tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

均值定理专题归纳


姓名: 戚晨铖

金榈书院 上课日期:7 月 22 日 基本不等式

编号:05

一、基础知识:
1.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取

“ ? ”) 2

2.

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a?b 2 2

(当且仅当 a ? b 时取“ ? ”)

注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”

二、简单应用:
例 1、求下列函数的值域 (1) y ? 3 x ?
2

1 2x2

(2) y ? x ?

1 x

a b 练:若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

三、常用方法
1、 凑 例 2、已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值. 4 4x ? 5

例 3、当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值.

练: (1) 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

(2)若 log4 x ? log4 y ? 2 ,求

1 1 ? 的最小值.并求 x, y 的值 x y

-1-

金榈书院
2、拆 例 4、 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域. x ?1

3、整体代换 例 5、已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

练: (1)若 x, y ? R 且 2 x ?

?

y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

? ( 2 ) 已知 a, b, x, y ? R 且 a ? b ? 1 ,求 x x y

? y 的最小值

4、换元 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域. x ?1

练:设 x , y 为实数,若 4x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值是

.

四、综合练习
2 1、已知 x, y 为正实数,且 x ?

y2 ? 1,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2

-2-

金榈书院
2、已知 a , b 为正实数, 2b ? ab ? a ? 30 ,求函数 y ?

1 的最小值. ab

3、已知 a ? 0, b ? 0, ab ? (a ? b) ? 1 ,求 a ? b 的最小值。

4、已知 x, y 为正实数, 3x ? 2 y ? 10 ,求函数 w ? 3x ? 2 y 的最大值.

5、求函数 y ? 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( 1 ? x ? 5 ) 的最大值。
2 2

6、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

-3-

金榈书院
7、 正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证: (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8abc

8、已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

9、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

10、若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

-4-


推荐相关:

均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式 公式 ...g ( x) a 技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取丌到的情况,结合函数...


均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五: 在应用最值定理求最值...专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年幼儿园...


均值不等式公式总结及应用

均值不等式公式总结及应用_学科竞赛_高中教育_教育专区。均值不等式应用 1. (1...技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取丌到的情况,结合函数 f ( x ) ...


均值定理练习

均值定理练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学专题练习 第一部分 1.如果 a >0,则 a ? 集合与逻辑---均值定理 .10 25 ≥ a 2.如果 x ? 0,...


均值不等式的总结及应用

均值不等式的总结及应用_理学_高等教育_教育专区。高分中考 zhongkao.gaofen.com...lg( ),则 P, Q, R 的大小关系是 2 2 应用四:均值定理在比较大小中的...


《专题一:常用逻辑用语》知识点归纳

专题一:常用逻辑用语》知识点归纳_高三数学_数学_...均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值...二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、...


均值不等式专题复习

均值不等式专题复习_理学_高等教育_教育专区。算术平均...算术平均数与几何平均数 一、知识点归纳 1、重要不...定理 ①如果 a, b 是正数, 那么 a+b a+b ≥...


正确使用均值定理

正确使用均值定理_数学_自然科学_专业资料。正确使用均值定理 均值不等式在中学数学中应用非常广泛,尤其是在证明不等式、 求函数最值时经常用到,但一定要注意每个均...


均值定理求最值的方法和技巧

均值定理求最值的方法和技巧 1. 直接运用均值定理 例 1、求函数 y ? 2 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值。 x 变式:求函数 y ? 2 x ? 2 的值域。 x...


均值不等式常见题型整理

那么 a +b ≥ 均值定理:如果 a﹑b∈R+,那么 均值定理可叙述为: 4.变式...专题推荐 2014下半年教师资格...专题 2014教师资格材料分析辅... 2014小学...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com