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数学奥林匹克高中训练题(165)


中等 数学

数令奥称吸轰高宁诚稼题( l6 5)
中圈分类号 :G 4 2 4 .7 9 文献标识码 : A 文章编号 : l( ) 5一 X 4 盆 6 6 (20 曰 )0 5 一 仪 月 O一 肠

第一试
一! 填 空 题 ( 每小 题 8 分 , 共 6 4 分) 1 .数列 la " } !{b

" }满 足
a l = l , b 一二2 , l + a "+ a " bn b" b ", 一= l + b "+ a ob n
a n

3 .在 v A B C 中 , 已知 O 为 外 心 , 三条 高 线 AD ! BE ! C F 交 于点 H , 直 线 E 刀 与 A B 交 于

点M , F D

与 Ac 交于点 N. 则丽 # 耐 =

4 .若 随机投 掷 大 小不 同 的 三 枚 般 子 , 则

其 中有两枚或三枚般子上显示 的数字之和是 7 的概率为_ 5.计算 : (1 x ]表示不超 #

则[aZ " ,3] 的值 为_
过实 数 x 的最 大 整数 ). 2 .设 0 感a !刀< 2二 ,a

瓷" 一 1)人 一 " *+l) 上 二
局 . 0 C;" l; )

6.设(l + 2 万 + 3万 ) 0
_ 产 下~ 兀 ,5 兀 一 !口 二 万, 且
J J

Zsi na 一 万
Z e os a 一1

其 中 , a "! b "! e "! d" 任 N.

= "" +" " 涯+" " 万 +J" 万,
d_

+弊 今 卓= 0
- co s P 一 l

则 hm 二 = _
"" + . 口 n

#

则 eot 众+ 月_

7.若O 口的圆心 O 到0 0 所在平面内的

劝 A E Z = A B #A C .

?
?

由 a, + 6, = (a + b ) . 一 b a 2

= 16 一 4 = 12 = " ,,

由 A D 是 0 0 的切线 得
A D Z = A C #A B .

知 二" =9 0" ,且 sv ,B" =合 a/= #
(1 1)a 二 6二 2一 涯," =2万 . 由2 (2 一 涯 ) < 2 万 , 知不能构成三角
形 , 舍 去.

由式 ? !? 知 AE 二 D . A
三 !( l ) 易 知方 程两 根 为
6 3

l 二 x 丽石 ,介= =不 二丁.
由题 意得
m + l
m 一l

1 ,2 ,3 , 6 ,
1,3 .

( i)a = b 二 i 2 + 涯 , "二 2万 . 由2(2 +涯) >2万 , 知能构成三角形, 且

故m 二 . 2

sv 月 # " 二 合# 2 万# 了 ( 2+万 ).一 ( 万 ).
= 确 +1 2万# 综 上 , vABc 的 面 积 为l或摊 而泛 万.
(邹守 文 24 13( ) ) X 安 徽 省 南 陵 县 春 谷 中 学,

(2 ) 由题设 , 知 a ! b 均是方程
x Z 一4 x + 2 = 0

的根.

(i)a 尹6 , " 二 2万 .

2013 年第 5 期

直线 l 的距离 为 d , 圆的 半 径为 r( d > r > 0 ) , 则 0 0 绕 直 线 l 旋 转 一 周所 得 到 的环 体 ( 轮

四 !(50 )设

( x) = a " f xn + a " _: x /一 .+ ,+ a : x +a " 是整系数 多项式 , 其 中 , n e N , , n 为奇数 , a" 笋0.证 明:存在正整数 m , 使得f ( m )不是 完 全平方 数.

胎)的体积是_
8 .在 v A B C 中 ,
A . B . B - . C . C . A

n 万 .s l s n 万 + /m 百 l n 万 +S l s m 百 .s n 万 1
sin A + sin B + s in C

参 考 答 案
第一试
一 !1 .4 .

的最大值为_
二! 解 答题 (共 5 6 分) , . ( 16 分 )设 a ! b ! e > 0 ,且 a + 6 + c = 3 #

求 " , 6 + 6, " + e, a + abe 的最大值 #

用数 学 归纳法 易 证

0 .(2 1 0 分)已知抛物线 尹 = 加 (p > 0 )
的弦 A B 的长 为 l ( l> 0 ) . 求 弦 A B 的中点 到 y

卫一一 共 =与 "- N ! ).
a "+ l b "+ 1 6 ! .- - 一 + 二

于是 , a "< 5 ( n 任 N , ).

轴距离的最小值.

又a ! 十 .> a " , 且 a, > 4 , 则[aZ " . 3] = 4.

11.(加 分)已知: " = {万几 }(n 任N , ) ,
其中 , 卜} 二 x 一1 x 8, [x 8表示 不超过实数 x

的最大整数.若数列 lx " }满足

对一切不相等的正整数 m ! n 成立 , 求 p 的取 值集合.

,m一 ,一 ,,, 合 , -任 N# ,
加 试

詹单 今李二 " - co s P 一 l
艺 32

的 几 何 意 义 是 椭圆 琴




1 上的点

,- (; !一 ,.喜 2 ) l与 -0/ 椭 圆 ~ 上 一 的 /点 川一 , (Ze ! - --" " 一 " ,万 , # - ---s ;"" 一 )
( 2 N co s 吞 ,万s n 川 连线的斜率互为相反数. i
而直 线 材浑的斜率 为

一 !(4 0 分 ) 已知 O , ! H 分别 为 v A B C 的 外心 ! 垂心 , M 为 B C 的中 点 , O : 为 A M 的 中 点 ,以 沌 材 为直径 的 0 0 : 与 v A B C 的外 接 圆
0 0 . 交于 异 于点 A 的另 一点 尸, A p 与 B C 交 于点 N . 证 明 :O , H 土 通 材 的充分 必 要条 件 是 0.! H ! N 三点 共 线.

;=嫂 Z (应 Co s a ~一c o s 岁夕 醉二 一 夸 艺c o t旦 牛 -卫 .

于 是 ,c , 华 =一 巩( ;为 定 值 ) .
乙 J

又此 定 值 无为椭圆冬 件
-

二1 在 点 二 艺 j
1 一

(l + eo l a ) (l 一 s si na# s 4月 o c )(l 一 51矿a # 51矿 月 ) sin, Za # si n, 竿

二! ( D分 4 )已 知" ! , (0 ,+ . 求 )

处 的 切 线 的 斜 率 冬 宁 P .( - 扣
二 一 - 二一

2万
3

的最 小值 . 三 !(50 ) 求 n 的最大值 , 使 得平 面上 有 n 个 点 , 其 中任 意 三点 中必存 在 两点 间 的距 离
为 1.
3 " 0.

X

,二 e

1



Z

易知, 丽 + 丽 + 灵 = 丽 则丽 # 耐 = (成 + 丽 +茄 ).耐

中 等数 学

二 戚# (耐 +苑 + 丽 ) + 菇# (耐 , 丽 ) , 虎 # (耐 , 丽 )

6 "华 . -万 一 6 .

二 (丽 +丽 卜 耐 + (成 + 灵 卜威 ? 因为口是v A c 的 B 外心, 所以,丽 +丽 ! 成 + 灵分别过 线段A B ! Ac 的 中 点 .
故式 ? 的值为 0 .

令孟 .二 l+2万 + 3万 , 人二 l一 2万 +3万 ,
凡二 1 + 2万 一 3万 , 人二 1一 2涯 一 3万 .
则} 又 :}> ~
几 乎

毛万 #
记 A -二1三枚般子均不出现 -}(i二1 , 2 ,
, ,6 ) . 由容斥 原理 得
I A I 门A o l 二 IA 一 U A ol

. 35

11 人!, l 凡l, I 人日.

故 竺 " 孔访/ 0/ =2,3,4 .#
又片二 a" + b" 万 +e" 万+d" 派,

弋二 a" 一 b" 万 + e" 万 一-" 万, 弋二" " + b" 万一 c" 万一 d" 万,
弋= a " 一 b" 涯一 c" 万 + d" 万 .
一 解 气

二6, 一( IA .I + .A 6 , 一IA :n A 6 I) 二 63 一(5 , + 5, 一 4 , ) = 30 . 同理 , , A : n A 5 1 二IA 3n 通 41二 30 .

于是 , 恰有两枚般子上显示 的数字之和 是 7 的总 数 为
IA I 门A 6 I + IA Z 门A s l + IA 3 n A . I 二9 ) . (

=六 凭 一 不不一- /去 凭

,,

鲜 + 心+ 心 + 心

专 二 少 巴
所以,
~

鲜+ 弋一 弋一 心 4 *r

~ . 弋

l i m丛

又 7 = l + 2 + 4 二l + l + 5
= l+ 3 +3 = 2 +2 +3,

" _ 玉_ 鱼
+. a 几

故三枚般子上显示的数字之和是 7 的总数为

d. 7 .2矛 产

A;+3e;二 15.
于是 , 所求的概率为
5 "0 .

构造一个底面半径为 r ! 高知 耐的回柱
15 + 9 ) (
63

35
一7 2 .

取四分之一圆柱 , 且将其倒下来 , 再取环 体的一半 , 然后用一个 到底面的距 离为 h 的

平面截这两个几何体.其环体的截面面积为

记 一刁一 0/ ./ + . 之#
而丝 1 = 2竺 土 工= 丝土 1 =呈 生 二 些幼

s二 二 : 一 r ( 片 ) =4耐石乏 万平,
其中,几= d + 石叮石 丁 , r:=d 一丫 于 r平 ;
四分 之一 圆柱 的截 面 面积为

0/ C数 C公 止 , C魏 片一 c之 一 一 , .~
Z n 一k
2 . ~ 盖~ 1 2几

a" = 名 (一) -# ,C
2 0 一l
几 - - .J ! 一 工

s二 4耐价, 一 矿.
利用祖啦原理得环体的体积为

作求 和 指标 变换 l 二 n 一 2 k 一1 , 则

"=又 [ !/+ . 去二0 (一

心 互

一k
~ 盖一
0

! 二 合 阶扮 # 4/ 二 2. d z r
"万 6
. - 二 .

二 习 (一 l) 故a" 二川 公


住 讨 一 + 一 C j

一 a r

在vA B C 中有恒等式
+

味 上



. 0

!二 ,

/

a n , :- = , ta ll 二 , . t

A
Z

Z

20一 3 年第 5 期

其中, /艺 0 表 示轮 换对 称和 .
则名
一 A 2
n

一 B 2
n

二 ( 七 ).一 =
( l )l 2却.

(勿) . 一 恤 知

}.+枷一 ( 即 )
< 加 ).

二丫 2 . 一 2~ 一土 2 ~ 一 立瓜 2 丫一工丽 -2 一.I 2 二 又/ o 二 t s i s n二
" 2 甲翻 一 自


故 一 分彩输. ( 尹 则 一 分百 又 兴 万 矿 _之
一y Z + 尸 2

一 " 2



召 \ 们f



刃\

. 山 了哪 刘 叭画 了吻 刘

1 ,尺 , , 二 _ ! 二7 了 乙八 sl n A .sln 廿)
. )



s(尹+p, ) 2
_ 丑 2

二 :厘 亘 . 二 如~
-勺 j o 一

又下 . A

于是

- /,n 了 . /,n 万

. B

习s inA

返. 一6
,一 上J 沁

当且仅当 y

当 且 仅 当 / 二 - /二 - /二 晋 时
等号成立.
二! , . 不妨 设 a - b 鉴 "或 c - b - a .

号成立 , 故 x* 一 互 望 (2 )0 < l < 夺 .

二 士 柯翻 /,上 式 等

则 " ( b 一a ) ( b 一e) - 0
幼 b Ze + e Za 蛋 a b c + eZb

则 二 二 杀 却 +蔡一 一 8t 冬 2 ( !-二 尹 , + #" , 2二 一pZ ", ) . .
易知, 此函数在 = 矿, + a o )上是递增函
数.

劝 a Zb + bZe + 矛a + ab c - aZb + 矛b + Zab c 二b (a + e)2 = (3 一 6 )2
蛋_二 ) 1, ! IZ

Z \

l3 二4 b + 3 一b + 3 一b \

综 上 , 知 当 l 2 知 时 , :*
.

/二 风 即 , =0/, X" 二 爵
- 上卫;当 0 < l

P o

J

I

当且仅当 a 二 b 二" 二1 或 {a , b , " }



< 乙 尸盯 , 劣""= 蔽 , #

1 , 2 }时 , 等号成立 #
故 扩b + 扩" + 矛"十a c b 的最大 值 为 4 . 10 .设 弦 的端点 为 A (x, , , :) , B (x: , 了 :),

n .首 先证 明 :

中点为 M (x , 刃 , 则

片=枷 , ,式=枷 2,
Z x = 名I + x Z , Z y 二y 一+ 为 #

而 护二(二 2一 二 , ) . + (为 叮 , ) .

,汤 一 , >六 ( 爪 neN,,m, n)# ! 假 设 ,汤一 ,簇 六# ,,若0汤 一众 ,则
,n 汤 +n 二 六 +,n
0 , 引2衬一 I 二 l n 兴,弃
, 刃味一 J 刀蕊

= (气+x, )2一 气 x.+2(式+式) 一 (y 2 +y:).
二(气 + x .

坦今应应 }

2(式+ y 圣 )一 (儿+ y .)2

二 9m 2镬l + 6 ,

- l + 6涯谕 2

中 等 数 学
二今 爪 二

AH 土 BC , B H

上 AC

但 ! 万 一 , >l 万 一 ,, >奇 ,与 假 设 矛 盾 # ,,若 0一 万 爪 " 六 ,则 2 万 二 n+汤二 六 +2涯 m

所 以, 点 D ! E 分 别在 O 口 :! O M 上. 由乙 A D B 共圆. 于是 , H D # A H = H E # B H , 即点 H 在 0 0 2 二乙 A E B , 知 A !E !D ! B 四点

与 O M 的根 轴上 .

- .-.# .一 . m0命# 瞥
二 令 爪 二1 .

因为0 0 .与O 仇 的根轴为 A尸 ,O 口 .与 O M 的根轴 为 B C , 而 AP 与 B C 交 于点 N ,
所 以 , N 为 0 0 . !0 0 : !O M 的 根 心 , 即 点 N

同理 , 与假设 矛 盾. -

在0 0: 与O M 的根轴上. 故 " :! 万! N 三点共线 骨 点口 , 在O 久 与O M 的根轴上
劳 0 .H 一0 2M 劳 0 .万一 A M . 二! 令 x = si n, a # eos,刀, 了= sin, a # sin, 口,

综 上 ,. 万 ,一 " . !共(, ! " 任 N , ,m , " )
成立 .

故I 二 "一 x" l

二一 万 ( "一 无 )一 ([. 万 卜 [无 万 ]) l

> 环不面 #

l

于 是 ,, m一 ,# " 一), >合#
又 .} 珑}一 阅 .<粤 ,则 ,的 最 刁 植为 3.
-

一 a( . a !/任 (0 ,晋 ) ) 则 x + y + : 二1. 故
i n22a # s s如 ,切 ( l + z ) ( l x Z) ( -

故 p 的取值集合是 1川p 23 , p 任 N }.





一! 如 图 l , 设 A H 与 B C 交 于点 D , B H 与 A C 交 于点 E , 以 B C 为直 径 的圆为 O M .
16 戈 0

二 上业业亡丝立 二 立 上夕三笙 _塑 l甸 二 一 1甸 2 6 1
_ 塑 土竺土竺 ! 谷 写 拜
一 , 7

犷 宜 兰立 尘上 丛 三 _塑
16 x 户 l
Z

16

l

l
)

l
+ )

8

+ )

x

y

1加 笋 -立{ 当竺上星
. 一

_ 竺些 l6

妻土 8 .
! ! 一 _ _ 一 子 尹

9

x + y + z

+燮{ 业l甸 丛 生 旦 生_二匕 2 16 x 3)

32 27

图 l

由 H 为 v A B C 的垂 心 知

当且仅 当 x = y 二z

=令 时 ,上 式 等 号 成
J

0 1 2 3 年第 5 期
二_ ,, 一 ~ . 一 ! . 32 立.从而 , 所求最小值为器 . 一 . / ! 0, . / 0 J一 ~ - ~ ~ 27 -

故 n 的最大值为 7 .
四! 反证 法.

三! 若存 在 n ( n) 8 ) 个 点满 足题 设 条件 , 用 v = 1, , " ., , : , , , " 7 }表 示 其 中的 八 个 点 , 当且仅 当两点 间 的距 离 为 1 时 , 在 这 两点 之 间连一 条边 , 构成 图 C .

假设对任意的正整数 m , f ( m )是完全平
方数.

则f ( x )) 0(x 任 N , ).
所 以 , a "> 0 .

若存在一点 (不妨设为 " )的度小于或等
于 3 , 则与 公不 相 连 的 至 少 四个 点 必 两 两 相 连 , 这显 然是 不 可能 的.

进 而 , 当 x ! 一a o 时,f ( x ) ! 一a o , 故存

在负整数 r, 使得f ( r) <0 . 令 g (x) =f ( x + r) , 则
g (0 ) = f ( r) < 0 .
记 g (二 ) =a " x /+ b " 一x 0一 . + , + b .x + bo ,

故 任何 一 点的度 至少 为 4 . 在 点集 V = 1, ,, ., , : , , , " : }的 凸包 T 的 顶 点处 取一 个 点 集 V 中 的 点 ( 不 妨 设 为 " ),
点 , 与 ,.! :: ! , 3 !""相 连 ( " 1 !" : !" 3! , 4 按逆 时

其中 , g (x) e z [x ] , b " < 0. 则对于任意的 m (m e N , , 二> 一 r) , g (m ) =f ( m + r) 是一个 完 全平 方数.
下 面证 明 :.b " !是 完全 平 方数 .

针方向依次排# J ), 则101 l 041笋l(否则 ,, : ! ,3 !
, 4 无 两点 连线 , 矛 盾 ) #由此 , " 2 !0, 均 与 0 一0 4 中的至 少一 个 相连. 从 而 , " 2! , , 都恰 与 " .! ,4 中的一 个相 连 ( 否则 , 不妨 假设 " :与 " .! :4 都
相 连 , 则 ""!" 3 !" 4 中无 两点相 连 , 矛盾 ).

又 " : !" 3 不 可 能 同时与 " , !" ; 中 的一点相 连 , 于是 , 点 " : !" 2 !, 3 !, ; 中 仅 仅 可 能 出 现
10.021 = 103 " ; l = l 或 10103 1 = l:2吸 l = l ( 均 有 10203 1尹l) . 因此 , , : !" : !" 3! :4 中每一 点 还至 少 与 :5 !

否则 , 存在正奇数 a 及质数 p , 使得
尸 a} }b " # 令 m . = 尸/十 .( l + lr l) , 则 g ( m , ) 是一 个

完 全平 方数,

但 g(m , )二b " (m od m , )
幼 p 口} }g (m .) , 矛 盾. 设 6 "二一tZ(t 任 N , ).

" 6! , 7 中 的两 点 相 连. 从 而 , 点 " 5 !" 6 !" : 至少 要 向点 , : !" : !" 3 !" 4 引八 条 边 . 由抽 屉 原 理 , 知 至少有 一 个点 (不妨 设 为 " 5) 向 v. !" : !" 3 !" 4 引不 少 于三 条边 , 即存 在 " , !" : !" 3 !" ; 中 的三
点 与 "! , 5 的距 离 均为 1 , 这是 不可 能 的. 故 n 盛7 .

令 -= 3 尹 u (口任 N , u 任 N , , 3 下u ) ,
"2 = 3举+ . (l + .rl). 则 g (m :)是 一个 完全 平方 数. 由 g (m Z) , b " (m od m Z )

取两 个 边 长 均 为 1 的 菱 形 A B C D A召 , c 1D , , 使 得

!菱 形

井 3, 1 19 (m Z ) #
记 g (m Z) = 3 , , , (, 任 N , 3 下, ). 则 引 (, 2 + uZ) 劝 " 2 二 一/ 2二 一l ( m o d 3 ), 矛盾 . ( 叶新 年 学 , 43( ) 6 X 4 ) 华 中师 范大 学第 一 附属 中

乙B A D = 乙 B :A D . = 60 / , C C . = l #

易 证 ,A ! B ! C ! D ! B l !C , !D ! 中任 意 三 点

均 存在 两 点 , 其距 离 为 1.


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