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双曲线及其标准方程


《双曲线及其标准方程》教学设计
【教材分析】 本内容选自北师大版选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时。双曲线,是中学解析几何 中学习的重要的内容之一,是三种圆锥曲线中最复杂的一种,它在社会生产、日常生活和科 学技术中有着广泛的应用,必须熟练掌握。本节内容是继学生学习了椭圆,对圆锥曲线的方 程的概念有了一定了解, 对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上, 进一步学习

用坐 标法研究曲线。 【教学目标】 知识与能力目标: 掌握双曲线的定义和标准方程,并会推导其标准方程; 过程与方法目标: 培养学生的动手能力、 合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力; 培养学生运 用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力。 情感态度与价值观目标: 通过交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生用联系、用类比的观点认识问题。 从而认清事物运动的本质、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索、敢于创新的精神。 【教学重难点】 教学重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程; 教学难点:正确理解双曲线的定义和标准方程的推导。 【教学过程设计】 一、课程引入 回顾思考:我们已经知道,与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆,那么与两定 点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢? 动手演示,感受双曲线形成: (师生共同研究探索作图方案, 主要解决如何来实现距离之差为定值) 课堂实验:取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点

F1、F2 上, F1、F2 的长为 2c(c>0).把笔尖放在点拉链开口咬合处 M 处,随着拉链逐渐拉
开或者闭拢,观察笔尖就画出的曲线是什么样的曲线? (学生动手,老师指导,然后在讲台上演示)

二、双曲线的定义 1.分析演示结果 展示画图结果: 拉链在拉开闭拢的过程中,拉开的两边长始终相等,即|MF1|=|MF2|+|F1F2|.动点 M 变化时,|MF1|与|MF2|在不断变化,但总有|MF1|-|MF2|=|F1F2|,而|F1F2|为定长,所以点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之差为常数,记为 2a,即|MF1|-|MF2|=2a 2.定义(引导学生概括出双曲线的定义) :我们把平面内与两个定点 F1、F2 的距离 的差的绝对值等于常数(大于 0 小于 F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 3.定义的理解(通过教师引导,由学生归纳得出) ① F1、F2 是两个不同的定点, F1、F2 之间的距离(焦距)通常记为 2c; ②M 是椭圆上的任意一点,且 MF1 ? MF2 =常数,通常记这个常数为 2a; ③如果不加绝对值,曲线只是双曲线的一支; ④A.若 0<2a< F1F2 ,轨迹为双曲线; B.2a= F1F2 ,轨迹为两条射线; C.2a> F1F2 ,轨迹不存在; D.2a=0,线段 F1F2 的中垂线. 三、标准方程的推导 1.提问:回忆椭圆的标准方程的推导步骤,怎么样求点的轨迹方程? (教师提示步骤,叫一学生上台板演,其余学生自己推导,教师个别指导) 2.仿照椭圆方程的推导方法推导双曲线的标准方程。 整理修改板演学生的结果:设 M ( x, y ) , F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,由 | MF 1 | ? | MF 2 |? ?2a , 得 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? cx ? a 2 ? ?a ( x ? c) 2 ? y 2
? (cx ? a 2 )2 ? a 2[( x ? c)2 ? y 2 ] ? (c2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c2 ? a 2 ) ,

令 c2 ? a 2 ? b2 ( b ? 0 ) ,得 b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 ,即 3.标准方程的提出(由学生得出,教师补充) 双曲线上任意一点的坐标都是方程

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的 解 ; 以 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 椭 圆 上 , 我 们 将 方 程 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 叫作双曲线的标准方程,焦点坐标为 F1 (?a,0), F2 (a,0) ,其中 a 2 b2
c 2 ? a 2 ? b2 。
4.焦点在 y 轴上的双曲线标准方程 ①提问:如果双曲线的焦点在 y 轴上,焦点是 F , ? a), F2 (0, a) ,方程是怎样呢? 1 (0 ②提问:1.仿照之前推导过程,会得到怎样的等式?
2 2 2 2 ( ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ? a ) 2 2 2 2 提问 2.怎么化简方程: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ? a ?

③得出标准方程:

y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )。 a 2 b2

四、标准方程的理解(引导学生将双曲线的标准方程和椭圆的标准方程进行比较,从而 归纳得出下列要点) 1.只有双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上方程才称为标准方程; 2.双曲线的标准方程有两种: ①

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )表示中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程 a 2 b2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )表示中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程 a 2 b2



3. a、b、c 的关系(两种标准方程都实用) : ①a、b、c 都是正数; ②c>a,c>b,a 和 b 大小关系不确定; ③c ? a ?b 。
2 2 2

4. 双曲线方程,怎么判断焦点在哪个轴上? 答: x2 , y 2 哪个对应的系数为正,焦点就在相应的轴上。 5. 双曲线中 a、b、c 分别表示哪些线段的长? 6. 方程 Ax2 ? By2 ? C 可否表示双曲线? 五、例题讲解 例 1.根据已知条件,求下列双曲线的焦点坐标。 (1)

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) 16x2 ? 9 y 2 ? 144 4 5

例 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1)两个焦点的坐标为 F 1 (?5,0), F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到 F 1、F2 的距离的差的绝对 值等于 6; (2) b ? 1, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; (3) a ? 4, b ? 3 。 例 3.相距 2km 的两个哨所 A,B 听到远处传来的炮弹爆炸声,在 A 哨所听到爆炸声的时 间比在 B 哨所迟 4 秒。已知当时的声速为 340m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求 出曲线的方程。 六、小结(引导学生归纳,老师补充总结) 1. 双曲线及其焦点,焦距的定义,双曲线的标准方程以及方程中的 a、b、c 之间的关 系; 2. 焦点位置的确定方法; 3. 求双曲线标准方程关键 【板书设计】 双曲线的标准方程 1. 定义: 3. 推导过程: 学生板演区

MF1 ? MF2 ? 2a
2. 标准方程:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
【教学反思】 本节课的设计思想是: (1)在引导学生进行基础知识的探索教学过程中,贯彻观察、比 较、分析、抽象、概括这一认识规律,加强对学生思维能力的培养; (2)利用现代化教学手 段, 辅助课堂教学以达到提高学生能力和培养学生创新意识目的, 使多媒体真正做到为课堂 有效服务.整堂课下来充实流畅,课堂气氛姣好。 在教学方法上,以“问题引导,探究交流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式, 力求灵活运用.本节课的教学设计遵循了新课改的教学理念,增强了学生自主学习、大胆想 象、自主探究的能力,从而说明课堂学习并不是单一的、乏味的“老师讲,学生听”的模式, 而是师生共同探讨、研究的过程。 (龙跃文) 2012 年 6 月 3 日


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