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2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 导学案


高二数学(理)选修 2-1 sx-14-02-19 愿你用明智和果敢接受今天的挑战, 以才智和学识取得明天的收获。

《§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)》 导学案
编写:赵刚 审稿人:高二数学组 班级 组别 组名 编写时间:2014 年 10 月 29 日 姓名

【学习目标】: 1 理解椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念,能用

数学符号或自然语言的描述椭圆的定义; 2.熟练掌握椭圆的标准方程,会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程 3.正确推导椭圆的标准方程,理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系 【学习重、难点】 学习重点: 椭圆的定义和椭圆的标准方程. 学习难点: 椭圆的标准方程的推导,椭圆的定义中常数加以限制的原因

【学法指导及要求】: 1、认真研读教材 P40---P42 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题, 每一道习题,不会的先绕过,用红色笔勾画出疑惑点,课上讨论交流。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理到解错题本上,多复 习记忆。 3.通过动手画出椭圆图形,研究椭圆的标准方程。 【知识链接】 1、椭圆的定义
]

椭圆定义中,平面内动 点与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数, 当这个常数大于|F1F2|时,动点的轨迹是 当这个常数等于|F1F2|时,动点的轨迹是 当这个常数小于|F1F2|时,动点的轨迹 2、椭圆的标准方程 当且仅当椭圆的中心在坐标原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才是标准形式。 (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为 , ,且 a ?
2

; ; .

, ; ,
2

(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为 【学习过程】 , ,且 a ?

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4 x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|P F1|:|P F2|=4:3,求 ? P F1F2 例 1、设 F1,F2 是椭圆 49 6
的面积。

例 2、已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 轴的垂线,恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。.

4 5 2 5 和 ,过点 P 作长 3 3

例 3、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在坐标轴上,且经过两点 P ( , ) 、 Q (0,? ) ; (2)经过点(2,-3)且与椭圆 9 x ? 4 y ? 36 具有共同的焦点.
2 2

1 1 3 3

1 2

例 4 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段

PD 的中点 M 的轨迹是什么?

变式: 若点 M 在 DP 的延长线上,且

DM 3 ? ,则点 M 的轨迹又是什么? DP 2

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小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆.

4 例 5 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0? ,.直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积是 ? ,求点 9 M 的轨迹方程 .

变式:点 A, B 的坐标是 ? ?1,0? , ?1,0? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率 的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?

练 1.一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方程 式,并说明它是什么曲线.

【归纳小结】1、 椭圆的定义: 2、 椭圆的标准方程: 3、求轨迹方程的方法: . ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有点相关等式;

②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的关系,然后消去 x0 , y0 ,得到点 M 的轨迹方程. 第 3 页 共 4 页

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※ 知识拓展
椭圆的第二定义:到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点;定直线 l 是椭圆的准线;常数 e 是椭圆的离心率. 【达标训练】 1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A( ?4, 0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为( ). A.

x2 y 2 ? ?1 25 9

B.

y 2 x2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9

C.

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) 16 9
)
[来源:学科网 ZXXK]

D.

x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9

3、过点 ( 15,0) 与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆方程为( A.

x2 y2 ? ?1 15 10

B.

x2 y2 ? ?1 5 10

C.

x2 y2 ? ?1 10 15

D.

x2 y2 ? ?1 25 10
) .

4. 设定点 F1 (0, ?2) ,F2 (0, 2) , 动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? m ? A.椭圆 B.线段 C.不存在

4 则点 P 的轨迹是 ( (m ? 0) , m

D.椭圆或线段 . . .

5.与 y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 6. 设 F1 , F2 为定点,| F1 F2 |= 6 ,动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是 7.已知方 程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是____ _ 25?m m?9

源:学科网]

8.经过 M ( 6 ,1)、N (? 3,? 2 ) 的椭圆的标准方 程是____________. 9.若椭圆两焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),点 P 在椭圆上,且三角形 PF1F2 的面积的最大值为 12,则 此椭圆方程是__________________.

【学习反思】

【课后作业】 1.已知三角形 ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程.

2.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1 : 2 ,求点的轨迹方程式,并说明轨迹 是什么图形.

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