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高中物理竞赛—曲线运动的科学方法


高中物理竞赛—处理曲线运动的科学方法 一、微元法 例 1:一质量为 M 、均匀分布的圆环,其半径为 r ,几何轴与水平面垂直,若它能经 受的最大张力为 T,求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。 解析:因为向心力 F = mrω ,当 ω 一定时,r 越大, 向心力越大,所以要想求最大张力 T 所对应的角速度 ω ,r 应取最大值。 如图 3—6 所示,在圆环上取一小段 Δ L ,对应的圆心 角为 Δ θ ,其质量可表示为 Δ m = 力为 T ,则同上例分析可得: 2Tsin
?? 2 = Δ mrω 2 ?? ?? ?? ?? 2 ≈ ,即:2T ? = M rω 2 2 2 2?
2

?? M ,受圆环对它的张 2?

因为 Δ θ 很小,所以:sin 解得最大角速度:ω =

2?T Mr

例 2:如图 3—11 所示,小环 O 和 O′分别套在不动的竖直杆 AB 和 A′B′上,一根不 可伸长的绳子穿过环 O′,绳的两端分别系在 A′点和 O 环上,设环 O′以恒定速度 v 向下 运动,求当∠AOO′= α 时,环 O 的速度。 解析:O 、O′之间的速度关系与 O 、O′的位置有关,即与α 角有关,因此要用微元 法找它们之间的速度关系。 设经历一段极短时间 Δ t ,O′环移到 C′,O 环移到 C ,自 C′与 C 分别作为 O′O 的 垂线 C′D′和 CD ,从图中看出。 OD O?D? OC = ,O′C′= ,因此: cos ? cos ? OC + O′C′=
OD ? O?D? cos ?



因 Δ α 极小,所以 EC′≈ED′,EC≈ED ,从而: OD + O′D′≈OO′-CC′ ② 由于绳子总长度不变,故:OO′- CC′= O′C′ ③ O?C? 由以上三式可得:OC + O′C′= , cos ? 即:OC = O′C′(
1 -1) cos ? 1 -1) cos ?

等式两边同除以 Δ t 得环 O 的速度为:v0 = v(

等效法

在一些物理问题中,一个过程的发展、一个状态的确定,往往是由多个因素决定的,在这一 决定中,若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同,则前一些因素与后一些因素是等 效的,它们便可以互相代替,而对过程的发展或状态的确定,最后结果并不影响,这种以等效为 前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法。 等效思维的实质是在效果相同的情况下,将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题,以 便突出主要因素,抓住它的本质,找出其中规律。因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替 较复杂的因素,以使问题得到简化而便于求解。 例:如图 4—1 所示,水平面上,有两个竖直的光滑墙壁 A 和 B ,相距为 d =2.5m,一 个小球以初速度 v0=10m/s 从两墙之间的 O 点斜向上抛出,与 A 和 B 各发生一次碰撞后,每 次碰撞时速度大小保持不变,正好落回抛出点,求小球的抛射角 θ 。g=10m/s 解析:将弹性小球在两墙之间的反弹运动,可等效 为一个完整的斜抛运动(见图) 。所以可用解斜抛运动 的方法求解。 由题意得:2d = v0cosθ ? t = v0cosθ ? 可解得抛射角: sin2θ = 对称法 由于物质世界存在某些对称性, 使得物理学理论也具有相应的对称性, 从而使对称现象 普遍存在于各种物理现象和物理规律中。 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质 世界的某些基本规律, 而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题, 这种思维方法在物理 学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓 住问题的实质,出奇制胜,快速简便地求解问题。 例 1: 沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A , 抛出点离水平地面的高 度为 h ,距离墙壁的水平距离为 s ,小球与墙壁发生弹性碰撞(碰撞后速度大小保持不变) 后,落在水平地面上,落地点距墙壁的水平距离为 2s ,如图 7—1 所示。求小球抛出时的 初速度。
2v 0 sin ? g
2

2gd 0 ,代入数据, 得 θ =15 2 v0

解析:因小球与墙壁发生弹性碰撞, 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称 性, 碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称,如图 7—1—甲所 示,所以小球的运动可以转换为平抛运动处理, 效果上相当于小球从 A′点水平抛出所做 的运动。
? x ? v0 t ? 根据平抛运动的规律: ? 1 y ? gt 2 ? ? 2

因为抛出点到落地点的距离为 3s ,抛出点的高度为 h ,代入后可解得: v0 = x
g g = 3s 2h 2y

例 2:A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追捕猎 物的速度均为 v ,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C 犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到猎物,猎 犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物? 解析:以地面为参考系,三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线,但根据对称性,三只 猎犬最后相交于三角形的中心点,在追捕过程中,三只猎犬的位置构成三角形的形状不变, 以绕点旋转的参考系来描述,可认为三角形不转动,而是三个顶点向中心靠近,所以只要求 出顶点到中心运动的时间即可。 由题意作图 7—3 ,设顶点到中心的距离为 s ,则由已知条件得:s =
3 a 3

由运动合成与分解的知识可知,在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为: v′= vcos30°=
3 v 2

由此可知三角形收缩到中心的时间为:t =

s 2a = v? 3v

(此题也可以用递推法求解,读者可自己试解。 )

近似法 近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问 题时,为了分析认识所研究问题的本质属性,往往突出实际问题的主要方面,忽略某些次要 因素,进行近似处理.在求解物理问题时,采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似 法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一, 具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理 的近似处理,是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题, 越来越多地注重这种能力的考查. 例 1:一只狐狸以不变的速度 ?1 沿着直线 AB 逃跑,一只猎犬以不变的速率 ? 2 追击,其 运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处,猎犬在 D 处,FD⊥ AB,且 FD=L,如图 14—1 所示,求猎犬的加速度的大小. 解析:猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变,故猎

图 14—1

犬做匀速率曲线运动,根据向心加速度 a ?

2 ?2

r

, r 为猎犬所在处的曲率半径,因为 r 不断变

化,故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化,题目要求猎犬在 D 处的加速度大小,由于

? 2 大小不变,如果求出 D 点的曲率半径,此时猎犬的加速度大小也就求得了.
猎犬做匀速率曲线运动,其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段 很短的时间 ?t 内, 猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧, 设其 半径为 R,则加速度
2 ?2 a? R

其方向与速度方向垂直,如图 14—1—甲所示.在 ?t 时间内, 设狐狸与猎犬分别 到达 F ?与D? ,猎犬的速度方向转过的角度为

? ? ? 2 ?t /R
而狐狸跑过的距离是: ?1 ?t ≈ ?L 因而 ? 2 ?t /R≈ ?1 ?t /L,R=L ? 2 / ?1 所以猎犬的加速度大小为 a ?
2 ?2 = ?1 ? 2 /L R

图 14—2—甲

提高题: 1.降落伞在下落一定时间以后的运动是匀速的 .设无风时某跳伞员着地的速度是 5.0m/s. 现有正东风,风速大小是 4.0m/s,跳伞员将以多大的速度着地?这个速度的方向怎样?

2.如图所示, 实线为某质点平抛轨迹的一部分, 测得 AB、 BC 间水平距离△s1=△s2=0.4m, 高度差△h1=0.25m,△h2=0.35m,问: (1)质点平抛的初速度 v0 为多大? (2)抛出点到 A 点的水平距离和竖直距离各为多少?

3.如图所示, 在离地高为 h、 离竖直光滑墙的水平距离为 s1 处有一小球以 v0 的速度向墙 水平抛出,与墙碰后落地,不考虑碰撞的时间及能量损失,则落地点到墙的距离 s2 为多大?

4.如图所示,M、N 是两个共轴的圆筒,外筒半径为 R,内筒半径比 R 小很多,可以忽略不计,筒的两端是封闭的,两筒之间抽成真空,两筒 以相同的角速度 ω 绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动.设从 M 筒内部可以通过平行于轴线的窄缝 S,不断地向外射出两种不同速率 v1 和 v2 的微粒.微粒从 S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向, 微粒到 达 N 筒后就附着在 N 筒上,如果 R、v1 和 v2 都不变,而 ω 取某一合适的 值,则( ) (A)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 a 处一条与 S 缝平行的窄条上 (B)有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某处如 b 处一条与 S 缝平行的窄条上 (C)有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 和 c 处与 S 缝平行的窄条上 (D)只要时间足够长,N 筒上将到处落有微粒

5.如图所示,直径为 d 的纸筒以角速度 ω 绕轴 O 匀速转动,从枪口发射的子弹沿直径穿过 圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a、 b 两个弹孔, 已知 aO 和 b0 夹角为 φ , 则子弹的速度大小为______.

6.如图,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无滑动,大轮的半径是小轮的 2 倍,大轮上的一点 s 离转动轴的距离是半径的 5,20,当大轮边缘上 P 点的向心加速度是 2 2 。 10m/s 时, 大轮上的 S 点和小轮上的 Q 点的向心加速度为 aS=______m/s , aQ=______m/s

7.如图所示,半径为 r 的圆筒绕竖直中心轴 OO′转动,小物块 A 靠在圆筒的内壁上,它与 圆筒的静摩擦因数为 μ ,现要使 A 不下落,则圆筒转动的角速度 ω 至少应为______.

8、 放映电影时, 看到影片中的一辆马车从静止起动, 逐渐加快。 在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面,车轮的半径是 0.6 米,有 12 根辐条。车轮开始倒 转时马车的瞬时速度是 米/秒。(第十二届全国中学生物理竞赛预赛试题) 曲线运动答案 基础题: 1.B; 2.B; 3.C 4、 【解析】 (1)球以 vl 速度被击回,球正好落在底线上,则 t1= 2h / g ,vl=s/t1

将 s=12m,h=2.5m 代入得 v1= 12 2m / s ; 球以 v2 速度被击回,球正好触网,t2= 2h / / g ,v2=s /t2 将 h =(2.5-2.25)m=0.25m,s =3m 代入得 v2= 3 10m / s 。故球被击目的速度范围是 3 10m / s <v≤ 12 2m / s 。 (2)若 h 较小,如果击球速度大,会出界,如果击球速度小则会触网,临界情况是球刚好 从球网上过去,落地时又刚好压底线,则
s 2h / g
/ / / /

=

s/ 2h / / g


/

s、s 的数值同(1)中的值,h = h-2.25(m) ,由此得 故若 h<2.4m,无论击球的速度多大,球总是触网或出界。 提高题: 1. 41m / s ,与竖直方向成 ? 角, tan ? ? 0.8 2.(1)4m/s;(2)水平距离 0.8m,竖直距离 0.2 提示:△h2-△h1=gT , s2=△s1=v0T, v By ?
2

h=2.4m

?h 1 ? ?h 2 , 2T

v Ay ? v By ? gT, v Ay
3. v 0 4.ABC 5.

gt 2 ? gt , x A ? v 0 t, y A ? 2

2h ? s1 g

d? ? ??

6.5,20 7.

g r?

8.



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