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圆锥曲线练习题含答案1


圆锥曲线测试题 1
一、选择题: (每题 4 分,共 40 分) 1. c ? 0 是方程 ax2 ? y 2 ? c 表示椭圆或双曲线的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 )

2 . 如 果 抛 物 线 y 2=ax 的 准 线 是 直 线 x=-1 , 那 么 它 的 焦 点 坐 标 为 ( ) B.

(2, 0)
2 1 , ) 3 3 1 1 D.(- , ) 3 2

A. (1, 0)
1 2 A.( , - ) 3 3 1 1 C.( , - ) 2 3

C. (3, 0)

D. (-1, 0) )

3.直线 y = x +1 被椭圆 x 2+2y 2=4 所截得的弦的中点坐标是( B.(-

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水 面宽为( A. 6 m 5. 已知椭圆 ) B. 2 6 m C.4.5m D.9m

4 x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离是 ,那么点 P 到椭圆的右 3 9 5 准线的距离是( )

A.2 6.曲线 x
2

B.6

C.7 =1 与曲线

D.

14 3

9 25 A.长轴长相等 C.离心率相等
2

y +

2

+ =1(k<9 )的( 25 ? k 9 ? k B.短轴长相等 D.焦距相等
10 ,则 m 的值为( 5

x

2

y

2



y 7.已知椭圆 x +
5
A.3 C.

2

m

=1 的离心率 e=
25 或 3 3 5 15 D. 或 15 3



B.

5

8.已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点 F1,右焦点 F2 均在 x 轴上,A 为椭圆的右 顶点,B 为椭圆短轴的端点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴,PF2∥AB,则此椭圆 的离心率等于( ) 1 1 5 2 A. B. C. D. 2 3 5 2 9.方程 mx ? ny2 ? 0 与 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系 中的示意图应是( )

A 10.椭圆 x
2

B

C

D

25



y
9

2

=1 上一点 M 到左焦点 F 1 的距离为 2,N 是 M F 1 的中点, ,则 ) B.4 C. 8 D.16

2 ON 等于 ( A. 3

二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 11.
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 4 ? t t ?1



12.双曲线 4 x 2 - y 2 +64=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则点 P 到 另一个焦点的距离等于 .

13.斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 =4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点, 则 AB 等于 .

14. 设 x,y∈R,在直角坐标平面内, a (x,y+2), b = (x,y-2),且 a + b =8,则 点 M(x , y)的轨迹方程是 .

三.解答题 15.已知双曲线与椭圆 程.(10 分)
x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方 3 49 24

16.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) (c ? 0) 的准 线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程及离心率; (Ⅱ)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (12 分)

17.已知椭圆的中心在原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y = x +1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆的方程. (12 分) 2

18.一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸,在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒,已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点, (该信 号的传播速度为每秒 1 千米)求 A、P 两地的距离.(10 分)

参考答案 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 D 9 A 10 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,16 分) 11.t>4 或 t<1 三.解答体 15.(10 分) [解析]:由椭圆 12. 17 13. 8 14.

x2 x + =1 12 16

2

x2 y2 ? ?1? c ? 5. 49 24
2 ? ?a ? 9 ?? 2 ? ?b ? 16 ?a ? b ? 25

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ?? ? 2 ? 1 ,则 ? a 3 2 ? a b 2 ? 2

故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 9 16
2 2 16. (12 分) [解析]: (1)由已知由题意,可设椭圆的方程为 x ? y ? 1(a ? 2 ) .由已知得 2 2 a

?a 2 ? c 2 ? 2, 2 2 6 解得 a ? 6 , c ? 2 所以椭圆的方程为 x ? y ? 1 ,离心率 e ? .(Ⅱ)解: ? 2 ? a 3 6 2 ?c ? 2( ? c). c ? ? x2 y2 ? 1, 得 由(1)可得 A(3,0).设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3) .由方程组 ? ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ?

(3k 2 ? 1) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0 依题意 ? ? 12(2 ? 3k 2 ) ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6 .设
3 3

P( x1 , y1 ), Q( x2 ,
x1 x2 ? 27k 2 ? 6 . 3k 2 ? 1

2 y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 18k , ① 3k 2 ? 1

② 由直线 PQ 的方程得 y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3) .于是 ③
5

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)(x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] .

∵ OP ? OQ ? 0 , ∴
3 6 . ) 3

x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

2 ④. 由①②③④得 5k ? 1,从而 k ? ? 5 ? (? 6 ,

所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0 . 17. (12 分) [解析]:设所求椭圆的方程为

y
y x ? 2 ? 1, 2 a b
2 2

Q O x


依题意,点 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 )的坐

P

? x2 y2 ?1 ? ? 满足方程组 ? a 2 b 2 ?y ? x ? 1 ?

解之并整理得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 或 (a 2 ? b 2 ) y 2 ? 2b 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 所以 x1 ? x 2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x x ? , 1 2 a 2 ? b2 a2 ? b2



y1 ? y 2 ?

2b 2 b 2 (1 ? a 2 ) y y ? , 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2
2 2 2 2



由 OP⊥OQ ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ? a ? b ? 2a b 又由|PQ|=



5 10 2 ? PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 = 2 2

5 2 5 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = 2

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =


2

4 2 由①②③④可得: 3b ? 8b ? 4 ? 0 ? b ? 2或b ?
2

2 3

? a2 ?
故所求椭圆方程为

2 或a 2 ? 2 3

x 2 3y 2 3x 2 y 2 ? ? 1 ,或 ? ?1 2 2 2 2

18.(12 分) [解析]:以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 则 A(3,0) 、B(-3,0)
? P是双曲线

? | PB | ? | PA|? 4 ? 1 ? 6

?a ? 2, b ? 5, c ? 3

x2 y2 ∴ k AP ? tan60? ? 3 . ? ? 1 右支上的一点 ∵P 在 A 的东偏北 60°方向, 4 5

∴线段 AP 所在的直线方程为 y ? 3( x ? 3)
? x2 y 2 ?1 ? ? 4 5 解方程组 ? ? ? y ? 3 ( x ? 3) ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
?x ? 8 , 得? y ? 5 3 ?

y

P

B

O

A x

即 P 点的坐标为(8, 5 3 ) 米) .

∴A、 P 两地的距离为 AP ? (3 ? 8) 2 ? (0 ? 5 3 ) 2 =10 (千


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