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圆锥曲线的定义 考点 大全


圆锥曲线定义、标准方程及性质
一.椭圆 定义Ⅰ:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF ? PF2 ? 2a ? F1 F2 1 ( a 为常数)则 P 点的轨迹 是椭圆。 定义Ⅱ:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e(0<e<1) , 则 P 点的轨迹是椭圆。

x2 y

2 标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
取值范围:{x ? a ? x ? a} , {x ? b ? y ? b} 长轴长= 2 a ,短轴长=2b 焦距:2c

a2 准线方程: x ? ? c
焦 半 径



a2 PF1 ? e( x ? ) c



PF2 ? e(

a2 ? x) , PF ? 2a ? PF2 1 c

, a ? c ? PF1 ? a ? c 等(注意:涉及焦半径时①

用点 P 坐标表示,②第一定义,第二定义。 ) 注意: (1)图中线段的几何特征: A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c

B1 F1 ? B1 F2 ? B2 F2 ? B2 F1 ? a , A2 B2 ? A1 B2 ? a 2 ? b 2 等等。顶点与准线距离、
焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关。 (2)?PF F2 中经常利用余弦定理、 ....... 1 1 .... 三角形面积公式将有关线段 PF 结合起来,建立 PF 1

、PF2 、 有关角 ?F1 PF2 2c,

+ PF2 、 PF1

?

PF2 等关系

(3)椭圆上的点有时常用到三角换元: ?

? x ? a cos? ; ? y ? b sin ?

(4)注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,请补充当焦点在 y 轴上时,其相应的性质。 二、双曲线 (一)定义:Ⅰ若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ,则动点 P 的轨迹是

双曲线。 Ⅱ若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e e>1) 则动点 P 的轨迹是双曲线。 ( , (二)图形:

(三)性质 方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

取值范围: {x x ? a或x ?a} ; 实轴长= 2 a ,虚轴长=2b 焦距:2c

a2 准线方程: x ? ? c
焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 ) c

, PF2

? e(

a2 ? x) c



PF1 ? PF2 ? 2a ;

注意: (1)图中线段的几何特征: AF ? BF2 ? c ? a , AF2 ? BF ? a ? c 1 1 顶点到准线的距离: a ?

a2 a2 a2 a2 或a ? 或c ? ;焦点到准线的距离: c ? c c c c

2a 2 两准线间的距离= c
(2)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x 2 a a b a b

若渐近线方程为 y ? ?

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b

2

2

若双曲线与

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a2 b a b

( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) (3)特别地当 a ? b时 ? 离心率 e ? 轴双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? ; (4)注意 ?PF F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2a 与余弦定理 cos?F1 PF2 ,将有关线段 PF 1 1

2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线为等



PF2

、 F1F2

和角结合起来。

(5)完成当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质。 三、抛物线 (一)定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e=1) 。 (二)图形:

(三)性质:方程: 焦点: (

y 2 ? 2 px, ( p ? 0), p ? ?焦参数;
p ,0) ,通径 AB ? 2 p ; 2

准线:

x??

p ; 2

p p p , 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 2 p 注意: (1)几何特征:焦点到顶点的距离= ;焦点到准线的距离= p ;通径长= 2 p 2
焦半径: CF ? x? ? 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ( 2 ) 抛 物 线

y ? 2 px
2















P

y ( ? , y? ) 2p

2



P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? )其中y?2 ? 2 px?

考点一 求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类 讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、 性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类 问题常用定义法和待定系数法. ●典例探究 [例 1]某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的 曲面,其中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端 点,已知 AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m.

建立坐标系并写出该双曲线方程. 命题意图: 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识, 考查应用所学积分知识、 思想和方法解决实际问题的能力. 知识依托:待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程。 错解分析:建立恰当的坐标系是解决本题的关键。 技巧与方法:本题第一问是待定系数法求曲线方程。 解: 如图, 建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上, AA′的中点为坐标原点 O, CC′与 BB′平行于 x 轴. 设双曲线方程为

x2 y2 1 ? 2 =1(a>0,b>0),则 a= AA′=7 2 a b 2

又设 B(11,y1),C(9,x2)因为点 B、C 在双曲线上,所以有

112 y1 92 y ? 2 ? 1, 2 ? 22 ? 1 72 b 7 b
由题意,知 y2-y1=20,由以上三式得:y1=-12,y2=8,b=7 2 故双曲线方程为

2

2

x2 y2 ? =1. 49 98

[例 2]过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 直线 y= 方程.

2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点, 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的 2

命题意图:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强. 知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题. 错解分析: 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题 的关键. 技巧与方法:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将 A、B 两点坐标代入圆锥曲线方程, 两式相减得关于直线 AB 斜率的等式.解法二,用韦达定理. 解法一:由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? ,从而 a2=2b2,c=b. ,得 a 2 2 a2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 x 1 1 ,又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0,于是- 0 = 2 y0 2 y0 2 2

-1,kAB=-1,设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),

? y? ? x? ? b ? 1 ? x? ? 1 ? 则? 解得? ? y? ? 1 ? b ? y ? ? ? x? ? b ? 1 ?2 2 ?
由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为

9 2 9 ,a ? . 16 8

8 x 2 16 2 ? y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

解法二:由 e=

c 2 a 2 ? b2 1 ? ,得 ? ,从而 a2=2b2,c=b. 2 a 2 2 a

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2 -4k2x+2k2-2b2=0,则 x1+x2=

4k 2 ,y1+y2=k(x1 -1)+k(x2- 1 ? 2k 2

1)=k(x1+x2)-2k=-

2k . 1 ? 2k 2

直线 l:y= -1.

?k 1 2k 2 x ? x2 y1 ? y2 1 ? ? x 过 AB 的中点( 1 ),则 ,解得 k=0,或 k= , 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 2 2

若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. [例 3]如图,已知△P1OP2 的面积为 近线且过点 P 的离心率为

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线 OP1、OP2 为渐 4

13 的双曲线方程. 2

命题意图:本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. 知识依托:定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上,点的坐标适合方程. 错解分析:利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出 △P1OP2 的面积是学生感到困难的. 技巧与方法:利用点 P 在曲线上和△P1OP2 的面积建立关于参数 a、b 的两个方程,从而求出 a、b 的 值. 解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系.

设双曲线方程为

x2 y2 ? =1(a>0,b>0) a 2 b2

由 e2=

c2 b 13 2 b 3 ? 1 ? ( )2 ? ( ) ,得 ? . 2 a 2 a a 2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2

PP 3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1 >0,x2 >0),则由点 P 分 P P2 所成的比λ = 1 =2,得 P 点 坐标为 1 PP2 2 2

(

( x ? 2x )2 ( x ? 2x )2 x2 4 y2 x1 ? 2 x2 x1 ? 2 x2 ),又点 P 在双曲线 2 ? 2 =1 上,所以 1 2 2 ? 1 2 2 =1, , a 9a 9a 9a 3 2


即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2

9 2 13 9 2 13 2 x1 ? x1 , | OP |? x 2 ? x 2 ? x2 4 2 4 2 3 2? 2 tan P1Ox 2 ? 12 sin P1OP2 ? ? 2 1 ? tan P1Ox 1 ? 9 13 4 1 1 13 12 27 ? S ?P1OP2 ? | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 ? ? x1 x 2 ? ? , 2 2 4 13 4 又 | OP1 |? x1 ?
2

即 x1x2=

9 2
x2 y2 ? =1. 4 9



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为

●思路方法 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上 时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. ●考点一训练 一、选择题 1 已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 2 中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 则椭圆方程为(
2 2

1 , 2

)

2x 2y ? ?1 25 75 x2 y2 C. ? ?1 25 75 二、填空题 A.

2x 2 2 y 2 B. ? ?1 75 25 x2 y2 D. ? ?1 75 25

3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点作椭圆的焦点, 那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4, -2)、 Q(-1, 3)两点, 且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 , 则该圆的方程为_________. 三、解答题 5 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,|MF|的最 大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=

4 10 ,试求椭 3

圆的方程. 6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的 长.

7.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=

x2 y2 20 ,椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 =1(a> a b 3

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 2 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程.
b>0),C2 的离心率为 考点二 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定, 弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等 数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次” ,有利于 选拔的功能. ●典例探究 [例 1] 如图所示, 抛物线 y2=4x 的顶点为 O, A 的坐标为(5, 倾斜角为 点 0),

?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求△AMN 的最大面积. 命题意图:直线与圆锥曲线相交,一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考 查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”. 知识依托:弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析:将直线方程代入抛物线方程后,没有确定 m 的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条 件. 技巧与方法:涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用 韦达定理,设而不求简化运算. 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0.

?y ? x ? m 由方程组 ? 2 ,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0 y ? 4x ?



∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式Δ =(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0) 设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1?x2=m2, ∴|MN|=4 2(1 ? m) . 点 A 到直线 l 的距离为 d=

5? m 2

.

∴S△=2(5+m) 1 ? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)?(5+m)(5+m)≤2(

2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3 ) =128. 3

∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 . [例 2]已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2) (1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是否存在. 命题意图:第一问考查直线与双曲线交点个数问题,归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆 锥曲线问题的第二种方法——“差分法”. 知识依托:二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析:第一问,求二次方程根的个数,忽略了二次项系数的讨论.第二问,算得以 Q 为中点弦的 斜率为 2,就认为所求直线存在了. 技巧与方法:涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标 联系起来,相互转化. 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1),代入 C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) (ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 (ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ =[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ =0,即 3-2k=0,k= ②当Δ >0,即 k<

3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 2

3 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 时,方程(*)有两不等 2 2

实根,l 与 C 有两个交点.

3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点. 2 3 综上知:当 k=± 2 ,或 k= ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点; 2
③当Δ <0,即 k>

当 2 <k< 当 k>

3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点; 2

3 时,l 与 C 没有交点. 2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得: 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即 kAB=

y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点, 所以假设不正确, 即以 Q 为中点的弦不存在. [例 3]如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一 个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数 列.

(1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标; (3)设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m,求 m 的取值范围. 命题意图:本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识,一、二问较简单,第三问巧妙地借助中垂线 来求参数的范围,设计新颖,综合性,灵活性强. 知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法. 错解分析:第三问在表达出“k=

25 y0”时,忽略了“k=0”时的情况,理不清题目中变量间的关系. 36

技巧与方法:第一问利用椭圆的第一定义写方程;第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解, 第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0,利用 y0 的范围求 m 的范围. 解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a 2 ? c 2 =3. 故椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 25 9

(2)由点 B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|= 有|F2A|=

9 25 4 .因为椭圆右准线方程为 x= ,离心率为 ,根据椭圆定义, 5 5 4

4 25 4 25 ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 4 5 4

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2? ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5 x ? x2 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0= 1 =4. 2

(3)解法一:由 A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.

?9 x12 ? 25 y12 ? 9 ? 25 ? 得? ?9 x 2 2 ? 25 y 2 2 ? 9 ? 25 ?
①-②得 9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即 9? (

① ②

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 ) ? 25( 1 )?( 1 ) =0(x1≠x2) 2 2 x1 ? x 2

将 (k≠0)

x1 ? x2 y ? y2 y ? y2 1 1 (k≠0)代入上式,得 9?4+25y0(- )=0 ? x0 ? 4, 1 ? y0 , 1 ?? 2 2 x1 ? x 2 k k

即 k=

25 y0(当 k=0 时也成立). 36

25 16 y0=- y0. 9 9 9 9 16 16 由点 P(4,y0)在线段 BB′(B′与 B 关于 x 轴对称)的内部,得- <y0< ,所以- <m< . 5 5 5 5
由点 P(4,y0)在弦 AC 的垂直平分线上,得 y0=4k+m,所以 m=y0-4k=y0- 解法二:因为弦 AC 的中点为 P(4,y0),所以直线 AC 的方程为

1 (x-4)(k≠0) k x2 y2 ? 将③代入椭圆方程 =1,得 25 9
y-y0=-



(9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25?9k2=0 50( k 0 ? 4) 25 所以 x1+x2= =8,解得 k= y0.(当 k=0 时也成立) 2 9k ? 25 36 (以下同解法一). ●思路方法 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实 数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时: 涉及弦长问题, “韦达定理法” 常用 设而不求计算弦长(即应用弦长公式); 涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转 化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. ●考点二训练 一、选择题

x2 2 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( ) 4 4 10 8 10 4 5 A.2 B. C. D. 5 5 5 2 2 抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的 横坐标是 x3,则恒有( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题
1.斜率为 1 的直线 l 与椭圆

5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:①4x+2y-1=0, 4 4 2 2 x x ②x2+y2=3,③ +y2=1,④ -y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 2 2
3.已知两点 M(1, 4.正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上,C、D 两点在抛物线 y2=x 上,则正方形 ABCD 的面积为 _________. 5.在抛物线 y2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、 且|AB| B, ≤2p. (1)求 a 的取值范围. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值.

7.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=

21 的双曲线过点 P(6,6). 3

(1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线 段 MN,证明你的结论. 8.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点,且都以点 A( 2 ,0)为圆心,1 为半径的圆相切,双曲线的 一个顶点 A1 与 A 点关于直线 y=x 对称. (1)求双曲线 C 的方程. (2)设直线 l 过点 A, 斜率为 k,当 0<k<1 时, 双曲线 C 的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 , 试求 k 的值及此时 B 点的坐标. 考点三 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用 题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这 部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转 换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整. ●典例探究 [例 1]已知圆 k 过定点 A(a,0)(a>0),圆心 k 在抛物线 C:y2=2ax 上运动,MN 为圆 k 在 y 轴上截得的 弦. (1)试问 MN 的长是否随圆心 k 的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线 C 的准线与圆 k 有怎样的位置关系? 命题意图:本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力. 知识依托:弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识. 错解分析:在判断 d 与 R 的关系时,x0 的范围是学生容易忽略的.

技巧与方法:对第(2)问,需将目标转化为判断 d=x0+ 解:(1)设圆心 k(x0,y0),且 y02=2ax0, 圆 k 的半径 R=|AK|= ( x0 ? a ) 2 ? y 0 ?
2 2 2 2

a 2 与 R= x 0 ? a 的大小. 2

x0 ? a 2
2

∴|MN|=2 R 2 ? x 0 ? 2 x 0 ? a 2 ? x 0 =2a(定值) ∴弦 MN 的长不随圆心 k 的运动而变化. (2)设 M(0,y1)、N(0,y2)在圆 k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2 中, 令 x=0,得 y2-2y0y+y02-a2=0 ∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1-y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1-y2| ∴y1y2≤0,因此 y02-a2≤0,即 2ax0-a2≤0. ∴0≤x0≤

a . 2 a 2 ≤a,而圆 k 半径 R= x 0 ? a 2 ≥a. 2

圆心 k 到抛物线准线距离 d=x0+

且上两式不能同时取等号,故圆 k 必与准线相交.

x2 y2 ? =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及其准线的交点 m m ?1 从左到右的顺序为 A、B、C、D,设 f(m)=||AB|-|CD|| (1)求 f(m)的解析式; (2)求 f(m)的最值.
[例 2] 如图, 已知椭圆

命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数 间的科间综合. 知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值. 错解分析:在第(1)问中,要注意验证当 2≤m≤5 时,直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法:第(1)问中,若注意到 xA,xD 为一对相反数,则可迅速将||AB|-|CD||化简.第(2)问,利用函 数的单调性求最值是常用方法. 解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为 a、b、c,则 a2=m,b2=m-1,c2=a2-b2=1 ∴椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0). 故直线的方程为 y=x+1,又椭圆的准线方程为 x=± ∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)

a2 ,即 x=±m. c

?y ? x ?1 ? 考虑方程组 ? x 2 ,消去 y 得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1) y2 ? ?1 ? ? m m ?1
整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 Δ =4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ >0 恒成立,xB+xC=

? 2m . 2m ? 1

又∵A、B、C、D 都在直线 y=x+1 上 ∴|AB|=|xB-xA|= 2 =(xB-xA)? 2 ,|CD|= 2 (xD-xC) ∴||AB|-|CD||= 2 |xB-xA+xD-xC|= 2 |(xB+xC)-(xA+xD)| 又∵xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|-|CD||=|xB+xC|? 2 =| 故 f(m)=

2 2m ? 2m |? 2 = (2≤m≤5) 2m 1 ? 2m

2 2m ,m∈[2,5]. 2m

2 2m 2 2 ,可知 f(m)= 1 2m 2? m 1 1 1 又 2- ≤2- ≤2- 2 5 m 10 2 4 2 , ∴f(m)∈[ ] 9 3 10 2 4 2 故 f(m)的最大值为 ,此时 m=2;f(m)的最小值为 ,此时 m=5. 9 3 [例 3]舰 A 在舰 B 的正东 6 千米处,舰 C 在舰 B 的北偏西 30°且与 B 相距 4 千米,它们准备捕海 洋动物,某时刻 A 发现动物信号,4 秒后 B、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止
(2)由 f(m)= 的,动物信号的传播速度为 1 千米/秒,炮弹的速度是

20 3g 千米/秒,其中 g 为重力加速度,若不计空 3

气阻力与舰高,问舰 A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少? 命题意图:考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力. 知识依托:线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的曲线方程. 错解分析:答好本题,除要准确地把握好点 P 的位置(既在线段 BC 的垂直平分线上,又在以 A、B 为 焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法: 通过建立恰当的直角坐标系, 将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位, 一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解:取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,A、B、 C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,2 3 ).

由于 B、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为 P,则|PB|=|PC|.于是 P 在线段 BC 的中垂线上,易 求得其方程为 3 x-3y+7 3 =0. 又由 A、 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒,知|PB|-|PA|=4,故知 P 在双曲线 B

x2 y2 ? =1 的右支上. 4 5

直线与双曲线的交点为(8,5 3 ),此即为动物 P 的位置,利用两点间距离公式,可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式,得 kPA= 3 ,所以直线 PA 的倾斜角为 60°,于是舰 A 发射炮弹的方位角应是北 偏东 30°. 设发射炮弹的仰角是θ ,初速度 v0=

2v ? sin? 10 20 3g ? ,则 0 , g v0 ? cos? 3

∴sin2θ =

10g v0
2

?

3 ,∴仰角θ =30°. 2

●思路方法 解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖 掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的 取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考 虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个 函数的最值. ●考点三训练 一、选择题 1.已知 A、B、C 三点在曲线 y= x 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当△ABC 的面积最大时, m 等于( A.3 ) B.

9 4

C.

5 2

D.

3 2
)

2.设 u,v∈R,且|u|≤ 2 ,v>0,则(u-v)2+( 2 ? u 2 ? A.4 B.2 C.8

9 2 ) 的最小值为( v
D.2 2

二、填空题 3. A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点 P,使 ∠OPA=

?
2

,则椭圆离心率的范围是_________.

4 一辆卡车高 3 米,宽 1.6 米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线的通径长,若拱口宽为 a 米,则能使卡车通过的 a 的最小整数值是_________. 5.已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则 Q 点的横坐标的取值范围是_________. 三、解答题 6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,若另一条直线 l 经过点 P(-2,0)及线 段 AB 的中点 Q,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. 7.已知抛物线 C:y2=4x. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合, 试求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; (2)若 M(m,0)是 x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ|有无最小值?若有,求出其值; 若没有,说明理由. 8.如图, 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD⊥AB,Q 为线

段 OD 的中点, 已知|AB|=4, 曲线 C 过 Q 点, 动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB| 的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)过 D 点的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之间,设 范围. [学法指导]怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥 曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到: 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这 些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方 法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的 性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求 法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利 用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长 度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标法的训练.

DM =λ ,求λ 的取值 DN


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