. 6 3. ② 解析:由 l1⊥l2,l2∥l3,根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90° . 4. ②④ 解析:对①,若 l 垂直于 α 内两条平行直线,则推不出 l⊥α,∴ ①错误;对 ③,m∥β, , ∥n 或 m,n 异面,∴ ③错误. 5. 90°

6.

3π 解析:如图所示,P、A、B、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点,则三棱 2 2 1 ,球的半径 R= 2 2

锥 P—ABC 的外接球就是该正方体的外接球,易得正方体的边长 a= a2+a2+a2= 6 3π ,∴ S 球=4πR2= . 4 2 l⊥m 7. ②④ 解析:②: α⊥γ

α∩γ=m

? ? ? ? ?

⊥α,④:

l⊥α? ?
? ? ?

⊥β.

8. ①② 9. 证明:(1) 连 DA、DB1、DO, ∵ AB=A1A,D 为 C1C 的中点,

2 2 2 而 DB1= DC2 1+C1B1,DA= DC +CA , ∴ DB1=DA. 又 O 是正方形 A1ABB1 对角线的交点, ∴ DO⊥AB1. 又 A1B⊥AB1,A1B∩DO=O, ∴ AB1⊥平面 A1BD. (2) 取 A1O 的中点 F,在△A1OA 中,

∵ E 是 OA 中点,∴ EF 又 D 为 C1C 的中点, 1 ∴ CD= AA1,CD∥AA1. 2

1 AA . 2 1

∴ EF

CD,故四边形 CDFE 是平行四边形.∴ CE∥DF.

又 平面 A1BD, 平面 A1BD, ∴ EC∥平面 A1BD. 10. (1) 证明:∵ BB1=BC,所以侧面 BCC1B1 是菱形,∴ B1C⊥BC1. 又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, ∴ BC1⊥平面 A1BC1. 又 B1 平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2) 解:设 B1D 交 BC1 于点 F,连结 EF,则平面 A1BC1∩平面 B1DE=EF. ∵ A1B∥平面 B1DE,A1 平面 A1BC1, ∴ A1B∥EF.∴ 又 A1E BF = . EC1 FC1

BF BD 1 A1E 1 = = ,∴ = . FC1 B1C1 2 EC1 2 滚动练习(五)

∈R,sinx≤0 2. [3,+∞) 解析:函数定义域为(3,+∞),y=x-3 在(3,+∞)上单调增, ∴ a>1 且(a,+∞ ,+∞),∴ a≥3. 3. 1 2 tan22.5° 1 2tan22.5° 1 1 解析: = · = tan45° = . 2 1-tan222.5° 2 1-tan222.5° 2

4. π 解析:设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,则 πrl=2πr2,圆锥的侧面展开图扇形的 2πr 圆心角 θ= =π. l 5. 8 解析:由线性规划得,当 x=2,y=3 时,z=35,∴ ab=16,∴ a+b≥2 ab=8, 当且仅当 a=b=4 时取等号. 6. ④ 7. ①②④ 6 ? 2 2 2 2 8. ? ?-5,0? 解析:到原点距离等于 1 的点的轨迹是单位圆 x +y =1,则两圆 x +y =1 和(x-2a)2+(y-a-3)2=4 相交时满足题意, 6 因此 1< 4a2+?a+3?2<3,∴ - <a<0. 5 1? 9. ? ?0,10?∪(10,+∞) 解析:函数 f(x)在(-∞,0]上是减函数,在(0,+∞)上是增 1 函数,则|lgx|>1,∴ x>10 或 0<x< . 10 π 5π? 1 10. ? |b|sinθ=|b|sinθ=2,∵ |b|≤1,∴ sinθ≥ ,又 θ∈[0,π],∴ ?6, 6 ? 解析:S=|a|· 2 π 5π ≤θ≤ . 6 6 11. 证明:(1)∵ O、H 分别为 AE、AB 的中点, ∴ OH∥BE,又 OH 不在面 BDE 内,∴ 直线 OH∥面 BDE. (2) O 为 AE 的中点,AD=DE,∴ DO⊥AE,∵ DO= 2,DB=2 3, BO2=10,∴ DB2=DO2+BO2,∴ DO⊥OB,又∵ AE 和 BO 是相交直线, ∴ DO⊥面 ABCE,又 OD 在面 ADE 内,∴ 面 ADE⊥面 ABCE.

12. (1) 证明:∵ BC=AC,M 为 AB 中点,∴ CM⊥AB. 又平面 ABC⊥平面 ABDE,平面 ABC∩平面 ABDE=AB, ∴ CM⊥平面 ABDE.又 平面 ABDE,∴ CM⊥DE. AN 1 (2) 解:当 = 时,CD∥平面 BEN. AC 3

平面 ABC,

连结 AD 交 BE 于点 K,连结 KN,因梯形 ABDE 中 BD∥AE,BD=2AE, ∴ AK AE 1 AK 1 AN 1 = = ,则 = .又 = ,∴ KN∥CD. KD BD 2 AD 3 AC 3

平面 BEN, 平面 BEN,∴ CD∥平面 BEN. 13. 解: (1) 由题意可知, 直线 x+my+4=0 经过圆心(-1,3), 则-1+3m+4=0, ∴m =-1. (2) kPQ=-1,设直线 PQ 的方程 y=-x+b,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
?y=-x+b, ? 联立? 2 2 消 y 得,2x2+(8-2b)x+b2-6b+1=0, ? x + y + 2x - 6y + 1 = 0 , ?

b2-6b+1 x1+x2=b-4,x1x2= , 2 ∵ OP⊥OQ,∴ x1x2+y1y2=0, ∴ x1x2+y1y2=x1x2+(x1-b)(x2-b)=2x1x2-b(x1+x2)+b2=b2-2b+1=0,∴ b=1. 因此,直线 PQ 的方程是 x+y-1=0. Sn? 1 11 Sn 1 11 1 2 11 14. 解:(1) 点? ?n, n ?在直线 y=2x+ 2 上,∴ n =2n+ 2 ,即 Sn=2n + 2 n,an=n +5. ∵ bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),∴ bn+2-bn+1=bn+1-bn=?=b2-b1. ∴ 数列{bn}是等差数列,∵ b3=11,它的前 9 项和为 153,设公差为 d, 9×8 则 b1+2d=11,9b1+ ×d=153,解得 b1=5,d=3.∴ bn=3n+2. 2 (2) 由(1)得,cn= 1 ? 3 1 1 1 - = = ? , ?2an-11??2bn-1? ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1- ? + ? - ? + ? - ? +?+ ? ∴ Tn=b1+b2+b3+?+ bn= ? = 3? 2?3 5? 2?5 7? 2? 2?2n-1 2n+1? 2

?1- 1 ?. ? 2n+1?
1 1 1 ∵ Tn= ?1-2n+1?在 n∈N*上是单调递增的,∴ Tn< , 2? 2 ? ∵ 不等式 Tn< k k 1 57 对一切 n∈N*都成立. ≥ ,则 k≥ , 57 57 2 2

又 k∈N*,∴ k≥29.∴ 最小的正整数 k 的值为 29.
? ? ?an,n为奇数, ?n+5,n为奇数, (3) n∈N*,f(n)=? =? ?bn,n为偶数 ?3n+2,n为偶数. ? ?

当 m 为奇数时,m+15 为偶数;当 m 为偶数时,m+15 为奇数. 若 f(m+15)=5f(m)成立,则有 3(m+15)+2=5(m+5)(m 为奇数) 或 m+15+5=5(3m+2)(m 为偶数).

解得 m=11.所以当 m=11 时,f(m+15)=5f(m)成立.


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