tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题精编(附答案)


数竞之路

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分, 满分 60 分。 请直接将答案写在题中的横线上)
x?4 ? ? 1.设集合 A ? ? x ?

0, x ? Z ? ,从 x ?3 ? ?
x2 y 2 3 . F1 、 F2 为 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 a b

( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若椭圆 C 上存在 一点 P , 使得 PF1 ? PF2 , 则椭圆离心率 e 的取 值范围为 。
? 2 ? , 1? 【答案】 ? ? 2 ? ? 【解答】设 A 为椭圆 C 的上顶点,依题意

集合 A 中随机抽取一个元素 x ,记 ? ? x2 ,则 随 机 变 量 5

?

的 。









E? ?

【答案】

有 ?F1 AF2 ? 90? 。 ∴
c ?F2 AO ? 45? , ? 1 。 c2 ? a 2 ? c 2 , b

【解答】 A ? ? ? 4 , ? 3, ? 2, ?1,,, 0 1 2 ?, 随机变量 ? 的取值为 0,1,4,9,16。 易得, ? 的概率分布列为

?
P

0
1 7

1
2 7

4
2 7

9
1 7

16
1 7

c2 1 2 ? , ? e ? 1。 2 a 2 2

4 . 已 知 实 数 x , y , z 满 足

x2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 2, 4 则 x ? 2 y ? 3z 的 最 小 值
为 。 【答案】
?12


1 2 2 E? ? 0 ? ?1 ? ? 4 ? 7 7 7 9 ? 1 1 ? 1?6 ? 。5 ? 7 7

【解答】由柯西不等式,知

2 .已知 f ( x) ? x ? g( x) ,其中 g ( x) 是定 义在 R 上, 最小正周期为 2 的函数。 若 f ( x) 在 区间 ?2 , 4? 上的最大值为 1 ,则 f ( x) 在区间

2 2 2 ? 2 2 2 ( x ? 2 y ? 3z)2 ? (1? x ? 2 ? 2 y ? 3 ? 3z)2 ? ? ? 1 ? ( 2) ? ( 3) ? ? ( x ? 2 y ? 3z )

)=14 ∴
x?2 y ?3 z ? 1 ? ,2当 且 仅 当

12? ?10,

上 9 答
x? (



最 。





为 【答案】 【 。 ∵ ∴ 解
f ( ?x 2 ?)

x 2y 3y 2 时等号成 ,即 x ? y ? z ? ? ? ? 1 2 3
意 , 有 立。
x ?(
?12 。 3z 的最小值为 ∴ ? )f x 2? x2 ?y ? ( ) 2







? 2g ) x? (

? x2 ? )g

f ( x) 在区间 ?2 , 4? 上的最大值为 1, f ( x) 在区间 ?4 , 6? 上的最大值为 3,

5. 已知函数 f ( x) ? x 2 cos

?x
2

, 数列 ? an

?


中 , an ? f ( n) ? f ( n? 1)( n ? N * ) ,则数列

在区间 ?6 , 8? 上的最大值为 5,在区间 ?8 , 10? 为 9。

? an ? 的前 100 项之和 S100 ?
【答案】 【 解
10200

上的最大值为 7,在区间 ?10 , 12? 上的最大值















1 伴你成长

【答案】 ?1, 3? T100 ? ? f (n) ? ? 22 ? 42 ? 62 ? 82 ? L ? 982 ? 1002 ? 4(3 ? 7 ? L ? 99) 【解答】 设 z1 ? x1 ? y1i ,z2 ? x2 ? y2i( i 为 n ?1
100

数竞之路

虚数单位) ,
? 4? 3 ? 99 ? 25 ? 5100 。 2

∵ ∴

uuu r uuur z1 ? z2 ? 2 , OZ1 ? OZ 2 ? 0 ,
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2 ,x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,



S1 0 0? 2 T 1 0 ?0 f( 1 )? f ( 1 0 ? 1 ) ?2 5 1 ?0 0 ? 0? 0
。 6 . 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 ,
DA ? DB ? DC ? 2 , DA ? DB , DA ? DC ,

10200 z1 ? z2 ? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 2( x1x2 ? y1 y2 ) ? 2

。 设 复 数 z1 ? z2 对 应 的 点 为 P 。 由

且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 该四面体外接球半径 R ? 【答案】

6 。则 3

z1 ? z2 ? z3 1 ?知,
点 Z3 在 以 P 为 圆 心, 1 为半径的圆 上。 又 OP ? 2 , 因 此 ,



3

【解答】如图,作 DO ? 面 ABC 于 O ,连 结 AO ,并延长交 BC 于点 E ,连结 DE 。则
? DAE 是 DA 与 平 面 ABC 所 成 的 角 ,

cos ?DAE ?


6 。 3

3? 。 ?1,

2 ? ? OZ3 ? ? 1, 即 z3 的 取 值 范 围 是 2
8. 已知函数

DA ? DB ? DC ? 2 , DA ? DB ,

f ( x) ? ex ( x ? aex )
恰有两个极值点 ( x1 ? x2 ) , x1 , x2 则 a 的取值范围 为 。 【 答 案 】
1 ( , 0 2
x a ? ) e

DA ? DC ,

∴ DA ? 面 DBC , O 为 △ABC 的外心, 且 AB ? AC ? 2 2 。 ∴
DA ? DE , E 为 BC 中 点 , 结 合

cos ?D A E?
2

6 3
2





AE ? 6



BE ? AB ? AE ? 8 ? 6 ? 2 。
∴ ∴ , DB ? DC 。 B C? 2 B E ? 2 2
DA 、 DB 、 DC 两两互相垂直,四

) 解 答 】 【

f ?( x ? )


x

e (? x x

( ? e1 x

?a) e ?(

?x x1

x

面体外接球半径 R ? 3 。 7.在复平面内,复数 z1 、 z2 、 z 3 的对应 点分别为 Z1 、 Z 2 、 Z3 。若 z1 ? z2 ? 2 ,

依题意,f ?( x) ? ( x ? 1 ? 2aex )ex ? 0 有两个 不同的实根。 设 g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ,则 g?( x) ? 1 ? 2aex ,
g ( x) ? 0 有两个不同的实根。

uuu r uuur OZ1 ? OZ 2 ? 0 , z1 ? z2 ? z3 ? 1,则 z3 的取
值范围是
伴你成长

若 a ? 0 ,则 g ?( x ) ? 1, g ( x) 为增函数,
g ( x) ? 0 至多 1 个实根,不符合要求。


2

数竞之路

若 a ? 0 ,则当 x ? ln
x ? ln 1 时, g ?( x) ? 0 。 2a

1 时, g ?( x ) ? 0 ; 2a

f ( f ( x)) ? f ( x ? nx) ? ( x ? nx) ? n( x ? nx) ? ( x2 ? nx)( x2
2 2 2 2

。 由 ? x f ( x) ? 0 ? ? ? x f ( f ( x)) ? 0 ? 知, 方 程 x 2 ? nx ? n ? 0 的解集 A 是方程 x2 ? nx ? 0 的 解集 B 的子集。 若 A ? ? ,则 △ ? n2 ? 4n ? 0 , 0 ? n ? 4 。
2 ? ? x0 ? nx0 ? n ? 0 若 A ? ? ,设 x0 ? A ,则 ? 2 , x ? nx ? 0 ? 0 ? 0 得n ? 0。



1? ? g ( x) 在 区间 ? ?? , ln ? 上 为 增 函 2a ? ?

? 1 ? 数, ?ln , ? ? ? 上为减函数。 ? 2a ?


g( 1 l n? 2a

g ( x)
1 ) ?l 2a


n ?


1 ? 1 。 2a


1




l n

又 x ??? 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? ;

又 0 ? n ? 4 时, ? x f ( x) ? 0 ? ? ? , 所 以 , 0 ? n ? 4 。 m? n 的 取 值 范围是

x ??? 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? 。

0?a?

当 且 仅 当 g (ln

1 1 ) ? ln ? 0 ,即 2a 2a

4? 。 ?0 ,
10
sin





1 时, g ( x) ? 0 恰有 2 个不同的实根。 2

?
9

? sin

2? n? 1 4? ? L ? sin ? tan ,则正整 9 9 2 9

设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 。则

数 n 的最小值为 【答案】 【 4 解 答

。 】 由 ,

x ? x1 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ; x1 ? x ? x2 时,
g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ; x ? x2 时 , g ( x ) ? 0, f ?( x) ? 0 。

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,知 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 。
1 符合要求。 2



x1 为 f ( x) 的极小值点, x2 为 f ( x) 的

极大值点。 0 ? a ? ∴



1 a 的取值范围为 (0 , ) 。 2

2 sin ? 9 2sin

?

si n? 18

?

co? s 18

?

3 ? c, os 18

9 . 已 知 f ( x) ?

若 m ? 2 ? x ?, n x
x 2

2? ? 3? 5? ? sin ? cos ? cos , 9 18 18 18

?x

f (

) x ?

?0 ? ?

x

f (

f ( ?? ) x )? , ?0 则 m? n

……………
2sin n? ? (2n ? 1)? (2n ? 1)? ? sin ? cos ? cos 9 18 18 18

的取值范围为 【答案】



4? ?0 ,
上述各式左右两边分别相加,得
2(sin

【 解 答 】 设 x1 ? ? x f ( x) ? 0 ? , 则 。 f( 1 x) ? m ? 2 ? x ? n ? 0 1 x
2 1 x1

? 2? n? ? ? (2n ? 1)? ? sin ? L ? sin ) ? sin ? cos ? cos 9 9 9 18 18 18

∴ ∴
伴你成长

f ( f ( 1x ) ? )

f (0 ?) m ? 。0 f ( x) ? x2 ? nx

3

。 ∴

数竞之路

1 4? ? ? (2n ? 1)? 2 ? tan ? sin ? cos ? cos 2 9 18 18 18
cos





x?

1 2





?
18

? cos

?
18

? cos

(2n ? 1)? 。 18

f ?( x) ? 2 ?
。 ∴

4x ? 4 4 x ? 8x ? 3
2

? 2?

4(1 ? x) 4( x ?1) ?1
2

? 2?

4(1 ? x) ? 2(1 ? x)



(2 n? 1 ?) (2n ? 1)? ? cos ? , 0 ? k? ? 18 18 2

(k ?Z ) , n ? 9k ? 4 ( k ? Z ) 。 ∴ 正整数 n 的最小值为 4。

1 1? ? f ( x) 在 ? ?? , ? 上为减函数, x ? 2 2? ?

1 时, f ( x) 的最小值为 f ( ) ? 1。 ……… 15 2

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分, 满分 100 分。要求写出解题过程) 11 .求函数 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3的最小 值。 【解答一】由 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 ,得 x ?
3 x? 。 2 1 或 2

分 综合得,函数 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3 的最 小值为 1。 分 【
y?(

……………… 答
2 ?)

20 为
1 2


2x ?










) ?

2 x (? 2。 ?2

由 (2 x ? 2)2 ? 1 , 知 2x ? 2 ? 1, 可 设 函 数 的 定 义 域 为 ………
2x ? 2 ? 1 ? ? ( ? ? ? ? ,且 ? ? 0 ) sin ? 2 2



1? ?3 ? ? ? ??。 ? ?? , ? ? ? , 2? ?2 ? ?

……………… 记

5分

……………………… 当
1 s ? i
2

5分

y ? f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8 x ? 3 , 则
8x ? 8 2 4 x2 ? 8x ? 3
3 2

0 ?? ?

?
2


?


1 s t c 2 n

f ?( x) ? 2 ?

? 2?

4x ? 4 4 x 2 ? 8x ? 3
f ?( x ? ) 0 。

y?

? 1

1 n ?

2 ?

?

?i ? a
2

?

当 x?

时 , 易 知

?3 ? ? ? ? 上为增函 f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8 x ? 3 在 ? , ?2 ?

,当?? 3

?
2

,即 x?

3 时, y 取最小值 2

。 ……………………… 10 分 时 ,

数。 ∴
3 f ( ) ? 3。 2
x? 3 时 , f ( x) 的 最 小 值 为 2



?

?
2

?? ? 0

…………………………

y?

1 s ?

?

i

2

1 ? ? 1? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? s i

c 2 n

10 分
4 伴你成长

数竞之路

,当 ? ?? 1。

?
2

,即 x?

1 时, y 取最小值 2



1) 斜率为 k 的直线 l 交 12.已知过点 P(0 ,

……………………… 15 分 综合得,函数 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3 的最 小值为 1。 …………………… 20 分

y2 ? 1于 A 、 B 两点。 双曲线 C : x ? 3
2

(1)求 k 的取值范围; ( 2 ) 若 F2 为 双 曲 线 C 的 右 焦 点 , 且

或换元后利用导数求解。 【解答三】 由 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,得

AF2 ? BF2 ? 6 ,求 k 的值。
【解答】 (1)设 l 方程为 y ? kx ? 1 。 由

( y ? 2 x)2 ? 4 x2 ? 8x ? 3,


y2 ? 4

x ? y4

2

x ?4

2

, ? x ?8 x3 ∵ 点,

? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? ? y ? kx ? 1 ?





x?
5分

y2 ? 3 。 4y ?8

……………………

(3 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 4 ? 0 ……… ①。
直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交
2 ? ? 3? k ? 0 ,解得 ? 2 2 △ ? 4 k ? 16(3 ? k ) ? 0 ? ?

依 题 意 , 有 y ? 2x , 因 此 ,

y2 ? 3 1 ? y。 4y ?8 2
…… ∴ 10 分



……………

?2 ? k ? 2 ,且 k ? ? 3 。


( y ? 3)( y ? 1) y2 ? 3 ? 0 ,解 ? 0, 2( y ? 2) 2y ? 4

k

的 取 值 范 围 为 。

y?

(?2 , ? 3) ? (? 3 , 3) ? ( 3 , 2)
…………… 5分

得1 ? y ? 2 或 y ? 3 。

……………

15 分

( 2 ) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 。 则
x1 ? x2 ? 2k ?4 , x1 x2 ? 。又 F2 (2 , 0) , 2 3? k 3? k2

将 y ? 1 代入方程 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3 , 解得 x ? ∴ 值域内。 ∴ 为 1。 函数 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3 的最小值 ………………………… 20 分
1 。 2


2 2 AF 2 ? ( x 1 ?2 ) ? y 1 ? 2 1

2 x ?4 x x ? 1 ?4 ?( 3 x 1 ?3 ) ? 2 1

y ? 1 在函数 y ? 2 x ? 4 x2 ? 8 x ? 3 的

, BF2 ? 2x2 ?1 。 ……………………… ∵
( 2x1 ? 1 ) (x2 ? 1 ) x1 4 x2 ? 2? ?1 6 x2 ( x2 ? ) ? 12 1? 3? k 4 k ? 2 3? k

10 分

k2 ? 4k ? 1 3 ? ?1 ? 2 3? k

, ∴
k 2 ? 3 时, (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0 ,

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x2
5 伴你成长

数竞之路



? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?


4 3? 4?k 。 3? k2 , 得 AF2 ? BF2 ? 6
2

AI r ? 。 AD R

…………………… 5 分

(作 IP ? AB 于 P , DQ ? AB 于 Q ,则
AI IP r ) ? ? 。 AD DQ R

4

11 ? 3 ? k2 4 解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ? 3 (舍 ? 6, 2 3 3? k

由条件知,A 、I 、
D 三 点 共 线 ,

A

去) 。 ∴
k ? ?1 。

k2 ?1

, ………

I E ?

B DF ? BC 。 ,C
I E ∥ D, F

P I M B Q F N G E C



……………………

15 分

3 ? k 2 ? 4 时, (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0 ,

GE IE r ? ? 。 GF DF R

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x∴ 2 ?1) ? 2 x1 ? x2 ?1
?2 2k ?1 。 3? k2
AI GE ? 。 AD GF

………

由 AF2 ? BF2 ? 6 , 得2 解得 k ? ?2 或 k ?

2k ? 1 6 ? , 3? k2

………… 10 分 (
A I ? A D

2
? G G




E ,得 F G G I D

D

3 1 ? 13 或k ? ,均不符合, 2 2

舍去。此时,满足条件的 k 不存在。 综 上 可 得 , k 的 值 为
?1 。

1



A I? G I ? A D? G D

GE , GF

……………………… 20 分

……

即 ∴

AG GE ? 。 AD ? GD GF

13.如图, I 、 D 分别为 △ABC 的内心、 旁心, BC 与圆 I 、圆 D 相切,切点分别为 E 、
F , G 为 AD 与 BC 的交点。

AG ? A D? G D ? AG

GE 。 ………… 15 G?F G E
A

分 ∵
M

(1)求证:

AI GE ? ; AD GF

为 EF 中点, ,
GF ? GE ? MF ? MG ? (ME ? MG) ? 2MG I C G M E ∴
B F

(2) 若 M 为 EF 中点, 求证: AE∥DM 。 (旁心: 三角形旁切圆的圆心, 它是三角 形一个内角的平分线和其它两个内角的外角 平分线的交点。 ) 【解答】 (1)设圆 I 、圆 D 的半径分别为

AG GE ? 2 DG 2 MG


A D
6


? G 。 G G G E M D

r、R ,

伴你成长

数竞之路


△E



?E

G ? A ?

M , G 可 D得

G ∽△ A

GEA ? ?GMD 。 。因此, M G ? D

r?

2 2 OI ? ? 5 2 ? 2015 ? 5 ? 2015 。 2 2


AE ∥ DM





r?

OA ? OB ? AB 2



………………………………… 20 分 另解:设 ID 的中点为 N ,则由 IE∥DF ,
M 为 EF 中 点 知 , M N ∥ I ∥ E

AB ? OA ? OB ? 2r ,
D F且 ,

AB

2

? ( OA ? OB ? 2r ) 2 ? OA

2

? OB

2

MN ?

1 ( DF ? IE ) 。 2

。 ∴ 。 ( 5 t1 ? 5 t2 ? 2? 5 ? 2 021 5 ? ) t21 2 ? 5 t22 2 5 。 ………………… ∴ 10 分
2 。 ( t1 ? t2 ? 2 ? 2015 )2 ? t12 ? t2



AI IE AI IE ? ? ,可得 , AD DF AD ? AI DF ? IE

AI IE AI IE ? ? ,即 。……… 15 分 2 DN 2 MN DN NM

设 t1 ? x ? 2015 , t2 ? y ? 2015 , 则
2 ( x ? y2) ? ( x ? 2 0 1? 5 y) ? 。 (2

又 ?AIE ? ?DNM 。 ∴ ∴
AE ∥ DM

2 0 1 5 ) 2 0

△A I E ∽△ D N , M ?EAI ? ?MDN 。

∴ 。

x ? y2 0 1 ? x 5

2 ? 0 y 21 , 5

( x ? 2015)( y ? 2015) ? 2 ? 20152 ? 2 ? 52 ?132 ? 312


………………………………… 20 分 14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的 点称为整点, 三个顶点都是整点的三角形称为
7? 2015)为内心 整点三角形。求以点 I (2015,

…………………………

15 分

由 OA ? 2r , OB ? 2r 知, x ? 2015 ,
y ? 2015 为正整数,又 2 ? 52 ?132 ? 312 的正因

且直角顶点在坐标原点 O 的整点直角三角形
OAB 的个数。

数有 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 54 个。 ∴ ∴ 个。 …… 20 分
y) 有 54 组。 符合条件的 ( x ,

【答案】不妨设点 A 在第一象限。 设 ?xOI ? ? ,则 tan ? ?7 ,直线 OA 的斜

符 合 条 件 的 三 角 形 有 54 …………………

? tan ? ? 1 7 ? 1 3 ? ? 。 率 kOA ? tan(? ? ) ? 4 1 ? tan ? 1 ? 7 4

kOB ? ? 4 3

。 ……………………… 5 分

由 A 、 B 为 整 点 , 设 A(4t1 , 3t1 ) ,

B(?3t2 , 4t2 ) ,其中 t1 , t 2 为正整数。
∴ ∵

O A ? 5 1t, OB ? 5t2 。
△O A 内 B 切 圆 的 半 径

7 伴你成长

数竞之路



A2 ? ? m ? 6 , m? 7, m ? 8, m ? 9, m ?10 , m ?11 ?
15 . 若 对 任 意 的 正 整 数 m , 集 合 (n ? 3) m?1,m? 2 , L , m? 9 ? 9的任意 n ? m, 元子集中,总有 3 个元素两两互素,求 n 的最 小值。 【 答 案 】 考 察 集 合 ? 1,,, 2 3 L, 100 ? ( m ? 1 时)的 67 元子集: , , ……………

A16 ? ? m ? 90 , m ? 91, m ? 92 , m ? 93 , m ? 94 , m ? 95

A17 ? ? m ? 96 , m ? 97 , m ? 98 , m ? 99 ? 。
……………………… 15 分 显然上述 17 个集合的两两交集为空集, 并集为集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 。 设 集 合
M

P ? ? 2 ,,, 4 6 L, 100 ,,, 3 9 15 , L, 99 ?
(偶数与被 3 整除的奇数) 。 显然 P 中不存在 3 个两两互素的元素。 ∴ 求。 …………… 5 分 引理:对任意的正整数 m ,集合
n ? 67















m , ? m , ?1

, ? L2 m ,

9 m元子集。 9 ? 的?68

………

若集合 M 有 4 个元素来自集合 A17 。 由于

m 为奇数时, m ? 96 、 m ? 97 、 m ? 98 两两互
素; m 为偶数时, m ? 97 、 m ? 98 、 m ? 99 两 两互素。因此, M 中至少有 3 个元素两两互 素。 若集合 M 至多 3 个元素来自集合 A17 。 则
M 至少有 65 个元素来自集合 A1 、 A 2 、…、

m?1,m? 2 , m? 3 , ? m,

的任意 5 m?, 4 m? ?5

元子集中,总有 3 个元素两两互素。 引理的证明:设集合 A 是集合

?1, m ?2 , ? m ,m
元子集。 ∵ ∴

m ?, 3 m ? , 4

5 m ?的一个 5 ?

A16 。根据抽屉原理, M 至少有 5 个元素来自
m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m?5 m,

同一个集合,不妨设它们来自集合 A1 。由前 面的引理可知, 它们中存在 3 个两两互素的元 素。 ∴ ∴ 集合 M 中总有 3 个两两互素的元素。
n ? 68 符合要求,即对任意的正整数

这 6 个数中,3 奇 3 偶,恰有 1 个 5 的倍数。 若 A 中含有 3 个奇数, 则这 3 个奇数 必两两两互素,结论成立。 若 A 中元素为 2 奇 3 偶。 由于 3 个偶数中 至多有 1 个为 3 的倍数, 至多有 1 个为 5 的倍 数。因此,3 个偶数中必有 1 个数既不是 3 的 倍数,也不是 5 的倍数,它与 2 个奇数两两互 素。结论成立。 ∴ 立 …………………… 10 分 对 任 意 的 正 整 数 m , 将 集 合 引 理 成 。

m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的任意 m ,集合 ? m ,
68 元子集中,总有 3 个元素两两互素。 ∴ 68。 …………… 20 分

n











……………

?1, ? m ,m
个集合:

m ?2 , L, m ?9 9 分 成 如 下 17 ?划

A1 ? ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m?5 ?
8 伴你成长


推荐相关:

二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)

二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)二00四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(附答案)隐藏>> 京翰教育中心 http://www.zgjhjy.com 二 00 四年...


2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案

2 2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一...


2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(...


2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案

2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。∴ x ? 2 y ? 3z 的最小值为 ?12 。 5.已知函数 f ( x) ? x 2 cos...


2015年全国高中数学联赛福建预赛试题

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分)一、填空...


2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、...


2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案

2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考...


2012-2015年全国高中数学联合竞赛福建省预赛试题 Word版含答案

2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、...


2012年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(精简

2012年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(精简_学科竞赛_高中...文档贡献者 410huangyao 贡献于2015-05-12 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com