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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(34)


加试模拟训练题(34) (附详细答案) 1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的四边形,两个圆心与对 角线交点共线. 2、 已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 ,求证: ? a?b b?c c?a ? ? ? 2(a ? b ? c) c a b 3、 有 17 位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,且每两 个科学家之间只讨论一个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 1 4.求不定方程 (x+y)(y+z) (z+x)+(x+y+z)3=1-xyz 的所有整数解。 2 加试模拟训练题(34) 1、 双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形,证明对这样的 四边形,两个圆心与对角线交点共线. 【题说】 第三十届(1989 年)IMO 预选题 14.本题由印度提供. 【证】 设四边形 ABCD 为双心四边形,其外接圆圆心为 O,内切圆 圆心为 I,对角线交点为 K,不难推出下列三个引理: (1)对圆外切四边形 ABCD,设切点为 P、Q、R、S,则 PR、QS 的交 点就是对角线 AC,BD 的交点 K. (2)若 K 为⊙I 内一定点,则对 K 点张直角的弦 EF 的中点的轨迹是一个圆,圆心为 IK 的中 点 M. (3)在(1)中若四边形 ABCD 有外接圆,则 PR⊥QS. 由(3),PQ、QR、RS、SP 对 K 点张直角,因而它们的中点 A'、B'、C'、D'均在以 IK 的 中点 M 为圆心的圆上. 由于 IA 与 PQ 相交于 A',所以 A'就是以 I 为反演中心,⊙I 为反演圆时,A 经反演所得的 像,同样 B'、C'、D'分别为 B、C、D 的像,因此⊙O 经过反演成为 A'B'C'D'的外接圆, 从而 O 与这圆的圆心 M,反演中心 I 共线,所以 O 在直线 IM 上,即 O、M、K 共线,从而 问题得证. 2、 已知 a, b, c ? R ,且 abc ? 1 ,求证: ? a?b b?c c?a ? ? ? 2(a ? b ? c) c a b 分析与证明:为书写简便,首先令 x ? 3 a , y ? 3 b , z ? 3 c ; 则原不等式可化为: x3 ? y3 y3 ? z 3 z 3 ? x3 ? ? ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) 3 3 3 z x y 结合条件 xyz ? 1 知只需证齐次不等式: x 3 ? y 3 y 3 ? z 3 z 3 ? x 3 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) . ? ? ? z3 x3 y3 xyz 因为 1 1? x3 ? y3 y3 ? z 3 z 3 ? x3 3 3 3 ? 1 ? 3 ? 3? ?3 = ( x ? y ? z )? ? ? 3 3 3 3 ? y z ? z x y ?x ? 1 1 ?3 ? [2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) ? ( x 3 ? y 3 ? z 3 )] ? 3 xyz xyz ? (x3 ? y3 ? z 3 ) ? 3 ? 2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) 1 .所以原不等式得证. [2( x 3 ? y 3 ? z 3 ) ? 3 xyz ] ? 3 = xyz xyz 3、 有 17 位科学家,其中每一人和其他所有人通信,他们通信中只讨论三个题目,且每两 个科学家之间只讨论一个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. 【题说】 第六届(1964 年)国


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