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函数(抽象)常见题型解法综述


抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象 函数表现形式的抽象性, 使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如 下: 一、定义域问题 例 1. 已知函数 f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],求 f(x)的定义域。 解: f ( x 2 ) 的定义域是[1,2],是指

1 ? x ? 2 ,所以 f ( x 2 ) 中的 x 2 满足 1 ? x 2 ? 4 从而函数 f(x)的定义域是[1,4] 评析:一般地,已知函数 f (? ( x)) 的定义域是 A,求 f(x)的定义域问题,相当于已知 f (? ( x)) 中 x 的 取值范围为 A,据此求 ? ( x) 的值域问题。

解:取 x ? 2,y ? 3 ,得 f (6) ? f (2) ? f (3) 因为 f (2) ? 1,f (6) ? 又取 x ? y ? 3 得 f (9) ? f (3) ? f (3) ? ?
8 5 1 5 1 4 ,所以 f (3) ? ? 5 5

评析: 通过观察已知与未知的联系, 巧妙地赋值, 取 x ? 2,y ? 3 , 这样便把已知条件 f (2) ? 1,f (6) ? 与欲求的 f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题 例 4. 设函数 f (x) 定义于实数集上, 对于任意实数 x、 y, f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 总成立, 且存在 x1 ? x 2 , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f ( x) 的值域。 解:令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)]2 ,即有 f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 。 若 f (0) ? 0 ,则 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 ,对任意 x ? R 均成立,这与存在实数 x1 ? x 2 ,使得

例 2. 已知函数 f ( x) 的定义域是 [?1,2] ,求函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域。
2

解 : f ( x) 的 定 义 域 是 [?1,2] , 意 思 是 凡 被 f 作 用 的 对 象 都 在 [?1,2] 中 , 由 此 可 得

1 1 11 ? 1 ? log 1 (3 ? x) ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? x ? ( ) ?1 ? 1 ? x ? 2 2 4 2
11 所以函数 f [log1 (3 ? x)] 的定义域是 [1, ] 4 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立矛盾,故 f (0) ? 0 ,必有 f (0) ? 1 。
由于 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 对任意 x、y ? R 均成立,因此,对任意 x ? R ,有
x x x x x f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )] 2 ? 0 2 2 2 2 2

评析:这类问题的一般形式是:已知函数 f(x)的定义域是 A,求函数 f (? ( x)) 的定义域。正确理解 函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。 这类问题实质上相当于已知 ? ( x) 的值域 B, 且 B ? A, 据此求 x 的取值范围。例 2 和例 1 形式上正相反。

下面来证明,对任意 x ? R,f ( x) ? 0 设存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 f (0) ? f ( x0 ? x0 ) ? f ( x0 ) f (? x0 ) ? 0 这与上面已证的 f (0) ? 0 矛盾,因此,对任意 x ? R,f ( x) ? 0

二、求值问题 例 3. 已 知 定 义 域 为 R ? 的 函 数 f ( x ) , 同 时 满 足 下 列 条 件 : ① f (2) ? 1,f (6) ?
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,求 f(3),f(9)的值。
1 ;② 5

所以 f ( x) ? 0 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要 手段。

四、解析式问题
f ( x) ? f ( x ?1 ) ? 1? x x ,求 f(x)的解析式。

所以 f ( x) ?

1 ?0 f (? x)

例 5. 设对满足 x ? 0,x ? 1 的所有实数 x,函数 f ( x) 满足 解:在 f ( x) ? f (
f( x ?1 ) ? 1? x x (1) 中以 (2)

又当 x ? 0 时, f (0) ? 1 ? 0 所以对任意 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x 2 ? x1 ? 0,f ( x 2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) 所以 y ? f ( x) 在 R 上为增函数。 评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分 解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

x ?1 代换其中 x,得: x

x ?1 1 2x ? 1 ) ? f (? )? x x ?1 x
1 代换 x,得 x ?1

再在(1)中以 ?
f (?

1 x?2 ) ? f ( x) ? x ?1 x ?1

(3)

x3 ? x2 ?1 (1) ? (2) ? (3) 化简得: f ( x) ? 2 x( x ? 1)
x ?1 分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常 x 情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。

评析:如果把 x 和

六、奇偶性问题 例 7. 已知函数 f ( x)(x ? R,x ? 0) 对任意不等于零的实数 x1、x2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 试判断 函数 f(x)的奇偶性。

五、单调性问题 例 6. 设 f (x) 定义于实数集上, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , 且对于任意实数 x、 y, 有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ,

解:取 x1 ? ?1,x2 ? 1 得: f (?1) ? f (?1) ? f (1) ,所以 f (1) ? 0 又取 x1 ? x2 ? ?1 得: f (1) ? f (?1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 0

求证: f ( x) 在 R 上为增函数。 证明:在 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 中取 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? [ f (0)] 若 f (0) ? 0 ,令 x ? 0,y ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,与 f ( x) ? 1 矛盾 所以 f (0) ? 0 ,即有 f (0) ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, ? x ? 0,f (? x) ? 1 ? 0 而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1 七、对称性问题 例 8. 已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) ? 2002,求 f ?1 ( x) ? f ?1 (2002? x) 的值。 解:已知式即在对称关系式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 中取 a ? 0,b ? 2002 ,所以函数 y ? f ( x) 的图象关 于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于点(2002,0)对称。 再取 x1 ? x,x2 ? ?1 则 f (? x) ? f (?1) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) 因为 f ( x) 为非零函数,所以 f ( x) 为偶函数。
2

所以 f ?1 ( x ? 1001 ) ? f ?1 (1001? x) ? 0 将上式中的 x 用 x ? 1001 代换,得 f ?1 ( x) ? f ?1 (2002? x) ? 0 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设 a、b 均为常数, 函数 y ? f ( x) 对一切实数 x 都满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点(a,b)成中心 对称图形。

所以 y ? f ( x) 在 R 上为减函数。 (2)由于函数 y=f(x)在 R 上为减函数,所以 f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f ( x 2 ? y 2 ) ? f (1) 即有 x 2 ? y 2 ? 1 又 f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ? f (0) ,根据函数的单调性,有 ax ? y ? 2 ? 0

八、网络综合问题 例 9. 定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,n,总有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x>0 时, 0<f(x)<1。 (1)判断 f(x)的单调性; (2)设 A ? {( x,y) | f ( x 2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1)},

由 A ? B ? ? , 所 以 直 线 ax ? y ? 2 ? 0 与 圆 面 x 2 ? y 2 ? 1 无 公 共 点 。 因 此 有
?1 ? a ? 1。

2 a2 ?1

?1 ,解得

评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是 f(0)的取值问题,二是 f(x)>0 的结 论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维 都有助于问题的思考和解决。

B ? {( x,y) | f (ax ? y ? 2 ) ? 1 ,a ? R} ,若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。
解: (1) 在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中, 令 m ? 1,n ? 0 , 得 f (1) ? f (1) ? f (0) , 因为 f (1) ? 0 , 所以 f (0) ? 1 。 在 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) 中,令 m ? x,n ? ?x 因为当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 所以当 x ? 0 时 ? x ? 0,0 ? f (? x) ? 1 而 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 1
1 ?1? 0 f (? x)

所以 f ( x) ?

又当 x=0 时, f (0) ? 1 ? 0 ,所以,综上可知,对于任意 x ? R ,均有 f ( x) ? 0 。 设 ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,则 x2 ? x1 ? 0,0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 所以 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )


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