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广西钦州市大寺中学2013届高三5月押题数学理试题(教师版) Word版含答案


大寺中学 2013 届高三 5 月押题数学理试题
一、选择题 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.

a 1? i 是实数,则 a ? ( B ) ? 1? i 2 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 a 1 ? i a(1 ? i ) 1 ? i a ? 1 1 ? a 1? a 解析: = = ? ? ? i ,依题意,有 ? 0 ,故 a ? 1 .选 1? i 2 2 2 2 2 2
1.设 a ? R ,i 是虚数单位,且 B. 2. 对于非零向量 a, b “ a ? 2b ? 0 ”是 a // b ”的 “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( A )

解析:由 a ? 2b ? 0 得 a ? ?2b ,故 a // b .反之不然.选 A. 3. 函数 y ? A. (?1,1] 解析:? y ?

1 2 x ? ln x 的单调递减区间为 2
B. (??,?1] 和 (0,1] C. (0,1] D. (0,??)

( C )

? 0 ? x ? 1 .选 B.
4. ( B A. )

1 2 1 x ? ln x ,? y ? ? x ? ,由 y ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 .又 x ? 0 , 2 x

sin 2 35 ? ?
化 简

1 2

sin 20 ?
D.1

=

1 2

B. ?

1 2

C. ? 1

sin 2 35 ? ?
解析:

1 2 ? ? ? 2 = ? 1 ? 1 ? 2 sin 35 = ? 1 ? cos 70 = ? 1 ? sin 20 ? ? 1 .选 B. 2 2 sin 20 ? 2 2 sin 20 ? sin 20 ? sin 20 ?

5.已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ? ?, m / /? , 则 m ? ? ; ② 若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n, 则 ? ? ? ; ③ 若

m ? ? , m / /? ,则 ? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? .其中正确命题的
序号是( B )

第 1 页 共 12 页

A.①④

B.②③

C.②④

D.①③

解析: ①当 ? ? ? , m ∥ ? 时,m ? ? 不一定成立所以错误.②成立.③成立.④当 m ∥ ? , m ∥ ? 时, ? , ? 可以相交,所以错误. 选 B . 6. 若函数 y ? 3 sin x ? cos x 的图象向右平移 m ( m ? 0 )个单位长度后,所得的图象关 于 y 轴对称,则 m 的最小值是( C ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3 sin x ? cos x = 2 sin? x ? ? ,函数的图象向右平移 m ( m ? 0 )个单位长度 6? ? ?? ? 后,所得的函数解析式为 y ? 2 sin? x ? m ? ? .要使所得的图象关于 y 轴对称,则有 6? ?
解析: y ?

? 3 ??

D.

2? 3

m?

?

6

?

?

2

? k? ,k ? Z ,即 m ?

?

3

, ? k? ( k ? Z ) 所以当 k ? 0 时,m 取得最小值

? . 3

选 C. 7.高三年级有 6 个班级参加学校运动会 100 米跑决赛, 若在安排比赛赛道时不将甲班安排在 第 一 及 第 二 赛 道 上 , 且 甲 班 和 乙 班 不 相 邻 , 则 不 同 的 安 排 方 法 有 ( D ) A.96 种 B. 192 种 C.216 种 D.312 种 解析:?甲班不排在第一及第二赛道,且不与乙相邻,?可先排甲,当甲排在第六赛道时 共有 C 4 A4 ? 96 种,当甲排在第三、四或五赛道时共有 C3 A3 A4 ? 216 种,? 总的安排方
1 4
1 1 4

法有 96+216=312 种.选 D. 8.设二次函数的值域为 f ( x) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 ?0,??? ,则
2

1 9 的 ? c ?1 a ? 9

最大值为(

A

)

A.

6 5

B.

5 4

C.

4 3
2

D. 2

解 析 : 因 为 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c( x ? R) 的 值 域 为 ?0,??? , 所 以 有

a ? 0,

4ac ? 4 2 ?0 4a





ac ? 4







c?

4 a







1 9 a 2 ? 18a ? 36 a 2 ? 13a ? 36 ? 5a 1 9 ? ? ? 2 ? ? a ? 9 a ? 13a ? 36 c ?1 a ? 9 4 a 2 ? 13a ? 36 ?1 a
第 2 页 共 12 页

=1 ?

5a ? 1? a ? 13a ? 36
2

5 13 ? 2 a ? 36 a

?

6 6 .当 a ? 6 时,等号成立,所以最大值为 . 5 5

选 A. 9. 已 知 x1 , x 2 ? ?? , ? , 且 x1 s i n1 ? x2 s i n2 ? 0 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 x x ? 2 2? ( D
3

? ? ??

)
3

A. x1 ? x 2

B. x1

? x2 ? 0

C.

x1 ? x 2

D.

x1 ? x 2

解析: 构造偶函数 f ( x) ? x sin x ,x ? ??

? ? ?? ? ?? 则 当 , ? , f ?( x) ? s x ? x cs x , x ? ?0, ? n i o ? 2 2? ? 2?

时, f ?( x) ? 0 .? f ( x) ? x sin x 在 ?0, 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,?

? ?? ? ? ? ? 上单调递增,在 ?? 2 ,0? 上单调递减.由已知, ? 2? ? ?

x1 ? x 2

.选 D.
2

10. 已知直线 l : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 )与抛物线 C : y ? 8 x 交于 A, B 两点, F 为抛 物 ( A. 线 C )

C











AF ? 2 BF





k







1 3

B.

2 2 3

C. 2 2

D.

2 4

解析:依题意,直线 y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 )恒过定点(2,0)即为抛 物线 y ? 8 x 的焦点 F.过 A, B 两点分别作准线的垂线,垂足分别为
2

C, D ,再过 B 作 AC 的垂线,垂足为 E ,设 BF ? m .
∵ AF ? 2 BF ,∴ AF ? 2 BF ? 2m . ∴ AC ? AF ? 2m , BD ? BF ? m . 如 图, 在直 角三 角形 ABE 中 , AE ? AC ? BD ? 2m ? m ? m ,

第 3 页 共 12 页

AB ? 3m ,∴ cos ?BAE ?

AE AB

?

1 .∴直线 AB 的斜率 k ? tan ?BAE ? 2 2 .选 C. 3
?

11.如图所示,在等腰梯形 ABCD 中, AB ? 2DC ? 2 ,?DAB ? 60 , E 为 AB 的中点, D C 将 ?ADE 与 ?BEC 分别沿 ED, EC 向上翻折,使 A, B 重合,则形成 的 ( A. 三 A ) 棱 锥 的 外 接 球A 的 体 E D. 6? 积 B 为

6 ? 8

B.

3 ? 2

C. 2?

解析:由已知,在平面图形中, AE ? EB ? BC ? CD ? DA ? DE ? EC ? 1 ,? 依题意 折叠后得到一个正四面体,如图.构造一个面对角线长为 1 的正方体(棱长为 则这个正方体与所得正四面体有同一外接球.易得正方体的外接球直径 等于 3 ?

2 ) , 2
D

A(B )

C

2 6 4 ? 6? ? .选 A. ,半径等于 .?球的体积为 ? ? 2 4 3 ? 4 ? ? ?

3

E

12. f (x) 是定义在 R 上的偶函数, x ? R , 设 对 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? [?2,0]
x 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰

1 2

有 3 个不同的实数根, a 的取值范围是 则 A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1, 3 4 ) D.( 3 4 ,2)

( D )

解析:∵对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,∴函数 f (x) 是一个周期函数,且 T=4. 又∵ x ? [?2,0] 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,且函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,
x

1 2

若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根, 则函数 y ? f (x) 与 y ? log a ( x ? 2) 在区间(-2,6]上有三个不同的交点,如下图所示: 又 f (?2) ? f (2) ? 3 ,则有 log a 4 ? 3 ,且 log a 8 ? 3 . 解得: 3 4 ? a ? 2 .选 D.

第 4 页 共 12 页

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.
1 ? ? 13. 若 ? x ? ? 的展开式中第三项的二项式系数是 15,则展开式中所有项的系数和 2x ? ?
为 .
n n

1 ? 1 r r n?2r ? 2 解析: ? x ? ,知 C n ? 15 ,解得 n ? 6 . ? 展开式的通项公式为 Tr ?1 ? (? ) C n x 2x ? 2 ? ? 1? 1 ? 展开式中所有项的系数和为 ?1 ? ? = . ? 2 ? 64
14. 已知关于 x 的方程 x ? (1 ? a) x ? 1 ? a ? b ? 0(a, b ? R) 的两根分别为 x1 、 x2 ,且
2
6

0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则
2

b 的取值范围是 a

.

解析:设 f (x) = x ? (1 ? a) x ? 1 ? a ? b(a, b ? R) ,依题意有 f (0) ? 1 ? a ? b ? 0 且

f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ,作出点 (a, b) 所满足的区域,易得 ? 2 ?

b 1 ?? . a 2

? 15.已知数列 ?a n ?满足 3a n ?1 ? a n ? 4 ( n ? N )且 a1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足

不等式 S n ? n ? 6 ?

1 的最小整数 n 是 125

.

n ?1 解 析 : 由 已 知 递 推 式 变 形 得 3(a n ?1 ? 1) ? ?(a n ? 1) , 则 a n ? 1 ? 8 ? (? ) ,即

1 3

1 a n ? 8 ? (? ) n?1 ? 1 . 3
于 是 Sn

1 8[1 ? (? ) n ] 3 ? n = 6[1 ? (? 1 ) n ] ? n = 6 ? 6 ? (? 1 ) n ? n , 因 此 = 1 3 3 1 ? (? ) 3

1 S n ? n ? 6 ? ? 6 ? (? ) n = 3

1 1 n ?1 , 3 ? 250 .?满足条件的最小整数 n ? 7 . 6 ? ( )n ? 3 125
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线与左支交于 a2 b2

16.已知 F1 , F2 是双曲线

第 5 页 共 12 页

A 、 B 两点,若 AB ? AF2 ? 0 , 4 AB ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率是

.

解析:由 4| AB |=3| AF2 ︱, 可设| AB |= 3t ,| AF2 ︱= 4t ,由 AB ? AF2 ,所 以| BF2 ︱= 5t ,于是由双曲线定义,得 4 t -| AF1 ︱= 2a ,5 t -| BF1 ︱= 2a ,两式相加得

9t -| AB ︱= 2a ,所以 t ?

2a 2a 2 2 2 ,所以| AF1 ︱ ? ,又 AF1 + AF2 = F2 F1 ,所以 3 3

17 4 4 2 . a + 16 ? a 2 ? 9c 2 , e ? 3 9 9

三、解答题: 本大题共 6 小题, ,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 是 锐 角 三 角 形 , a 、 b 、 c 分 别 是 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 长 , 并 且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin( ? B) ? sin( ? B) . 3 3 (Ⅰ)求角 A 的值;
(Ⅱ)若 ?ABC 的面积等于 6 3 , a ? 2 7 ,求 b 、 c (其中 b ? c ). 解: (Ⅰ)? (sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(

?

?

?

? B) ? sin( ? B) , 3 3

?

? sin 2 A ? sin 2 B ? (
即 sin A ? sin B ?
2 2

3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) , 2 2 2 2

3 1 3 cos2 B ? sin 2 B , ? sin 2 A ? . 4 4 4
锐 角 三 角 形 ,



?ABC



?

sin A ?

3 2







A?

?
3

.

???????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知,得 ?ABC 的面积

1 3 bc sin A ? bc = 6 3 ,? bc ? 24 ①. 2 4

2 2 2 由 余 弦 定 理 知 , a ? b ? c ? 2bc cos A ? 5 , 将 a ? 2 7 及 bc ? 24 代 入 , 得

b 2 ? c 2 ? 52 ②
由①、②可得 b ? c ? 10 .因此 b, c 是一元二次方程 t ? 10t ? 24 ? 0 的两个根,解此方程并
2

由 b ? c 知,
第 6 页 共 12 页

b ? 4, c ? 6 .
??10 分 18. (本小题满分 12 分)

?????

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?ADC ? 60 的菱形,侧面 PDC 是边长为 2 P
?

的正三角形,且与底面 ABCD 垂直, M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: PA ? 平面 CDM ; (Ⅱ)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值. D A

M C B

(Ⅰ)证明:取 CD 的中点 O , PA 的中点 N ,连接 MN , ON , PO .在菱形 ABCD 中, 由于 ?ADC ? 60 ,? ?ACD 为正三角形,则 AO ? CD ,又 PO ? CD ,故 CD ? 平面
?

APO ,从而 CD ? PA . 1 1 又 ? MN // AB , CO // AB , ? MN //CO ,则四边形 OCMN 为平行四边形,所以 2 2 MC // ON . 在 ?APO 中,? AO ? PO ,? ON ? AP ,故 AP ? MC ,所以 PA ? 平面 CDM .
??????? 6分 (Ⅱ) (Ⅰ) 由 知,MC ? PA , 由题意知 PC ? BC , ? M 为 PB 的中点, MC ? MB , 又 ? ? MC ? 面 PAB ,? MC ? MN ,则 ?NMB 为二面角 D ? MC ? B 的平面角. 在 Rt?PAO 中,易得 PA ?

6 ,又 AB ? 2 , ? PB ? 10 , cos ?PBA ?

10 ,从而 5

cos ?NMB ? ?
12 分

10 10 ,故所求二面角的余弦值为 ? . 5 5

???????

第 7 页 共 12 页

19. (本小题满分 12 分) 某中学开设有 A、B、C 等三门选修课程,设每位申请的学生只申请其中一门课程,且申 请其中任一门课程是等可能的,求该校的任 4 位申请的学生中: (Ⅰ)恰有 2 位学生申请 A 课程的概率; (Ⅱ)学生申请的课程门类数 ? 的数学期望. 解: (Ⅰ) 所有可能的申请方式有 3 种, ) 恰有 2 位学生申请 A 课程的申请方式有 C 4 ? 2 种,
4
2 2

2 C4 ? 2 2 8 ? 从而恰有 2 位学生申请 A 课程的概率为 . 4 27 3

???????4 分

(Ⅱ)依题意知 ? 所有可能值为 1,2,3,得

P(? ? 1) ?

1 2 1 2 2 C3C 4 C 2 4 C 2 (C 1C 3 ? C 4 C 2 ) 14 3 1 ? . ? , P(? ? 2) ? 3 2 4 4 , P(? ? 3) ? ? 9 27 3 34 27 34

综上知, ? 有分布列

?
P

1

2

3

1 27 1 14 4 65 从而有 E? ? 1 ? . ? 2? ? 3? = 27 27 9 27
12 分 20. (本小题满分 12 分)

14 27

4 9
???????

已知等差数列 ?a n ? 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,数列 ?bn ? 为等比数列,

b1 ? 1 ,且 b2 S 2 ? 4 , b3 S 3 ?
(1) 求 a n 与 bn ; (2) 记数列 ?

15 . 4

?1 ? T ? 的前 n 项和为 Tn ,且 lim Tn = T ,求使 bn ? 成立的所有正整数 n . n?? 3 ? Sn ?

解:(1)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则由题意可列方程组

第 8 页 共 12 页

? b1 q(2a1 ? d ) ? 4 ? ?b q 2 (3a ? 3d ) ? 15 ???????2 分 1 ? 1 4 ?

6 ? ? d ? 2 ?d ? ? ? 5 1 或? 把 a1 ? 3 , b1 ? 1 代入上式解得 ? q? 5 ? 2 ? q? ? 6 ?

?等差数列 ?a n ? 的各项均为正数,

?舍去 d ? ?
? an

6 5

1 1 ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , bn ? 1 ? ( ) n?1 ? ( ) n?1 ???????5 分 2 2 n(3 ? 2n ? 1) (2)由(1)可得 S n ? ? n(n ? 2) 2
则 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ?+ n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ? + ? ? ? ? ?+ ? ) 2 2 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 = ( 1+ ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2
= =

3 1 1 ???????9 分 ? ? 4 2(n ? 1) 2( n ? 2)
Tn = lim 〔
n??

? lim

n??

3 1 1 3 3 〕= ,即 T = ? ? 4 2(n ? 1) 2( n ? 2) 4 4

1 1 ? ( ) n ?1 ? ,解得 n ? 3 2 4

? n ? 1,2,3. ???????12 分
21. (本小题满分 12 分) 已知 F 是椭圆 D :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,过点 E (2,0) 且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与 2

椭圆 D 交于 A 、 B 两点, C 是 A 关于 x 轴的对称点. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BC 上;

第 9 页 共 12 页

(Ⅱ)设 EB ? EC ? 1 ,求 ?ABC 外接圆的方程. 解: (Ⅰ)设直线 l : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , C ( x1 ,? y1 ) , F (1,0) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 2 ? 2 ? y ?1 ?
2

,得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 .
2 2 2 2

2 又 ? ? 64 k ? 8(2k ? 1)( 4k ? 1) ? 0 , 则 k ?
2 2

8k 2 1 , 所 以 x1 ? x 2 ? , 2 2k 2 ? 1

8k 2 ? 2 . x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1
而 FB ? ( x 2 ? 1, y 2 ) = ? ( x2 ? 1, kx2 ? 2k ) , FC ? ( x1 ? 1,? y1 ) ? ( x1 ? 1,?kx1 ? 2k ) ,所以

( x1 ? 1)( kx2 ? 2k )

? ( x2 ? 1)( ?kx1 ? 2k )

=

k[2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4]

=

16 k 2 ? 4 24 k 2 k( ? ? 4) ? 0 , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

FB 与 FC 共线且有公共点 F ,? B 、 F 、 C 三点共线,即点 F 在直线 BC 上.
???????? ????6 分

(Ⅱ) 因为 EB ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ,EC ? ( x1 ? 2,? y1 ) , 所以 EB ? EC = ( x2 ? 2)( x1 ? 2) ? y1 y 2 =

(1 ? k 2 )( x2 ? 2)( x1 ? 2)
2

=

(1 ? k 2 )[ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4]

=

8k 2 ? 2 16 k 2 (1 ? k )( 2 ? ? 4) 2k ? 1 2k 2 ? 1
=

2 ? 2k 2 ? 1. 2k 2 ? 1

又 k ? 0 ,解得 k ?
2 2

1 1 2 ,满足 k ? . 2 2
2 2

代入 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ,知 x1 , x 2 是方程 3x ? 4 x ? 0 的两根,根据对称性
2

不妨设
第 10 页 共 12 页

4 4 1 ,即 A(0,?1) , C (0,1) , B( ,? ) . 3 3 3 由 A , C 关于 x 轴的对称,知 ?ABC 外接圆圆心一定在 x 轴上,设 ?ABC 外接圆的方程为 4 1 1 ( x ? a) 2 ? y 2 ? a 2 ? 1 ,把 B( ,? ) 代入方程得 a ? ,即 ?ABC 外接圆的方程为 3 3 3 1 10 . ???????????? (x ? )2 ? y 2 ? 3 9
x1 ? 0 , x2 ?
??12 分

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) = ln x ? kx ? 1. (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

ln 2 ln 3 ln n n(n ? 1) ? (n? N ,n ?1) ? ??? ? 3 4 n ?1 4 1 (Ⅰ)解:函数 f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? ? k . x 1 当 k ? 0 时, f ?( x) ? ? k ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数; x 1 1 1 1 当 k ? 0 时,若 x ? (0, ) ,则 f ?( x) ? ? k ? 0 ;若 x ? ( ,??) ,则 f ?( x) ? ? k ? 0 . k x k x 1 1 所以 f (x) 在 (0, ) 上是增函数, ( ,?? ) 上是减函数. 在 ??????? k k
(Ⅲ)证明: 4分 (Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) k ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数, f (1) ? 1 ? k ? 0 ,f ( x) ? 0 知 则 而 不成立,故 k ? 0 . 当 k ? 0 时 , 由 ( Ⅰ ) 知 f (x) 的 最 大 值 为 f ( ) , 要 使 f ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 需

1 k

1 f( ) k k ? 1.
?8 分

=

? ln k ? 0





得 ??????

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,且 f (x) 在 (1,??) 上

第 11 页 共 12 页

是减函数, f (1) ? 0 ,所以 ln x ? x ? 1 在 ?2,??? 上恒成立. 令 x ? n 2 ,则 ln n 2 ? n 2 ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)( n ? 1) ,从而 所 毕) 以

ln 2 ln 3 ln n ? ??? 3 4 n ?1
???????12 分

ln n n ? 1 . ? n ?1 2 1 2 3 n ?1 n(n ? 1) = ? ? ? ??? 2 2 2 2 4

.





第 12 页 共 12 页



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