tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【数学导航】2016届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形同步练习 文


【数学导航】2016 届高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三 角形同步练习 文
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的 图形.
?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ? (2)分类? ? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S= {β |β =α +k?360°,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度记作 rad. (2)公式: 角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 |α |= (弧长用 l 表示) π ①1°= rad 180 ②1 rad=?

l r

?180?° ? ?π ?

弧长 l=|α |r

S= lr= |α |r2

1 2

1 2

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义

y 叫做 α 的正弦,记 x 叫做 α 的余弦,记
作 sin α 作 cos α

y 叫做 α 的正切,记 x
作 tan α

1

各 象 限 符 号

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀

+ + - -

+ - - + Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦

+ - + -

三角函 数线 有向线段 有向线段 有向线段

MP 为正弦线

OM 为余弦线

AT 为正切线

1.三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 2.三角函数的定义及单位圆的应用技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边与 单位圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)小于 90°的角是锐角.( ) ) )

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)三角形的内角必是第一、第二象限角.( (4)不相等的角终边一定不相同.( )

(5)终边相同的角的同一三角函数值相等.(

) )

(6)点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 终边在第二象限.(

? π? (7)α ∈?0, ?,则 tan α >α >sin α .( 2? ?
(8)α 为第一象限角,则 sin α +cos α >1.(

) )

答案: (1)? (2)? (3)? (4)? (5)√ (6)√ (7)√ (8)√ 2.如图,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若∠AOP=θ ,则点 P 的 坐标是( )

2

A.(cos θ ,sin θ ) B.(-cos θ ,sin θ ) C.(sin θ ,cos θ ) D.(-sin θ ,cos θ ) 解析: 由三角函数的定义可知,点 P 的坐标是(cos θ ,sin θ ). 答案: A 3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 ) B.第二象限角 D.第四象限角

解析: 由 sin α <0, 知 α 在第三、 第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上, 由 tan α >0,知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 答案: C 2π 4.若点 P 在 角的终边上,且 P 的坐标为(-1,y),则 y 等于________. 3 解析: 因 tan 答案: 3 2π =- 3=-y,∴y= 3. 3

9π 5.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号). 4 9π 5π ①2kπ +45°(k∈Z); ②k?360°+ (k∈Z); ③k?360°-315°(k∈Z); ④kπ + 4 4 (k∈Z). 9π 9 解析: ∵ = ?180°=360°+45°=720°-315°, 4 4 9π ∴与 终边相同的角可表示为 k?360°-315°(k∈Z). 4 答案: ③

象限角及终边相同的角 自主练透型 1.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 )

B.第一或第二象限
3

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

解析: 当 k=2n(n∈Z)时,α =2n?180°+45°=n?360°+45°,α 为第一象限 角. 当 k=2n+1(n∈Z)时, α =(2n+1)?180°+45°=n?360°+225°, α 为第三象限 角. 所以 α 为第一或第三象限角.故选 A. 答案: A 2.(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 (3)已知角 α 为第三象限角,试确定-α 、2α 的终边所在的象限. π 解析: (1)∵在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3
? ? ? π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为?α ?α = +kπ ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ? . ? ?

6π (2)∵θ = +2kπ (k∈Z), 7 ∴ θ 2π 2kπ = + (k∈Z). 3 7 3

2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ? - ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 3π (3)∵π +2kπ <α < +2kπ (k∈Z), 2 3π ∴- -2kπ <-α <-π -2kπ (k∈Z). 2 ∴-α 终边在第二象限. ∴2π +4kπ <2α <3π +4kπ (k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. 1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与 这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. 2.利用终边相同的角的集合 S={β |β =2kπ +α ,k∈Z}判断一个角 β 所在的象限 时,只需把这个角写成[0,2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的 象限. 扇形的弧长及面积公式 自主练透型
4

已知一扇形的圆心角是 α ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)已知扇形的周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π 解析: (1)α =60°= rad, 3 π 10π ∴l=α ?R= ?10= (cm). 3 3 (2)设圆心角是 θ ,半径是 r, 2R+Rθ =10 ? ? 则?1 2 θ ?R =4 ? ?2
?R=1, ? ?? ?θ =8 ?

R=4, ? ? (舍去),? 1 θ = . ? 2 ?

1 故扇形圆心角为 . 2

(3)由已知得,l+2R=20. 1 1 2 2 所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R =-(R-5) +25, 2 2 所以当 R=5 时,S 取得最大值 25, 此时 l=10,α =2. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得 到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 三角函数的定义 分层深化型 (1)(2014?全国卷Ⅰ)若 tan α >0,则( A.sin 2α >0 C.sin α >0 )

B.cos α >0 D.cos 2α >0 2m ,求 cos α ,tan α 4

(2)已知角 α 的终边上一点 P(- 3,m)(m≠0),且 sin α = 的值.

π? ? 解析: (1)∵tan α >0,∴α ∈?kπ ,kπ + ?(k∈Z)是第一、三象限角. 2? ? ∴sin α ,cos α 都可正、可负,排除 B,C. 而 2α ∈(2kπ ,2kπ +π )(k∈Z), 结合正、余弦函数图象可知,A 正确.

5

π 取 α = ,则 tan α =1>0,而 cos 2α =0,故 D 不正确. 4 (2)设 P(x,y).由题设知 x=- 3,y=m, ∴r =|OP| =(- 3) +m (O 为原点),r= 3+m , ∴sin α = =
2 2 2 2 2 2

m r

2m m = , 4 2 2
2

∴r= 3+m =2 2,3+m =8,解得 m=± 5. 当 m= 5时,r=2 2,x=- 3,y= 5, - 3 6 15 ∴cos α = =- ,tan α =- ; 4 3 2 2 当 m=- 5时,r=2 2,x=- 3,y=- 5, - 3 6 15 ∴cos α = =- ,tan α = . 4 3 2 2 答案: (1)A

1.已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π ]内,α 的取值范围是 ( ) 5π ? ?π 3π ? ? A.? , ?∪?π , ? 4 ? ? 4 ? ?2 5π ? ?π π ? ? B.? , ?∪?π , ? 4 ? ?4 2? ?

?π 3π ? ?5π 3π ? C.? , ?∪? , ? 4 ? ? 4 2 ? ?2
? ?sin α -cos α >0, 解析: 由已知得? ?tan α >0, ?

? π π ? ? 3π ? D.? , ?∪? ,π ? 4 2 4 ? ? ? ?
α ∈[0,2π ],

π 5π <α < , ? ?4 4 ∴? π 3π 0<α < 或π <α < . ? ? 2 2 5π ? ?π π ? ? 故 α ∈? , ?∪?π , ?. 4 ? ?4 2? ? 答案: B 4 2.若角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α =- ,则 m 的值为________. 5 解析: ∵r= 64m +9,∴cos α = 4m 1 1 ∴m>0, 2 = ,∴m= . 64m +9 25 2
6
2 2

4 =- , 5 64m +9
2

-8m

答案:

1 2

3.若角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值. 解析: 设 α 终边上任一点为 P(-4a,3a), 3 4 3 当 a>0 时,r=5a,sin α = ,cos α =- ,tan α =- , 5 5 4 3 4 3 当 a<0 时,r=-5a,sin α =- ,cos α = ,tan α =- . 5 5 4

4.(2014?全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的 距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]的图象大致为( )

解析: 以 O 为坐标原点,射线 OA 为 x 轴的正方向,建立坐标系. 1 则 P(cos x,sin x),M(cos x,0),故 M 到直线 OP 的距离为 f(x)=|sin x?cos x|= 2 |sin 2x|,x∈[0,π ],故选 C. 答案: C 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数 的定义求解; (2)已知角 α 的终边所在的直线方程, 则可先设出终边上一点的坐标, 求出此点到原点 的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.

7

A 级 基础训练 1 .集合 {α |kπ + ( ) π π ≤α ≤kπ + , k ∈ Z} 中的角的终边所在的范围 ( 阴影部分 ) 是 4 2

解析:

当 k = 2n 时,2nπ +

π π π ≤α ≤2nπ + ;当 k = 2n + 1 时, 2nπ +π + 4 2 4

π ≤α ≤2nπ +π + .故选 C. 2 答案: C 2.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( π A. 3 π C.- 3 π B. 6 π D.- 6 )

解析: 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故 A、B 不正确,又因为拨快 1 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ?2π =- . 6 3 答案: C 3.已知 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cos α = A. 3 C.- 2 解析: 依题意得 cos α = 答案: D 4 .给出下列各函数值:① sin( -1 000 °);② cos( -2 200°);③ tan(- 10) ;④ sin 7π cos π 10 .其中符号为负的是( 17π tan 9 A.① C.③ B.± 3 D.- 3 2 x,则 x=( 4 )

x 2 = x<0,由此解得 x=- 3,选 D. 2 x +5 4

)

B.② D.④
8

解析: sin(-1 000°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos(-40°)=cos 40°> 0;tan(-10)=tan(3π -10)<0; sin 7π 7π cos π -sin 10 10 7π 17π = ,sin >0,tan <0,∴原式>0. 17π 17π 10 9 tan tan 9 9

答案: C cos α 5.若 sin α tan α <0,且 <0,则角 α 是( tan α A.第一象限角 C.第三象限角 )

B.第二象限角 D.第四象限角

解析: 由 sin α tan α <0 可知 sin α ,tan α 异号,从而 α 为第二或第三象限角. 由 cos α <0 可知 cos α ,tan α 异号,从而 α 为第三或第四象限角. tan α

综上可知,α 为第三象限角. 答案: C π π 6.已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则扇形的弧长等于________. 6 3

解析:

l π ? ?r=6 设扇形半径为 r,弧长为 l,则? 1 π lr= ? ?2 3



π ? ?l= 3 解得? ? ?r=2 答案: π 3

.

7.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐 4 标为 ,则 cos α =________. 5

4 解析: 因为 A 点纵坐标 yA= ,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆, 5 3 所以 A 点横坐标 xA=- , 5
9

3 由三角函数的定义可得 cos α =- . 5 3 答案: - 5 8.设角 α 是第三象限角,且?sin

? ?

α ? α α ?=-sin 2 ,则角 2 是第________象限角. 2? 3π π α 3π (k∈Z), kπ + < <kπ + 2 2 2 4

解析: 由 α 是第三象限角, 知 2kπ +π <α <2kπ +

α ? α α α α ? (k∈Z),知 是第二或第四象限角,再由?sin ?=-sin 知 sin <0,所以 只能是 2? 2 2 2 2 ? 第四象限角. 答案: 四 9.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ =-x,求 sin θ +cos θ 的值. 解析: ∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0), 1 ∴tan θ =- .

x

又 tan θ =-x, ∴x =1,即 x=±1. 当 x=1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ = . 2 2
2

因此 sin θ +cos θ =0; 当 x=-1 时,sin θ =- 2 2 ,cos θ =- , 2 2

因此 sin θ +cos θ =- 2. 故 sin θ +cos θ 的值为 0 或- 2. π 10.已知 α = . 3 (1)写出所有与 α 终边相同的角; (2)写出在(-4π ,2π )内与 α 终边相同的角; β (3)若角 β 与 α 终边相同,则 是第几象限角? 2 解析: (1)所有与 α 终边相同的角可表示为
? ? ?θ ? ?

?θ =2kπ +π ,k∈Z ? 3 ?

? ? ? . ? ?

(2)由(1),令-4π <2kπ +

π <2π (k∈Z), 3
10

1 1 则有-2- <k<1- . 6 6 又∵k∈Z,∴取 k=-2,-1,0. 11π 5π π 故在(-4π ,2π )内与 α 终边相同的角是- 、- 、 . 3 3 3 π β π (3)由(1)有 β =2kπ + (k∈Z),则 =kπ + (k∈Z). 3 2 6 ∴ β 是第一、三象限的角. 2 B 级 能力提升 π sin θ cos θ 1. 已知角 α =2kπ - (k∈Z), 若角 θ 与角 α 的终边相同, 则 y= + 5 |sin θ | |cos θ | + tan θ 的值为( |tan θ | A.1 C.3 ) B.-1 D.-3

π 解析: 由 α =2kπ - (k∈Z),及终边相同的概念知,角 α 的终边在第四象限, 5 又角 θ 与角 α 的终边相同, 所以角 θ 是第四象限角, 所以 sin θ <0,cos θ >0,tan θ <0. 所以 y=-1+1-1=-1. 答案: B 1 2.满足 cos α ≤- 的角 α 的集合为________. 2 1 解析: 作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点, 连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图 2 中阴影部分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ?α ? ?

?2kπ +2π ≤α ≤2kπ +4π ,k∈Z ? 3 3 ?

? ? ? . ? ?

? ? ? 2 4 答案: ?α ?2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z 3 3 ? ? ?

? ? ? ? ?

3.已知扇形 AOB 的周长为 8.
11

(1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解析: 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α , 2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 ?2lr=3, ? 解得?
?r=3, ? ? ?l=2

或?

?r=1, ? ? ?l=6,

l 2 l ∴α = = 或 α = =6. r 3 r
(2)∵2r+l=8, 1 1 1?l+2r?2 1 ?8?2 l ∴S 扇= lr= l?2r≤ ? ? = ?? ? =4,当且仅当 2r=l,即 α =r=2 时,扇形 2 4 4? 2 ? 4 ?2? 面积取得最大值 4. ∴r=2, ∴弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. tan?-3? 4.(1)确定 的符号; cos 8?tan 5 (2)已知 α ∈(0,π ),且 sin α +cos α =m(0<m<1),试判断式子 sin α -cos α 的 符号. 解析: (1)∵-3,5,8 分别是第三、第四、第二象限角, ∴tan(-3)>0,tan 5<0,cos 8<0,∴原式大于 0. π (2)若 0<α < ,则如图所示,在单位圆中,OM=cos α ,MP=sin α , 2

∴sin α +cos α =MP+OM>OP=1. π 若 α = ,则 sin α +cos α =1. 2

?π ? 由已知 0<m<1,故 α ∈? ,π ?. ?2 ?
于是有 sin α -cos α >0. 第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式

12

sin α 2 2 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin α +cos α =1, =tan α . cos α π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正切的诱导公 2 式.

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1. sin α (2)商数关系:tan α = . cos α 2.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 α +2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α 二 π +α -sin_α -cos α tan α 三 -α -sin α cos_α -tan α 四 π -α sin α -cos α -tan_α 五 π -α 2 cos_α sin α 六 π +α 2 cos α - sin_α
2 2

1.诱导公式记忆口诀 对于角“


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变

偶不变”是指“当 k 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 k 为偶数时, 函数名不变”. “符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号.” 2.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ ±cos θ ) =1±2sin θ cos θ 的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin θ +cos θ =cos θ (1+tan θ )=tan 3.同角三角函数的基本关系式 sin α +cos α 、sin α -cos α 与 sin α cos α 的关系
13
2 2 2 2 2

π =?. 4

(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ; (sin α +cos α ) +(sin α -cos α ) =2; (sin α +cos α ) -(sin α -cos α ) =4sin α cos α . 对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一个式 子的值,可求其余二式的值.
2 2 2 2

2

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)sin θ +cos φ =1.(
2 2

) )

(2)同角三角函数的基本关系式中角 α 可以是任意角.( (3)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( )

(4) 诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与 α 关.( ) )

的大小无

1 1 (5)若 sin(kπ -α )= (k∈Z),则 sin α = .( 3 3 答案: (1)? (2)? (3)√ (4)√ (5)? 2.tan 315°的值为( A. 3 C.1 答案: D 1 ? π ? 3.若 cos α = ,α ∈?- ,0?,则 tan α 等于( 3 ? 2 ? A.- 2 4 B. 2 4 ) B.- 3 D.-1

)

C.-2 2 答案: C

D. 2 2

? 4π ? 4.sin?- ?=________. ? 3 ?
π? π 3 ? 4π ? ? 解析: sin?- ?=-sin?π + ?=sin = . 3? 3 2 ? 3 ? ? 答案: 5. 3 2

sin?2π -α ??cos?π -α ? =________. 5π 5π ? ? ? ? cos? +α ?sin? -α ? ? 2 ? ? 2 ?

14

sin?-α ???-cos α ? 解析: 原式= ?π ? ?π ? cos? +α ?sin? -α ? ?2 ? ?2 ? = sin α cos α =-1. -sin α cos α

答案: -1

利用诱导公式化简 自主练透型 1.已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ <0,cos θ >0 C.sin θ >0,cos θ >0 B.sin θ >0,cos θ <0 D.sin θ <0,cos θ <0 )

解析: sin(θ +π )<0,∴-sin θ <0,sin θ >0. ∵cos(θ -π )>0,∴-cos θ >0.∴cos θ <0. 答案: B sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? 2.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} 解析: 当 k 为偶数时,A= B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} sin α cos α + =2; sin α cos α )

k 为奇数时,A=
答案: C

-sin α cos α - =-2. sin α cos α

3π ? tan?π +α ?cos?2π +α ?sin?α - 2 ? 3.化简: cos?-α -3π ?sin?-3π -α ? π ?? ? ? tan α cos α sin?-2π +?α + ?? 2 ?? ? ? 解析: 原式= cos?3π +α ?[-sin?3π +α ?]

? ? ?

=________.

?π tan α cos α sin? +α ?2 = ?-cos α ?sin α

? ? ? tan α cos α cos α
= ?-cos α ?sin α

tan α cos α sin α cos α =- =- ? =-1. sin α cos α sin α 答案: -1 利用诱导公式化简三角函数的原则

15

遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数 名称转化,以保证三角函数名称最少. 利用诱导公式求值 互动讲练型 (1)已知 sin?

?π -α ?3

?=1,则 cos?π +α ? 2 ?6 ? ? ?=π , ? 2 ?

?=________; ? ?

(2)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050°)=________.

?π 解析: (1)∵? -α ?3

?+?π +α ? ?6 ? ?

?π ?π ?π ? ∴cos? +α ?=cos? -? -α ?6 ? ?2 ?3

??=sin?π -α ?? ?3 ?? ?

?=1. ? 2 ?

(2)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°?sin 1 050° = - sin(3?360° + 120°)cos(3?360° + 210°) - cos(2?360° + 300°)?sin(2?360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)?sin(360°-30°)= sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°= 1 答案: (1) 2 (2)1 3 3 1 1 ? + ? =1. 2 2 2 2

3 ?π ? ?5 ? 1.已知 tan? -α ?= ,则 tan? π +α ?=________. ?6 ? 3 ?6 ? 解析: ∵?

?π -α ?+?5π +α ?=π , ? ? 6 ? ?6 ? ? ?

?5 ? ? ?5 ?? ∴tan? π +α ?=-tan?π -? π +α ?? ?6 ? ? ?6 ??
3 ?π ? =-tan? -α ?=- . 3 ?6 ? 答案: - 3 3

2. 求值: sin 690°?sin 150°+cos 930°?cos(-870°)+tan 120°?tan 1 050°. 解析: 原 式 = sin(720° - 30°)?sin(180° - 30°) + cos(1 080° -

150°)?cos(720°+150°)+tan(180°-60°)?tan(1 080°-30°) =-sin 30°sin 30°+cos 150°cos 150°+tan 60°tan 30° 1 3 3 =- + +1= . 4 4 2

16

1.诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数 → 锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号. π π π 2.巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互余关系有 -α 与 +α ; +α 与 3 6 3 π π π π 2π π 3π -α ; +α 与 -α 等,常见的互补关系有 +θ 与 -θ ; +θ 与 -θ 等. 6 4 4 3 3 4 4 同角三角函数基本关系式 分层深化型 sin α +cos α 2 (1)若 tan α =2,则 +cos α =( sin α -cos α 16 A. 5 8 C. 5 16 B.- 5 8 D.- 5 ) → 任意正角的三角函数 → 0~2π 的角的三角函数

π 1 (2)已知- <x<0,sin x+cos x= ,则 sin x-cos x 的值为________. 2 5 解析: + sin α +cos α sin α +cos α cos α tan α +1 2 (1) +cos α = + = 2 2 sin α -cos α sin α -cos α sin α +cos α tan α -1
2

1 16 = . 2 tan α +1 5 1 (2)由 sin x+cos x= , 5 1 2 2 平方得 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 即 2sin xcos x=- , 25 49 2 ∴(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0, 2 7 故 sin x-cos x=- . 5 7 答案: (1)A (2)- 5

17

1.已知 tan α =2,则(1)
2

4sin α -2cos α =________. 5sin α +3cos α
2

(2)3sin α +3sin α cos α -2cos α =________. 解析: (1)法一:∵tan α =2,∴cos α ≠0, 4sin α 2cos α - cos α cos α 4sin α -2cos α ∴ = 5sin α +3cos α 5sin α 3cos α + cos α cos α = 4tan α -2 4?2-2 6 = = . 5tan α +3 5?2+3 13

法二:由 tan α =2,得 sin α =2cos α ,代入得 4sin α -2cos α 4?2cos α -2cos α 6cos α 6 = = = . 5sin α +3cos α 5?2cos α +3cos α 13cos α 13 (2)3sin α +3sin α cos α -2cos α = 3sin α +3sin α cos α -2cos α 3tan α +3tan α -2 = 2 2 2 sin α +cos α tan α +1
2 2 2 2 2 2

3?2 +3?2-2 16 = = . 2 2 +1 5 6 答案: (1) 13 16 (2) 5 2? π ? ? <α <π ?,则 sin α 3 ?2 ?

2.(2014?湖北武汉模拟)已知 sin(π -α )-cos(π +α )= -cos α =________. 解析: 由 sin(π -α )-cos(π +α )= 得 sin α +cos α = 2 ,① 3 2 , 3

2 将①两边平方得 1+2sin α ?cos α = , 9 7 故 2sin α cos α =- . 9

? 7? 16 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1-?- ?= , ? 9? 9
π 又∵ <α <π ,∴sin α >0,cos α <0. 2 4 ∴sin α -cos α = . 3 答案: 4 3
18

sin α +3cos α 2 3.已知 =5,则 sin α -sin α cos α =________. 3cos α -sin α tan α +3 解析: 依题意得: =5,∴tan α =2. 3-tan α ∴sin α -sin α cos α =
2 2 2

sin α -sin α cos α 2 2 sin α +cos α

2



tan α -tan α 2 -2 2 = 2 = . 2 tan α +1 2 +1 5 2 5

答案:

4.(2014?浙江杭州模拟)若 θ ∈? ________.

?π ,π ?,sin 2θ = 1 ,则 cos θ -sin θ 的值是 ? 16 ?4 2?

15 2 解析: (cosθ -sin θ ) =1-sin 2θ = . 16 ∵ π π <θ < ,∴cos θ <sin θ . 4 2
2

∴cos θ -sin θ =- ?cos θ -sin θ ? =- 答案: - 15 4

15 . 4

5.(2014?山西山大附中 5 月月考)已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =( ) A.-1 C. 2 2
2

B.- D. 1
2

2 2

解析: 由 sin α -cos α = 2及 sin α +cos α =1,得(sin α -cos α ) =1-2sin 2sin α cos α α cos α =2,即 2sin α cos α =-1<0,故 tan α <0,且 2sin α cos α = 2 2 sin α +cos α 2tan α = =-1,解得 tan α =-1(正值舍). 2 1+tan α 答案: A 6.在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B),求 △ABC 的三个内角.
19

2

解析: 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos A=1. 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2

2

(1)当 cos A=

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π -(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- . 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角, ∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 同角三角函数关系式及变形公式的应用: sin α 2 2 (1)利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α cos α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α - cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二.
2

A 级 基础训练 4π 2π ? π? 1.sin?- ?+2sin +3sin 等于( 3 3 ? 3? A.1 C.0 ) 1 B. 3 D.-1

π π π 解析: 原式=-sin -2sin +3sin =0. 3 3 3 答案: C 3 π ?π ? 2.已知 cos? -φ ?= ,且|φ |< ,则 tan φ =( 2 ?2 ? 2 A.- 3 3 B. 3 3 )

C.- 3 3 ?π ? 解析: cos? -φ ?=sin φ = , 2 ?2 ?

D. 3

20

π 1 又|φ |< ,则 cos φ = ,所以 tan φ = 3. 2 2 答案: D 3.若角 α 的终边落在第三象限,则 A.3 C.1 cos α 1-sin α
2



2sin α 1-cos α
2

的值为(

)

B.-3 D.-1 cos α + |cos α |

解析: 由角 α 的终边落在第三象限得 sin α <0,cos α <0,故原式= 2sin α cos α 2sin α = + =-1-2=-3. |sin α | -cos α -sin α 答案: B 2sin α +1 4.(2014?福建泉州期末)已知 tan α =2,则 =( sin 2α 5 A. 3 13 C. 5 13 B.- 4 13 D. 4
2

)

1 解析: 因为 tan α =2,所以 sin α =2cos α ,cos α = sin α . 2 4 2sin α +1 2sin α +1 2 2 2 又因为 sin α +cos α =1,所以解得 sin α = .所以 = = 5 sin 2α 2sin α cos α 4 2? +1 5 2sin α +1 13 = = .故选 D. 2 sin α 4 4 5
2 2 2

答案: D 5.已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos (π x+β ),且 f(4)=3,则 f(2 015)的值 为( ) A.-1 C.3 B. 1 D.-3

解析: ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) =asin α +bcos β =3, ∴f(2 015)=asin(2 015π +α )+bcos(2 015π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-(asin α +bcos β )=-3.

21

即 f(2 015)=-3. 答案: D 3sin?π +α ?+cos?-α ? 6.已知 =2,则 tan α =________. 4sin?-α ?-cos?9π +α ? -3sin α +cos α 1 解析: 由已知得 =2,则 5sin α =cos α ,所以 tan α = . -4sin α +cos α 5 答案: 1 5

?π ? cos? +α ?sin?-π -α ? ?2 ? 7.已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π 9π ? ? ? ? -α ?sin? +α ? cos? ? 2 ? ? 2 ?
y 3 解析: ∵tan α = =- , x 4

?π ? cos? +α ?sin?-π -α ? -sin α ?sin α ?2 ? ∴ = ?11π -α ?sin?9π +α ? -sin α ?cos α cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
3 =tan α =- . 4 3 答案: - 4 1 cos?π +θ ? 8 .(2014?福建福州模拟 ) 已知 sin(3π + θ ) = ,则 + 3 cos θ [cos?π -θ ?-1] cos?θ -2π ? 3 π ? ? ?3π sin?θ - ?cos?θ -π ?-sin? +θ 2 ? ? ? 2

? ? ?

的值为________.

1 解析: ∵sin(3π +θ )=-sin θ = , 3 1 ∴sin θ =- . 3 -cos θ cos θ ∴原式= + cos θ ?-cos θ -1? cos θ ??-cos θ ?+cos θ = = = 1 cos θ + 2 1+cos θ -cos θ +cos θ 1 1 2 + = 2 1+cos θ 1-cos θ 1-cos θ 2 2 = =18. 2 sin θ ? 1?2 - ? 3? ? ?

22

答案: 18 9.求值:sin(-1 200°)?cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)+tan 945°. 解析: 945° =-sin 120°?cos 210°+cos 300°?(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)?(-cos 30°)+cos 60°?sin 30°+tan 45° = 3 3 1 1 ? + ? +1=2. 2 2 2 2 原式=-sin 1 200°?cos 1 290°+cos 1 020°?(-sin 1 050°)+tan

? 5π sin? +α 2 5 ? 2 10.已知 sin α = ,求 tan(α +π )+ 5 ? 5π cos? -α ? 2

? ? ? 的值. ? ? ?

2 5 解析: ∵sin α = >0,∴α 为第一或第二象限角. 5

?5π sin? +α ? 2 tan(α +π )+ ?5π cos? -α ? 2


? ? cos α ? =tan α + sin α ? ? ?

sin α cos α 1 + = . cos α sin α sin α cos α
2

(1)当 α 是第一象限角时,cos α = 1-sin α = 原式= 1 5 = . sin α cos α 2
2

5 , 5

(2)当 α 是第二象限角时,cos α =- 1-sin α =- 原式= 1 5 =- . sin α cos α 2 B 级 能力提升 1.设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,有以下表达式: (1)sin(A+B)+sin C; (2)cos(A+B)+cos C; (3)tan?
2

5 , 5

?A+B?tan C; ? 2 ? 2 ? ?A+B?+sin2C. ? 2 ? 2 ?
) B. 2 个
23

(4)sin ?

不管△ABC 的形状如何变化,始终是常数的表达式有( A.1 个

C.3 个

D. 4 个

解析: (1)sin(A+B)+sin C=sin(π -C)+sin C=2sin C,不是常数; (2)cos(A+B)+cos C=cos(π -C)+cos C=-cos C+cos C=0,是常数; (3)tan?
2

?A+B?tan C=tan?π -C?tan C=1,是常数; ? ? 2 2? 2 2 ? 2 ? ? ? ?A+B?+sin2C=sin2?π -C?+sin2C=cos2C+sin2C=1,是常数.故始终是常数 ? ? 2 2? 2 2 2 2 ? 2 ? ? ?

(4)sin ?

的表达式有 3 个,选 C. 答案: C 1 2.若 tan α = ,α ∈(π ,2π ),则 cos α =________.

m

sin α 1 m 2 2 2 解析: 由 tan α = = 和 sin α +cos α =1,得 cos α = 2. cos α m 1+m 当 m>0 时,α 为第三象限角,cos α <0, 所以 cos α =-

2

m2
1+m

2=-

m 1+m2 2 ; 1+m

当 m<0 时,α 为第四象限角,cos α >0, 所以 cos α = 故 cos α =- 答案: -

m2
1+m

2

=-

m 1+m2 2 . 1+m

m 1+m2 2 . 1+m

m 1+m2 2 1+m

3.已知 sin(3π +α )=2sin?

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

sin α -4cos α 2 (1) ;(2)sin α +sin 2α . 5sin α +2cos α 解析: 由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α = sin α +sin α 8 = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4
2 2 2 2

4.已知 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根.

?π ? ?3π ? (1)求 cos? +θ ?+sin? +θ ?的值; ?2 ? ? 2 ?
24

1 (2)求 tan(π -θ )- 的值. tan θ 解析: 由题意知原方程根的判别式 Δ ≥0,即(-a) -4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.又 ,(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ ,∴a -2a-1=0,∴a
2 2 2

? ?sin θ +cos θ =a ? ?sin θ cos θ =a ?

=1- 2或 a=1+ 2(舍去),∴sin θ +cos θ =sin θ cos θ =1- 2. (1)cos?

?π +θ ?+sin?3π +θ ?=-sin θ -cos θ = 2-1. ? ? 2 ? ?2 ? ? ?
1 1 sin θ cos θ 1 =- tan θ - =- - =- tan θ tan θ cos θ sin θ sin θ cos θ

(2)tan(π -θ )- 1 =- = 2+1. 1- 2

第三节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值,图象与

? π π? x 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ?
2 2?

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )=sin_α cos_β ±cos_α sin_β ; cos(α ?β )=cos_α cos_β ±sin_α sin_β ; tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin_α cos_α ; cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α
2 2 2 2

1.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β );

25

1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) ,sin α ±cos α π? ? = 2sin?α ± ?. 4? ? 2.三角公式内在关系
2, 2

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α ,β 是任意的.( ) )

(2)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.(

tan α +tan β (3)公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )(1 1-tan α tan β -tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( (4)存在实数 α ,使 tan 2α =2tan α .( 答案: (1)√ (2)√ (3)? (4)√ 2.若 sin 2 A.- 3 1 C. 3 解析: 因为 sin 答案: C 3.cos 33°cos 87°+sin 33°cos 177°的值为( 1 A. 2 C. 3 2 1 B.- 2 D.- 3 2 ) α 3 = ,则 cos α =( 2 3 ) 1 B.- 3 2 D. 3 α 3 ? 3?2 1 2α = ,所以 cos α =1-2sin =1-2?? ? = . 2 3 2 ?3? 3 ) )

解析: cos 33°cos 87°+sin 33°cos 177°
26

=cos 33°sin 3°-sin 33°cos 3° 1 =sin(3°-33°)=-sin 30°=- . 2 答案: B π? 4 ? 4.若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 sin?α + ?=________. 4? 5 ? 4 3 解析: 由于 α 是第三象限角且 cos α =- ,∴sin α =- , 5 5 π? π π 2? 3 4? 7 2 ? ∴sin?α + ?=sin α cos +cos α sin = ?- - ?=- . 4? 4 4 2 ? 5 5? 10 ? 7 2 答案: - 10

?π ? 5.设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?
1 ?π ? 解析: ∵sin 2α =2sin α cos α =-sin α ,∴cos α =- ,又 α ∈? ,π ?, 2 ?2 ? ∴sin α = 答案: 3 2tan α -2 3 ,tan α =- 3,∴tan 2α = = = 3. 2 2 1-tan α 1-?- 3?2 3

三角函数公式的基本应用 自主练透型 4 5 1.(2014?山东威海二模)在△ABC 中,若 cos A= ,cos B= ,则 cos C=( 5 13 3 A. 65 16 C. 65 36 B. 65 33 D. 65 )

4 5 π π 解析: 在△ABC 中,0<A<π ,0<B<π ,cos A= >0,cos B= >0,得 0<A< ,0<B< , 5 13 2 2 3 12 从而 sin A= ,sin B= ,所以 cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=sinA?sin B 5 13 3 12 4 5 16 -cos A?cos B= ? - ? = . 5 13 5 13 65 答案: C 2.已知 sin(π -α )=- 10 2sin α +sin 2α ,则 =( 10 π? ? cos?α - ? 4? ?
2

)

27

1 A. 2 2 5 C. 5 解析: ∵sin(π -α )=-
2

2 5 B.- 5 D. 2 10 10 ,∴sin α =- . 10 10



2sin α +sin 2α 2sin α ?sin α +cos α ? 2 5 = =2 2sin α =- . π? 5 2 ? cos?α - ? ?sin α +cos α ? 4? ? 2

答案: B 3.(2014?江苏卷)已知 α ∈?

?π ,π ?,sin α = 5. ? 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos?

?5π -2α ?的值. ? ? 6 ?

5 ?π ? 解析: (1)因为 α ∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ? 2 5 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 5 故 sin? =

?π +α ?=sin π cos α +cos π sin α ? 4 4 ?4 ?

2 ? 2 5? 2 5 10 ??- ?+ ? 5 =- 10 . 2 ? 5 ? 2 5 ? 4 5? 2 ??-2 ?=- ,cos 2α =1-2sin α 5 ? 5 5?

(2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? =1-2??

? 5?2 3 ?= , ?5? 5 ?5π -2α ?=cos 5π cos 2α +sin5π sin 2α ? 6 6 ? 6 ?

所以 cos? =?-

? ?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? ?? + ??- ?=- 10 . 2 ? 5 2 ? 5? 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α 、β 的

三角函数表示 α ±β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与 角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 三角函数公式的活用 互动讲练型

28

3π (1)若 α +β = ,则(1-tan α )(1-tan β )的值是________. 4 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: =________. π ? ? ? 2?π 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? 解析: (1)-1=tan 3π tan α +tan β =tan(α +β )= , 4 1-tan α tan β

∴tan α tan β -1=tan α +tan β . ∴1-tan α -tan β +tan α tan β =2, 即(1-tan α )(1-tan β )=2. 1 4 2 ?4cos x-4cos x+1? 2 (2)原式= ?π ? sin? -x? ?4 ? ? 2?π 2? ?cos ? -x? 4 π ? ? ? ? cos? -x? ?4 ? = ?2cos x-1? cos 2x = ?π ? ?π ? ?π ? 4sin? -x?cos? -x? 2sin? -2x? 4 4 2 ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2

cos 2x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2 1 答案: (1)2 (2) cos 2x 2

1.

sin 110°sin 20° 的值为( 2 2 cos 155°-sin 155°

) 1 B. 2 D.- 3 2

1 A.- 2 C. 3 2

解析:

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° = 2 2 cos 155°-sin 155° cos 310°

1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 = = = . cos 50° sin 40° 2 答案: B 2.若(4tan α +1)(1-4tan β )=17,则 tan(α -β )等于( 1 A. 4 1 B. 2
29

)

C.4

D.12

解析: 由已知得 4tan α -16tan α tan β +1-4tan β =17, ∴tan α -tan β =4(1+tan α tan β ), tan α -tan β ∴tan(α -β )= =4. 1+tan α tan β 答案: C 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公 式的逆用及变形,如 tan α +tan β =tan(α +β )?(1-tan α tan β )和二倍角的余弦 公式的多种变形等. 公式的逆用和变形应用更能开拓思路, 培养从正向思维向逆向思维转化 的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用. 角的变换 分层深化型 π? π? ? ? (1)已知 tan?α - ?=2,则 tan?α - ?的值为________. 12? 3? ? ? π? 5 4 ? π ? ?π ? ? (2) 已知 α ∈ ?- ,0? , β ∈ ? ,π ? , cos(α + β ) =- , cos?β - ? = ,则 4 ? 13 5 ? 4 ? ?2 ? ? π? ? cos?α + ?=( 4? ? 56 A.- 65 16 C. 65 π? ? 解析: (1)∵tan?α - ?=2, 12? ? π? π? π? ?? ? ∴tan?α - ?=tan??α - ?- ? 12? 4 ? 3? ? ?? = 2-1 1 = . 1+2?1 3 ) 16 B.- 65 56 D. 65

? π ? ?π ? (2)因为 α ∈?- ,0?,β ∈? ,π ?, 4 ? ? ?2 ?
所以(α +β )∈?

?π ,π ?,?β -π ?∈?π ,3π ?. ? ? ? 4? 4 ? ?4 ? ? ? ?4 ?

π? 5 4 ? 又因为 cos(α +β )=- ,cos?β - ?= , 4 ? 13 5 ? π ? 12 3 ? 所以 sin(α +β )= ,sin?β - ?= , 4 ? 13 5 ? π? π ?? ? ? ? 所以 cos?α + ?=cos??α +β ?-?β - ?? 4? 4 ?? ? ? ?

30

π? π? ? ? =cos(α +β )cos?β - ?+sin(α +β )sin?β - ? 4? 4? ? ? 4 5 3 12 16 =- ? + ? = . 5 13 5 13 65 1 答案: (1) 3 (2)C

π? 1 π? 2 ? ? 1.设 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,则 tan?α + ?=( 4? 4 4? 5 ? ? 13 A. 18 3 C. 22 13 B. 22 1 D. 6

)

π? π ?? ? ? ? 解析: tan?α + ?=tan??α +β ?-?β - ?? 4? 4 ?? ? ? ? π? ? tan?α +β ?-tan?β - ? 4? 3 ? = = . π ? 22 ? β - 1+tan?α +β ?tan? ? 4? ? 答案: C β ? π π ?π ? 1 cos?π -β ?= 3, ? 2. 若 0<α < , - <β <0, cos? +α ?= , 则 cos?α + ?=( ? ? 4 4 2 2? 2 2 ? ? 3 ? ? 3 ? A. 3 3 B.- D.- 3 3 6 9 )

5 3 C. 9

β ? ? ??π ? ?π β ?? 解析: cos?α + ?=cos?? +α ?-? - ?? 2? ? ?? 4 ? ? 4 2 ??

?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? =cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ?, ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2?
π ∵0<α < , 2 则 π π 3π ?π ? 2 2. < +α < ,∴sin? +α ?= 4 4 4 4 ? ? 3

π π π β π 又- <β <0,则 < - < , 2 4 4 2 2 6 ?π β ? ∴sin? - ?= . 2 2 ? ? 3

31

β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? 故 cos?α + ?= ? + ? = . 2? 3 3 3 3 9 ? 答案: C

5 α 1 3.(2014?湖南怀化质检)设 α ,β ∈(0,π ),且 sin(α +β )= ,tan = ,则 13 2 2 cos β =________. α 1 2? 2 2 α 1 4 ∵tan = ,∴tan α = = = ,结合 α ∈(0,π ),可知 2 2 α 1 2 ? ?2 3 1-tan 1-? ? 2 ?2? 2tan

解析:

sin α 4 4 3 ?π π ? 2 2 α ∈? , ?.由 tan α = = 及 sin α +cos α =1,得 sin α = ,cos α = .又 cos α 3 5 5 ?4 2? 5 2 12 ?3π ? sin(α +β )= < ,∴α +β ∈? ,π ?,cos(α +β )=- . 13 2 13 ? 4 ? 12 3 ∴cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )?cos α +sin(α +β )sin α =- ? 13 5 5 4 16 + ? =- . 13 5 65 16 答案: - 65

1 1 ? π? 4.已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且 α 、β ∈?0, ?,则 cos(α -β )的值等 2? 3 3 ? 于( ) 1 A.- 2 1 C.- 3 1 B. 2 23 D. 27

? π? 解析: ∵α 、β ∈?0, ?,∴α +β ∈(0,π ), 2? ?
∴sin α = 1-cos α =
2 2

?1?2 2 2, 1-? ? = 3 ?3? ? 1?2 2 2. 1-?- ? = 3 ? 3?

sin(α +β )= 1-cos ?α +β ?=

? 1? 1 ∴cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α =?- ?? ? 3? 3

32

2 2 2 2 7 + ? = , 3 3 9 ∴sin β = 1-cos β =
2

?7?2 4 2, 1-? ? = 9 ?9?

1 7 2 2 4 2 23 ∴cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β = ? + ? = . 3 9 3 9 27 答案: D 1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和 或差的形式. 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α =2? ;α =(α +β )-β ;α =β -(β -α ); 2 1 1 α = [(α +β )+(α -β )];β = [(α +β )-(α -β )]; 2 2 π π ?π ? +α = -? -α ?. 4 2 ?4 ?

A 级 基础训练 1.化简 cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( 1 A. 2 1 C.- 2 B. 3 2 3 2 )

D.-

解析: cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45° =cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45° 1 =cos(15°+45°)=cos 60°= ,故选 A. 2 答案: A 2.设 α ,β 都是锐角,那么下列各式中成立的是( A.sin(α +β )>sin α +sin β B.cos(α +β )>cos α cos β C.sin(α +β )>sin(α -β ) D.cos(α +β )>cos(α -β )
33

)

解析: ∵sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β , sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β , 又∵α 、β 都是锐角,∴cos α sin β >0, 故 sin(α +β )>sin(α -β ). 答案: C 3 ? π? ? π? 3.已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 6 3? 3 ? ? ? 2 3 A.- 3 C.-1 2 3 B.± 3 D.±1 )

? π? 解析: cos x+cos?x- ? 3? ?
1 3 3 3 =cos x+ cos x+ sin x= cos x+ sin x 2 2 2 2 = 3? 1 ? 3 ? ? π? cos x+ sin x?= 3cos?x- 6 ?=-1. ? ? 2 ?2 ?

答案: C 4. 3 1 - =( cos 10° sin 170° ) B. 2 D.-4 3 1 3 1 3sin 10°-cos 10° - = - = = cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° sin 10°cos 10°

A.4 C.-2 解析:

2sin?10°-30°? -2sin 20° = =-4. 1 1 sin 20° sin 20° 2 2 答案: D 5.(2014?兰州检测)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B?cos C,且 tan B?tan C =1- 2,则角 A 的值为( π A. 4 π C. 2 ) π B. 3 3π D. 4

解析: 由题意知,sin A=- 2cos B?cos C=sin(B+C)=sin B?cos C+cos B?sin

C,在等式- 2cos B?cos C=sin B?cos C+cos B?sin C 两边同除以 cos B?cos C 得

34

tan B+tan C tan B+tan C=- 2,又 tan(B+C)= =-1=-tan A,即 tan A=1,所以 1-tan Btan C

A= .
答案: A 6.tan 15°+tan 30°+tan 15°?tan 30°的值是________. 解析: 原式=tan(15°+30°)?(1-tan 15°?tan 30°)+tan 15°?tan 30°= tan 45°(1-tan 15°?tan 30°)+tan 15°?tan 30°=1. 答案: 1 5π ? 3 ? 7. 已知 sin(α -β )cos α -cos(β -α )sin α = , β 是第三象限角, 则 sin?β + ? 4 ? 5 ? =________. 解析: 依题意可将已知条件变形为 3 3 sin[(α -β )-α ]=-sin β = ,sin β =- . 5 5 4 又 β 是第三象限角,因此有 cos β =- . 5 5π ? π? ? ? sin?β + ?=-sin?β + ? 4 4? ? ? ? =-sin β cos 答案: 7 2 10 π π 7 2 -cos β sin = . 4 4 10

π 4

1 ? π? 8.(2014?河北高阳中学上学期第一次月考)已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?, 2? 2 ? cos 2α 则 的值为________. π? ? sin?α - ? 4? ? 1 解析: ∵sin α = +cos α , 2 1 1 ? π? 2 ∴sin α -cos α = ,则(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α = .∵α ∈?0, ?, 2? 2 4 ? ∴ sin α + cos α = ?sin α +cos α ? = 1+2sin α cos α =
2

7 cos 2α .则 = 2 π? ? sin?α - ? 4? ?

cos α -sin α

2

2

2 ?sin α -cos α ? 2

=- 2(sin α +cos α )=- 2?

7 14 =- . 2 2

35

答案: -

14 2

?sin 2α +cos 2α -1??sin 2α -cos 2α +1? 9.化简: . sin 4α ?sin 2α +cos 2α -1??sin 2α -cos 2α +1? 解析: ∵ sin 4α = sin 2α -?cos 2α -1? 2sin 2α ?cos 2α
2 2 2 2

sin 2α -cos 2α +2cos 2α -1 = 2sin 2α ?cos 2α = = -2cos 2α +2cos 2α 1-cos 2α = 2sin 2α ?cos 2α sin 2α 2sin α sin α = =tan α . 2sin α cos α cos α
2 2

3 1 10.已知 α ,β 均为锐角,且 sin α = ,tan(α -β )=- . 5 3 (1)求 sin(α -β )的值; (2)求 cos β 的值.

? π? 解析: (1)∵α ,β ∈?0, ?, 2? ?
π π 从而- <α -β < . 2 2 1 又∵tan(α -β )=- <0, 3 π ∴- <α -β <0. 2 ∴sin(α -β )=- 10 . 10

3 10 (2)由(1)可得,cos(α -β )= . 10 3 4 ∵α 为锐角,且 sin α = ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 4 3 10 3 ? 10? 9 10 = ? + ??- ?= 50 . 5 10 5 ? 10 ? B 级 能力提升

36

1.cos 1 A.- 8 1 C. 16

π 2π ? 23π ?=( ?cos ?cos?- 9 ? 9 9 ? ?

) B.- 1 D. 8 1 16

解析: cos

π 2π ? 23π ?=cos 20°?cos 40°?cos 100° ?cos ?cos?- ? 9 ? 9 9 ?

=-cos 20°?cos 40°?cos 80° sin 20°?cos 20°?cos 40°?cos 80° =- sin 20° 1 1 sin 40°?cos 40°?cos 80° sin 80°?cos 80° 2 4 =- =- sin 20° sin 20° 1 1 sin 160° sin 20° 8 8 1 =- =- =- . sin 20° sin 20° 8 答案: A 1-cos 2α 1 2.已知 =1,tan(β -α )=- ,则 tan(β -2α )=________. sin α cos α 3 解析: ∵ 1-cos 2α 1 =1,∴2tan α =1,即 tan α = . sin α cos α 2

∴tan(β -2α )=tan(β -α -α ) 1 1 - - 3 2 tan?β -α ?-tan α = = =-1. 1+tan?β -α ??tan α 1 1- 6 答案: -1

?π ? 1 3.已知 tan? +α ?= . ?4 ? 2
(1)求 tan α 的值; sin 2α -cos α (2)求 的值. 1+cos 2α
2

?π ? 解析: (1)法一:tan? +α ?= ?4 ?
由 tan?

π +tan α 4 1+tan α = . π 1-tan α 1-tan tan α 4 tan

?π +α ?=1,有1+tan α =1. ? 2 1-tan α 2 ?4 ?

37

1 解得 tan α =- . 3

??π ? π? 法二:tan α =tan?? +α ?- ? 4 ? 4? ??
π 1 ?π ? tan? +α ?-tan -1 4 2 ?4 ? 1 = = =- . π 1 3 π ? ? 1+ ?1 1+tan? +α ?tan 4 2 4 ? ? sin 2α -cos α (2)法一: 1+cos 2α 2sin α cos α -cos α 2sin α -cos α = = 2 1+2cos α -1 2cos α 1 1 1 5 =tan α - =- - =- . 2 3 2 6 1 1 法二:由(1)知 tan α =- ,得 sin α =- cos α . 3 3 1 1 9 2 2 2 2 2 ∴sin α = cos α ,1-cos α = cos α .∴cos α = . 9 9 10 4 2 于是 cos 2α =2cos α -1= , 5 2 2 3 sin 2α =2sin α cos α =- cos α =- . 3 5 3 9 - - 5 10 sin 2α -cos α 5 ∴ = =- . 1+cos 2α 4 6 1+ 5
2 2 2

4.已知 sin α +cos α =

π? 3 3 5 ? π? ? ?π π ? ,α ∈?0, ?,sin?β - ?= ,β ∈? , ?. 4 4 5 5 ? ? ? ? ?4 2?

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 2 解析: (1)由题意得(sin α +cos α ) = , 5 9 4 即 1+sin 2α = ,∴sin 2α = . 5 5 3 ? π? 2 又 2α ∈?0, ?,∴cos 2α = 1-sin 2α = , 2? 5 ? sin 2α 4 ∴tan 2α = = . cos 2α 3 π ? π? ?π π ? (2)∵β ∈? , ?,β - ∈?0, ?, 4? 4 ? ?4 2?
38

π? 3 π? 4 ? ? sin?β - ?= ,∴cos?β - ?= , 4? 5 4? 5 ? ? π? π? ? π ? 24 ? ? 于是 sin 2?β - ?=2sin?β - ?cos?β - ?= . 4 4 4 ? 25 ? ? ? ? ? π? 24 ? 又 sin 2?β - ?=-cos 2β ,∴cos 2β =- , 4 25 ? ? 7 ?π ? 又 2β ∈? ,π ?,∴sin 2β = , 2 25 ? ? 1+cos 2α 4 ? π? 2 又 cos α = = ,α ∈?0, ?, 4? 2 5 ? 2 5 5 ∴cos α = ,sin α = . 5 5 ∴cos(α +2β )=cos α cos 2β -sin α sin 2β = 2 5 ? 24? 5 7 11 5 ??- ?- ? =- . 5 25 ? 25? 5 25 第四节 简单的三角恒等变换

1.了解函数 y=Asin(ω x+φ )的物理意义,能画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图象,了 解参数 A,ω ,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的 实际问题.

半角公式

三角恒等变换的两个基本方向

39

一是变换函数名称,可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;二 是变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变 换等.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)当 α 是第一象限角时,sin (2)对任意角 α ,tan
2

α = 2

1-cos α .( 2 )

)

α 1-cos α = 都成立.( 2 1+cos α

(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.( 答案: (1)? (2)? (3)√ 1 2.下列各式的值为 的是( 4 A.2cos
2

)

) B.1-2sin 75° D.sin 15°cos 15°
2

π -1 12

2tan 22.5° C. 2 1-tan 22.5° 答案: D

1 α 3.已知 cos α = ,α ∈(π ,2π ),则 cos 等于( 3 2 A. C. 6 3 3 3 B.- D.- 6 3 3 3

)

1 α ?π ? 解析: ∵cos α = ,α ∈(π ,2π ),∴ ∈? ,π ?, 3 2 ?2 ? α =- 2 1+cos α =- 2 1 1+ 3 6 =- . 2 3

∴cos

答案: B

?π ? 4.已知锐角 α 满足 cos 2α =cos? -α ?,则 sin 2α =________. ?4 ?
答案: 1 2 2sin -1 2
2

x

?π ? 5.若 f(x)=2tan x- ,则 f? ?的值为________. x x ?12? sin cos 2 2
40

1-2sin 2 2cos x 2 4 ?π ? 解析: ∵f(x)=2tan x+ =2tan x+ = = , ∴f? ? 1 sin x sin xcos x sin 2x ?12? sin x 2 = 4 π sin 6 =8.

2

x

答案: 8

利用三角恒等变换化简求值 互动讲练型 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 (1)化简: . ?π ? 2?π ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? tan 12°- 3 (2)计算: . 2 ?4cos 12°-2?sin 12° 1 4 2 ?4cos x-4cos x+1? 2 解析: (1)原式= ?π ? sin? -x? ?4 ? ? 2?π 2? ?cos ? -x? π ?4 ? ? ? cos? -x? ?4 ? ?2cos x-1? cos 2x = = π π ? ? ? ? ?π ? 4sin? -x?cos? -x? 2sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? = cos 2x 1 = cos 2x. 2cos 2x 2
2 2 2 2

sin 12°- 3cos 12° (2)原式= 2sin 12°cos 12°cos 24° = 2sin?12°-60°? =-4. 1 sin 48° 2

θ θ ? ? ?1+sin θ +cos θ ??sin -cos ? 2 2? ? 1.化简 (0<θ <π ). 2+2cos θ

41

解析: 原式=

?2sin θ cos θ +2cos2θ ??sin θ -cos θ ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ?
4cos
2

θ 2

cos =

θ ? 2θ 2θ ? ?sin 2 -cos 2 ? 2? ? ?cos θ ? ? 2? ? ? θ ?cos θ 2 . ?cos θ ? ? ? 2? ?

-cos =

θ π θ 因为 0<θ <π ,所以 0< < .所以 cos >0. 2 2 2 所以原式=-cos θ . 2.求值:sin 50°(1+ 3tan 10°). 解析: sin 50°(1+ 3tan 10°) cos 10°+ 3sin 10° =sin 50°? cos 10° 2sin 40° =sin 50°? =1. cos 10° 1.三角函数式的化简的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆 分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切 化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇 到分式要通分”等. 2.给角求值的策略 给角求值问题的基本特点是式子中含有已知角, 但均为非特殊角, 所以无法直接代入求 得结果,解题的基本策略是善于发现角间的关系,通过三角公式的运用,或者产生特殊角, 代值求解,或者式子中出现正项和负项相抵消,或者出现分子和分母相约分等情况,从而求 得结果. 三角函数的给值求值 分层深化型

? π? ?5π ? 3 (2014?广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= . 4? ? ? 12 ? 2
(1)求 A 的值;
42

3 ? π? ?3 ? (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈?0, ?,求 f? π -θ ?. 2? 2 ? ?4 ?

? π? ? 5π ? 3 解析: (1)∵f(x)=Asin?x+ ?,且 f? ?= , 4 ? ? ? 12 ? 2
∴Asin?

?5π +π ?=3,∴A= 3. ? ? 12 4 ? 2

3 ? π? (2)∵f(x)= 3sin?x+ ?,且 f(θ )+f(-θ )= , 4 2 ? ? π? π? ? ? ∴f(θ )+f(-θ )= 3sin?θ + ?+ 3sin?-θ + ? 4? 4? ? ? = 3?2cos θ sin ∴cos θ = ∴f? π 3 = 6cos θ = . 4 2

6 10 ? π? 2 且 θ ∈?0, ?,∴sin θ = 1-cos θ = . 2? 4 4 ?

?3π -θ ?= 3sin?3π -θ +π ?= 3sin θ = 30. ? ? 4 4? 4 ? 4 ? ? ?

? π? 1.已知函数 f(x)=3sin?x+ ?, 3? ? ? π? ?π ? 若 f(θ )-f(-θ )= 3,θ ∈?0, ?,求 f? -θ ?. 2? ? ?6 ?
π? π ? 解析: f(θ )-f(-θ )=3sin?θ + ?-3sin(-θ + ) 3? 3 ?

?? =3??sin θ cos ??
=6sin θ cos 所以 sin θ =

π π π π ?? ? +cos θ sin ? ?-?-sin θ cos 3 +cos θ sin 3 ?? 3 3? ? ??

π =3sin θ = 3, 3 3 ? π? ,又因为 θ ∈?0, ?, 2? 3 ?
2

所以 cos θ = 1-sin θ = 所以 f?

1-?

6 ? 3?2 ?= , ?3? 3

?π -θ ?6

?=3sin?π -θ +π ?=3sin?π -θ ? ?6 ?2 3? ? ? ? ?

?=3cos θ = 6. ? ?

x x? x? 2.已知 f(x)=2cos ? 3sin +cos ?-1,x∈R. 2 2? 2?
8 ? π? 设 α ,β ∈?0, ?,f(α )=2,f(β )= ,求 f(α +β )的值. 2 5 ? ?
43

? π? 解析: f(x)= 3sin x+cos x =2sin?x+ ?,f(α )=2, 6? ?
π? π π 2π π π π ? sin?α + ?=1, <α + < ,所以 α + = ,α = . 6 6 6 3 6 2 3 ? ? π? 8 π? 4 π π 2π 4 3 π π π ? ? 2sin?β + ?= ,sin?β + ?= , <β + < ,因为 < ,所以 <β + < , 6? 5 6? 5 6 6 3 5 2 6 6 2 ? ? π? 3 ? cos?β + ?= , 6? 5 ? π? ? 所以 f(α +β )=2sin?α +β + ? 6? ? =2sin?

?π +β ?=2cos β ? ?2 ?

π? π? ?? =2cos??β + ?- ? 6? 6? ?? π? π? π π 3 3+4 ? ? =2cos?β + ?cos +2sin?β + ?sin = . 6? 6? 6 6 5 ? ?

1 ?π ? 3.已知 tan? +α ?=2,tan β = . 2 ?4 ? (1)求 tan α 的值; sin?α +β ?-2sin α cos β (2)求 的值. 2sin α sin β +cos?α +β ?

?π ? 解析: (1)法一:由 tan? +α ?=2 得, ?4 ?
π +tan α 4 1+tan α =2,即 =2, π 1-tan α 1-tan tan α 4 tan 1 解得 tan α = . 3

??π ? π? 法二:tan α =tan?? +α ?- ? 4 ? ? 4? ?
π ?π ? tan? +α ?-tan 4 ?4 ? = ?π ? π 1+tan? +α ?tan 4 4 ? ? = 2-1 1 = . 1+2?1 3

44

sin?α +β ?-2sin α cos β (2)由于 2sin α sin β +cos?α +β ? = = = sin α cos β +cos α sin β -2sin α cos β 2sin α sin β +cos α cos β -sin α sin β -?sin α cos β -cos α sin β ? cos α cos β +sin α sin β -sin?α -β ? =-tan(α -β ), cos?α -β ? tan α -tan β 1+tan α tan β

∴原式=-tan(α -β )=- 1 1 - 3 2 1 =- = . 1 1 7 1+ ? 3 2

三角函数有条件求值的策略: 解题关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. (1)一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; (2)变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. 三角函数的给值求角 互动讲练型 3 4 已知 α 、β 为锐角,sin α = ,cos(α +β )=- ,求 2α +β . 5 5 3 4 ? π? 解析: ∵sin α = ,α ∈?0, ?,∴cos α = . 2? 5 5 ? 4 ∵cos(α +β )=- ,α +β ∈(0,π ), 5 3 ∴sin(α +β )= , 5 ∴sin(2α +β )=sin[α +(α +β )] =sin α cos(α +β )+cos α sin(α +β ) 3 ? 4? 4 3 = ??- ?+ ? =0. 5 ? 5? 5 5

? 3π ? 又 2α +β ∈?0, ?, 2 ? ?
∴2α +β =π .

已知方程 x + 3ax + 3a + 1 = 0(a > 1) 的两根分别为 tan α 、 tan β ,且 α 、 β ∈

2

?-π ,π ?,则 α +β =( ? 2 2? ? ?

)
45

π A. 8 π 3π C. 或- 8 8

3π B.- 4 π 3π D. 或- 4 4

? ?tan α +tan β =-3a, 解析: 依题意有? ?tan α ?tan β =3a+1, ?

tan α +tan β -3a ∴tan(α +β )= = =1. 1-tan α ?tan β 1-?3a+1?
? ?tan α +tan β <0, 又? ?tan α ?tan β >0, ?

∴tan α <0 且 tan β <0.

π π ∴- <α <0 且- <β <0,即-π <α +β <0, 2 2 3π 结合 tan(α +β )=1,得 α +β =- . 4 答案: B 1.解决给值求角问题的一般步骤是:①求角的某一个三角函数值;②确 定角的范围;③根据角的范围写出要求的角. 2.在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数 在确定角的范围内为一对一函数.

A 级 基础训练 1. sin 20°cos 20° =( cos 50° ) B. 2 2

A.2 C. 2

1 D. 2

1 1 sin 40° sin 40° 2 sin 20°cos 20° 2 1 解析: = = = . cos 50° cos 50° sin 40° 2 答案: D 2.已知 α 为锐角,cos α = A.-3 5 ?π ? ,则 tan? +2α ?=( 5 ?4 ? 1 B.- 7 )

46

4 C.- 3

D.-7

2 5 2?2 4 ?π ? 解析: 依题意得, sin α = , 故 tan α =2, tan 2α = =- , 所以 tan? +2α ? 5 1-4 3 ?4 ? 4 1- 3 1 = =- . 4 7 1+ 3 答案: B 1 ? 2?π 3.(2014?东北三省二模)已知 sin α +cos α = ,则 sin ? -α ?=( 3 ?4 ? 1 A. 18 8 C. 9 17 B. 18 D. 2 9 )

1 8 解析: 由 sin α +cos α = ,将等式两边平方,得 2sin α cos α =- . 3 9
2?π 所以 sin ? -α ?4

?π 1-cos 2? -α ?4 ?= ? 2 ?

? ? ? 1-sin 2α
= 2

8 1+ 9 17 1-2sin α cos α = = = . 2 2 18

答案: B 4. 的值为( cos 10°- 3sin 10° 2sin 35°-1
2

) B.-1 1 D.- 2

A.1 1 C. 2
2

2sin 35°-1 -cos 70° 1 解析: 原式= = =- . 2sin 20° 2 1 3 ? ? 2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? 答案: D 5.定义运算? 则 β 等于( π A. 12 π C. 4 ) π B. 6 π D. 3 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc.若 cos α =7,? ?c d? ?cos α sin β ? 3 3 π ?= 14 ,0<β <α < 2 , cos β ?

3 3 π 解析: 依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )= ,又 0<β <α < , 14 2
47

π 13 2 ∴0<α -β < ,故 cos(α -β )= 1-sin ?α -β ?= , 2 14 1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 4 3 13 1 3 3 3 ? - ? = . 7 14 7 14 2

π 故β = . 3 答案: D cos 10°- 3sin 10° 6.求值: =________. sin 20° 3 ?1 ? 2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? 2sin?30°-10°? 解析: 原式= = =2 . sin 20° sin 20° 答案: 2

?π ? 1 ?π ? 7.若 sin? -α ?= ,则 cos? +2α ?=________. ?3 ? 4 ?3 ? ?π ?π ?? ?π ? 1 解析: ∵cos? -? -α ??=sin? -α ?= , ?? ?3 ? 4 ?2 ?3
即 cos?

?π +α ?=1,∴cos?π +2α ?=2cos2?π +α ?2-1 ? 4 ?3 ? ?6 ? ?6 ? ? ? ? ?

1 7 =2? -1=- . 16 8 7 答案: - 8 8.若锐角 α 、β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________. 解析: 由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4, tan α +tan β 可得 = 3,即 tan(α +β )= 3. 1-tan α tan β 又 α +β ∈(0,π ), π ∴α +β = . 3 答案: π 3

7 7 ? π? ?π ? 9.已知 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?,cos 2β =- ,sin(α +β )= . 2? 9 9 ? ?2 ?
48

(1)求 cos β 的值; (2)求 sin α 的值.

? 7? 1+?- ? 1+cos 2β ? 9? 1 2 解析: (1)cos β = = = , 2 2 9
1 ?π ? 又∵β ∈? ,π ?,∴cos β =- . 3 ?2 ? (2)由(1)知 sin β = 1-cos β =
2

? 1?2 2 2. 1-?- ? = 3 ? 3?

? π? ?π ? ?π 3π ? 由 α ∈?0, ?,β ∈? ,π ?,得(α +β )∈? , ?. 2 2 2 ? ? ? ? ? ?2
cos(α +β )=- 1-sin ?α +β ?=-
2

4 2 ?7?2 1-? ? =- . 9 ?9?

sin α =sin(α +β -β )=sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β 7 ? 1? ? 4 2? 2 2 1 = ??- ?-?- ?? 3 =3. 9 ? 3? ? 9 ? 1 5 ?π ? ? π? 10.已知 tan α =- ,cos β = ,α ∈? ,π ?,β ∈?0, ?, 2 2? 3 5 ? ? ? 求 tan(α +β )的值,并求出 α +β 的值. 解析: 由 cos β = 5 2 5 ? π? ,β ∈?0, ?,得 sin β = ,tan β =2. 2? 5 5 ?

1 - +2 3 tan α +tan β ∴tan(α +β )= = =1. 1-tan α tan β 2 1+ 3 ∵α ∈? ∴

?π ,π ?,β ∈?0,π ?, ? ? 2? ?2 ? ? ?

π 3π 5π <α +β < ,∴α +β = . 2 2 4 B 级 能力提升

1+sin β ? π? ? π? 1.(2014?全国卷Ⅰ)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? cos β ? ? π A.3α -β = 2 π C.3α +β = 2 π B.2α -β = 2 π D.2α +β = 2

)

49

?π ? 1+cos? -β ? 1+sin β ?2 ? 解析: tan α = = cos β π ? ? sin? -β ? ?2 ?
β ? ?π β ? 2?π 2cos ? - ? cos? - ? ?4 2? ?4 2? = = π β π β ? ? ? ? ?π β ? 2sin? - ?cos? - ? sin? - ? ?4 2? ?4 2? ?4 2?

?π β ? sin? + ? ?4 2? ?π β ? = =tan? + ?, π β ?4 2? ? ? cos? + ? ?4 2?
π ?π β ? ∴α =kπ +? + ?,k∈Z,∴2α -β =2kπ + ,k∈Z. 2 ?4 2? 当 k=0 时,满足 2α -β = 答案: B 1 1 2.若 α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- ,cos α -cos β = ,则 tan(α -β ) 2 2 =________. 1 1 解析: ∵sin α -sin β =- ,cos α -cos β = , 2 2 1 两式平方相加得:2-2cos α cos β -2sin α sin β = , 2 1 3 即 2-2cos(α -β )= ,∴cos(α -β )= , 2 4 1 π ∵α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- <0,∴0<α <β < . 2 2 π ∴- <α -β <0. 2 ∴sin(α -β )=- 1-cos ?α -β ?=- sin?α -β ? 7 ∴tan(α -β )= =- . cos?α -β ? 3 答案: - 7 3
2

π ,故选 B. 2

7 . 4

1+cos 20° ? 1 -tan 5°?. 3.求值: -sin 10°? ? 2sin 20° ?tan 5° ?
2 2cos 10° ?cos 5°-sin 5°? 解析: 原式= -sin 10°? ? 2?2sin 10°cos 10° ?sin 5° cos 5°?

50

= =

cos 10° cos 5°-sin 5° -sin 10°? 2sin 10° sin 5°cos 5° cos 10° cos 10° cos 10° cos 10°-2sin 20° -sin 10°? = -2cos 10°= 2sin 10° 1 2sin 10° 2sin 10° sin 10° 2

2

2

cos 10°-2sin?30°-10°? = 2sin 10° 3 ?1 ? cos 10°-2? cos 10°- sin 10°? 2 3sin 10° 3 ?2 ? = = = . 2sin 10° 2sin 10° 2 π α 1 2 4.已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 解析: (1)∵tan 2tan α 1 = , 2 2

α 1 2? 2 2 4 ∴tan α = = = , α 1 2 ? ?2 3 1-tan 1-? ? 2 ?2? sin α 4 ? ? = , 由?cos α 3 ? ?sin2α +cos2α =1, 4 4? ? 解得 sin α = ?sin α =- 舍去?. 5 5? ? (2)由(1)知 cos α = 1-sin α =
2

?4?2 3 1-? ? = , ?5? 5

π 又 0<α < <β <π ,∴β -α ∈(0,π ), 2 而 cos(β -α )= 2 , 10
2

∴sin(β -α )= 1-cos ?β -α ?= 于是 sin β =sin[α +(β -α )] =sin α cos(β -α )+cos α sin(β -α ) 4 2 3 7 2 2 = ? + ? = . 5 10 5 10 2

1-?

? 2?2 7 2 , ?= ? 10 ? 10

51

3π ?π ? 又 β ∈? ,π ?,∴β = . 4 ?2 ? 第五节 三角函数图象与性质

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的 正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 图象 {x|x∈R,且 x≠ 定义域 R R

y=sin x

y=cos x

y=tan x

kπ + ,k∈Z}
R π 奇函数

π 2

值域 周期性 奇偶性

[-1,1] 2π 奇函数

[-1,1] 2π 偶函数

?2kπ -π ,2kπ + ? 2 ?
单调性 π? 为增;[2kπ + 2? ? π 3π ,2kπ + ? ?为减 2 2 ? 对称 中心 对称轴 (kπ ,0) π 2

[2kπ ,2kπ +π ] 为减;[2kπ -π , 2kπ ]为增

?kπ -π ,kπ +π ? ? 2 2? ? ?
为增

?kπ +π ,0? ? ? 2 ? ?
x=kπ

?kπ ,0? ? 2 ? ? ?


x=kπ +

52

1.三角函数单调区间求法 先把已知函数式化成形如 y=Asin(ω x+φ )(φ >0)的形式, 再根据基本三角函数的单 调区间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内考虑.注意区分下 列两题的单调增区间的不同. π? ? ?π ? (1)y=sin?2x- ?;(2)y=sin? -2x?. 4? ? ?4 ? 2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ω x+φ )的形式,通过分析 ω x+φ 的范围,结合图象写 出函数的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来解决.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)y=sin x 在第一、第四象限是增函数.( ) )

(2)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( (3)所有的周期函数都有最小正周期.( ) ) )

(4)正切函数 y=tan x 在定义域内是增函数.( (5)y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( (6)y=sin|x|是偶函数.( )

答案: (1)? (2)√ (3)? (4)? (5)? (6)√ 2.函数 y=tan 2x 的定义域(
? ? π A.?x| x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ? ? π C.?x| x≠kπ + ,k∈Z? 8 ? ?

) B.?x| x≠
? ? ? ?


2 2

? π + ,k∈Z? 8 ? ? π + ,k∈Z? 4 ?

D.?x| x≠



答案: D π? ? 3.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则该函数的图象( 3? ? π A.关于直线 x= 对称 3 π C.关于直线 x=- 对称 6 解析: π? ? sin?2x+ ?. 3? ? B.关于点? D.关于点? )

?π ,0?对称 ? ?3 ? ?π ,0?对称 ? ?6 ?

π? ? ∵ f(x) = sin ?ω x+ ? (ω >0) 的最小正周期为 π ,∴ ω = 2 ,即 f(x) = 3? ?

53

?π ? ?2π π ? 经验证可知 f? ?=sin? + ?=sin π =0, 3? ?3? ? 3
即?

?π ,0?是函数 f(x)的一个对称点. ? ?3 ?

答案: B 4.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是________. 解析: 由 f(x)=sin(-2x)=-sin 2x, π 3π π 3π 2kπ + ≤2x≤2kπ + 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 2 4 4 π 3π ? ? 答案: ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 4 4 ? ?

? π? 5.函数 y=3-2cos?x+ ?的最大值为________,此时 x=________. 4? ?
π ? π? 解析: 函数 y=3-2cos?x+ ?的最大值为 3+2=5,此时 x+ =π +2kπ ,即 x 4? 4 ? 3π = +2kπ (k∈Z). 4 答案: 5 3π +2kπ (k∈Z) 4

三角函数的定义域与值域 分层深化型 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________; π? ? 2 (2)函数 y=cos x+sin x?|x|≤ ?的最大值为________. 4? ? 解析: (1)要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0, 即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出 y=sin x,y=cos x,x∈[0,2π ]的图象如图所 示.

结 合 图 象 及 正 、 余 弦 函 数 的 周 期 是 2π
? ? ? π 5π ?x?2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ? . ? ?

知 , 函 数 的 定 义 域 为

π (2)令 t=sin x,∵|x|≤ , 4

54

∴t∈?-

? ?

2 2? , ?. 2 2?

? 1?2 5 2 ∴y=-t +t+1=-?t- ? + , ? 2? 4
1 5 ∴当 t= 时,ymax= . 2 4
? ? π 5π ? 答案: (1)?x?2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

5 (2) 4

1.函数 y=

cos x-

3 的定义域为( 2

)

? π π? A.?- , ? ? 6 6?
π π? ? B.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 6 6? ? π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 6 6? ? D.R 解析: ∵cos x- 3 3 ≥0,得 cos x≥ , 2 2

π π ∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 6 6 答案: C 2.(2014?全国大纲版)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________. 解析: y=cos 2x+2sin x=-2sin x+2sin x+1,设 t=sin x(-1≤t≤1),则原 1 3 ? 1?2 3 2 函数可以化为 y=-2t +2t+1=-2?t- ? + ,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2 2 2 2 ? ? 答案: 3 2
2

3.函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x 的定义域为________.
? ?sin 2x>0, 解析: 由? 2 ?9-x ≥0, ?

2

55

?2kπ <2x<2kπ +π ,k∈Z, ? 得? ?-3≤x≤3. ?

π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2
? ? ? π π 2 ∴函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x 的定义域为?x?-3≤x<- 或0<x< 2 2 ? ? ? ? ? ? π π 答案: ?x?-3≤x<- 或0<x< 2 2 ? ? ? ? ? . ? ?

?

? ? ? ? ?

4.求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 解析: 设 t=sin x+cos x, 则 sin xcos x= 1 2

t2-1
2

(- 2≤t≤ 2).

y=t+ t2- = (t+1)2-1,
1 当 t= 2时,y 取最大值为 2+ , 2 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. 1 ? ? ∴函数值域为?-1, + 2?. 2 ? ?

1 1 2 2

π 2 5.若对任意 x∈R,不等式 (cos x-m)+π cos x≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围为 4 ________. π 2 解析: ∵不等式 (cos x-m)+π cos x≥0 恒成立. 4 即 m≤cos x+4cos x=(cos x+2) -4 恒成立. 令 t=cos x∈[-1,1], ∴当 t=-1 时,(t+2) -4 的最小值为-3. ∴m≤-3,∴m 的取值范围是(-∞,-3]. 答案: (-∞,-3] 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组), 常借助三角函数线或三角函数 图象来求解. 2.三角函数值域的不同求法: (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. (2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ω x+φ )的形式求值域.(本讲例 2(3)).
56
2 2 2

(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域. (4)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 三角函数的单调性 互动讲练型 π? ? (1)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? A.? B.? )

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ? ?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ?

π 2π ? ? C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π 5π ? ? D.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? π ? ?π ? ? (2)(2014?内蒙古赤峰优质摸底考试)已知 ω >0, 函数 f(x)=cos?ω x+ ?在? ,π ? 4? ?2 ? ? 上单调递增,则 ω 的取值范围是( )

?1 5? A.? , ? ?2 4? ?3 9? C.? , ? ?4 4?

?1 7? B.? , ? ?2 4? ?3 7? D.? , ? ?2 4? ?π x-π ? ? 3? ? 6

(3)(2014?北京东城 3 月质量调研)函数 y=2sin? (0≤x≤9)的最大值与最小值之差为( A.2+ 3 C.3 ) B. 4

D.2- 3

π π π kπ π kπ 5π 解析: (1)由 kπ - <2x- <kπ + (k∈Z)得, - <x< + (k∈Z),所以 2 3 2 2 12 2 12 π? ? ?kπ π kπ 5π ? 函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间为? - , + ?(k∈Z),故选 B. 3? 12 ? ? ? 2 12 2 (2) 函 数 y = cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 [ - π + 2kπ , 2kπ ] , k ∈ Z , 则 ωπ π ? ? 2 + 4 ≥-π +2kπ , ? π ω π + ≤2kπ , ? ? 4

k∈Z, 解得 4k- ≤ω ≤2k- , k∈Z, 又由 4k- -?2k- ? 4

5 2

1 4

5 ? 2 ?

1?

?

1 ?3 7? ≤0,k∈Z 且 2k- >0,k∈Z,得 k=1,所以 ω ∈? , ?. 4 ?2 4?

57

(3) 因为 0≤x≤9,所以- 2sin?

π π x π 7π πx π π ≤ - ≤ ,因此当 - = 时,函数 y = 3 6 3 6 6 3 2

?π x-π ?取得最大值,即 y =2?1=2,当π x-π =-π 时,函数 y=2sin?π x-π ? ? max ? 6 ? 3? 3? 6 3 3 ? 6 ?

? π? ?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最 取得最小值,即 ymin=2sin?- ?=- 3,因此 y=2sin? 3? ? 3? ? 6 ?
小值之差为 2+ 3,选 A. 答案: (1)B (2)D (3)A

1.函数 y=cos?

?π -2x?的单调减区间为________. ? ?4 ?

π? π ?π ? ? 解析: 由 y=cos? -2x?=cos?2x- ?得 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 4? 4 ?4 ? ? π 5π 故 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π ? ? 所以函数的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? π 5π ? ? 答案: ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ? π? ? ? π? 2.函数 f(x)=3sin?2x- ?在区间?0, ?上的值域为________. 6? 2? ? ? π ? π 5π ? ? π? 解析: 当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?, 2? 6 ? 6 ? 6 ? π? ? 1 ? ? sin?2x- ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? 3 ? ? 故 3sin?2x- ?∈?- ,3?, 6? ? 2 ? ?

? 3 ? 即此时函数 f(x)的值域是?- ,3?. ? 2 ? ? 3 ? 答案: ?- ,3? 2 ? ?
π ? ?π ? ? 3.已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 的取值范围是 4? ?2 ? ? ________. π ωπ π π π ?π 3π ? 解析: 由 <x<π ,ω >0 得, + <ω x+ <ω π + ,又 y=sin x 在? , ? 2 ? 2 2 4 4 4 ?2

58

ωπ π π ? ? 2 +4≥2, 上递减,所以? π 3π ωπ + ≤ , ? ? 4 2

1 5 解得 ≤ω ≤ . 2 4

?1 5? 答案: ? , ? ?2 4?
三角函数单调性问题及解题策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析 式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=

Acos(ω x+φ )(其中,ω >0)的单调区间时,要视“ω x+φ ”为一个整体,通过解不等式求
解.但如果 ω <0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系 求解. (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值).形如 y=Asin(ω x+φ )+b 或可化为 y=

Asin(ω x+φ )+b 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.
三角函数的奇偶性、周期性及对称性 分层深化型 π? ? (1)(2014?全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?, 6? ? π? ? ④y=tan?2x- ?中,最小正周期为 π 的所有函数为( 4? ? A.②④ C.①②③ B.①③④ D.①③ )

π? ? (2)(2014?江西重点中学盟校第一次联考)函数 y=2sin?2x+ ?的图象关于点 P(x0,0) 3? ?

? π ? 对称,若 x0∈?- ,0?,则 x0 等于( ? 2 ?
π A.- 2 π C.- 4

) π B.- 6 π D.- 3

解析: (1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π . ②由图象知,函数的周期 T=π . ③T=π . π ④T= . 2 综上可知,最小正周期为 π 的所有函数为①②③.
59

π kπ π π (2)由题意可知 2x0+ =kπ ,k∈Z,故 x0= - ,k∈Z,故 k=0 时,x0=- ∈ 3 2 6 6

?-π ,0?,故选 B. ? 2 ? ? ?
答案: (1)C (2)B

1.(2014?湖南桃江第一中学 8 月月考)下列函数中最小正周期是 π 且图象关于点

?π ,0?成中心对称的一个函数是( ?3 ? ? ? ?x π ? A.y=sin? + ? ?2 6 ?
π? ? C.y=cos?2x- ? 6? ?

) π? ? B.y=cos?2x- ? 3? ? π? ? D.y=sin?2x- ? 6? ?

π π π π 解析: 选项 B,C,D 的最小正周期都为 π ,而 2? - = ,cos =0,因此选 3 6 2 2 C. 答案: C

π? ? 2.(2014?长沙一模)若函数 f(x)=2tan?kπ + ?的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然 3? ? 数 k 的值为________. π 解析: 由题意知,1< <2,即 k<π <2k.又 k∈N,所以 k=2 或 k=3.

k

答案: 2 或 3 π? ? 3.(2014?北京顺义一模)已知函数 f(x)=cos?2x+ ?-cos 2x,其中 x∈R,给出下 3? ? 列四个结论: ①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; ②函数 f(x)图象的一条对称轴是直 线 x= 2π ?5π ,0? ;④函数 f(x) 的递增区间为 ;③函数 f(x) 图象的一个对称中心为 ? ? 3 ? 12 ? )

?kπ +π ,kπ +2π ?,k∈Z.则正确结论的个数是( ? 6 3 ? ? ?
A.1 C.3 B. 2 D. 4

π? π π ? 解析: 由已知得,f(x)=cos?2x+ ?-cos 2x=cos 2xcos -sin 2xsin -cos 3? 3 3 ? π? ? 2x=-sin?2x+ ?,不是奇函数,故①错; 6? ?
60

2π ?2π ? ?4π π ? 当 x= 时,f? ?=-sin? + ?=1,故②正确; 6? 3 ? 3 ? ? 3 5π ?5π ? 当 x= 时,f? ?=-sin π =0,故③正确; 12 ? 12 ? π π 3π π 2π 令 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + , k∈Z, 得 kπ + ≤x≤kπ + , k∈Z, 故④正确. 综 2 6 2 6 3 上,正确的结论个数为 3. 答案: C

π? ? 4.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ )?|φ |< ?,且其图象关于直线 x=0 2? ? 对称,则( )

? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数 2? ?
C.y=f(x)的最小正周期为 D.y=f(x)的最小正周期为 π ? π? ,且在?0, ?上为增函数 4? 2 ? π ? π? ,且在?0, ?上为减函数 4? 2 ?

解析: f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ ) π ? ? =2sin?2x+ +φ ?, 3 ? ? ∵其图象关于 x=0 对称,∴f(x)是偶函数, ∴ π π +φ = +kπ ,k∈Z. 3 2

π π 又∵|φ |< ,∴φ = . 2 6 π π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ + ?=2cos 2x. 3 6? ?

? π? 易知 f(x)的最小正周期为 π ,在?0, ?上为减函数. 2? ?
答案: B 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)=Asin(ω x+φ )为偶函数, 则当 x=0 时, f(x)取得最大值或最小值; 若 f(x) =Asin(ω x+φ )为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. (2)对于函数 y=Asin(ω x+φ ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心
61

一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时, 可通过检验 f(x0)的值进行判断. (3)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. 2π ②利用公式: y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 , y=tan(ω x |ω | π +φ )的最小正周期为 . |ω |

A 级 基础训练 3π ? 2? 1.(2014?广东韶关调研)函数 y=1-2sin ?x- ?是( 4 ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 3π ? ? 3π ? 2? 解析: y=1-2sin ?x- ?=cos 2?x- ?=-sin 2x, 4 ? 4 ? ? ? 所以 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数,故选 A. 答案: A π? ? 2. (2014?浙江金华十校 4 月模拟)关于函数 y=tan?2x- ?, 下列说法正确的是( 3? ? A.是奇函数 ) )

? π? B.是区间?0, ?上单调递减 3? ? ?π ? C.? ,0?为其图象的一个对称中心 ?6 ?
D.最小正周期为 π π? ? ? π? 解析: 函数 y=tan?2x- ?是非奇非偶函数,A 错误;在区间?0, ?上单调递增,B 3? 3? ? ? π 错误;最小正周期为 ,D 错误. 2 π ? π π? ∵当 x= 时,tan?2? - ?=0, 6 3? 6 ?

62

∴?

?π ,0?为其图象的一个对称中心,故选 C. ? ?6 ?

答案: C

? π π? 3.(2014?山东聊城期末测试)已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的 ? 3 4?
最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 2 A. 3 C.2 ) 3 B. 2 D. 3

π π ωπ ωπ 解析: ∵ω >0,- ≤x≤ ,∴- ≤ ω x≤ . 3 4 3 4 ωπ π 3 由已知条件知- ≤- ,∴ω ≥ . 3 2 2 答案: B 4.(2014?天津卷)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 π A. 2 C.π 2π B. 3 D.2π )

π? ? 解析: f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin?ω x+ ?,由 2sin(ω x+ 6? ? π? π? 1 ? =1, 得 sin?ω x+ ?= , 设 x1, x2 分别为距离最小的相邻交点的横坐标, 则 ω x1 6? 6? 2 ? ? π π π 5π 2π π + =2kπ + ,ω x2+ =2kπ + (k∈Z),两式相减,得 x2-x1= = ,所以 ω = 6 6 6 6 3ω 3 π? ? 2,故 f(x)=2sin?2x+ ?的最小正周期为 π ,故选 C. 6? ? 答案: C 5 . (2014? 甘 肃 兰 州 一 中 模 拟 ) 设 函 数 f(x) = sin(ω x + φ ) + cos(ω x + π? ? φ )?ω >0,|φ |< ?的最小正周期为 π ,且 f(-x)=f(x),则( 2? ? )

?π 3π ? A.y=f(x)在? , ?上单调递增 4 ? ?4 ? π? B.y=f(x)在?0, ?上单调递增 2? ? ?π 3π ? C.y=f(x)在? , ?上单调递减 4 ? ?4
63

? π? D.y=f(x)在?0, ?上单调递减 2? ?
解析:

f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ )= 2sin(ω x

π +φ + ? ,因为最小 4? ?

2π ?π ? ? π ? 即 2 正周期为 π , 所以 =π , 所以 ω =2.又因为 f(-x)=f(x), 所以 f? ?=f?- ?, ω ?8? ? 8? π? π? π ? ? π? ? π sin?2? +φ + ?= 2sin?2??- ?+φ + ?,即 sin φ =cos φ ,所以 φ = ,所 8 4? 4? 4 ? ? ? 8? π π? ? 以 f(x)= 2sin?2x+ + ?= 2cos 2x,因此选 D. 4 4? ? 答案: D

? π? ? π? 6.比较大小:sin?- ?________sin?- ?. ? 18? ? 10?
π π ? π ? ? π? ? π? 解析: 因为 y=sin x 在?- ,0?上为增函数且- >- , 故 sin?- ?>sin?- ?. 18 10 ? 2 ? ? 18? ? 10? 答案: > π? ? 7.函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是________. 4? ? π 解析: 由 2x+ =kπ (k∈Z)得, 4

kπ π x= - (k∈Z).
2 8 π? ? ? kπ π ? ∴函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是? - ,0?. 4? 8 ? ? 2 ? 答案: ?

?kπ -π ,0?(k∈Z) ? 8 ? 2 ?

π? ? ? π? 8.函数 y=2sin?2x+ ?-1,x∈?0, ?的值域为________,并且取最大值时 x 的值 3 3? ? ? ? 为________. π π π 解析: ∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤π , 3 3 3 π? ? ∴0≤sin?2x+ ?≤1, 3? ? π? ? ∴-1≤2sin?2x+ ?-1≤1,即值域为[-1,1]; 3? ? π? π ? 且当 sin?2x+ ?=1,即 x= 时,y 取最大值. 3? 12 ? 答案: [-1,1] π 12
64

1 9.(2014?福建卷)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 解析: (1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α )= 2? 2 2? 1 1 ? + ?-2=2. 2 ?2 2 ?

1 1 1+cos 2x 1 1 1 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- = sin 2x+ - = sin 2x+ cos 2x 2 2 2 2 2 2 = π? 2 ? 2π π π π 3π sin?2x+ ?,所以 T= =π .由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - 4 2 2 2 4 2 8 ? ?

3π 3π ? π ? ≤x≤kπ + ,k∈Z.所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 8 8 ? 8 ? 3 ? π? 2 10.(2014?天津卷)已知函数 f(x)=cos x?sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3 4 ? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
3 3 ?1 ? 2 解析: (1)由已知,有 f(x)=cos x?? sin x+ cos x?- 3cos x+ 4 2 ?2 ? 1 3 3 2 = sin x?cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x- ?. 3? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数, 12? ? 4 ? 12 4 ?

f?- ?=- ,f?- ?=- , 4 12 f? ?= , 4
65

? π? ? ?

1 4

? π? ? ?

1 2

?π ? 1 ? ? 4

1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4? B 级 能力提升 π? ? ? π 2π ? 1.若函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,且|φ |< ?在区间? , ?上是单调减函数, 2? 3 ? ? ?6

?π ? 且函数值从 1 减少到-1,则 f? ?=( ?4?
1 A. 2 C. 3 2

) B. 2 2

D. 1

解析: 由题意得函数 f(x)的周期 T=2?

?2π -π ?=π , 所以 ω =2, 此时 f(x)=sin(2x 6? ? 3 ?

π? π ?π ? ?π ? ? + φ ) ,将点? ,1? 代入上式得 sin? +φ ?= 1 ?|φ |< ? ,所以 φ = ,所以 f(x) = 6 3 2 6 ? ? ? ? ? ? π? π 3 ? ?π ? ?π π ? sin?2x+ ?,于是 f? ?=sin? + ?=cos = . 6? 6 2 ? ?4? ?2 6? 答案: C 2.(2014?内蒙古包头一模)给出下列命题: π? ? ? 5π ? ①函数 f(x)=4cos?2x+ ?的一个对称中心为?- ,0?; 3? ? ? 12 ? ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为?-1, ③若 α 、β 均为第一象限角,且 α >β ,则 sin α >sin β . 其中所有真命题的序号是________. 解析: 对于①,令 x=- 5 π 5 π π ? 5 ? π ,则 2x+ =- π + =- ,有 f?- π ?=0,因 12 3 6 3 2 ? 12 ?

? ?

2? ?; 2?

? 5 ? 此?- π ,0?为 f(x)的一个对称中心,①为真命题;对于②,结合图象知 f(x)的值域为 ? 12 ?
2? ? ?-1, ?,②为真命题;对于③,令 α =390°,β =60°,有 390°>60°,但 sin 390° 2? ? 1 3 = <sin 60°= ,故③为假命题,所以真命题为①②. 2 2 答案: ①② π 3. (2013?安徽卷)已知函数 f(x)=4cos ω x?sin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为 π . 4 (1)求 ω 的值;

66

? π? (2)讨论 f(x)在区间?0, ?上的单调性. 2? ?
π? ? 解析: (1)f(x)=4cos ω x?sin?ω x+ ? 4? ? =2 2sin ω x?cos ω x+2 2cos ω x = 2(sin 2ω x+cos 2ω x)+ 2 π? ? =2sin?2ω x+ ?+ 2. 4? ? 因为 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 所以有 =π ,故 ω =1. 2ω π? ? (2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+ ?+ 2. 4? ? π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 当 当 π π π π ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时, f(x)单调递减. 2 4 4 8 2
2

? π? ?π π ? 综上可知,f(x)在?0, ?上单调递增,在? , ?上单调递减. 8? ? ?8 2?
π? ? ? π? 4 .(2014?河北高阳中学第一次月考 ) 已知函数 f(x) = cos ?2x- ? + 2sin ?x- ? 3? 4? ? ?

? π? sin?x+ ?. 4? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的值域. ? 12 2 ?
π? ? ? π? ? π? 解析: (1)∵f(x)=cos?2x- ?+2sin?x- ?sin?x+ ? 3? 4? ? 4? ? ? 1 3 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)?(sin x+cos x) 2 2 1 3 2 2 = cos 2x+ sin 2x+sin x-cos x 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2x-cos 2x 2 2 π? ? =sin?2x- ?. 6? ?

67

2π π k 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π ,对称轴方程为 x= + π ,k∈Z. 2 3 2

? π π? (2)∵x∈?- , ?, ? 12 2 ?
π ? π 5π ? ∴2x- ∈?- , ?. 6 ? 6 ? 3 π? ? ? π π? ?π π ? ∴f(x)=sin?2x- ?在区间?- , ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减, 6? ? ? 12 3 ? ?3 2? π 所以当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3 3 ?π ? 1 ? π? 又∵f?- ?=- <f? ?= , 2 ?2? 2 ? 12? π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 3 ? ? ? π π? 所以函数 f(x)在区间?- , ?上的值域为?- ,1?. ? 12 2 ? 2 ? ? 第六节 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 及三角函数模型的简单应用

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简 单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x
+φ )(A>0, ω >0),x∈ [0,+∞)表 示一个振动 量时

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T=

2π ω

f= = T 2π

1

ω

ω x+φ

φ

2.用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ω x+φ )一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:

x



φ ω



φ π + ω 2ω

π -φ ω

3π φ - 2ω ω

2π -φ ω

68

ω x+φ

0

π 2

π

3π 2 -A



y=A(sin ω x+
φ)

0

A

0

0

由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的步骤

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一 致.( ) )

π ? π? ? π? (2)y=sin?x- ?的图象是由 y=sin?x+ ?的图象向右移 个单位得到的.( 4? 4? 2 ? ?

(3)由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点 的值确定的.( )

答案: (1)? (2)√ (3)√ π? ? 2.y=2sin?2x- ?的振幅、频率和初相分别为( 4? ? 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 答案: A 3.(2014?四川卷)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图 象上所有的点( ) )

1 π B.2, ,- 2π 4 1 π D.2, ,- 2π 8

1 A.向左平行移动 个单位长度 2
69

1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 1 ? 1? 解析: y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y=sin 2?x+ ?的图象,即 2 ? 2? 函数 y=sin(2x+1)的图象. 答案: A

? π? 4 .用五点法作函数 y = sin ?x- ? 在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是 6? ?
________、________、________、________、________.

?π ? 答案: ? ,0? ?6 ?

?2π ,1? ?7π ,0? ?5π ,-1? ?13π ,0? ? 3 ? ? 6 ? ? 3 ? ? 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

π π? ? 5.函数 f(x)=2sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图象如图所示,则 φ = 2 2? ? ________.

T 11 5 解析: ∵ = π - π ,∴T=π . 2 12 12
2π 2π 又 T= (ω >0),∴ =π ,∴ω =2. ω ω 5 π 5 π π 由五点作图法可知当 x= π 时,ω x+φ = ,即 2? π +φ = ,∴φ =- . 12 2 12 2 3 π 答案: - 3

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及变换 分层深化型 π? ? 已知函数 y=2sin?2x+ ?. 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? ? (3)说明 y=2sin?2x+ ?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ?
70

π? ? 解析: (1)y=2sin?2x+ ?的振幅 A=2, 3? ? 2π π 周期 T= =π ,初相 φ = . 2 3 π? π ? (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ?=2sin X. 3? 3 ? 列表如下:

x X y=sin X y=2sin?2x+ ? 3



π 6

π 12 π 2 1 2

π 3 π 0 0

7π 12 3π 2 -1 -2

5π 6 2π 0 0

0 0 π?

? ?

?

0

描点画出图象,如图所示:

π ? π? (3)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到 y=sin?x+ ? 3? 3 ? 1 ? π? 的图象;再把 y=sin?x+ ?的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得 3 2 ? ? π? π? ? ? 到 y=sin?2x+ ?的图象; 最后把 y=sin?2x+ ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 3? 3? ? ? π? ? 坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ? 1 法二:将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到 y= 2 π ? ? π ?? sin 2x 的图象;再将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得到 y=sin?2?x+ ??= 6 ?? 6 ? ? π? π? ? ? sin?2x+ ?的图象; 再将 y=sin?2x+ ?的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐 3 3? ? ? ? π? ? 标不变),即得到 y=2sin?2x+ ?的图象. 3? ?

π ?π ? 1.设函数 f(x)=cos(ω x+φ )(ω >0 ,- <φ <0)的最小正周期为 π ,且 f? ?= 2 ?4?
71

3 . 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象; π? ? (3)说明 y=cos?2x- ?的图象可由 y=cos x 的图象经过怎样的变换而得到. 3? ? 2π 解析: (1)周期 T= =π ,∴ω =2. ω

?π ? ? π ? ∵f? ?=cos?2? +φ ? 4 ?4? ? ?
3 ?π ? =cos? +φ ?=-sin φ = , 2 ?2 ? π π ∵- <φ <0,∴φ =- . 2 3 π? ? (2)∵f(x)=cos?2x- ?, 3? ? 列表如下: π 2x- 3 - π 3 0 π 6 1 π 2 5 π 12 0 π 2 π 3 -1 3 π 2 11 π 12 0 5 π 3 π 1 2

x f(x)
图象如图:

0 1 2

π ? π? (3)把 y=cos x 的图象上所有的点向右平移 个单位,得到 y=cos?x- ?的图象,再 3? 3 ?

72

1 ? π? 把 y = cos ?x- ? 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍 ( 纵坐标不变 ) ,得到 y = 3? 2 ? π? π? ? ? cos?2x- ?的图象,即可得到 y=cos?2x- ?的图象. 3 3? ? ? ?

2.(2014?江西师大附中摸底)已知函数 f(x)=sin 2x+2cos x-1,将 f(x)的图象上 1 π 各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,再将所得图象向右平移 个单位长度,得到 2 4 函数 y=g(x)的图象,则函数 y=g(x)的解析式为( A.g(x)= 2sin x 3π ? ? C.g(x)= 2sin?4x- ? 4 ? ? )

2

B.g(x)= 2cos x D.g(x)= 2cos 4x

π? ? 解析: f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?,将 f(x)的图象上各点的横坐标缩短 4? ? π? 1 ? 为原来的 ,纵坐标不变,所得图象对应的解析式为 y= 2sin?4x+ ?,再将所得图象向右 4? 2 ? 3 ? π ? 平移 个单位长度,所得的图象对应的解析式为 g(x)= 2sin?4x- π ?. 4 ? 4 ? 答案: C 3.(2014?浙江卷)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( ) π B.向左平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 12

π A.向右平移 个单位 4 π C.向右平移 个单位 12

π? ? 解析: ∵y=sin 3x+cos 3x= 2cos?3x- ? 4? ?

? ? π ?? = 2cos?3?x- ??, ? ? 12??
π ? ? π ?? ∴将 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位, 即可得到 y= 2?cos?3?x- ??的图象, 12 ? ? 12?? 故选 C. 答案: C

π? ? 4.(2014?广东东莞模拟考试一)函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的最小正 2? ?

73

周期是 π ,若其图象向右平移 ( ) A.关于点?

π 个单位长度后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象 6

?π ,0?对称 ? ?12 ?

π B.关于直线 x= 对称 12 π D.关于直线 x= 对称 6

?π ? C.关于点? ,0?对称 6 ? ?
2π 解析: ∵ =π ,∴ω =2. ω

π ∴f(x)=sin(2x+φ )向右平移 个单位长度, 6 π ? ? 得 y=sin?2x- +φ ?为奇函数. 3 ? ? π ∴- +φ =kπ (k∈Z). 3 π ∴φ = +kπ (k∈Z). 3 π π 又|φ |< ,∴φ = . 2 3 π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?. 3? ?

?π ? ? π π? ∵f? ?=sin?2? + ?=1, ?12? ? 12 3 ?
π ∴直线 x= 为对称轴. 12 答案: B π? π ? 5 .若将函数 y = tan?ω x+ ? (ω >0) 的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y = 4? 6 ? π? ? tan?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6? ? π? π ? 解析: 将函数 y=tan?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 y 4? 6 ? π π ? π? π π ? ? =tan?ω x+ - ω ?(ω >0)的图象,与函数 y=tan?ω x+ ?的图象重合,所以 - ω 4 6 ? 6? 4 6 ? ? π 1 = +2kπ (k∈Z),所以 k=0 时,ω 的最小值为 . 6 2 答案: 1 2 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的两种作法
74

(1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图,主要是通过变量代换,设 z= π 3 ω x+φ ,由 z 取 0, ,π , π ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标, 2 2 描点后得出图象. (2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,有 两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 由图象确定 y=Asin(ω x+φ )的解析式 互动讲练型 (1)(2014?河北唐山二模)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如

?π ? 图所示,则 f? ?=( ?2?

)

A.- C. 3 2

3 2

B.- D. 2 2

2 2

π? ? π (2)(2013? 福 建 卷 ) 将 函 数 f(x) = sin?2x+θ ??- <θ < ? 的 图 象 向 右 平 移 2 2? ? φ (φ >0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P?0, 则 φ 的值可以是( 5π A. 3 π C. 2 1 3π 5π 解析: (1)∵ T= - , 2 4 12 2π ∴T= . 3 ∴ 2π 2π = ,∴ω =3. ω 3 ) 5π B. 6 π D. 6

? ?

3? ?, 2?

5π π 又∵3? +φ =π ,∴φ =- , 12 4

?π ? ?3π ? ∴f? ?=sin? +φ ? ?2? ? 2 ?

75

=sin?

?3π -π ?=sin 5π =- 2. 4? 4 2 ? 2 ? ? ?
3? ?在 f(x)的图象上, 2? 3 . 2

(2)∵P?0,

∴f(0)=sin θ =

π ? π π? ∵θ ∈?- , ?,∴θ = , 2 2 3 ? ? π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?, 3? ? π? ? ∴g(x)=sin?2?x-φ ?+ ?. 3? ? ∵g(0)= 3 , 2

3 ?π ? ∴sin? -2φ ?= . 3 2 ? ? 5 验证,φ = π 时, 6 3 ?π ? ?π 5 ? ? 4 ? sin? -2φ ?=sin? - π ?=sin?- π ?= 成立. 3 3 3 3 2 ? ? ? ? ? ? 答案: (1)B (2)B

π? ? 1.(2014?山西省第三次四校联考)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的 2? ?

? π? 部分图象如图所示,则 y=f?x+ ?取最小值时 x 的集合为( 6? ?

)

? ? π A.?x|x=kπ - ,k∈Z? 6 ? ? ? ? π C.?x|x=2kπ - ,k∈Z? 6 ? ?

? ? π B.?x|x=kπ - ,k∈Z? 3 ? ? ? ? π D.?x|x=2kπ - ,k∈Z? 3 ? ?

解析: 根据所给图象,周期 T=4?? =sin(2x+φ ),另外图象经过?

?7π -π ?=π ,故 π =2π ,∴ω =2,因此 f(x) ? ω ? 12 3 ?

?7π ,0?,代入有 2?7π +φ =kπ (k∈Z),再由|φ |<π , ? 12 2 ? 12 ?

76

π? π π π π ? π? ? 得 φ =- , ∴f?x+ ?=sin?2x+ ?, 当 2x+ =- +2kπ (k∈Z), 即 x=- +kπ (k 6? 6? 6 6 2 3 ? ?

? π? ∈Z)时,y=f?x+ ?取得最小值. 6? ?
答案: B 2.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<π )图象的最高点的纵坐标是 4, 相邻的两对称中心的距离为 ________________. π 2π 解析: 由题意知 A=4,T=2? =π (相邻两对称中心的距离是半个周期),∴ = 2 ω π ?π ? , 图 象 经 过 点 ? ,0? , 则 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 2 ?6 ?

?π ? ∴4sin?2?π +φ ?=0, π, 则 ω =2, ∴f(x)=4sin(2x+φ ). 又函数图象经过点? ,0?, ? ? 6 ?6 ? ? ?
π π ∴φ + =kπ (k∈Z),∴φ =kπ - (k∈Z). 3 3 π 2π 又|φ |<π ,∴φ =- 或 φ = . 3 3 π? 2π ? ? ? ∴f(x)=4sin?2x- ?或 f(x)=4sin?2x+ ?. 3 3 ? ? ? ? π? 2π ? ? ? 答案: f(x)=4sin?2x- ?或 f(x)=4sin?2x+ ? 3? 3 ? ? ? 三角函数图象与性质的综合应用 互动讲练型 (2014?上海虹口二模)已知函数 y=f(x)=2 3sin xcos x+2cos x+a(x∈R), 其中 a 为常数. (1)求函数 y=f(x)的最小正周期; (2)如果 y=f(x)的最小值为 0,求 a 的值,并求此时 f(x)的最大值及图象的对称轴方 程. 解析: (1)y=f(x)= 3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin(2x+ +a+1. 所以函数的最小正周期 T=π . (2)f(x)的最小值为 0,所以-2+a+1=0,故 a=1, π? ? 所以函数 y=2sin?2x+ ?+2 的最大值等于 4, 6? ? π π kπ π 当 2x+ =kπ + (k∈Z),即 x= + (k∈Z)时函数有最大值或最小值. 6 2 2 6 π? 6? ?
2

77

故函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x=


2



π (k∈Z). 6

π 将函数 y=sin x 的图象向右平移 个单位,再将所得的图象上各点的横坐标不变,纵 3 坐标伸长到原来的 4 倍.这样得到函数 f(x)的图象.若 g(x)=f(x)cos x+ 3. (1)将函数 g(x)化成 g(x)=Asin(ω x+φ )+B(其中A, ω >0, φ∈ 形式;

?-π ,π ??的 ? 2 2 ?? ? ??

? π ? (2)若函数 g(x)在区间?- ,θ 0?上的最大值为 2,试求 θ 0 的最小值. ? 12 ? ? π? 解析: (1)由题意可得 f(x)=4sin?x- ?, 3? ? ? π? ∴g(x)=4sin?x- ?cos x+ 3 3? ?
3 ?1 ? =4? sin x- cos x?cos x+ 3 2 ?2 ? =2(sin xcos x- 3cos x)+ 3 π? ? =2sin?2x- ?. 3? ? π? π ? π ? π ? (2)∵x∈?- ,θ 0?,∴2x- ∈?- ,2θ 0- ?, 3? 3 ? 2 ? 12 ?
2

? π ? 要使函数 g(x)在?- ,θ 0?上的最大值为 2, ? 12 ?
π π 5 当且仅当 2θ 0- ≥ ,解得 θ 0≥ π . 3 2 12 5 故 θ 0 的最小值为 π . 12 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的性质 π (1)奇偶性:φ =kπ 时,函数 y=Asin(ω x+φ )为奇函数;φ =kπ + (k∈Z)时,函 2 数 y=Asin(ω x+φ )为偶函数. π π (2)单调性: 根据 y=sin t 和 t=ω x+φ 的单调性来研究, 由- +2kπ ≤ω x+φ ≤ 2 2 π 3π +2kπ ,k∈Z 得单调增区间;由 +2kπ ≤ω x+φ ≤ +2kπ ,k∈Z 得单调减区间. 2 2 (3)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0)(k∈Z)求解,令 ω x+φ =kπ (k∈ Z),求得 x.
78

π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ + (k∈Z)求解, 令 ω x+φ =kπ + (k∈Z)得其对 2 2 称轴.

A 级 基础训练 π? ? 1.函数 y=cos?2x- ?的部分图象可能是( 3? ? )

π? π π ? 解析: ∵y=cos?2x- ?,∴当 2x- =0,即 x= 时,函数取得最大值 1,结合 3 3 6 ? ? π 图象看,可使函数在 x= 时取得最大值的只有 D. 6 答案: D 2.函数 f(x)=sin xcos x+ A.π ,1 C.2π ,1 解析: 由 f(x)=sin xcos x+ 小正周期为 π ,振幅为 1. 答案: A π? ? 3. 已知 f(x)=cos?ω x+ ?(ω >0)的图象与 y=1 的图象的两相邻交点间的距离为 π , 3? ? 要得到 y=f(x)的图象,只须把 y=sin ω x 的图象( 5 A.向左平移 π 个单位 12 11 C.向左平移 π 个单位 12 ) 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π ,2 D.2π ,2 π? 3 1 3 ? cos 2x= sin 2x+ cos 2x=sin?2x+ ?,得最 3? 2 2 2 ? )

5 B.向右平移 π 个单位 12 11 D.向右平移 π 个单位 12

π? 5π ? ? ? ? 5π ? 解析: 由题意得 ω =2,所以 y=cos?2x+ ?=sin?2x+ ?=sin 2?x+ ?,只 3 6 12 ? ? ? ? ? ? π? 5π ? 需将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位即可得到函数 y=cos?2x+ ?的图象. 3? 12 ?
79

答案: A

π? ? 4.若函数 y=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?在一个周期内的图象如图所示,M, 2? ?

N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM?ON=0,则 A?ω =(
π A. 6 C. 7 π 6 B. 7π 12 7 π 3

→ →

)

D.

T π π 解析: 由题中图象知 = - ,∴T=π ,∴ω =2. 4 3 12

?π ? ?7 ? 则 M? ,A?,N? π ,-A?, ?12 ? ?12 ?
7π → → 2 由OM?ON=0,得 2 =A , 12 ∴A= 7 7 π ,∴A?ω = π .故选 C. 12 6
2

答案: C π? π ? 5.(2014?吉林长春三调)函数 f(x)=sin(2x+φ )?|φ |< ?的图象向左平移 个单位 2? 6 ?

? π? 后关于原点对称,则函数 f(x)在?0, ?上的最小值为( 2? ?
A.- 1 C. 2 3 2 1 B.- 2 D. 3 2

)

π 解析: 函数 f(x)=sin(2x+φ )的图象向左平移 个单位得 6

y=sin?2?x+ ?+φ ?=sin?2x+ +φ ?的图象. 6 3

? ? ? ?

π?

?

? ?

? ?

π

? ?

π π 又其为奇函数,则 +φ =kπ ,k∈Z,解得 φ =kπ - . 3 3 π π 又|φ |< ,令 k=0,得 φ =- , 2 3

80

π? ? ∴f(x)=sin?2x- ?. 3? ?

? π? 又∵x∈?0, ?, 2? ?
π? ? 3 3 ? ? ∴sin?2x- ?∈?- ,1?,即当 x=0 时,f(x)min=- ,故选 A. 3 2 ? ? ? 2 ? 答案: A π π ?π ? 6. 函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? =________. π π 解析: 依题意 = ,∴ω =4. ω 4 ∴f(x)=tan 4x.

?π ? ∴f? ?=tan π =0. ?4?
答案: 0 π? ? 7.(2014?安徽卷)若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,所得图象 4? ? 关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. 解析: π? ? ∵ 函 数 f(x) = sin ?2x+ ? 的 图 象 向 右 平 移 φ 4? ? 个 单 位 得 到 g(x) =

π? π ? ? sin?2?x-φ ?+ ?=sin?2x+ -2φ 4? 4 ? ?

?, ? ?

π π 又∵g(x)是偶函数,∴ -2φ =kπ + (k∈Z). 4 2 ∴φ =-


2



π (k∈Z). 8

3π 当 k=-1 时,φ 取得最小正值 . 8 答案: 3π 8

8 .(2014?四川成都新津中学 2 月月考 ) 如图所示是函数 f(x) = Asin(ω x + φ ) +

b(A>0,ω >0,

? π ?? |φ |∈?0, ??图象的一部分,则 f(x)的解析式为________. 2 ?? ?

81

解析: 由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,b=1.由 2=2sin φ +1,且|φ | 2 ? π ? 得 φ =π .由图象知 ω (-π )+φ =2kπ -π (k∈Z), ∈?0, ?, 得 ω =-2k+ (k∈Z). 又 2? 6 2 3 ? 2π 2 ?2 π ? >2π ,∴0<ω <1,∴ω = ,∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=2sin? x+ ?+1. 6? ω 3 ?3

?2 π ? 答案: f(x)=2sin? x+ ?+1 6? ?3
3π ? π π ? 9. 已知定义在区间?-π , ?上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, 当 x≥ 2 ? 4 4 ? 时,f(x)=-sin x.

(1)作出 y=f(x)的图象; (2)求 y=f(x)的解析式. 解析: (1)y=f(x)的图象如图所示.

π? π ? ? π 3π (2)任取 x∈?-π , ?,则 -x∈? , 4? 2 2 ? ?4 π 由于函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 4

?, ? ?

?π ? 所以 f(x)=f? -x?. ?2 ?
π 又当 x≥ 时,f(x)=-sin x, 4

?π ? ?π ? 所以 f(x)=f? -x?=-sin? -x?=-cos x, ?2 ? ?2 ?
π? ? -cos x,x∈?-π , ? ? ? 4? ? 即 f(x)=? ?π 3π ? -sin x,x∈? , ? ? ? 2 ? ?4

.

10.(2014?湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系:
82

f(t)=10- 3cos

π π t-sin t,t∈[0,24). 12 12

(1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 解析: (1)f(8)=10- 3cos? =10- 3cos

?π ?8?-sin?π ?8? ? ?12 ? ?12 ? ? ?

2π 2π 3 ? 1? -sin =10- 3??- ?- =10. 3 3 ? 2? 2

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)=10-2? π? π 1 π ? ? 3 ?π cos t+ sin t?=10-2sin?12t+ 3 ?, ? ? 12 2 12 ? ?2

π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π? ?π -1≤sin? t+ ?≤1. 3? ?12 当 t=2 时,sin?

?π t+π ?=1, ? 3? ?12

π? ?π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 3? ?12 于是 f(t)在[0,24)上的最大值为 12,最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. B 级 能力提升 π? ? 1.(2014?山东青岛一模)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分图 2? ?

? π π? 象如图所示,若 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ? 6 3?

)

A.1 C. 2 2

1 B. 2 D. 3 2

解析: 观察图象可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ ).

? π ? ? π ? 将?- ,0?代入上式得 sin?- +φ ?=0, ? 6 ? ? 3 ?
83

π? π π ? 由|φ |< ,得 φ = ,则 f(x)=sin?2x+ ?. 3? 2 3 ? π π - + 6 3 π 函数图象的对称轴为 x= = . 2 12

? π π? 又 x1,x2∈?- , ?, ? 6 3?
且 f(x1)=f(x2),∴ 选 D. 答案: D π? 3? ? ? ?π ? 2.已知函数 f(x)=cos?3x+ ?,其中 x∈? ,m?,若 f(x)的值域是?-1,- ?, 3 6 ? ? ? ? 2? ? 则 m 的取值范围是________. 解析: 画出函数的图象.

x1+x2 π
2

π 3 ? π π? = ,∴x1+x2= ,∴f(x1+x2)=sin?2? + ?= .故 6 3? 2 12 6 ?

由 x∈?

?π ,m?,可知5π ≤3x+π ≤3m+π , ? 6 3 3 ?6 ?

5π 3 ?π ? ? 2π ? 因为 f? ?=cos =- 且 f? ?=cos π =-1, 6 6 2 ? ? ? 9 ? 要使 f(x)的值域是?-1,- 即 m∈?

? ?

2π 5π 3? ?,只要 9 ≤m≤ 18 , 2?

?2π ,5π ?. ? 18 ? ? 9

?2π 5π ? 答案: ? , ? 18 ? ? 9
π? π? ? ? 2ω x 3.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?+sin?ω x- ?-2cos ,x∈R(其中 ω >0). 6? 6? 2 ? ? (1)求函数 f(x)的值域; π (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 , 求函数 y=f(x) 2 的单调增区间. 解析: (1)f(x)= 3 1 3 1 sin ω x+ cos ω x+ sin ω x- cos ω x-(cos ω x+1) 2 2 2 2
84

=2?

1 ? 3 ? sin ω x- cos ω x?-1 2 ?2 ?

π? ? =2sin?ω x- ?-1. 6? ? π? ? 由-1≤sin?ω x- ?≤1, 6? ? π? ? 得-3≤2sin?ω x- ?-1≤1. 6? ? 所以函数 f(x)的值域为[-3,1]. 2π (2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为 π ,所以 =π ,即 ω ω =2. π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?-1, 6? ? π π π π π 再由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z),解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 6 2 6 3 π π? ? 所以函数 y=f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 6 3? ? 4.(2014?山东菏泽一模)已知函数 f(x)=2sin ω xcos ω x+2 3sin ω x- 3(ω >0) 的最小正周期为 π . (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的 6 图象,若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解析: (1)由题意得 f(x)=2sin ω xcos ω x+2 3sin ω x- 3=sin 2ω x- 3cos π? ? 2ω x=2sin?2ω x- ?, 3? ? 由最小正周期为 π ,得 ω =1, π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?, 3? ? 函数的单调增区间为 2kπ - 整 理 得 kπ - π π π ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2
2 2

π 5π ≤x≤kπ + , k ∈ Z , 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 增 区 间 是 12 12

?kπ -π ,kπ +5π ?,k∈Z. ? 12 12 ? ? ?
π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y=2sin 2x+1 6
85

的图象,所以 g(x)=2sin 2x+1. 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z), 12 12 所以在[0,π ]上恰好有两个零点,若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 11π 59π 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4π + = . 12 12 第七节 正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 = = =2R sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理

a

b

c

a2=b2+c2-2bccos_A; b2=c2+a2-2cacos_B; c2=a2+b2-2abcos_C

内容

a=2Rsin_A,b=2Rsin_B, c=2Rsin_C;
sin A= ,sin B= , sin C= ; 2R 2R 2R 变形形式

a

b

c

b2+c2-a2 cos A= ; 2bc
cos B= cos C=

a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; a+b+c a b = = = sin A+sin B+sin C sin A sin B c
sin C

c2+a2-b2 ; 2ca a2+b2-c2 2ab

2.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

利用正弦、余弦定理解三角形
86

(1)已知两角一边,用正弦定理,只有一解. (2)已知两边及一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为几种情况. 在△ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况如下:

A 为锐角
图形 关系式 解的个数

A 为钝角或直角

a=bsin A
一解

bsin A<a<b
两解

a≥b
一解

a>b
一解

上表中 A 为锐角时,a<bsin A,无解.

A 为钝角或直角时,a=b,a<b 均无解.
(3)已知三边,用余弦定理,有解时, 只有一解. (4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( ) ) )

(3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( (4)正弦定理对钝角三角形不成立.( 答案: (1)? (2)√ (3)? (4)? )

2.已知△ABC 的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比 a∶b∶c= ( ) A.3∶2∶1 C. 3∶ 2∶1 答案: D 3.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( A.无解 C.一解 解析: ∵ = , sin A sin B B.两解 D.解的个数不确定 ) B. 3∶2∶1 D.2∶ 3∶1

a

b

b 24 ∴sin B= sin A= sin 45°, a 18
2 2 ∴sin B= . 3 又∵a<b,∴B 有两个.
87

答案: B π 4.(2014?湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a= 6 1,b= 3,则 B=________. 解析: 由 = 得 sin A sin B

a

b

1 π sin 6

3 = , sin B

∴sin B=

3 . 2

π 2π 又∵b>a,∴B= 或 . 3 3 答案: π 2π 或 3 3

5.(2014?福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 解析: ∵A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由余弦定理,得 BC =AC +AB -
2 2 2 2

2AC?ABcos A,化简得 x -2x+1=0,∴x=1,即 AB=1. 答案: 1

利用正弦、余弦定理解三角形 分层深化型 (2014?辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c,已 1 → → 知BA?BC=2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → 解析: (1)由BA?BC=2 得 c?acos B=2. 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B. 1 2 2 又 b=3,所以 a +c =9+2?6? =13. 3 解?
?ac=6, ? ?a +c =13, ?
2 2 2 2 2

得?

?a=2, ? ?c=3 ?

或?

?a=3, ? ?c=2. ?

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,

88

sin B= 1-cos B=

2

?1?2 2 2, 1-? ? = 3 ?3?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = , b 3 3 9
因为 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin C=
2

1-?

?4 2?2 7 ?= . ? 9 ? 9

于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 = ? + ? = . 3 9 3 9 27

7 1.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解析: (1)由余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 b =(a+c) -2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B= , 9 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. 4 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos B= , 9 由正弦定理得 sin A=
2 2 2 2 2

asin B 2 2 = . b 3

因为 a=c,所以 A 为锐角. 1 2 所以 cos A= 1-sin A= . 3 10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= . 27

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. 解析: (1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理 = , sin A sin B

a

b

89

得 sin B= 3cos B. π 所以 tan B= 3,因为 B∈(0,π ),所以 B= . 3 (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a. sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 9=a +c -ac. 所以 a= 3,c=2 3.
2 2 2 2 2

a

c

3.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知(b +c -a )tan A = 3bc. (1)求角 A; (2)若 a=2,求 bc 的最大值. 解析: (1)由已知得 又 cos A=

2

2

2

b2+c2-a2 sin A 3 ? = , 2bc cos A 2

b2+c2-a2 3 ,所以 sin A= ,所以 A=60°. 2bc 2
2 2 2 2

(2)因为 a=2,A=60°,由余弦定理得 4=b +c -2bccos 60°,即 b +c =bc+4, 而 b +c ≥2bc,即 bc+4≥2bc,解得 bc≤4(当且仅当 b=c=2 时等号成立), 所以 bc 的最大值等于 4. 选用正弦定理或余弦定理的原则 如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理; 如果遇到的式子中含有角 的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有 可能用到. 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 互动讲练型 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列, 且 A,B,C 成等差数列,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解析: ∵A,B,C 成等差数列,A+B+C=π , π ∴2B=A+C,∴B= . 3 由余弦定理,得 b =a +c -ac,① 又∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac.② 由①和②知 a +c -2ac=0,即(a-c) =0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

90

π ∴a=c.又∵B= , 3 ∴△ABC 是等边三角形.

1.(2013?陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos

B=asin A,则△ABC 的形状为(
A.锐角三角形 C.钝角三角形

) B.直角三角形 D.不确定
2

解析: 依据题设条件的特点,由正弦定理,得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin A,有 π 2 2 sin(B+C)=sin A,从而 sin(B+C)=sin A=sin A,解得 sin A=1,∴A= ,故选 B. 2 答案: B 2 . 在 △ ABC 中 , 若 b = asin C , c = acos B , 则 △ ABC 的 形 状 为 ________________________________________________________________________.

b sin B a +c -b 解析: 由 b=asin C 可知 =sin C= ,由 c=acos B 可知 c=a? ,整 a sin A 2ac
理得 b +c =a ,即三角形一定是直角三角形,A=90°,∴sin C=sin B,∴B=C,即 b=
2 2 2

2

2

2

c,
故△ABC 为等腰直角三角形. 答案: 等腰直角三角形 判断三角形的形状,主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相 应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角函数恒等变 换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论, 在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解. 与三角形面积有关的问题 分层深化型 (2013?浙江卷)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin

B= 3b.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 解析: (1)由 2asin B= 3b 及正弦定理 = , sin A sin B 得 sin A= 3 . 2
91

a

b

π 因为 A 是锐角,所以 A= . 3 (2)由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 得 b +c -bc=36. 28 又 b+c=8,所以 bc= . 3 1 由三角形面积公式 S= bcsin A, 2 1 28 3 7 3 得△ABC 的面积为 ? ? = . 2 3 2 3
2 2 2 2 2

1.(2014?山东青岛一模)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cos Acos

C(tan Atan C-1)=1.
(1)求 B 的大小; 3 3 (2)若 a+c= ,b= 3,求△ABC 的面积. 2 解析: (1)由 2cos Acos C(tan Atan C-1)=1 得

?sin Asin C-1?=1, 2cos Acos C? ? ?cos Acos C ?
∴2(sin Asin C-cos Acos C)=1. 1 ∴cos(A+C)=- , 2 1 ∴cos B= , 2 π 又 0<B<π ,∴B= . 3 (2)由余弦定理得 cos B=
2 2

a2+c2-b2 1 = , 2ac 2



?a+c? -2ac-b 1 = , 2ac 2

3 3 又 a+c= ,b= 3, 2 ∴ 27 5 -2ac-3=ac,ac= , 4 4

1 1 5 3 5 3 ∴S△ABC= acsin B= ? ? = . 2 2 4 2 16

92

2.(2014?浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin +4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 解析: (1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2,故 cos(A+B)=- 3π π 所以 A+B= ,从而 C= . 4 4 1 (2)因为 S△ABC= absin C, 2 π 由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 4 由余弦定理 c =a +b -2abcos C, 得 c= 10.
2 2 2

2

A-B
2

2 . 2

3.(2014?河北衡水中学一调)已知圆 O 的半径为 R(R 为常数),它的内接三角形 ABC 满足 2R(sin A-sin C)=( 2a-b)sin B,其中 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边. (1)求角 C; (2)求三角形 ABC 面积 S 的最大值. 解析: (1)∵2R(sin A-sin C)=( 2 a-b)sin B,∴4R (sin A-sin C)=2R( 2a-
2 2 2 2 2 2 2

b)sin B,
由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入上式得

a2+b2-c2 2 a2-c2= 2ab-b2,即 a2+b2-c2= 2ab,∴由余弦定理知 cos C= = , 2ab 2
又 C 为△ABC 的内角, π ∴C= . 4 π 3π (2)由(1)知,C= ,则 A+B= , 4 4 1 2 所以 S= absin C= ab 2 4 = 2 ?3π -A? 2 2 ?4R sin Asin B= 2R sin Asin? ? 4 ? 4 ?

93



π ? R2 2 2 ? R sin?2A- ?+ , 4? 2 2 ? 三角形面积公式的

3 2+1 2 当且仅当 A=B= π 时,S 取得最大值,为 R. 8 2 应用原则

1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪 2 2 2 一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

A 级 基础训练 π 1.△ABC 中,a=3 3,b=3,A= ,则 C 为( 3 π A. 6 π C. 2 3 3 3 解析: 由正弦定理得 = , sin B π sin 3 1 ∴sin B= , 2 π π ∵a>b,0<B< ,∴B= . 3 6 π B. 4 2π D. 3 )

?π π ? π ∴C=π -(A+B)=π -? + ?= . ?3 6? 2
答案: C 2.△ABC 的三个内角,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos A= 2a, 则 =(
2

b a

) B. 2 2 D. 2

A.2 3 C. 3 解析: 由正弦定理, 得 sin Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B(sin A+cos A)= 2sin A,
2 2 2 2

94

所以 sin B= 2sin A,

b sin B 故 = = 2. a sin A
答案: D 3.(2014?江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) π +6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2
2 2 2 2 2 2 2

) 9 3 B. 2 D. 3 3

解析: ∵c =(a-b) +6,∴c =a +b -2ab+6.① π π 2 2 2 2 2 ∵C= ,∴c =a +b -2abcos =a +b -ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absin C= ?6? = . 2 2 2 2 答案: C 4.(2014?贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC( ) B.一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形

A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 解析: 由正弦定理

= = =2R(R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件 sin sin A sin B sin C

a

b

c

A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,
可设 a=5x,b=11x,c=13x(x>0). ?5x? +?11x? -?13x? -23x 则 cos C= = 2 <0, 2?5x?11x 110x ∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 答案: C 5.(2014?上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的边长分别为 a,
2 2 2 2

b,c,且 a=1,B=2A,则 b 的取值范围为(
A.( 2, 3) C.( 2,2) 解析: 由

) B.(1, 3) D.(0,2)

a b b π π π = = ,则 b=2cos A. <A+B=3A<π ,从而 <A< , sin A sin B sin 2A 2 6 3
95

π 又 2A< , 2 π π π 2 3 所以 A< ,所以有 <A< , <cos A< ,所以 2<b< 3. 4 6 4 2 2 答案: A 1 6.(2014?天津卷)在△ABC 中,内 角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= 4

a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________.
解析: 由 2sin B=3sin C,结合正弦定理得 2b=3c, 1 3 又 b-c= a,所以 b= c,a=2c. 4 2 由余弦定理得 cos A=

b2+c2-a2 2bc



?3c?2+c2-?2c?2 ?2 ? ? ?
3 2? c?c 2

1 =- . 4

1 答案: - 4 7.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B= 2∶1,c =b + 2bc,则三内角 A、B、C 的度 数依次是________. 解析: 由题意知 a= 2b,a =b +c -2bccos A, 即 2b =b +c -2bccos A, 又 c =b + 2bc, ∴cos A= 2 1 ,A=45°,sin B= ,B=30°,∴C=105°. 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

答案: 45°,30°,105° 8.在△ABC 中,周长为 20,面积为 10 3,∠A=60°,则边 a=________. 解析: 1 2 2 据已知条件可得 bcsin 60°=10 3? bc=40,又由余弦定理可得,b +c - 2

bc=40 ? ? 2 2 2 bc=b +c -40=a ,即 a,b,c 满足方程组?b +c -40=a ? ?a+b+c=20
2 2 2

,由 b +c -40=(b+c)

2

2

2

-2bc-40=(20-a) -120=a ,解得 a=7. 答案: 7 9.(2014?陕西卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.

2

2

96

(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值. 解析: (1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由题设有 b =ac,c=2a,∴b= 2a, 由余弦定理得 cos B=
2

a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 = = . 2 2ac 4a 4

10.(2014?全国卷Ⅱ)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 解析: (1)由题设及余弦定理得

BD2=BC2+CD2-2BC?CDcos C=13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB?DAcos A=5+4cos C.②
1 由①②得 cos C= ,因为 C 为三角形内角,故 C=60°,BD= 7. 2 (2)四边形 ABCD 的面积

S= AB?DAsin A+ BC?CDsin C
1 ?1 ? =? ?1?2+ ?3?2?sin 60° 2 ?2 ? =2 3. B 级 能力提升 1.如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,

1 2

1 2

AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则 BC 的长为(
A.8 2 C.14 2
2

)

B. 9 2 D. 8 3
2 2

解析: 在△ABD 中,设 BD=x,则 BA =BD +AD -2BD?AD?cos ∠BDA, 即 14 =x +10 -2?10x?cos 60°, 整理得 x -10x-96=0,
97
2 2 2 2

解得 x1=16,x2=-6(舍去). 在△BCD 中,由正弦定理得 ∴BC= = , sin ∠BCD sin∠BDC

BD

BC

16 ?sin 30°=8 2. sin 135°

答案: A 2.(2014?课标全国Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2, 且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 解析: 由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)?c. ∵a=2,∴a -b =c -bc,即 b +c -a =bc. 由余弦定理,得 cos A= ∴sin A=
2 2 2 2 2 2 2 2

b2+c2-a2 1 = . 2bc 2

3 2 2 2 2 .由 b +c -bc=4,得 b +c =4+bc. 2

∵b +c ≥2bc,即 4+bc≥2bc.∴bc≤4. 1 ∴S△ABC= bc?sin A≤ 3,即(S△ABC)max= 3. 2 答案: 3

3. (2013?湖北卷)在△ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c.已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 解析: (1)由已知条件得 cos 2A+3cos A=1,∴2cos A+3cos A-2=0,解得 cos A 1 = (cos A=-2 舍去),角 A=60°. 2 1 (2)由面积公式 S= bcsin A=5 3? c=4. 2 根据余弦定理 a =b +c -2bccos A 得 a =21.又因为正弦定理中 =2R, 所以(2R) sin A =
2 =28. sin A 2 2 2 2 2

a

2

a2

由正弦定理可得 sin B= ,sin C= , 2R 2R ∴sin Bsin C=

b

c

bc
4R

2

5 = . 7

4.(2014?湖北部分重点中学联考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对边的

98

π 边长,且 C= ,a+b=λ c(其中 λ >1). 3 (1)若 λ = 3时,证明△ABC 为直角三角形; → → 9 2 (2)若AC?BC= λ ,且 c=3,求 λ 的值. 8 解析: (1)证明:∵λ = 3,∴a+b= 3c, 由正弦定理得 sin A+sin B= 3sin C, π ?2π ? 3 ∵C= ,∴sin B+sin? -B?= , 3 ? 3 ? 2 sin B+ 3 1 3 cos B+ sin B= , 2 2 2

3 3 3 ∴ sin B+ cos B= , 2 2 2 3 π π π 2π π π ? π? 则 sin?B+ ?= ,从而 B+ = 或 B+ = ,B= 或 B= . 6? 2 6 3 6 3 6 2 ? π π 若 B= ,则 A= ,△ABC 为直角三角形; 6 2 π 若 B= ,△ABC 亦为直角三角形. 2 1 9 2 9 2 → → 9 2 (2)若AC?BC= λ ,则 a?b= λ ,∴ab= λ . 8 2 8 4 又 a+b=3λ ,由余弦定理知 a +b -c =2ab?cos C, 即 a +b -ab=c =9,即(a+b) -3ab=9, 27 2 9 2 2 2 故 9λ - λ =9, λ =9,λ =4,即 λ =2. 4 4 第八节 正弦定理和余弦定理的应用
2 2 2 2 2 2 2

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题. ,

1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图①).

99

2.方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②,B 点的方位角为 α ). 3.方向角 相对于某一正方向的角(如图③)

(1)北偏东 α :指从正北方向顺时针旋转 α 到达目标方向. (2)东北方向:指北偏东 45°或东偏北 45°. (3)其他方向角类似.

解三角形应用题的一般步骤

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 α ,从 B 处望 A 处的俯角为 β ,则 α ,β 的关系为 α +β =180°.( ) ) )

? π? (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0, ?.( 2? ?

(3)方位角与方向角其实质是一样的, 均是确定观察点与目标点之间的位置关系. (

? π? (4)方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是?0, ?.( 2? ?
答案: (1)? (2)? (3)√ (4)√

)

100

2.如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距 离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 解析: 由正弦定理得 2 50? 2 AC?sin∠ACB AB= = =50 2(m). sin B 1 2 答案: A 3.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继 续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船 的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 ) B.5 3海里 D.10 3海里 B.50 3 m 25 2 D. m 2 )

解析: 如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°, 从而 CD=CA=10(海里),

在 Rt△ABC 中,得 AB=5(海里), 于是这艘船的速度是 答案: C 4.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的 北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的________方向. 5 =10(海里/时). 0.5

101

解析: 由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°, 又 AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°. ∴灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10°. 答案: 北偏西 10° 5.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高 度为________.

答案: 40 m

测量距离 互动讲练型 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座 为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D.

(1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由). 解析: (1)在△ABC 中,由余弦定理得

AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC?BC 2?8?5
在△ABD 中,由余弦定理得 cos D=

AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 = .② 2AD?BD 2?7?7

由∠C=∠D 得 cos C=cos D, 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下:

102

1 1 易知 S△ABD= AD?BDsin D,S△ABC= AC?BCsin C, 2 2 因为 AD?BD>AC?BC,且∠C=∠D,所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出

AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出
∠ACB=α ,∠CAB=β ,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB.

若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为________. 解析: ∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得, ∴AB= = , sin C sin B

AB

AC

AC?sin C 60?sin 45° = =20 6(m). sin B sin 60°

即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. 答案: 20 6 m 求距离问题要注意: (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直 接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 测量高度 互动讲练型 (2014?全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观 测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

解析: 在 Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AC=100 2 m.在△AMC 中, ∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°, 由正弦定理得, = ,因此 AM=100 3 m. sin 45° sin 60°
103

AC

AM

在 Rt△MNA 中,AM=100 3 m,∠MAN=60°,由 =sin 60°得 MN=100 3? m,故填 150. 答案: 150

MN AM

3 =150 2

如图,测量河对岸的旗杆高 AB 时,选与旗杆底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D, 测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=a,并在点 C 测得旗杆顶 A 的仰角为 60°,则旗杆高

AB 为________.

a BC 6 解析: 在三角形 BCD 中,由正弦定理得 = ? BC= a.在直角三角 sin 45° sin 60° 2
形 ABC 中,AB=BCtan 60°= 答案: 3 2 a 2 求解高度问题应注意 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用. 测量角度 互动讲练型 如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里, 渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同时从 B 处出发沿北 偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. 6 3 2 a? 3= a. 2 2

104

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解析: (1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12,AC=10?2=20,∠BCA=α . 在△ABC 中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cos∠BAC
=12 +20 -2?12?20?cos 120°=784. 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 =14 海里/小时. 2 (2)在△ABC 中, 因为 AB=12, ∠BAC=120°, BC=28, ∠BCA=α , 由正弦定理, 得 = , sin 120° 12? 28 3 2
2 2

BC

AB
sin α

BC

ABsin 120° 即 sin α = = BC

3 3 = . 14

在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75°方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿 什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?

解析: 如图,设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=120°. 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得 sin∠ABC= sin∠BAC=

AC BC

2

3 2 ? = , 2 2 6

得∠ABC=45°,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120°.

105

在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD= =

BDsin∠CBD CD

10t?sin 120° 1 = , 2 10 3t

得∠BCD=30°, ∴∠BDC=30°. 又 = , sin 120° sin 30°

CD

BC

10 3t 3

= 6,得 t=

6 . 10 6 小时. 10

所以缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船,最少要花 求解决角度问题应注意: (1)明确方位角的含义;

(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的 一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后, 注意正、 余弦定理的“联袂”使用.

A 级 基础训练 1.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° B.北偏西 15° D.北偏西 10°

解析: 如图所示,∠ACB=90°, 又 AC=BC, ∴∠CBA=45°, 而 β =30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 答案: B 2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30
106

分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里 )

解析: 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根 据正弦定理得 = ,解得 BC=10 2(海里). sin 30° sin 45°

BC

AB

答案: A 3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的 最短时间为 6 min,则客船在静水中的速度为( )

A.8 km/h C.2 34 km/h

B.6 2 km/h D.10 km/h

解析: 设 AB 与河岸线所成的角为 θ ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,sin 0.6 3 4 1 4 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2 θ = = ,从而 cos θ = ,所以由余弦定理得? v? =? ?2? +1 -2? ?2?1? , 1 5 5 10 5 ?10 ? ?10 ? 解得 v=6 2.选 B. 答案: B 4. (2014?四川卷)如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

解析: 如图,在△ACD 中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以 CD=AD?tan
107

60°=60 3(m).在△ABD 中,∠BAD=90°-75°=15°,所以 BD=AD?tan 15°=60(2 - 3)(m). 所以 BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m).

答案: C 5.如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中之影的俯 角为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( )

A.2.7 m C.37.3 m 解析: 在△ACE 中,tan 30°= = ∴AE= (m). tan 30°

B.17.3 m D.373 m

CE CM-10 . AE AE

CM-10

在△AED 中,tan 45°= = ∴AE=

DE CM+10 , AE AE

CM+10 CM-10 CM+10 (m),∴ = , tan 45° tan 30° tan 45°

10? 3+1? ∴CM= =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1 答案: C 6.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C,两船航行方向的夹角为 120°,两船 的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h, 则下午 2 时两船之间的距离是________ n mile. 解析: d =50 +30 -2?50?30?cos 120°=4 900, ∴d=70, 即两船相距 70 n mile. 答案: 70 7.一船自西向东航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°,距塔 68 海里的 M 处,下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为________海里/小时. 解析: 由题意知,在△PMN 中,PM=68 海里,∠MPN=75°+45°=120°,∠MNP=
2 2 2

MN 68 45°.由正弦定理,得 = ,解得 MN=34 6海里,故这只船航行的速度为 sin 120° sin 45°

108

34 6 17 6 海里= 海里/小时. 4 2 答案: 17 6 2

8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿 DC 走 到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米.

解析: 连接 OC,在△OCD 中,OD=100,

CD=150,∠CDO=60°.由余弦定理得 OC2=1002+1502-2?100?150?cos 60°=17
500,解得 OC=50 7. 答案: 50 7 π 9.(2014?北京卷)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2, 3 1 cos∠ADC= . 7

(1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 1 解析: (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC= , 7 4 3 所以 sin∠ADC= . 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B = 4 3 1 1 3 3 3 ? - ? = . 7 2 7 2 14

(2)在△ABD 中,由正弦定理得

109

14 AB?sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 1 2 2 2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB?BC?cos B=8 +5 -2?8?5? =49. 2 所以 AC=7. 10. (2013?江苏卷节选)如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一 种是从 A 沿直线步行到 C, 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 然后从 B 沿直线步行到 C. 现 有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后, 乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的 12 3 速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5

3 3 8?

(1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? 12 3 解析: (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 5 3 12 4 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ? + ? 13 5 13 5 63 = . 65 由正弦定理 = , sin C sin B

AB

AC

AC 1 260 4 得 AB= ?sin C= ? =1 040(m). sin B 63 5 65
所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距 12 2 2 2 离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 d =(100+50t) +(130t) -2?130t?(100+50t)? = 13 200(37t -70t+50). 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130
2

110

35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 B 级 能力提升 1.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则 山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( )

A.11.4 km C.6.5 km

B.6.6 km D.5.6 km

1 50 000 解析: ∵AB=1 000?1 000? = m, 60 3 ∴BC=

AB 50 000 ?sin 30°= m. sin 45° 3 2

50 000 ∴航线离山顶 h= ?sin 75°≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 答案: B 2.(2014?浙江卷)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射

击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了 准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小.若 AB=15 m,AC=25 m,∠

BCM=30°,则 tan θ 的最大值是________.(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)

解析: 如图,过点 P 作 PO⊥BC 于点 O,连接 AO,则∠PAO=θ . 设 CO=x m,则 OP= 3 x m. 3

在 Rt△ABC 中,AB=15 m,AC=25 m,

111

4 所以 BC=20 m.所以 cos ∠BCA= . 5 所以 AO= 4 2 2 625+x -2?25x? = x -40x+625(m). 5 3 x 3 3 3 40 625 1- + 2

所以 tan θ =

x2-40x+625



x

x



3 3

?25-4?2+ 9 ? x 5? 25 ? ?

.

3 3 5 3 25 4 125 当 = ,即 x= 时,tan θ 取得最大值为 = . x 5 4 3 9 5 答案: 5 3 9

3. 在一次海上联合作战演习中, 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向, 相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进,若红方 侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短 的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

解析: 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇.

则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x) =12 +(10x) -240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20.
2 2 2

112

根据正弦定理得 = , sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α = = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 4.(2014?安徽皖南八校联考)某高速公路旁边 B 处有一栋楼房,某人在距地面 100 米 的 32 楼阳台 A 处,用望远镜观测路上的车辆,上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15° 方向上,且俯角为 30°的 C 处,10 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75°方向上,且俯角为 45°的 D 处.(假设客车匀速行驶)

BC

AC

(1)如果此高速路段限速 80 千米/时,试问该客车是否超速? (2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向 E 处,问此时客车距离楼房多远? 解析: (1)在 Rt△ABC 中,∠BAC=60°,AB=100 米,则 BC=100 3米, 在 Rt△ABD 中,∠BAD=45°,AB=100 米,则 BD=100 米, 在△BCD 中,∠DBC=75°+15°=90°, 则 DC= BD +BC =200 米, 所以客车的速度 v= =1 200 米/分=72 千米/时,所以该客车没有超速. 10 60 (2)在 Rt△BCD 中,∠BCD=30°, 又因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°. 在△BCE 中, 由正弦定理可知 = , sin 30° sin 45° 所以 EB=
2 2

CD

EB

BC

BCsin 30°
sin 45°

=50 6米,

即此时客车距楼房 50 6米.

113


推荐相关:

...)2016届高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、三角...

【最高考系列】)2016届高考数学轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练 理_数学_高中教育_教育专区。数学备课大师 www.eywedu.net【全免费...


2016届高考文科数学第一轮复习教案——第三章 三角函数...

2016届高考文科数学第一轮复习教案——第三章 三角函数解三角形_数学_高中...(人教 A 版教材练习改编)已知半径为 120 mm 的圆上,有一条弧的长是 144 ...


2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:第三章三角函数、...

2015届高考数学第一轮复习细致讲解练:第三章三角函数解三角形_数学_高中教育...任意角的三角函数定义的理解 (5)(教材练习改编)已知角 α 的终边经过点 P(-...


...(新课标)2016高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、...

【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第三章 三角函数解三角形课时作业26 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。课时作业 26 三角函数高考热点追踪 一...


2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒...

2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练23 解三角形应用举例 _数学_高中教育_教育专区。计时双基练二十三 解三角形...


高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 . 解三角...

解三角形应用举例练习 理-课件_数学_高中教育_教育专区。第三章 三角函数、解...【南方新课堂】2016年高... 暂无评价 28页 2下载券 2017届高考数学大一轮...


...2015届高考理科数学一轮复习题 第三章 三角函数、解...

高中数学2015届高考理科数学轮复习第三章 三角函数解三角形3-2_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1. 能利用...


...2015届高考理科数学一轮复习题 第三章 三角函数、解...

高中数学2015届高考理科数学轮复习第三章 三角函数解三角形3-3_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.会用向量的...


...高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第三章 三角函数、...

2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第三章 三角函数解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 三角函数解三角形 第一节 任意角和...


2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒...

2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练21 三角恒等变形 _数学_高中教育_教育专区。计时双基练二十一 三角恒等变形 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com