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均值定理专题归纳


姓名: 戚晨铖

金榈书院 上课日期:7 月 22 日 基本不等式

编号:05

一、基础知识:
1.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取

“ ? ”) 2

2.

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a?b 2 2

(当且仅当 a ? b 时取“ ? ”)

注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

二、简单应用:
例 1、求下列函数的值域 (1) y ? 3 x ?
2

1 2x2

(2) y ? x ?

1 x

a b 练:若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

三、常用方法
1、 凑 例 2、已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值. 4 4x ? 5

例 3、当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值.

练: (1) 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

(2)若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x, y 的值 x y

-1-

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2、拆 例 4、 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域. x ?1

3、整体代换 例 5、已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

练: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? ( 2 ) 已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

4、换元 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域. x ?1

练:设 x , y 为实数,若 4x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值是

.

四、综合练习
2 1、已知 x, y 为正实数,且 x ?

y2 ? 1,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2

-2-

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2、已知 a , b 为正实数, 2b ? ab ? a ? 30 ,求函数 y ?

1 的最小值. ab

3、已知 a ? 0, b ? 0, ab ? (a ? b) ? 1 ,求 a ? b 的最小值。

4、已知 x, y 为正实数, 3x ? 2 y ? 10 ,求函数 w ? 3x ? 2 y 的最大值.

5、求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

6、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

-3-

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7、 正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证: (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8abc

8、已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

9、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

10、若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

-4-


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