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广东省佛山市第一中学2015-2016学年高一数学10月月考试题


佛山一中 2015 学年度上学期第一次段考高一级数学科试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把正确填涂在答题卡上.

1,2,3,4,5?,且 A ? ?2,3,4?, B ? {4, 1.已知全集 U ? ? 5} ,则 A ? CU B 等于(
A.

{4} B.{4,5} C.{1,2,3,4} 2.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( A. y1 ? D.{2,3} )



( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

B. f ( x) ? x , g ( x) ? C. f ( x) ?
3

x2 ;

x4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;

D. f1 ( x) ?| 2 x ? 5 | , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 3.如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是( A.0 B.0 或 1 C.1
2



D.不能确定 )

4.若 f ( x) ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 ( ??, 4] 上是减函数,则 a 的取值范围是 ( A. (??, ?3] B. [?3, ??) C. ?? ?,?3? D. ?5,???

5.若对于任意实数 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在(-∞,0]上是增函数,则( A. f (?2) ? f (2)



3 B. f ( ?1) ? f (? ) 2
3 D. f ( 2) ? f ( ? ) 2

3 C. f ( ? ) ? f ( 2) 2

2 6.若一元二次不等式 x ? bx ? a ? 0 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3? ,则 a ? b =(



A.?6

B.1

C.5

D.6

? x ? 1 ( x ? 0) ? 7.已知 f(x)= ?? ( x ? 0) ,则 f [f(-2)]=( ). ?0 ( x ? 0) ?
A.-1 B. 0 C. 2 ) D.

?

8.下列集合 M 到 P 的对应 f 是映射的是(

A.M ={-2,0,2},P = {-4,0,4},f:M 中数的平方 B.M ={0,1},P = {-1,0,1},f:M 中数的平方根 C.M = Z,P = Q,f:M 中数的倒数 D.M = R,P ={ x| x > 0},f:M 中数的平方
-1-

9.已知函数 f ( x) ? ? A.[2,3)

?(1 ? b) x ? b, x ? 0
2 ?(b ? 3) x ? 2, x ? 0

在 (??, ??) 上是减函数,则实数 b 的范围为( C.(2,3) D.[1,3]



B.(1,3)

10.设奇函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 为( ) B. (??, ? 1) ? (0, 1) D. (?1 , 0) ? (0, 1)

f ( x ) ? f (? x ) ? 0 的解集 x

A. (?1 , 0) ? (1, ? ?) C. (??, ? 1) ? (1, ? ?)

11.调查了某校高一一班的 50 名学生参加课外活动小组的情况,有 32 人参加了数学兴趣小 组,有 27 人参加了英语兴趣小组,对于既参加数学兴趣小组,又参加英语兴趣小组的人数统 计中,下列说法正确的是( A.最多 32 人 ) C.最少 27 人 D.最少 9 人 则 F(x)的最值是

B.最多 13 人
2

12.已知 f(x)=5-2|x|,g(x)=x -2x,F(x)=? ( ) A.最大值为 3,最小值 5 ? 2 5 C.最大值为 3,无最小值

? ?g(x),若f(x)≥g(x), ?f(x),若f(x)<g(x). ?

B.最大值为 5 ? 2 5 ,无最小值 D.既无最大值,又无最小值

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填写在答卷相应的横线上. 13.函数 y ?

1 ? x ? 1 ? 3 3 x ? 1 的定义域为 2x ?1



2 14. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时,f ( x) = 2 x ?

1 ?x, 则 f ( x) = x



15. f ( x ? 1) ? x ? 3 ,则 f ( x) ?
y

16.已知 f (x) 是定义在 ? ?2, 0 ? ∪ ? 0, 2? 上的奇函数,当 x ? 0 时,

3 2

f (x) 的图象如右图所示, 那么 f (x) 的值域是

.
O 2 x

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分)
-2-

已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 10 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? 8 ? 0} , C ? {x | 2a ? x ? a ? 3} . 若 ( A ? B) ? C ? C ,试确定实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)= (1)求 a 的值; (2)判断 f (x) 的奇偶性,并加以证明; (3)判断函数 f (x) 在[2,+ ? )上的单调性,并加以证明.

ax 2 +4 ,且 f (1)=5 . x

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f(x)满足:函数 f(x+1)为偶函数,f(x)的最小值为-4,函数 f(x)的图象与

x 轴交点为 A、B,且 AB=4,求二次函数 f ? x ? 的解析式.

20. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) 是增函数,对于任意 x, y ? R, 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), (1)求 f (0) ;

-3-

(2)证明 f ( x ) 是奇函数; (3)解不等式

1 1 f ( x 2 ) ? f ( x) ? f (3x) . 2 2

21. (本小题满分 12 分) 0 如图,已知底角为 45 角的等腰梯形 ABCD, 底边 BC 长为 7cm,腰长为 2 2 cm,当一条垂直 于底边 BC(垂足为 F)的直线 ? 把梯形 ABCD

?
A D

E 分成两部分,令|BF|??x ( x ? 0) ,求左边部分的面积 y 关于

x 的函数解析式,并画出图象。

B

F

G

H

C

22. (本小题满分 14 分) 函数 y ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x ( a ? R ) ,设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ( 2 ? t ? 2 ) . (1)试把 y 表示成关于 t 的函数 m(t ) ; (2)把函数 m(t ) 的最大值记为 g (a ) ,求 g (a ) ; (3)当 a ? ? 2 时,试求满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a 的值.

1 a

佛山一中 2015 学年度上学期第一次段考高一级数学科试题答卷 座位号: 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在相应的位置上. 13._____________________ ; 15._____________________ ; 试室号: 14._____________________ ; 16.______________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步
-4-



骤. 17. (本小题满分 12 分) 解:

18.(本小题满分 12 分) 解:

19. (本小题满分 12 分) 解:

-5-

20.(本小题满分 12 分) 解:

21. (本小题满分 12 分) 解:

?
A E D

B 10 y F

G

H

C

5
-6-

0

5

10

x

22.(本小题满分 14 分) 解:

-7-

佛山一中 2015 学年度上学期第一次段考高一级数学科试题答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DCBAD CDAAD DC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填在相应的位置上.

13. ? x | x ? ?1且x ?

? ?

1? ?; 2?

1 ? 2 ?? 2 x ? x ? x ? 14. ? 0 ? 2 1 ? 2x ? x ? x ?
16. [?3, ?2) ? (2,3] .

x?0 x?0 ; x?0

15; ? ?, 1 和 1, ??;

?

? ?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 12 分) 解:由题意,得 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? …………2 分

B ? ?x | x ? ?4或x ? 2?…………4 分

A ? B ? ?x | 2 ? x ? 5? …………6 分
∵ ( A ? B) ? C ? C ∴ C ? ( A ? B) …………7 分

当C ? ? , 2a ? a ? 3, 即a ? 3,?????8分


? a?3? 5 ? 当C ? ? ,则 ?2a ? a ? 3,解得1 ? a ? 2???11分 ? 2 ? 2a ?

∴ a 的取值范围是 ?1 , 2? ? ?3, ??? …………12 分 18.(本小题满分 12 分) 解: (1)依条件有 f (1) ? a ? 4 ? 5 ,所以 a ? 1 (2) f (x) 为奇函数. 证明如下: 由(1)可知 f ( x) ? …………2 分

x2 ? 4 ,显然 f ( x) 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) …………3 分 x

对于任意的 x ? (??,0) ? (0, ??) ,有 ? x ? (??, 0) ? (0, ??) , 所以 f (? x) ?

(? x) 2 ? 4 x2 ? 4 ?? ? ? f ( x) …………4 分 ?x x

故函数 f (x) 为奇函数. …………5 分 (3) f (x) 在[2,+ ? )上是增函数. 证明如下: 任取 x1 , x2 ?[2, ??) 且 x1 ? x2 ………………6 分 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
2 2 x12 ? 4 x2 ? 4 x12 x2 ? x1 x2 ? 4 x2 ? 4 x1 ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 4) ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

-8-

…………10 分

? 2 ? x1 ? x2 ,? x1 x2 ? 4 , x1 ? x2 ? 0 . 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f (x) 在[2,+ ? )上是增函数. 19. (本小题满分 12 分) 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) , …………………………1 分 ∴函数 f(x)的对称轴为 x ? ? ∵f(x)的最小值为-4, ∴ f ( x) ? a( x ?1) 2 ? 4 ? ax2 ? 2ax ? a ? 4 …………3 分 由 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? a ? 4 ? 0 得

……11 分

…………12 分

b ? 1 , …………2 分 2a

? x1 ? x2 ? 2 ? ?x ? x ? 1 ? 4 1 2 ? a ?

………………4 分

∴ | x 1 ? x 2 |2 ? (x 1 ? x 2 )2 ? 4x 1 ? x 2 …………5 分

4 16 ? 4 ? 4(1 ? )= =16 a a

∴ a ? 1 ………………6 分

∴ f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 …………7 分 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) , (2)定义域关于原点对称………4 分 ∴ f (0) ? 0 ………3 分

y ? ? x ,得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,
∴ f (? x) ? f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数 (3) f(x 2 ) ? f(x ) ? ………5 分

1 2

1 f(3x )∴ f(x 2 ) ? 2f(x ) ? f(3x )即 f(x 2 ) ? f(5x ) ………7 分 2
-9-

∵ f ( x) 在 ? 2, 2 为增函数 ∴ 错误!未找到引用源。 ∴解集为错误!未找到引用源。 ………12 分

?

?

21. (本小题满分 12 分) 0 解:过 A,D 分别作 AG⊥BC 于 G,DH⊥BC 于 H,因为 ABCD 是等腰梯形,底角 45 , AB= 2 2 cm 所以 BG=AG=DH=HC=2cm,又 BC=7cm,所以 AD=GH=3cm,

1 2 x 2 (2)当点 F 在 GH 上时,即 x ? (2,5] 时,y=2+2(x-2)=2x-2 …………………6 分 1 1 1 (3)当点 F 在 HC 上时,即 x ? ?5,7? 时,y = (3 ? 7) ? 2 ? ( x ? 7) 2 ?? ( x ? 7) 2 ? 10 2 2 2 1 2 ? x x ? ?0,2? ? 2 ? ∴函数的解析式为 y ? ? 2x ? 2 x ? ?2,5? …………8 分 ? 1 2 x ? ?5,7? ?? 2 ( x ? 7) ? 10 ?
(1)当点 F 在 BG 上时,即 x ? (0,2] 时,y= (图 4 分) 10 y

5

0 0 10

5

10

x 5

22.(本小题满分 14 分) 解: (1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x2
2 ∴ 1? x ?

x

1 2 t ? 1. 2

………………1 分

1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] . …………2 分 2 1 1 2 (2)∵直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴, …………3 分 a 2
2 ∴ y ? m(t ) ? a ( t ? 1) ? t ?

1 2

∴可分以下几种情况进行讨论: ①当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

- 10 -

1 ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a) ? m(2) ? a ? 2 ;…………4 分 a ②当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2; …………5 分
由t ? ? ③当 a ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 2 2 1 1 1 1 若 t ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , ,? ] 时, g (a) ? m(? ) ? ?a ? a a 2a 2 2 1 1 若 t ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? m(2) ? a ? 2 . …………8 分 a 2 1 ? a ? 2 ( a ? ? ) ? 2 ? 1 2 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? , (? ? a ? ? ) . ………………9 分 2a 2 2 ? 2 ? 2 (a ? ? ) ? 2 ?
若t ? ? ( 3 ) ① 当 ? 2 ?a

2 1 2 ?1? , 此 时 g ( a)? ? ? ? 时 , ? 2? ?? g ?? 2 a 2 ?a?

2,

2 ………………10 分 2 2 1 1 1 ?1? ②当 ? ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a) ? ?a ? , g ? ? ? 2 a 2 2 2a ?a? 2 2 1 ? 2 得a ? ? 由 ?a ? ,与 a ? ? 矛盾,舍去; ………………11 分 2a 2 2 1 1 ?1? ③当 ? ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g (a) ? a ? 2, g ? ? ? 2 a 2 ?a? 1 由 a ? 2 ? 2 得 a ? 2 ? 2 ,与 a ? ? 矛盾,舍去; …………12 分 2 1 ?1? 1 ④当 a ? 0 时, ? 0 ,此时 g (a) ? a ? 2, g ? ? ? ? 2 , a ?a? a 1 由 a ? 2 ? ? 2 得 a ? ?1 ,? a ? 0 ,? a ? 1 ………………13 分 a 2 1 综上所述,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 或 a ? 1 . ……14 分 a 2 ?? 2 ? a ? ?

- 11 -


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