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高一数学1.2.1-1任意角的三角函数课件新课标人教版必修4


1.回顾初中所学锐角的三角函数,在直 角三角形ABC中,sinα ,cosα ,tanα 分别叫做角α 的正弦、余弦和正切,它 们的值分别等于什么? B
BC sin a = AB BC t an a = AC

AC cos a = AB
C

α

A

2.当角α 不是锐角时,我们必须对 sinα ,cosα ,tanα 的值进行推广, 以适应任意角的需要.

知识探究(一):任意角的三角函数

思考1:为了研究方便,我们把锐角α 放到直角坐标系中,并使角α 的顶点与 原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合. 在角α 的终边上取一点P(a,b),设点 2 2 P与原点的距离为 r (r ? a ? b ) ,那么, sinα ,cosα ,tanα 的值分别如何表 示?

PM b sin ? ? ? OP r OM a cos ? ? ? OP r
PM b tan ? ? ? OM a
o

y

A

P(a,b)

r

b α
2 2

aMBx

(r ? a ? b ) 结论1:在直角坐标系中考察锐角三角函数,可 以用终边上点的坐标 (比值)表示锐角三角函数 思考2:对于确定的角α ,上述三个比值是否随点 P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢?为什么? 由相似三角形成等比可知,三个比值与点P的位置 无关

取OP长为1,此时r=1 y sin ? ? b cos ? ? a P(a,b)
b tan ? ? a
1
α o x

思考3:为了使sinα ,cosα 的表示式更 简单,你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα ,cosα 分别等于什么?

此时我们发现当取OP长为1时,锐角的三角函数 直接由此时点P的坐标表示

思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆 心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 对于任意角α 的终边上一点P,要使 |OP|=1,点P的位置如何确定?
α 的终边

y

P

O

x

任意角三角函数定义一:
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x,y),由锐角三角函数可以用单位圆上点的 坐标表示,同样,我们可以利用单位圆定义任意 y 角的三角函数: α 的终边

sin ? ? y cos ? ? x

P(x,y)

y

x

结论2:此时任意角的三角函数可以利用终 边与单位圆交点的坐标(比值)来表示

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

思考6:对于一个任意给定的角α ,按 照上述定义,对应的sinα ,cosα , tanα 的值是否存在?是否惟一?

sin ? ? y cos ? ? x

α 的终边 P(x,y)

y

?

研究:当角?的终边确定,则点P的坐标 也就确定,那么上述三个值也就唯一确 定

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

任意角三角函数定义二:若点P(x,y)为任意
角α 终边上任意一点(不一定在单位圆上),那 么sinα ,cosα ,tanα 对应的函数值分别等于什 么? (r ? OP ? x 2 ? y 2 ) y

y sin ? ? r x cos ? ?

O

x
P(x,y)

r y tan ? ? x

知识探究(二):三角函数符号 思考1:当角α 在某个象限时,设其终 边与单位圆交于点P(x,y),根据三 角函数定义,sinα ,cosα ,tanα 的 函数值符号是否确定?为什么?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

y

P(x,y)

y tan ? ? ( x ? 0) x

O

x

思考3:综上分析,各三角函数在各个象限 的取值符号如下表:
三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
cos? sin ?

sin ?

+

+

- -
+

- +


cos?
tan ?

+
+




理论迁移

5? 例1 求 的正弦、余弦和正切值. 3 解:在直角坐标系中,可
y
5? 3

O

5? 知正角 的终边与单位 x 3 1 3 ) 圆的交点 P ( , ? 2 2 1 3 P( ,) 2 2 如图,所以

5? 3 sin ?? 3 2 5?
tan 3 ?? 3

5? 1 cos ? 3 2

例2 已知角的终边过点P(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
解:由点(-3,)可知r ? p -4

? ?3? ? ? ?4 ?
2

2

? 5,
y

y 4 由推广定义知: ? ? ? ? sin r 5 x 3 cos ? ? ? ? r 5 y 4 tan ? ? ? x 3

x
O
P(-3,-4)

小结

一、本节课由直角三角形为载体的锐 角三角函数——象限角为载体的锐角 三角函数——单位圆上点的坐标表示 锐角三角函数——单位圆上点的坐标 表示任意角三角函数——象限角为载 体的任意角三角函数 二、理解任意角三角函数的定义,熟 记三角函数的公式,认清结构特征 三、任意角三角函数各象限符号问题

作业:

P15 练习:1,2,3
做在书上

谢谢大家!


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