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北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学(文)试题 Word版含答案


北京市东城区普通高中示范校 2014 届高三 12 月教学质量调研 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 150 分。考试时长 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A ? {?1,0,1,

2} ,集合 B ? {0, 2, 4, 6} ,则集合 A∩B= A. {1,2,4} B. {2,4} C. {0,2} D. {-1,0,1,2,4,6}

2. 若向量 a=(1,2),b=(2,1),c=(-5,-1),则 c+a-2b= A. (-8,-1) B. (8,1) 3. 抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为
2

C. (0,3)

D. (0,-3)

A. (0,2)

B. (2,0)
2

C. (0,1)
2

D. (1,0)
2

4. 下列命题: ① ?x ? R, x ? x ;② ?x? R ,x ? x ; ③4 ? 3; ④“ x ? 1 ” 的充要条件是 “ x ?1 且 x ? ?1 ”中,其中正确命题的个数是 A. 0 5. 已知 x ? ? ? A. B. 1 C. 2 D. 3

4 ? ? ? ,0 ? ,cos(? ? x) ? ? ,则 tan 2 x ? 5 ? 2 ?
B. ?

7 24

7 24

C.

24 7

D. ?

24 7

6. 如图,是一个简单空间几何体的三视图,其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,俯视图 轮廓为正方形,则其全面积是

A. 12

B. 4 ? 4 3

C.

4 3 3

D.

8 3

7. 函数 f ( x) ? ln | x ?1| 的图象大致是
1

8. 在圆 x ? y ? 5 y ? 0 内,过点 ( , ) 作 n 条弦 (n ? N ) ,它们的长构成等差数列 {an } ,若 a1
2 2

3 5 2 2

?

为过该点最短的弦, an 为过该点最长的弦,且公差 d ? ( , ) ,则 n 的值为 A. 4 B. 5 C. 6 第Ⅱ卷(非选择题 D. 7 共 110 分)

1 1 5 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 若曲线 y ? x ? ax 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 ,则实数 a=__________。
3

10. 已知 {an } 是等比数列, a2 ? 2, a5 ?

1 ,则公比 q=_________。 4

? x ? y ? 0, ? 11. 已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为_________。 ? y ? ?1, ?
12. 某算法的程序框如图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系是_________。

13. 在△ABC 中,∠A=

? ,BC=3, AB ? 6 ,则∠B=_________。 3

2

? x 2 , x ? 0, ? 14. 函数 f ( x) ? ? ? 则不等式 f ( x) ? 2 的解集是_________。 ?4 cos x, 0 ? x ? , ? 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共计 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 15. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ? (Ⅰ)设函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
6

)。

2? ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的值。 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE, AE ? EB ? BC ? 2 ,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE。

(Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BGF 的体积。

17. (本小题共 12 分) 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? | x ? 1| ? k ? 0 。
2 2 2

(Ⅰ)当 k ? 0 时,写出方程的所有实数解; (Ⅱ)求实数 k 的范围,使得方程恰有 8 个不同的实数解。

3

18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1, a ? R 是常数。 (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x)( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 有零点,求实数 a 的取值范围。

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 在椭圆 M 中有一内 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 (?2, 0), F2 (2, 0) 。 a 2 b1
3 。 3

接三角形 ABC,其顶点 C 的坐标为 ( 3,1) ,AB 所在直线的斜率为

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)当△ABC 的面积最大时,求直线 AB 的方程。

20. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } 是等差数列, a2 ? 6, a5 ? 18 ;数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅲ)记 cn ? an ? bn ,求 {cn } 的前 n 项和 S n 。

1 bn ? 1 。 2

4

参考答案
一、选择题: 1. C 2. A 3. D 4. D 5. D 6. A 7. B 8. B

二、填空题: 9. 2 10.

1 2

11. -3

12. y ? ?

?2 x , x ? 1 ? x ? 2, x ? 1

13. 75°

14. ( ??, ? 2) ∪ ?0,

? ?? ? ? 3?

三、解答题: 15. (共 12 分) (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? cos(2 x ?

?
6

)

? sin 2 x ? (cos 2 x cos

?

? sin 2 x sin ) 6 6
4分

?

1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? sin(2 x ? ) , 3
所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6分

?
3

)。
7分

函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 。 (Ⅱ)因为 x ? [0, 所以,当 2 x ?

? ? ? ? 2? ] ,所以 2 x ? ? ? ? , ? ? 。 3 ? 3 ? 3

?
3

?

?
2

,即 x ?

5? 时 12

10 分 12 分

函数 f ( x) 的最大值为 1。 16. (共 14 分) (Ⅰ)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC, 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, ∴AE⊥平面 BCE。

4分

5

(Ⅱ)证明:依题意可知:G 是 AC 中点, ∵BF⊥平面 ACE,则 CE⊥BF,而 BC=BE, ∴F 是 EC 中点, 在△AEC 中,FG∥AE, ∴AE∥平面 BFD。 (Ⅲ)解:∵AE∥平面 BFD, ∴AE∥FG,而 AE⊥平面 BCE, ∴FG⊥平面 BCE,∴FG⊥平面 BCF, ∵G 是 AC 的中点, ∴F 是 CE 的中点,∴FG∥AE 且 FG ? ∵BF⊥平面 ACE,∴BF⊥CE。 ∴在 Rt△BCE 中, BF ? CF ? 10 分 8分 6分

1 AE ? 1 , 2

1 CE ? 2 , 2
12 分

1 ? S?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 , 2 1 1 ?VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S?CFB ? FG ? 。 3 3
17. (共 12 分) (Ⅰ)据题意可令 | x ? 1|? t (t ? 0) ①,
2

14 分

则方程化为 t ? t ? k ? 0 ②,
2

k ? 0 时 t ? 0或t ?1
x ? ?1, x ? ? 2, x ? 0
(Ⅱ)当方程②有两个不等正根时, 6分

6

? ? ? 0, 1 ? ?t1 ? t 2 ? 0 ,得 0 ? k ? 4 ?t t ? 0, ?12
此时方程②有两个根且均小于 1 大于 0,

9分

故相应的满足方程的解有 8 个,即原方程的解有 8 个, 所以 0 ? k ?

1 。 4 1 ?a, x

12 分

18. (共 14 分) (Ⅰ) f ?( x) ? 2分

f (1) ? ?a ? 1, kl ? f ?(1) ? 1 ? a ,所以切线 l 的方程为 y ? f (1) ? kl ( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a) x 。
4分

(Ⅱ)令 F ( x) ? f ( x) ? (1 ? a) x ? ln x ? x ? 1, x ? 0 则

F ?( x) ?

1 1 ? 1 ? (1 ? x) ,解 F ?( x) ? 0 得 x ? 1 。 x x
(0,1) + ↗ 1 0 最大值

x
F ?( x)
F ( x)

(1, ??)
- ↘

F (1) ? 0 ,所以 ?x ? 0 且 x ? 1, F ( x) ? 0, f ( x) ? (1 ? a) x ,
即函数 y ? f ( x)( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方。 9分

(Ⅲ) y ? f ( x) 有零点,即 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 有解, a ? 令 g ( x) ?

ln x ? 1 。 x

ln x ? 1 ln x ? 1 1 ? (ln x ? 1) ln x , g ?( x) ? ( )? ? ?? 2 , 2 x x x x
12 分

解 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 。

则 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 当 x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 g (1) ? 1 , 所以 a ? 1 。 19. (共 14 分) (Ⅰ)由椭圆的定义知 2a ?
2 2 2

14 分

(?2 ? 3) 2 ? 1 ? (2 ? 3) 2 ? 1 。
2

解得 a ? 6 ,所以 b ? a ? c ? 2 。

x2 y2 ? ? 1。 所以椭圆 M 的方程为 6 2
7

5分

(Ⅱ)由题意设直线 AB 的方程为 y ?

3 x?m, 3

? x2 y 2 ? ? 1, ? ?6 2 2 2 由? 得 2 x ? 2 3mx ? 3m ? 6 ? 0 。 ? y ? 3 x ? m, ? 3 ?

7分

因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A,B,且点 C 不在直线 AB 上,

? ? ? 12m 2 ? 24( m 2 ? 2) ? 0, ? 所以 ? 解得 ?2 ? m ? 2 ,且 m ? 0 。 3 ? 3 ? m. ?1 ? 3 ?
设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,

9分

3m2 ? 6 3 3 , y1 ? x1 ? m, y2 ? x2 ? m 。 则 x1 ? x2 ? ? 3m, x1 x2 ? 2 3 3
所以 | AB |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ?

4 [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2 4 ? m 2 。 3
11 分

点 C ( 3,1) 到直线 y ? 于是△ABC 的面积 S ? 当且仅当 | m |?

3 3|m| x ? m 的距离 d ? 。 3 2

1 3 3 m2 ? (4 ? m2 ) | AB | ?d ? | m | ? 4 ? m2 ? ? ? 3, 2 2 2 2

4 ? m 2 ,即 m ? ? 2 时“=”成立。

所以 m ? ? 2 时△ABC 的面积最大,此时直线 AB 的方程为 y ? 即为 x ? 3 y ? 6 ? 0 。 20. (共 14 分) (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d,则: a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , 14 分

3 x? 2。 3

8

?a1 ? d ? 6, ? a2 ? 6, a5 ? 18,? ? ? a1 ? 2, d ? 4. ?a1 ? 4d ? 18,

2分 4分

? an ? 2 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 2 。
(Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ? 当 n ? 2 时,?Tn ? 1 ?

1 2 b1 ? 1 ,得 b1 ? 。 5 分 2 3

1 1 bn , Tn?1 ? 1 ? bn ?1 , 2 2
7分

1 1 ?Tn ? Tn ?1 ? (bn ?1 ? bn ) ,即 bn ? (bn?1 ? bn ) 。 2 2 1 ? bn ? bn ?1 。 3 2 1 ?{bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列。 3 3
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知: bn ?

8分

2 1 n?1 1 ? ( ) ? 2 ? ( )n 。 3 3 3

10 分

1 1 ? cn ? an ? bn ? (4n ? 2) ? 2 ? ( )n ? (8n ? 4) ? ( ) n 。 3 3
? Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 ? cn

11 分

1 1 1 1 ? 4 ? ( ) ? 12 ? ( ) 2 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n?1 ? (8n ? 4) ? ( ) n 。 3 3 3 3
1 1 1 1 1 ? Sn ? 4 ? ( )2 ? 12 ? ( )3 ? ? ? (8n ? 12) ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 。 3 3 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? Sn ? Sn ? 4 ? ? 8 ? ( )2 ? 8 ? ( )3 ? ? ? 8 ? ( ) n ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 3 3 3 3 3 3 3

1 1 ( ) 2 ? [1 ? ( ) n ?1 ] 4 1 3 ? ? 8? 3 ? (8n ? 4) ? ( ) n ?1 1 3 3 1? 3
8 1 1 ? ? 4 ? ( )n ? (8n ? 4) ? ( ) n?1 。 3 3 3 1 ? Sn ? 4 ? 4(n ? 1) ? ( ) n 。 3
14 分

9


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