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不等式与一元二次不等式的解法导学案


§ 3.1 不等关系与不等式(1)
学习目标
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系; 2. 会从实际问题中找出不等关系,并能列出不等式与不等式组.

例 2 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本. 据市场调查,若单价每提高 0.1 元,销售 量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为 x 元,

怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于 20 万元呢?

学习过程
一、课前准备 复习 1:写出一个以前所学的不等关系_________ 复习 2:用不等式表示,某地规定本地最低生活保障金 x 不低于 400 元______________________

二、新课导学 学习探究 探究 1: 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 至多 小于 至少 大于等于 不少于 小于等于 不多于 探究 2:限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40km/h,写成不 等式就是_______________

例 3 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数 量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?

某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 p 应不少于 2.5%,蛋白质的含量 q 应不少于 2.3%, 写成不等式组就是_________________

典型例题 例 1 设点 A 与平面

的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则其中不等关系有______________

例 4. 用不等式表示下面的不等关系: (1)a 与 b 的和是非负数_________________(2)某公路立交桥对通过车辆的高度 h“限高 4m” _____________________(3)如图(见课本 74 页),在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库, 四周是绿地,仓库的长 L 大于宽 W 的 4 倍

例 5. 有一个两位数大于 50 而小于 60,其个位数字比十位数大 2.试用不等式表示上述关系,并求出 这个两位数(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).

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三、总结提升 学习小结 1.会用不等式(组)表示实际问题的不等关系; 2.会用不等式(组)研究含有不等关系的问题. 当堂检测 1. 下列不等式中不成立的是( ). A. ?1 ? 2 B. ?1 ? 2 C. ?1 ? ?1 D. 2. 用不等式表示,某厂最低月生活费 a 不低于 300 元 ( ). A. a ? 300 B. a ? 300 C. a ? 300 D. a ? 300 3. 已知 a ? b ? 0 , b ? 0 ,那么 a, b, ?a, ?b 的大小关系是( ).
A. a ? b ? ?b ? ?a B. a ? ?b ? ?a ? b C. a ? ?b ? b ? ?a D. a ? b ? ?a ? ?b 4. 用不等式表示:a 与 b 的积是非正数___________ 5. 用不等式表示:某学校规定学生离校时间 t 在 16 点到 18 点之间_______________________ 6. 某夏令营有 48 人, 出发前要从 A、 两种型号的帐篷中选择一种. 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶. B A 若 只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 5 人,则有一顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 4 人,则有帐篷多余.设 A 型号的帐篷有 x 顶, 用不等式将题目中的不等关系表示出来.

§ 3.1 不等关系与不等式(2)
学习目标
1. 掌握不等式的基本性质;2. 会用不等式的性质证明简单的不等式; 3. 会将一些基本性质结合起来应用.

学习过程
一、课前准备 1.设点 A 与平面 ? 之间的距离为 d,B 为平面 ? 上任意一点,则点 A 与平面 ? 的距离小于或等于 A、 B 两点间的距离,请将上述不等关系写成不等式.

2.在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性质. (1) a ? b, b ? c ? a ___ c (2) a ? b ? a ? c ____ b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc

二、新课导学 学习探究 问题 1:如何比较两个实数的大小.

问题 2:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?并利用以上基本性质,证明不等式的下列性质:

(1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b .
2. 某正版光碟,若售价 20 元/本,可以发行 10 张,售价每体高 2 元,发行量就减少 5000 张,如何定 价可使销售总收入不低于 224 万元?

典型例题 例 1 比较大小: (1) ( 3 ? 2)2

2 ( 6? 1 ); 6? 2 6 ;(2) ( 3 ? 2)2 1 1 (3) ;(4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b . 5?2 6? 5 2 2 变式:比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小.

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例 2 已知 a ? b ?0 , c ? 0求证 ,

c c ? . a b

例 4. 用不等号“>”或“<”填空: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ____ b ? d ;(2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ; 1 1 (3) a ? b ? 0 ? 3 a ____ 3 b ;(4) a ? b ? 0 ? 2 ___ 2 . a b x 例 5 已知 x>0,求证 1 ? x ? 1 ? . 2

变式: 已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,求证:

a b . ? d c

a 例 3 已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范围. b

三、总结提升 四、学习小结 1、本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比较两个 实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论. 2、 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 (1)作差法的一般步骤: 作差——变形——判号——定论 (2)作商法的一般步骤: 作商——变形——与 1 比较大小——定论 当堂检测 1. 若 f ( x) ? 3x 2 ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为( ). A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) D.随 x 值变化而变化
2. 已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( ). 2 2 2 2 2 A. x ? a ? 0 B. x ? ax ? a C. x ? ax ? 0 ? ?? ? ? 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ,则 的范围是( ). 2 2 2 A. (? ,0) 2 D. x2 ? a 2 ? ax

变式:已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9a ? b 的取值范围.

C. (? ,0] D. [? ,0) 2 2 1 1 4. 如果 a ? b , 有下列不等式: a2 ? b2 , ① ② ? , 3a ? 3b , lg a ? lg b , ③ ④ 其中成立的是 a b 5. 设 a ? 0 , ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关系为 .

?

B. [? ,0] 2

?

?

?

.

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6. 比较

1 2 5 1 与 的大小. ? ? 3 7 12 5

§ 一元二次不等式及其解法(1) 3.2
学习目标
1. 正确理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法; 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系,能借助二次函数的图象及一元二次方 程解一元二次不等式.

学习过程
一、课前准备 复习 1:解下列不等式: 1 1 ① x ? ?1 ; ② ? x ? 1; 2 2 7. 某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案 A 为一次性投资 500 万元;方案 B 为 第一年投资 5 万元,以后每年都比前一年增加 10 万元.列出不等式表示“经 n 年之后,方案 B 的投入 不少于方案 A 的投入”.

1 ③ ? x ?1 ? 0. 2

复习 2:写出一个以前所学的一元二次不等式_____________,一元二次函数________________,一元 二次方程___________________

二、新课导学 学习探究 探究一:某同学要上网,有两家公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时收费); 公司 B 的收费原则为:在第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后每 小时减少 0.1 元(若一次上网时间超过 17 小时按 17 小时计算). 如何选择?

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归纳:这是一个关于 x 的一元二次不等式,最终归结为如何解一元二次不等式. 新知:只含有____个未知数,并且未知数的最高次数是_______的不等式,称为_______________. 探究二:如何解一元二次不等式?能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢? 归纳:解不等式时应先将二次项系数化为正,再根据图象写出其解集.

变式:求下列不等式的解集. (1) x2 ? 2x ? 3 ? 0 ; (2) ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 .

??0

??0

??0

二次函数
y ? ax 2 ? bx ? c

( a ? 0 )的图象
例 2 求不等式 4 x2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.

一元二次方程
ax 2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0 ?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

※ 典型例题 例 1 求不等式 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集.

小结:解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式.(2)判断 ? 的符号.(3)求方程的根. (4)根据图象写解集. 练一练 练 1. 求不等式 4 x2 ? 4 x ? 15 的解集. 练 2. 求不等式 13 ? 4 x2 ? 0 的解集.

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三、总结提升 学习小结 1、解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式( a ? 0 ).(2)判断 ? 的符号 (3)求方程的根.(4)根据图象写解集. 2、
?a ? 0 (1) ax2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0 ?a ? 0 (2) ax2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0

§ 一元二次不等式及其解法(2) 3.2
学习目标
1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系; 2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.

学习过程
一、课前准备 复习 1:一元二次不等式的解法步骤是 1.____________________ 3.____________________ 4._______________ 复习 2: 解不等式. (1) 3x2 ? 7 x ? 10 ; (2) ?2 x2 ? x ? 5 ? 0 . 2.________________

当堂检测 1. 已知方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 , x1 ? x2 , a ? 0 , 且 若 则不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解为 ( A.R B. x1 ? x ? x2 C. x ? x1 或 x ? x2 D.无解
2. 关于 x 的不等式 x2 ? x ? c ? 0 的解集是全体实数的条件是( ). 1 1 1 1 A. c ? B. c ? C. c ? D. c ? 4 4 4 4 3. 在下列不等式中,解集是 ? 的是( ). A. 2 x2 ? 3x ? 2 ? 0 B. x2 ? 4x ? 4 ? 0 C. 4 ? 4x ? x2 ? 0 4. 不等式 x2 ? 3x ? 0 的解集是 . 5. y ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 的定义域为 6、求下列不等式的解集 (1) x2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (2) x2 ? 4x ? 5 ? 0 . .

) .

D. ?2 ? 3x ? 2 x2 ? 0

二、新课导学 典型例题 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系: 1 1 2 s? x? x .在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度 20 180 是多少?(精确到 0.01km/h)

7、 若关于 x 的一元二次方程 x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围.

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例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创 造的价值 y(元)之间有如下的关系: y ? ?2 x 2 ? 220 x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多 少辆摩托车?

例 4.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖出 30 盏;若售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的 销售价格?

三、总结提升 四、学习小结 (1)进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、一元二次不等式与一元二次方程以及 一元二次函数的关系. (2)连结三个“二次”的纽带是:坐标思想:函数值 y 是否大于零等价于为 P ( x, y ) 是否在 x 轴的上方.
(3) “二次” 三个 关系的实质是数形结合思想:ax2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax 2 ? bx ? c 图象上的点 ( x, 0) ;
ax2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax 2 ? bx ? c 图象上的点 ( x, y ) 在 x 轴的上方的 x 的取值范围.

例 3 产品的总成本 y(万元)与产量 x 之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20 x ? 0.1x 2 , x ? (0, 240). 若每台 产品的售价为 25 万元,求生产者不亏本时的最低产量.

当堂检测
1. 函数 y ?
1
2

x ? x ? 12 A. ? x | x ? ?4 或 x ? 3}

的定义域是(

).
C. ? x | x ? ?4 或 x ? 3} D. {x | ?4 ? x ? 3}

B. {x | ?4 ? x ? 3}

1 2 1 2 2. 不等式 ( )2 x ?3 x ?9 ? ( ) x ?3 x ?17 的解集是( ). 3 3 A.[2,4] B. (??, 2] ? [4, ??) C.R

D. (??, ?2] ? [4, ??)

3. 集合 A= ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0} ,
2

B= {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ,则 A ? B =( ). A. x |1 ? x ? 2 或 3 ? x ? 4} B. x |1 ? x ? 2 且 3 ? x ? 4} C. 2, 4} {1, 3, { { 4. 不等式 ( x ? 5)( x ? 2) ? 0 的解集为 .

D. x | ?4 ? x ? ?1 或 2 ? x ? 3} { .

5. 已知两个圆的半径分别为 1 和 5,圆心距满足 d 2 ? 10d ? 24 ? 0 ,则两圆的位置关系为 6. 求下列不等式的解集: (1) ? x2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (2) x(9 ? x) ? 0 .

第 7 页

§ 一元二次不等式及其解法(3) 3.2
学习目标
1. 掌握一元二次不等式的解法; 2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题. 小结:二次不等式给出解集,既可以确定对应的二次函数图象开口方向(即 a 的符号),又可以确定 对应的二次方程的两个根,由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式,或通过代入法求解不等式. 1 1 变式:已知二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 或 x ? } , 2 3 2 求关于 x 的不等式 c x ? b x a0 的解集. ? ?

学习过程
一、课前准备 复习 1:实数比较大小的方法_____________ 复习 2:不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集.

二、新课导学 ※ 学习探究 含参数的一元二次不等式的解法 解关于 x 的不等式:
x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0

例 2 A ? {x | x2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围.

分析:在上述不等式中含有参数,因此需要先判断参数对的解的影响. 先将不等式化为方程 x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0 此方程是否有解,若有,分别为__________,其大小关系为________________ 试试:能否根据图象写出其解集为_____________

典型例题
1 例 1 设关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? } ,求 a? b 3

小结: (1)解一元二次不等式含有字母系数时,要讨论根的大小从而确定解集. (2)集合间的关系可以借助数轴来分析,从而确定端点处值的大小关系. 例 3 若关于 m 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.

第 8 页

变式 1:解集为非空.

变式 2:解集为一切实数.

小结: m 的不同实数取值对不等式的次数有影响,当不等式为一元二次不等式时, m 的取值还会影响 二次函数图象的开口方向,以及和 x 轴的位置关系. 因此求解中,必须对实数 m 的取值分类讨论. 练一练 练 1. 设 x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.

三、总结提升 学习小结 对含有字母系数的一元二次不等式,在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论,其讨论的原则 性一般分为四类: ※ 按二次项系数是否为零进行分类; ※ 若二次项系数不为零,再按其符号分类; ※ 按判别式 ? 的符号分类; ※ 按两根的大小分类. ※ 知识拓展 解高次不等式时,用根轴法:就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,并求出它的 零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从 x 轴的右端上方起,依次穿过这些零点,则大 于零的不等式的解对应着曲线在 x 轴上方的实数 x 的取值集合; 小于零的不等式的解对应着曲线在 x 轴 下方的实数 x 的取值集合. 当堂检测 1. 若方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两根为 2,3,那么 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为( ). A. {x | x ? 3 或 x ? ?2} B. {x | x ? 2 或 x ? ?3} C. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 2} 1 1 2. 不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 {x | ? ? x ? } ,则 a ? b 等于( ). 2 3 A. ? 14 B.14 C. ? 10 D.10 2 3. 关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是( ). 3 3 A. (? ,1] B. (?1,1) C. (?1,1] D. (? ,1) 5 5 2 4. 不等式 x ? 5x ? 24 的解集是 . 1 5. 若不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? ? } ,则 a, b 的值分别是 . 4 6. m 是什么实数时,关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根.

练 2. 若方程 x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围. 7. 解关于 x 的不等式 x2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 (a∈R).

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