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三角函数值域求法教案


几种常见的三角函数的值域求法
授课教师:xxx 授课班级:高一 xx 班 授课时间:2014.12.22

一、教学目标
1、了解正弦函数,余弦函数,正切函数的图象和性质,熟练掌握三角函数 值域求法。 2、通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想;通过对几种常见题型 的总结,培养学生归纳总结的意识,养成良好的学习习惯。

/>二、重点难点
通过三角变换、代数变换求三角函数的值域。

三、典例互动探究
(1)配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们次数是 2 时,一般就需 要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的值域问题来处理。 例 1 函数 y ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? 3 的最小值为( A.2 B.0 C. ?
1 4

) 。 D.6

[ 分 析 ] 本 题 可 通 过 公 式 sin 2 x ? 1 ? cos2 x 将 函 数 表 达 式 化 为

y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 , 因 含 有 cos x 的 二 次 式 , 可 换 元 , 令 cos x ? t , 则

? 3? 1 ? 1 ? t ? 1, y ? t ? 3t ? 2, 配方,得 y ? ? t ? ? ? , ? 2? 4
2

2

? ?1 ? t ? 1,?当 t=1 时,即

cos x ? 1 时, y min ? 0 ,选 B。

练习 1 求函数 y ? cos2 x ? 3 sin x ? 1 ( x ? R )的值域。 解: y ? 1 ? sin 2 x ? 3 sin x ? 1 ? ?(sin x ? ∴ sin x ?

3 2 11 ) ? 2 4

11 3 时, ymax ? ; sin x ? ?1 , ymin ? 1 ? 3 。 4 2 11 ∴函数的值域为 [1 ? 3, ] 。 4
1

(2) 利用三角函数的有界性 在三角函数中, 正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征— —有界性, 利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数值域的最基本方 法。
sin x ? 1 的值域。 2 ? sin x a sin x ? b [分析] 此为 y ? 型的三角函数求值域问题, 分子、 分母的三角函数 c sin x ? d 同名、同角,这类三角函数一般先分离参数,再利用三角函数的有界性去解。或

例 2 求函数 y ?

者也可先用反解法,再用三角函数的有界性去解。 sin x ? 2 ? 1 1 ? ?1 ? 解法一: y ? 2 ? sin x 2 ? sin x
1 1 ? ?1 3 2 ? sin x 2 2 ? y ? [? , 0], 则此函数的值域是[? , 0]。 3 3 sin x ? 1 解法二:由 y ? 变形为 ( y ? 1) sin x ? 2 y ? 1, y ? ?1 , 2 ? sin x ?1 ? sin x ? 1 ? 1 ? 2 ? sin x ? 3 ?

则有 sin x ?

2 y ?1 2 y ?1 , sin x ? 1? ?1 y ?1 y ?1
2 2 ? y ? 0 ,则此函数的值域是 [ ? , 0] 。 3 3

? (2 y ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?

2 cos x ? 1 的值域。 2 cos x ? 1 2 1 1 , ?1 ? cos x ? 或 ? cos x ? 1 解法一: y ? 1 ? 2 cos x ? 1 2 2 ??3 ? 2cos x ? 1 ? 0或0 ? 2cos x ? 1 ? 1 2 2 1 ? ? (??, ? ] [2, +?) ? y ? 3或y ? 2 cos x ? 1 3 3 1 则此函数的值域为 (??, ] [3, +?) 3 1 y ?1 y ?1 解法二:原函数变形为 cos x ? ,? cos x ? 1,? ? 1,? y ? 3 或 y ? . 3 2? y ? 1? 2? y ? 1? 1 y ?1 1 ? 无解 当 cos x ? 时,方程 2 2( y ? 1) 2 1 则此函数的值域为 (??, ] [3, +?) 3

练习 2 求函数 y ?

2

(3)利用函数在区间内的单调性 例 3 已知 x ? ?0, ? ? ,求函数 y ? sin x ? [分析] 此题为 sin x ? 性来求解。 解:设 sin x ? t , ? 0 ? t ? 1? , y ? t ?
2 t
2 的值域。 sin x

a 型三角函数求值域问题,可以转化为由函数单调 sin x

2 已证 y ? t ? 在 (0,1] 上为减函数,当 t=1 时, y min ? 3 ,无最大值, t

∴函数的值域为 [3, ??) 。 练习 3 已知 x ? (0, ? ) ,求函数 y ? 解:
0 ? sin x ? 1,? y ?

3 sin x 的最大值。 1 ? 3sin 2 x
3

1 ? 3sin x sin x 3 1 1 当sin x ? 时,( ? 3sin x) min =2 3 ? ymax ? 3 sin x 2

3 sin x ? 1 ? 3sin 2 x

(4)分类讨论法 含参数的三角函数的值域问题,需要对参数进行讨论。 ? ? 例 4 已知函数 f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ? b( a ? 0 ) 的定义域是 [0, ] , 值域是 [?2,1] , 2 6 求 a , b 的值。

? 解: 令 sin(2 x ? )=t 6

? ? ? 7? ? 1 x ? [0, ]? 2 x ? ? [ , ],sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] 2 6 6 6 6 2 1 ? f (t ) ? 2at ? b, t ? [? ,1] 2 ? f (t ) max ? 2a ? b ? 1 ?a ? 1 当a ? 0时, ?? ? ? f (t ) min ? ?a ? b ? ?2 ?b ? ?1 ? f (t ) max ? ?a ? b ? 1 ?a ? ?1 当a ? 0时, ?? ? ? f (t ) min ? 2a ? b ? ?2 ?b ? 0
?a ? 1 ?a ? ?1 综上, ? 或? ?b ? ?1 ?b ? 0

3

例 5 求函数 f ( x) ? cos2 x ? 2a sinx ? a ( a 为常数)的最大值 g (a) ;并求出当
g (a) ? 3 时,对应的 a 的值。 4

解:由题可知: f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2a sin x ? a

令t ? sin x, 则t ?[?1,1]

得 f (t ) ? 1 ? t 2 ? 2at ? a ? ?(t ? a)2 ? a2 ? a ? 1

(1) ? a ? ?1即a ? 1时,f (t ) max ? f (?1) ? a (2) ? 1 ? ?a ? 1即 ? 1 ? a ? 1时,f (t ) max ? f (?a) ? a 2 ? a ? 1 (3) ? a ? 1即a ? ?1时,f (t ) max ? f (1) ? ?3a
? a, a ? 1 ? ? g (a) ? ?a 2 ? a ? 1, ?1 ? a ? 1 ??3a, a ? ?1 ? 下面计算 a 的值: 3 3 1 ①a ? ? 1,舍去;②a 2 ? a ? 1 ? , 得a ? ,符合条件 4 4 2 3 1 1 ③ ? 3a = ,得a ? ? ,舍去. ?a ? 4 4 2 ? 5 3 练习 4 是否存在实数 a , 使得函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos x ? a ? 在闭区间 [0, ] 上 2 8 2 的最大值是 1?若存在,求出对应的 a 的值;若不存在,试说明理由。 5 3 5 1 解: f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? a cos x ? a ? ? ? cos 2 x ? a cos x ? a ? 8 2 8 2

令t ? cos x, 则t ? [0,1] 5 1 a a2 5 1 f (t ) ? ?t 2 ? at ? a ? ? ?(t ? ) 2 ? ? a ? 8 2 2 4 8 2
a 5 1 ? 0即a ? 0时,f (t ) max ? f (0) ? a ? 2 8 2 5 1 12 由 a ? ? 1, 解得a ? (舍) 8 2 5 a a a2 5 1 (2)0 ? ? 1即0 ? a ? 2时,f (t ) max ? f ( ) ? ? a ? 2 2 4 8 2 2 a 5 1 3 由 ? a ? ? 1得(2a ? 3)(a ? 4) ? 0,? a1 ? , a2 ? ?4(舍) 4 8 2 2 a 13 3 (3) ? 1即a ? 2时,f (t ) max ? f (1) ? a ? 2 8 2 13 3 20 由 a ? ? 1, 解得a ? (舍) 8 2 13 3 综上可知:a ? 4 2 (1)

四、知识要点总结
求三角函数的值域问题可以通过适当的三角变换或代数换元, 化为基本型的 三角函数或代数函数, 再利用三角函数的有界性或常用的求函数值域的方法去处 理。 常见类型如下: (1) y ? a sin 2 x ? b sin x ? c (或 y ? a cos2 x ? b cos x ? c )型,可令 t ? sin x
|1 ? ,化归为闭区间上二次函数的值域问题。 (或 t ? cos x ) ,| t

(2)y ?

a sin x ? b a cos x ? b (或 y ? ) 型, 解出 sin x (或 cos x ) 利用 | sin x |? 1 c sin x ? d c cos x ? d

(或 | cos x |? 1 )去解;或用分离常数的方法去解决。
a a (或y ? cos x ? ) 型,可利用单调性求值域。 sin x cos x (4)在解含参数的三角函数值域问题中,需对参数进行讨论。

(3) y ? sin x ?

五、课堂小结
归纳本节课中涉及到的基本方法和函数,加深学生的记忆。

六、作业
1、完成例题后面的练习题。 2、预习课本 60-64 页。

5


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