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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 专题五 实际应用问题


专题讲座五 实际应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题, 高考命题坚持“贴近课本、 贴近 生活、贴近实际”的原则,要求考生一方面要牢固掌握基础知识、基本技能和基本方法;另 一方面要善于把文字语言转译成数学语言,实现由实际问题向数学问题的转化.

函数、不等式应用题 函数应用题经常涉及路程、物价、产量等实际问题,也可涉及长度、角度、面积、体积

等几何量,解答这类问题一般要列出有关解析式,然后用函数、方程、不等式等知识解决. (2015· 深圳模拟)某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3 000 元时, 可全部租出;当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆 每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? [解] (1)租金增加了 600 元,所以未租出的车有 12 辆,一共租出了 88 辆. (2)设每辆车的月租金为 x 元(x≥3 000),租赁公司的月收益为 y 元, x-3 000? x-3 000 x-3 000? 则 y=x?100- - ×50-?100- ×150 50 50 ? 50 ? ? ? x2 =- +162x-21 000 50 1 =- (x-4 050)2+307 050, 50 所以当 x=4 050 时,ymax=307 050. 即每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大为 307 050 元. [规律方法] 在解决此类问题时需注意:一要过“阅读”关,读懂题目,能够概括出问 题所涉及的内容;二要过“理解关”,准确理解和把握这些变量之间的关系;三要过“建模 关”, 在前两步的基础上, 把实际问题转化为数学问题, 建立数学模型; 四要过“解题关”, 通过解决数学问题得出实际问题的结论.

数列应用题 数列应用题,经常涉及到与增长率有关的实际问题以及已知前几个量的归纳推理问题, 需要运用等差、等比数列知识解决. (2015· 广东广州模拟 )流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道 传染病.某市今年 4 月份曾发生流感.据资料统计,4 月 1 日,该市新的流感病毒感染者有 20 人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人.由于该市医疗部门采取 措施,使该种病毒的传播得到控制.从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减 少 30 人,到 4 月 30 日止,该市在这 30 日内感染该病毒的患者总共有 8 670 人.问 4 月几

日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数. [解] 设从 4 月 1 日起第 n(n∈N*,1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多,则从 4 月 1 日到第 n 日止,每日新患者人数依次构成一个等差数列,这个等差数列的首项为 20, n(n-1) 公差为 50,前 n 日的患者总人数即该数列前 n 项之和 Sn=20n+ ·50=25n2-5n. 2 从第 n+1 日开始,至 4 月 30 日止,每日的新患者人数依次构成另一个等差数列,这个 等差数列的首项为[20+(n-1)· 50]-30=50n-60,公差为-30,项数为(30-n), (30-n)日的患者总人数为 (30-n)(29-n) T30-n=(30-n)(50n-60)+ (-30) 2 =(30-n)(65n-495)=-65n2+2 445n-14 850. 依题意,Sn+T30-n=8 670, 即(25n2-5n)+(-65n2+2 445n-14 850)=8 670. 化简得 n2-61n+588=0, 解得 n=12 或 n=49. ∵1≤n≤30,∴n=12. 第 12 日的新患者人数为 20+(12-1)×50=570. ∴4 月 12 日,该市感染此病毒的新患者人数最多,且这一天的新患者为 570 人. [规律方法] 本题主要考查了等差数列的概念和公式,考查了阅读资料、提取信息、建 立数学模型的能力以及应用所学知识分析和解决实际问题的能力.

概率应用题 概率应用题主要考查古典概型、几何概型、互斥事件的概率.在考查概率时,还与二项 分布及离散型随机变量的期望与方差结合. (2015· 北京丰台模拟)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某地区老 龄人共有 35 万,随机调查了该地区 700 名老龄人的健康状况,结果如下表: 健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15

其中健康指数的含义是:2 表示“健康”,1 表示“基本健康”,0 表示“不健康,但 生活能够自理”,-1 表示“生活不能自理”. (1)估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率; (2)若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于 1.2,则该地区可被评为“老龄健康地 区”.请写出该地区老龄人健康指数 X 的分布列,并判断该地区能否被评为“老龄健康地 区”. 250+260+65 23 [解] (1)该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为 = , 250+260+65+25 24 23 所以该地区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 . 24 (2)该地区老龄人健康指数 X 的可能取值为 2, 1, 0, -1, 其分布列为(用频率估计概率): X 2 1 0 -1

P

270 700

305 700

85 700

40 700

270 305 85 40 E(X)=2× +1× +0× +(-1)× =1.15, 700 700 700 700 因为 E(X)<1.2,所以该地区不能被评为“老龄健康地区”. [规律方法] 解决此类问题,首先应仔细地分析题意,当概率分布不是一些熟知的类型 时,应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件,并准确判断各事件的相互关系,从而求 出各随机变量相应的概率,再利用随机变量均值公式求出均值. 1.(2015· 郑州市质检)为了迎接 2015 年 3 月 29 日在郑州举行的“中国郑开国际马拉松 赛”, 举办单位在活动推介晚会上进行嘉宾现场抽奖活动. 抽奖盒中装有六个大小相同的小 球,分别印有“郑开马拉松”和“美丽绿城行”两种标志.摇匀后,参加者每次从盒中同时 抽取两个小球(取出后不再放回),若抽到的两个球都印有“郑开马拉松”标志即可获奖,并 停止取球;否则继续抽取.第一次取球就抽中获一等奖,第二次取球抽中获二等奖,第三次 取球抽中获三等奖,没有抽中不获奖.活动开始后,一位参加者问:“盒中有几个印有‘郑 开马拉松’的小球?”主持人说: “我只知道第一次从盒中同时抽两球, 不都是‘美丽绿城 4 行’标志的概率是 .” 5 (1)求盒中印有“郑开马拉松”小球的个数; (2)若用 η 表示这位参加者抽取的次数,求 η 的分布列及期望. 解:(1)设印有“美丽绿城行”的球有 n 个,同时抽两球不都是“美丽绿城行”标志为 事件 A,
2 - Cn 则同时抽取两球都是“美丽绿城行”标志的概率是 P( A )= 2, 由对立事件的概率: P(A) C6 2 - 4 - Cn 1 =1-P( A )= ,即 P( A )= 2= ,解得 n=3. 5 C6 5

故盒中印有“郑开马拉松”的小球有 3 个. (2)由已知,两种球各三个,故 η 的可能取值分别为 1,2,3, C2 3 1 P(η=1)= 2= , C6 5
2 1 C2 C1 C2 1 3 C3 3C3 2 P(η=2)= 2· 2+ 2 · 2= , C6 C4 C6 C4 5

3 P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)= . 5 则 η 的分布列为: η P 1 1 5 2 1 5 3 3 5

1 1 3 12 所以 E(η)=1× +2× +3× = . 5 5 5 5 2.(2015· 东北四市联考) 在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰,山顶设有一个观察站 P. 有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午 11∶00 时,测得此船在岛北偏东 15°、俯 角为 30°的 B 处,到 11∶10 时,又测得该船在岛北偏西 45°,俯角为 60°的 C 处.

(1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 的行驶过程中与观察站 P 的最短距离. x 解:(1)设船速为 x km/h,则 BC= km. 6 在 Rt△PAB 中,∠PBA 与俯角相等为 30°, 1 ∴AB= = 3. tan 30° 同理,在 Rt△PCA 中,AC= 1 3 = . tan 60° 3

在△ACB 中,∠CAB=15°+45°=60°, ∴由余弦定理得 BC= ( 3)2+?
2 3 21 3? -2× 3× cos 60°= , 3 3 ?3?

∴x=6×

21 =2 21(km/h), 3

∴船的航行速度为 2 21 km/h. (2)法一:作 AD⊥BC 于点 D(图略), ∴当船行驶到点 D 时,AD 最小,从而 PD 最小. AB· AC· sin 60° 此时,AD= = BC 3× 3 3 × 3 2 3 = 7. 14 21 3

∴PD=

3 ?2 259 7 = 1+? . 14 ? ? 14 259 km. 14

∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为

AC BC 法二:由(1)知在△ACB 中,由正弦定理 = , sin B sin 60° 3 3 × 3 2 21 ∴sin B= = . 14 21 3 作 AD⊥BC 于点 D(图略),∴当船行驶到点 D 时,AD 最小,从而 PD 最小. 此时,AD=ABsin B= 3× ∴PD= 21 3 = 7. 14 14

3 ?2 259 1+? ?14 7? = 14 . 259 km. 14

∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为

3.(2015· 福建福州模拟)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件.

(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 商品的每件定价. 解:(1)设每件定价为 t 元, t-25 依题意,有(8- ×0.2)t≥25×8, 1 整理得 t2-65t+1 000≤0, 解得 25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, x 6 5 ∵ 150 1 + x≥2 x 6 150 1 · x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立), x 6

∴a≥10.2. ∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. 4.某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年投入各种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯 收入(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额). (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时,以 48 万 美元出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂.问哪种方案较合算? 解:由题意知,每年投入的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. n(n-1) 则 f(n)=50n-[12n+ ×4]-72=-2n2+40n-72. 2 (1)获取纯利润就是要求 f(n)>0,故由-2n2+40n-72>0,解得 2<n<18. 又 n∈N*,故从第三年开始获利. f(n) 36 (2)①平均利润为 =40-2(n+ )≤16,当且仅当 n=6 时取等号. n n 故此方案获利 6×16+48=144 万美元,此时 n=6. ②f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,当 n=10 时,f(n)max=128. 故此方案共获利 128+16=144 万美元. 比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需 6 年,第②种方案需要 10 年, 故选择第①种方案较合算.


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