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数学竞赛教案讲义(2)——二次函数与命题


第二章
一、基础知识 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

二次函数与命题

1.二次函数:当 a ? 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴为 直线 x=2

b b ,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=,下同。 2

a 2a

二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大

函数值减小(简称递减) ,在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a<0 时, 情况相反。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与函 数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac) 。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ? {x|x ? ?

b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2a

b }和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。

4ac ? b 2 b 4. 二次函数的最值: a>0, x=x0 时, 若 当 f(x)取最小值 f(x0)= ,若 a<0, 则当 x=x0= ? 4a 2a
时,f(x)取最大值 f(x0)=

4ac ? b 2 .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 4a

x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出) 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题, “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联 结词“或”“且”“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 、 、 命题。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; 且 q”复合命 “p 题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。

定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) ;逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q;逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中, 如果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 ? p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 ? q 但 p ? q,则 p 称为 q 的必要非充 分条件;若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x).

2.方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。

3.利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a ? 0), 若方程 f(x)=x 无实根, 求证: 方程 f(f(x))=x 也无实根。

4.利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<

1 , a

x1 . 2

5.构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 当 x 取何值时,函数 y=

x4 ? x2 ? 5 取最小值?求出这个最小值。 ( x 2 ? 1) 2

例 7 设变量 x 满足 x2+bx≤-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是 ?

1 ,求 b 的值。 2

7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 ?

?x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ? x ? 2a ? 1

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ①

对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且 限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)

9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2≥2ab;若 x,y∈R+,则 x+y≥ 2 xy . (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命 题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q≤1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆 否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2.由上列各组命题构成“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为真,p 且 , , q 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③ p:a∈(a,b),q:{a} ? {a,b}; ④ p: Q ? R, q: N=Z. 3. 当|x-2|<a 时,不等式|x2-4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0